TRIGONOMETRIA E APPLICAZIONI MUSICALI 1 TRIGONOMETRIA

TRIGONOMETRIA E APPLICAZIONI MUSICALI 1 TRIGONOMETRIA Introduzione La trigonometria è la parte della matematica che studia le relazioni tra gli angoli e i lati di un triangolo. A partire dai primi anni del XIX secolo, per merito del matematico J.B. Fourier, la trigonometria si è rivelata molto utile anche per la descrizione di tutti i fenomeni ondulatori, tra cui i fenomeni acustici. Definizione di circonferenza goniometrica Dato un sistema di assi cartesiani, una circonferenza goniometrica è una circonferenza con centro nell'origine e raggio uguale a 1. O Mediante la circonferenza goniometrica, si può definire il concetto di angolo orientato, ossia un angolo che può avere sia misura positiva che negativa. Mostriamo quindi come su di una circonferenza goniometrica si definiscono gli angoli orientati. Consideriamo un punto P sulla circonferenza e la semiretta OP Semiretta OP P O

TRIGONOMETRIA E APPLICAZIONI MUSICALI 2 Consideriamo ancora il punto Q di intersezione tra la circonferenza e la parte positiva dell'asse x. P O Q La semiretta OP definisce due angoli: un angolo α ed un angolo β, nel seguente modo: se noi, partendo dal punto Q e camminando sulla circonferenza, raggiungiamo il punto P procedendo in senso antiorario, allora descriviamo l'angolo α, che, per definizione è positivo; se invece, partendo nuovamente dal punto Q, camminando sulla circonferenza, raggiungiamo il punto P procedendo in senso orario, definiamo l'angolo β, che, per definizione, è negativo.

TRIGONOMETRIA E APPLICAZIONI MUSICALI 3 In definitiva, per convenzione, un angolo sulla circonferenza goniometrica è positivo se, per descriverlo si procede in senso antiorario. Viceversa, un angolo è negativo se per descriverlo si procede in senso orario. Esempio Nella figura seguente il punto P definisce un angolo di 90 e un altro angolo di -270 Osservazione 1 Per definire un angolo di 0 gradi, occorre che il punto P si sovrapponga al punto Q.

TRIGONOMETRIA E APPLICAZIONI MUSICALI 4 Osservazione 2 Un giro completo in senso antiorario, partendo da Q e arrivando a P coincidente con Q, definisce un angolo di 360 gradi. Osservazione 3 Un giro completo in senso orario, partendo da Q e arrivando a P coincidente con Q, definisce un angolo di -360 gradi.

TRIGONOMETRIA E APPLICAZIONI MUSICALI 5 Osservazione 4 È possibile anche definire angoli maggiori di 360. Ad esempio, un angolo di 390 gradi si definisce partendo da Q, facendo dapprima un giro completo sulla circonferenza in senso antiorario (tracciando così un angolo di 360 ) e poi continuando a camminare tracciando un ulteriore angolo di 30 gradi. Allo stesso modo, procedendo in senso orario, è possibile definire angoli minori di -360. Seno e coseno Definizione di seno. Dato un angolo α, fissato da un punto P sulla circonferenza goniometrica, si definisce seno di α (e si scrive sen(α)) l'ordinata del punto P. sen(α) = ordinata di P

TRIGONOMETRIA E APPLICAZIONI MUSICALI 6 Osservazione Denotiamo con H la proiezione di P sull'asse x. Allora, se α è compreso tra 0 e 180 (o, in altro parole, se il punto P sta sulla circonferenza al di sopra dell'asse x), allora sen(α) coincide proprio con la lunghezza del segmento PH. Se invece l'angolo α è compreso tra 180 e 360 (in altre parole, se il punto P si trova sulla semicirconferenza al di sotto dell'asse x), allora sen(α) è un numero negativo ed è uguale all'opposto della lunghezza di PH.

