CAP 5: INTRODUZIONE ALLA GEOMETRIA DESCRITTIVA Non deve essere sottovalutata l importanza del disegno nella nostra civiltà caratterizzata dalla tecnica e dall immagine, perché esso rappresenta il primo e più naturale mezzo di espressione ed anche il più universale. Mentre il disegno schizzato serve a chi lo produce per ricordare ed elaborare un motivo, per studiare preventivamente una forma, il disegno geometrico è indispensabile per comunicare agli altri la forma pensata e studiata nei suoi rapporti dimensionali. La geometria descrittiva rappresenta l alfabeto dell espressione grafica. Nei precedenti capitoli non si accenna alla tecnica di rappresentazione, poiché la geometria piana considera figure adimensionali (punto), monodimensionali (linee rette curve spezzate), bidimensionali (Figure geometriche: triangolo, quadrato ecc.). Quindi il supporto (foglio da disegno) con la sua estensione bidimensionale è sufficiente per contenere le figure da rappresentare. Se si considera invece l estensione tridimensionale (oggetti reali) e la necessità di rappresentarla su un piano bidimensionale, è necessario adottare tecniche specifiche. Per eseguire un progetto, cioè per rendere visiva una forma del pensiero o per riprodurre una forma reale esistente nello spazio, ci si serve della geometria descrittiva. Questa materia che è un completamento dell ordinaria geometria ha lo scopo di rappresentare le figure dello spazio sul piano. Usando determinati procedimenti è possibile tracciare di ogni figura a tre dimensioni una sua immagine a due dimensioni. La prospettiva di un fabbricato o di un oggetto, una pianta, una sezione, un prospetto sono applicazioni della geometria descrittiva, la quale si articola in numerosi metodi di rappresentazione, tuttavia per la semplicità e l adattabilità alle esigenze pratiche, generalmente si usano solo i seguenti quattro: 1. Proiezioni ortogonali, o metodo di Monge 2. Proiezioni assonometriche ortogonali e oblique 3. Proiezioni centrali o sistema di rappresentazione prospettica lineare (prospettiva) 4. Proiezioni anamorfiche Anche la Teoria delle ombre è un applicazione della geometria descrittiva, ma il sistema di determinazione delle ombre dei corpi è basato sugli stessi metodi ai quali va applicato. Quindi più che un nuovo metodo si tratta dell applicazione di un altro centro di proiezione, cioè della sorgente luminosa, ai vari sistemi di rappresentazione. Le proiezioni di punti e segmenti non sono problemi astratti perché tutti i solidi sono composti da punti e segmenti. Le forme geometriche esaminate in questa dispensa costituiscono la premessa per la soluzione di qualsiasi forma più complessa. Come si impara l alfabeto, la grammatica e la sintassi per esprimere attraverso la parola scritta le proprie idee, così si deve imparare la Geometria Descrittiva per esprimere attraverso il disegno il proprio pensiero. Il metodo più facile di rappresentazione è quello delle proiezioni ortogonali o mongiane, così chiamato dal nome del matematico francese Gaspard Monge (17461818) il quale, riordinate le esperienze precedenti, può essere considerato il creatore della geometria descrittiva. Il metodo si basa sui presupposti che, per eseguire un proiezione, cioè una rappresentazione grafica di un oggetto reale o immaginario, sono necessari un centro di proiezione e un piano sul quale rappresentare l oggetto. Dal centro di proiezione partono dei raggi proiettanti che, incontrando l oggetto nei punti più significativi, formano sul piano l immagine dell oggetto stesso. 33
Se il centro di proiezione è a distanza finita (fig.1) le proiettanti sono divergenti quindi l immagine proiettata avrà dimensioni maggiori della figura reale (inconveniente notevole quando si deve riprodurre l oggetto con le stese dimensioni). Questo sistema detto delle proiezioni centrali o coniche, viene usato per le prospettive con il piano interposto fra il centro della figura e la proiezione. Spostando il centro di proiezione all infinito, le proiettanti diventano parallele, e se incontrano il piano di proiezione ortogonalmente, l immagine proiettata avrà le dimensioni uguali alla figura reale (fig.2). Questo sistema detto delle proiezioni cilindriche, viene usato per le proiezioni ortogonali e le assonometrie. Le proiezioni cilindriche possono essere di due tipi: 1. ORTOGONALI, quando le proiettanti incidono perpendicolarmente il piano di proiezione (sistema usato nelle proiezioni ortogonali e nelle assonometrie ortogonali). 2. OBLIQUE, quando le proiettanti non incidono perpendicolarmente il piano di proiezione (sistema usato nelle assonometrie oblique). 34
CAP 6: PROIEZIONI ORTOGONALI Cenni teorici: Le proiezioni ortogonali sono le più usate nella progettazione perché rappresentano l oggetto con le dimensioni reali, oppure quando si usa una scala di riduzione con i rapporti reali fra le varie parti e con la conseguente possibilità di costruire facilmente l oggetto presentato. Per questo la rappresentazione deve essere chiara e dettagliata. Se la figura è bidimensionale (formata cioè solo da larghezza e altezza) la rappresentazione completa può essere fatta su un solo piano. Quando le figure sono tridimensionali (formate cioè da larghezza, altezza e profondità) la rappresentazione su un solo piano risulta insufficiente e si deve ricorrere alla proiezione su due o più piani. Nella pratica si usano tutti i piani di proiezione necessari per una chiara e dettagliata descrizione dell oggetto rappresentato. Come si è visto su un solo piano è generalmente insufficiente a descrivere un oggetto; usando più piani è necessario trovare una relazione fra gli stessi per non creare equivoci. Lo spazio sia fisico che psichico contiene innumerevoli forme le quali sono definite dai piani che le compongono. Quindi nello spazio esistono infiniti piani. 35