TRIGONOMETRIA E APPLICAZIONI MUSICALI 7 In particolare si ha: 1) Se α = 0 allora il punto P sta sull'asse x (e coincide con il punto Q e con H), quindi P ha ordinata uguale a zero. Si ha perciò sen(0 ) = 0 2) Se α è compreso tra 0 e 90 (ossia 0 < α < 90 ) allora sen(α) è un numero maggiore di zero e minore di 1 (ossia 0 < sen(α) < 1) 3) Se α = 90, allora il punto P sta sull'asse y (e il punto H coincide con l'origine). Poiché il raggio della circonferenza goniometrica è 1, allora P ha ordinata 1, quindi sen(90 ) = 1.

TRIGONOMETRIA E APPLICAZIONI MUSICALI 8 4) Se α è compreso tra 90 e 180 (ossia 90 < α < 180 ), sen(α) è nuovamente compreso tra 0 e 1 (ossia 0 < sen(α) < 1) 5) Se α = 180, allora il punto P sta sull'asse x (e il punto H coincide con P). Quindi P ha ordinata 0, ossia sen(180 ) = 0. 6) Se α è compresa tra 180 e 270 (ossia 180 < α < 270 ), sen(α) è compreso tra -1 e 0 (ossia -1 < sen(α) < 0)

TRIGONOMETRIA E APPLICAZIONI MUSICALI 9 7) Se α = 270, allora il punto P sta sull'asse y al di sotto dell'asse x (e il punto H coincide con l'origine). Il punto P ha ordinata -1, quindi sen(270 ) = -1. 8) Se α è compresa tra 270 e 360 (ossia 270 < α < 360 ), allora sen(α) è compreso tra -1 e 0 (ossia -1 < sen(α) < 0). 9) Se α = 360, allora il punto P sta sull'asse x (e coincide con il punto Q). Quindi ci troviamo nella stessa situazione di α = 0, perciò sen(360 ) = 0.

TRIGONOMETRIA E APPLICAZIONI MUSICALI 10 Definizione di coseno. Dato un angolo α, fissato da un punto P sulla circonferenza goniometrica, si definisce coseno di α (e si scrive cos(α)) l'ascissa del punto P. cos(α) = ascissa di P Osservazione Denotiamo con H la proiezione di P sull'asse x. Se α è compreso tra 0 e 90 oppure tra 270 e 360 (o, in altro parole, se il punto P sta sulla semicirconferenza alla destra dell'asse y), allora cos(α) coincide proprio con la lunghezza del segmento OH.

TRIGONOMETRIA E APPLICAZIONI MUSICALI 11 Se invece l'angolo α è compreso tra 90 e 270 (in altre parole, se il punto P si trova sulla semicirconferenza alla sinistra dell'asse y), allora cos(α) è un numero negativo ed è uguale all'opposto della lunghezza di OH. In particolare si ha: 1) Se α = 0 allora il punto P sta sull'asse x (e coincide con i punti Q ed H), quindi P ha ascissa uguale a uno. Si ha perciò cos(0 ) = 1

TRIGONOMETRIA E APPLICAZIONI MUSICALI 12 2) Se α è compreso tra 0 e 90 (ossia 0 < α < 90 ) allora cos(α) è uguale alla lunghezza del segmento OH ed è un numero maggiore di zero e minore di 1 (ossia 0 < cos(α) < 1) 3) Se α = 90, allora il punto P sta sull'asse y. Poiché il punto H coincide con l'origine, allora P ha ascissa uguale a 0, quindi cos(90 ) = 0. 4) Se α è compresa tra 90 e 180 (ossia 90 < α< 180 ), il punto P si trova alla sinistra dell'asse y, quindi ha ascissa negativa. Si ha perciò che cos(α) è uguale all'opposto della lunghezza di OH ed è compreso tra -1 e 0 (ossia -1 < cos(α) < 0)

TRIGONOMETRIA E APPLICAZIONI MUSICALI 13 5) Se α = 180, allora il punto P sta sull'asse x alla sinistra dell'asse y (e il punto H coincide con P). Quindi P ha ascissa -1, ossia cos(180 ) = -1. 6) Se α è compresa tra 180 e 270 (ossia 180 < α < 270 ), allora il punto P sta alla sinistra dell'asse y ed ha ascissa negativa. Quindi cos(α) è uguale all'opposto della lunghezza di OH ed è compreso tra -1 e 0 (ossia -1 < cos(α) < 0) 7) Se α = 270, allora il punto P sta sull'asse y (e il punto H coincide con l'origine). Il punto P ha ascissa uguale a zero, quindi cos(270 ) = 0.

TRIGONOMETRIA E APPLICAZIONI MUSICALI 14 8) Se α è compresa tra 270 e 360 (ossia 270 < α < 360 ), allora il punto P, essendo alla destra dell'asse y, ha ascissa positiva. Quindi cos(α) è uguale alla lunghezza di OH ed è compreso tra 0 e 1 (ossia 0 < cos(α) < 1). 9) Se α = 360, allora il punto P sta sull'asse x (e coincide con i punti H e Q). Quindi ci troviamo nella stessa situazione di α = 0, perciò cos(360 ) = 1.

TRIGONOMETRIA E APPLICAZIONI MUSICALI 15 OSSERVAZIONE Si noti che due angoli che differiscono di 360 gradi, ossia l'angolo α e l'angolo β = (360 + α), implicano la stessa posizione del punto P. In altre parole, l'ascissa e l'ordinata del punto P sono le stesse per i due angoli α e β. Quindi sen(α) = sen(360 +α) e cos(α) = cos(360 +α). Questo significa che, sia i valori del seno sia quelli del coseno non cambiano se aumentiamo l'angolo di 360 gradi o di un multiplo di 360. In parole povere, possiamo dire che i valori del seno e del coseno si ripetono ogni 360 gradi. Per questo si dice che il seno e il coseno sono due funzioni periodiche di periodo 360. Più avanti spiegheremo perché il seno ed il coseno possono considerarsi funzioni. Angoli in radianti In molte applicazioni della trigonometria, specialmente in quelle di acustica, è preferibile esprimere gli angoli in radianti (e non in gradi sessagesimali come abbiamo fatto fino ad ora). Definizione di misura in radianti Consideriamo un angolo α definito da un punto P in una circonferenza goniometrica, e denotiamo con Q l'intersezione tra il semiasse positivo dell'asse x e la circonferenza goniometrica.

TRIGONOMETRIA E APPLICAZIONI MUSICALI 16 Allora, la misura in radianti dell'angolo α è la lunghezza dell'arco di circonferenza sotteso dai punti P e Q. Esempio 1 L'angolo che misura un radiante è l'angolo che corrisponde ad un arco di lunghezza 1 su di una circonferenza goniometrica. Esempio 2 L'angolo di 360 equivale a 2π radianti. Infatti l'arco corrispondente ad un angolo di 360 gradi corrisponde a tutta la circonferenza goniometrica, quindi la misura in radianti di un angolo di 360 è per definizione la lunghezza di tutta la circonferenza goniometrica, ossia 2π. Infatti, in generale, in un cerchio qualsiasi di raggio r, la circonferenza è lunga 2π r, ma, la circonferenza goniometrica, avendo raggio 1, è lunga 2π. Per passare dai sessagesimali ai radianti e viceversa Per passare dalla misura in sessagesimali alla misura in radianti e viceversa, occorre fare una proporzione di questo tipo: (angolo in sessagesimali) : 360 = (angolo in radianti) : 2π

TRIGONOMETRIA E APPLICAZIONI MUSICALI 17 Esempio 1 Supponiamo di voler calcolare qual è la misura in radianti di un angolo di 30. Applichiamo la suddetta proporzione ponendo come incognita la misura dell'angolo in radianti. da cui si ha: 30 : 360 = x : 2π e, semplificando, si ricava x = 30 2π 360 x = 6 π Quindi, un angolo di 30 gradi sessagesimali corrisponde ad un angolo di 6 π radianti. Esempio 2 Supponiamo di voler calcolare qual è la misura in sessagesimali di un angolo di 2.5 radianti. Applichiamo la proporzione ponendo come incognita la misura dell'angolo in sessagesimali. da cui si ha: Da ciò si ricava x : 360 = 2.5 : 2π x = 2.5 360 2π x = 143.2394... Osservazione Dalla proporzione è facile ricavare le seguenti relazioni che è importante ricordare: 1) 90 gradi sessagesimali equivalgono a 2 π radianti. 2) 180 gradi sessagesimali equivalgono a π radianti. 3 3) 270 gradi sessagesimali equivalgono a π radianti. 2 4) 360 gradi sessagesimali equivalgono a 2 π radianti. Le funzioni seno e coseno Il seno e il coseno sono delle funzioni reali. Infatti sono delle "leggi" che ad un numero (che rappresenta la misura di un angolo), associano un altro numero (che rappresenta il valore del seno o del coseno). Ad esempio, esprimendo gli angoli in sessagesimali, il seno è una funzione che: a 0 fa corrispondere 0 (perché sen(0 ) = 0); a 90 fa corrispondere 1 (perché sen(90 ) = 1); a 180 fa corrispondere 0 (perché sen(180 ) = 1); a 270 fa corrispondere -1 (perché sen(270 ) = -1); e così via.