Monge giunse all conclusioni che fra tutti i piani dello spazio esistono due piani fondamentali per le proiezioni: uno orizzontale e uno verticale. Tali piani per essere distinti sono così chiamati: π 1 (pi greco uno) il piano orizzontale, o P.O. π 2 (pi greco due) il piano verticale, o P.V. I piani fondamentali devono intersecarsi perpendicolarmente formando così quattro diedri retti, i quali per essere distinti vengono numerati in senso antiorario. I quattro diedri o quadranti sono definiti dai piani che li limitano. In questo caso sono definiti tutti e quattro dai due piani π 1 e π 2 creando così possibili equivoci. Per qualificare meglio i piani si indicano gli stessi una volta con segno positivo e una volta con segno negativo e cioè: π 1 ( pi greco uno positivo) il semipiano orizzontale anteriore. π 1 ( pi greco uno negativo) il semipiano orizzontale posteriore. π 2 ( pi greco due positivo) il semipiano verticale superiore. π 2 ( pi greco due negativo) il semipiano orizzontale anteriore. In questo modo i quattro diedri sono chiaramente distinti nel modo seguente: il I diedro da π 1 il II diedro da π 1 il III diedro da π 1 il IV diedro da π 1 La retta di intersecazione dei due piani viene chiamata linea di terra o L.T. 36
In questo modo i piani fondamentali delle proiezioni ortogonali sono definiti, come pure sono definiti i diedri limitati da tali piani, Tuttavia per la loro relazione di perpendicolarità sono rappresentabili su un unico piano il nostro foglio da disegno) solo con una veduta obliqua, mancando così allo scopo per cui sono stati pensati. Per eliminare tale inconveniente è stato convenzionalmente stabilito di ruotare di 90 in senso antiorario sulla linea di terra (L.T.) il piano verticale π 2 fino a farlo coincidere con il piano orizzontale π 1. In questo modo la figura tridimensionale dei piani fondamentali di proiezione è stata ridotta a due dimensioni e quindi è rappresentabile su un unico piano, cioè sul nostro foglio da disegno. Prendendo in considerazione solo il primo quadrante, esso si presenterà così. π 2 L.T. π 1 I diedro π 1 sotto la L.T. e π 2 sopra la L.T. E importante tenere presente che i piani dello spazio sono infiniti nel numero e nelle dimensioni; tuttavia in queste pagine e nelle seguenti, per facilitare le rappresentazioni i piani sono presentati nelle vedute spaziali come elementi finiti e quindi delimitati, ma tale chiusura in realtà è inesistente. Eseguire le proiezioni ortogonali di una figura significa tracciare sui piani fondamentali di proiezione l immagine della figura stessa. L operazione è illustrata in figura che presenta una veduta spaziale e chiarisce meglio il procedimento. 37
1. Il punto A dello spazio, in questo caso si trova nel I diedro a cm. 3 da π 1 e a cm. 2 da π 2. Scegliendo fra le innumerevoli proiettanti dello spazio una proiettante ortogonale a π 1 e passante per il punto A si fissa su π 1 la prima immagine di A, chiamata A perché giace su π 1 o primo piano di proiezione. 2. Scegliendo un altra proiettante ortogonale a π 2 e passante per A, si fissa su π 2 la seconda immagine di A, chiamata A perché giacente sul secondo piano di proiezione. 3. Si osserva che la proiezione sui piani delle proiettanti (indicata in colore) corrisponde alle dimensioni delle proiettanti stesse. In particolare notiamo che la proiettante da a ad A si proietta sul P.V. chiamando A l incontro della proiezione della proiettante con la L.T. possiamo concludere che il segmento A A corrisponde alla distanza di A dal P.O. Per lo stesso motivo la distanza di A dal P.V. corrisponde alla distanza di A da A. E importante tenere presenta che i valori si invertono: cioè sul P.V. si proietta la distanza del punto A dal P.O., mentre la distanza del punto A dal P.V. si proietta sul P.O. Chiarita la meccanica di proiezione si può passare alla soluzione ortogonale vera e propria come illustrato in figura. π 2 o P.V. cm. 3 distanza del punto A da π1 L. T. π 1 o P.O. cm. 2 distanza del punto A da π2 1. Si traccia la L.T. unica retta di intersezione perché come spiegato in precedenza, i piani hanno una dimensione infinita e quindi non hanno chiusure. 2. Si fissano le proiezioni dei piani caratterizzanti il diedro nel quale si opera. Vedi figura pagina precedente. In questo caso operiamo ancora nel I quadrante e quindi avremo ancora che sotto la L.T. giace π 1 e sopra π 2 3. Dalla L.T. ortogonalmente si riporta A con una proiettante da A lunga quanto stabilisce il problema (in questo caso cm. 2, corrispondenti cioè alla distanza del punto A da π 2 perché le misure si invertono. 4. Sempre dalla L.T., ortogonalmente e partendo da A si riporta A alla distanza stabilita dal problema (in questo caso cm. 3, corrispondenti cioè alla distanza reale del punto A da π 1 perché le misure si invertono). Convenzionalmente è stato stabilito di definire i punti con le lettere maiuscole (A, B, C, ecc.), le rette con le lettere minuscole (r, s, t, ecc.) e i piani con le lettere minuscole dell alfabeto greco (a, b, g, d, ecc.). 38