TRIGONOMETRIA E APPLICAZIONI MUSICALI 18 Il periodo delle funzioni seno e coseno Abbiamo già detto che i valori del seno e del coseno di un angolo non cambiano se a quest'angolo si somma un angolo di 360 gradi (ossia di 2 π radianti). In altre parole: sen(α) = sen(α + 360 ), cos(α) = cos(α + 360 ) oppure, nel caso in cui l'angolo α sia espresso in radianti: sen(α) = sen(α + 2π), cos(α) = cos(α + 2π) Ciò si esprime dicendo che il seno e il coseno sono due funzioni periodiche di periodo 360, oppure, se si preferisce, il seno e il coseno sono due funzioni periodiche di periodo 2π radianti. I grafici del seno e del coseno: la sinusoide e la cosinusoide Consideriamo un sistema di assi cartesiani in cui in ascissa sia riportata la misura degli angoli espressa in radianti. Sapendo che: 1) sen(0) = 0 π π 2) sen = 1 (poiché sen = sen(90 ) ) 2 2 3) sen π = 0 (poiché sen π = sen(180 ) ) 3 3 4) sen π = -1 (poiché sen π = sen(270 ) ) 2 2 5) sen(2 π) = 0 (poiché sen(2 π) = sen(360 ) ) Considerando anche tutti i valori intermedi, si può verificare che il grafico del seno (detto sinusoide) è il seguente: Analogamente, si può verificare che il grafico del coseno (detto cosinusoide) è il seguente: Si noti che la cosinusoide si differenzia dalla sinusoide solamente per una traslazione orizzontale: la cosinusoide appare come una sinusoide traslata di 2 π verso sinistra.

TRIGONOMETRIA E APPLICAZIONI MUSICALI 19 Confrontando la sinusoide e la cosinusoide solamente lungo il periodo da 0 a 2π, si può notare che la sinusoide ha la forma di una "S" rovesciata e coricata, mentre la cosinusoide è simile ad una coppa. Questa considerazione può essere un utile ausilio per la memorizzazione di questi due grafici. Applicazioni della trigonometria all'acustica Quest'ultimo argomento sarà solamente accennato, in quanto, un suo studio sistematico, benché sia di grande interesse dal punto di vista musicale, esulerebbe dagli obiettivi di questo breve corso. La funzione onda sinusoidale La funzione onda sinusoidale è la seguente: y(t) = A sen(2 π f t + φ ) (dove t rappresenta il tempo espresso in secondi). In questo paragrafo spiegheremo il suo significato dal punto di vista matematico e acustico. Premettiamo che il parametro "A" si chiama ampiezza, il parametro f si chiama frequenza e il parametro φ si chiama fase. Per spiegare il significato dei diversi parametri (e in particolare di "A") che appaiono nella funzione onda sinusoidale, cominciamo con un esempio più semplice: spieghiamo il significato della seguente funzione onda: y(t) = sen(t) Dato che "t" rappresenta il tempo espresso in secondi, questa funzione è una "legge" che, ad ogni istante temporale (ossia ad ogni valore di t) associa un numero: lo stesso numero che assocerebbe la funzione seno nel caso in cui "t" rappresentasse un angolo espresso in radianti. Praticamente, il grafico della funzione y = sen(t) è esattamente una sinusoide, anche se: 1) i valori di "t" rappresentano istanti temporali e non misure di angoli; 2) i valori delle ordinate rappresentano delle quantità fisiche (nel caso delle onde acustiche, rappresentano le oscillazioni della pressione atmosferica in conseguenza di un suono) e non l'ordinata di un dato punto P sulla circonferenza goniometrica.

TRIGONOMETRIA E APPLICAZIONI MUSICALI 20 Notare che, poiché il seno è una funzione periodica di periodo 2π, allora quest'onda rappresenta una quantità fisica che si ripete identicamente ogni 2π secondi. In altre parole, l'onda y(t) = sen(t) ha il periodo di 2π secondi. Si noti ancora che, poiché il seno è una funzione i cui valori sono compresi tra -1 e 1, questa particolare funzione onda (qualunque sia la sua interpretazione fisica) rappresenta una quantità fisica che varia tra -1 e 1 ogni 2π( = 6.28) secondi. Ampiezza Facciamo ora un esempio appena più complicato. Studiamo la funzione y(t) = 3 sen(t) π 3 In questo caso, se t =, allora la funzione vale 3, mentre se t = π, allora la funzione vale -3. 2 2 Il grafico è il seguente:

TRIGONOMETRIA E APPLICAZIONI MUSICALI 21 Si noti come questo grafico, benché sia simile alla sinusoide, rispetto ad essa, appaia "stirato verticalmente". Poiché i valori di quest'onda variano da -3 a 3, si dice che l'ampiezza dell'onda è uguale a 3. In generale: sia A un numero qualsiasi positivo (in realtà potrebbe essere anche negativo, ma preferiamo non complicare il discorso). Allora la funzione y(t) = A sen(t) è simile alla sinusoide, ma invece di oscillare da -1 ad 1, oscilla da -A ad A. Il numero A si chiama ampiezza dell'onda. Dal punto di vista grafico, l'ampiezza è la distanza tra l'asse x e un picco massimo della funzione. Se stiamo trattando un'onda sonora, l'ampiezza regola l'intensità del suono. Maggiore è l'ampiezza dell'onda e più forte il suono viene percepito. Frequenza Per spiegare il significato del parametro "f" nella funzione d'onda, consideriamo il seguente esempio: y(t) = sen(2 π t). Notiamo che: se.t = 0, la funzione è uguale a sen(2 π 0) = sen(0) = 0 se t = 4 1, la funzione è uguale a sen(2 π 4 1 ) = sen( 2 π ) = 1 se t = 2 1, la funzione è uguale a sen(2 π 2 1 ) = sen(π) = 0 se t = 4 3, la funzione è uguale a sen(2 π 4 3 ) = sen( 2 3 π) = -1 se t = 1, la funzione è uguale a sen(2 π 1) = sen(2 π) = 0 Per t maggiore di 1 i valori si ripetono, quindi questa è una funzione di periodo uguale ad un secondo. In altre parole, la grandezza fisica che la funzione rappresenta ripete gli stessi valori una volta al secondo. Si tratta perciò di un'onda di frequenza uguale ad 1 Hertz (o più brevemente 1 Hz).

TRIGONOMETRIA E APPLICAZIONI MUSICALI 22 Studiamo ora la funzione y(t) = sen(2 π 3 t). Notiamo che: se.t = 0, la funzione è uguale a sen(2 π 3 0) = sen(0) = 0 se t = 12 1, la funzione è uguale a sen(2 π 3 12 1 ) = sen( 2 π ) = 1 se t = 12 2, la funzione è uguale a sen(2 π 3 12 2 ) = sen(π) = 0 se t = 12 3, la funzione è uguale a sen(2 π 3 12 3 ) = sen( 2 3 π) = -1 se t = 12 4, la funzione è uguale a sen(2 π 3 12 4 ) = sen(2 π) = 0 Poi i valori si ripetono. Si ha quindi che, ogni 12 4 di secondo (ossia ogni 3 1 di secondo) l'onda si ripete identica. In altre parole, il periodo di quest'onda è 3 1 di secondo. Ma, se ad ogni 3 1 di secondo la funzione si ripete ciclicamente, allora, in un secondo, la funzione esegue tre cicli completi. Ciò significa che la frequenza della funzione è 3 Hz.

TRIGONOMETRIA E APPLICAZIONI MUSICALI 23 In generale, consideriamo la funzione y(t) = sen(2 π f t) dove f è un qualunque valore positivo (in realtà potrebbe essere anche negativo, ma preferiamo non complicare il discorso). Allora, ripetendo gli stessi ragionamenti precedenti, si ha un'onda che si ripete identicamente ad ogni f 1 di secondo e, contemporaneamente, in un secondo si ripete identicamente f volte. In altre parole, questa è una funzione di frequenza uguale ad f Hz e di periodo uguale ad f 1 di secondo. In definitiva: la frequenza di un'onda rappresenta il numero delle volte che la funzione si ripete identicamente in un secondo. Il periodo invece, rappresenta l'intervallo di tempo espresso in secondi in cui l'onda effettua un ciclo completo. Di solito il periodo si esprime con la lettera T. Si noti dagli esempi precedenti come periodo e frequenza sono l'uno l'inverso dell'altro (ad esempio, se la frequenza è 3, allora il periodo è uguale ad 3 1 ). La frequenza è dunque l'inverso del periodo (e, viceversa, il periodo è l'inverso della frequenza). Si hanno così le seguenti relazioni: f = T 1 o anche T = f 1

TRIGONOMETRIA E APPLICAZIONI MUSICALI 24 Se consideriamo un'onda sonora, la frequenza è il parametro che indica quanto un suono sia acuto o grave. Maggiore è la frequenza dell'onda sonora e più acuto è il suono. Esempio L'onda y(t) = sen(2 π 440 t) ha frequenza 440 Hz. Se quest'onda rappresenta un suono, esso corrisponde al La centrale del pianoforte (La del diapason). Fase Chiariamo infine il significato del parametro φ, studiando la funzione Notiamo che: y(t) = sen(t + 2 π ) se.t = 0, la funzione è uguale a sen(0+ 2 π ) = sen( 2 π ) = 1 se t = 2 π, la funzione è uguale a sen( 2 π + 2 π ) = sen(π) = 0 se t = π, la funzione è uguale a sen( π + 2 π ) = sen( 2 3 π) = -1 se t = 2 3 π, la funzione è uguale a sen( 2 3 π + 2 π ) = sen(2 π) = -1 se t = 2 π, la funzione è uguale a sen(2 π + 2 π ) = sen( 2 π ) = 0 Poi i valori si ripetono. Questa eguaglianza è dovuta al fatto che il seno è una funzione periodica di periodo 2π. (Si può notare che, in questo caso particolare, questa funzione coincide con il coseno).

TRIGONOMETRIA E APPLICAZIONI MUSICALI 25 Se consideriamo il grafico della funzione, notiamo che differisce dalla sinusoide per il fatto che appare traslata verso sinistra, cominciando con il valore 1 piuttosto che con lo zero. Quindi, in termini non rigorosi, possiamo dire che la fase è un numero che indica come comincia l'onda, ossia indica se all'istante zero la quantità fisica rappresentata dall'onda comincia con il valore zero o con un altro valore. Si notino gli esempi nelle due figure seguenti.

TRIGONOMETRIA E APPLICAZIONI MUSICALI 26 Dal punto di vista acustico, la fase non ha alcun effetto percettivo se si ascolta un'unica onda sinusoidale. Se però l'onda si somma ad altre onde, allora una differenza di fase può risultare percepibile all'udito. La fase ha una notevole influenza anche per la localizzazione della sorgente dei suoni (effetto Haas). Esempio La funzione y = 7 sen(2 π 880 t + 3 π ) è un'onda con ampiezza uguale a 7, frequenza uguale a 880 Hz e fase uguale a 3 π. Se questa è un'onda sonora, produce il La un'ottava sopra al La centrale del pianoforte. NOTA Le applicazioni della trigonometria alla musica sono molteplici e di grande importanza musicale. In realtà, la trigonometria sta alla base di tutte le tecniche di sintesi e di manipolazione dei suoni che si studiano nei corsi di musica elettronica ma, che, l'esiguità del tempo a nostra disposizione per questo corso, non ci permette di affrontare.