Fisica 2C 23 Gennaio 2007 ˆ Leggere attentamente il testo e assicurarsi di rispondere a tutto quanto viene chiesto; se vi sono dei dati numerici ció implica che la(o le)risposta dev essere anche numerica e non solo una formula ˆ Rispondere in modo chiaro e esauriente ma il piú possibile sintetico. Se si utilizza una relazione non precedentemente dimostrata precisarne contesto e validitá di applicazione. ˆ Chiedere eventualmente spiegazioni e chiarimenti sul testo se non lo si ritiene sufficientemente chiaro. ˆ Non saranno corrette, salvo casi eccezionali, brutte copie o elaborati difficilmente leggibili Esame completo: tutte le domande e i due problemi. Recupero parte 1 (solo per chi ha la prova 2 sufficiente): domande i),ii),iii) e problema 1. Recupero parte 2 (solo per chi ha la prova 1 sufficiente): domande iii),iv),v) e problema 2. Domande ˆ i) Una sbarretta di massa trascurabile e di lunghezza 3 l porta 3 masse uguali m.le masse sono disposte come in figura, cioé 2 agli estremi della sbarretta ed una a distanza 2l dall estremo di sinistra. La sbarretta puo ruotare in un piano orizzontale attorno ad un asse verticale passante per il punto A a distanza l dall estremo sinistro.i due estremi sono collegati a due molle di costante elastica k. Determinare la frequenza di oscillazione della sbarretta nell approssimazione di piccoli spostamenti dalla posizione di equilibrio. ˆ ii) Un disco circolare sottile ed omogeneo con raggio R é parzialmente svuotato con due fori circolari di raggio a < R/2 come da figura.i centri dei due fori sono equidistanti da O e situati da parte opposta sul diametro.la massa di tale sistema e M. Determinare il momento di inerzia del sistema rispetto ad un asse passante per il centro O e perpendicolare al piano del disco. ˆ iii) Un anello omogeneo di raggio interno R i e di raggio esterno R e e di massa M é libero di ruotare intorno ad un asse perpendicolare al piano dell anello e passante per il suo centro. Il disco ruota inizialmente in senso antiorario con velocita angolare costante ω o. Mediante un filo avvolto lungo la periferia dell anello viene applicata una forza orizzontale costante di modulo F a partire da un certo istante (t = 0). Determinare la velocita angolare dopo n giri completi. ˆ iv) Un sistema stellare binario é formato da due stelle di massa uguale e pari a quella del Sole M S 2.0 10 30 kg. Le due stelle si muovono rispetto al loro centro di massa e la loro distanza e pari a quella(media) Terra-Sole d T S 1.5 10 11 m. 1) qual é l orbita descritta? 2) quanto vale il periodo di rivoluzione? 1
ˆ v) Un fascio collimato parallelo di particelle α, momocromatico con energia cinetica di 1 M ev incide perpendicolarmente su un bersaglio costituito da una sottile foglia d oro (Z=79) che contiene n = 1.1 10 19 nuclei/cm 2. Determinare la frazione di particelle α diffuse ad angoli superiori a 60 o rispetto alla direzione incidente. Soluzione ˆ i) Poiche il moto e in un piano orizzontale non c é effetto della gravitá. Rispetto all asse perpendicolare al piano e passante per il punto A : dl dt = M e L = Iω e I = 2ml2 + m(2l) 2 = 6ml 2 Per piccole oscillazioni M = k(2l)θ(2l) k(l)θ(l) = 5kl 2 θ ˆ ii) Quindi 6ml 2 d2 θ dt 2 = 5kl2 θ da cui ω 2 = 5 6 k m Se il disco e omogeneo(densitá uniforme) il rapporto fra la massa del disco pieno e la massa del disco con i buchi é uguale al rapporto fra le relative aree : M pie = M R 2 2a 2 Il momento d inerzia I del disco forato e esprimibile come I = I pie 2I foro essendo I pie = 1 2 M pier 2 R2 e la densitá é σ = M pie πr 2 Il momento d inerzia di ogni dischetto di raggio a rispetto a un asse perperpendicolare passante per il suo centro é : I = 1 2 (πa2 σ)a 2 e per il teorema di Huygens il momento d inerzia rispetto all asse parallelo passante per O é, detta d la distanza del centro del foro da O : I foro = I + (πa 2 σ)d 2 = 1 2 (πa2 σ)(a 2 + 2d 2 ) Di qui I = 1 2 M pier 2 2 1 2 (πa2 σ)(a 2 + 2d 2 ) = 1 2 M R4 4a 2 d 2 2a 4 ˆ iii) R 2 2a 2 Applicare teorema della conservazione dell energia(solo cinetica in questo caso).il lavoro elementare compiuto dalla forza esterna é δl = M z (e) δθ e nel caso presente M z (e) = F R. Integrando su n giri completi si ha I = I e I i = 1 2 M er 2 e 1 2 M ir 2 i M e = πr 2 eσ, M i = πr 2 i σ, M = M e M i L = 2πn R e F = 1 2 Iω2 n 1 2 Iω2 o = 1 4 M(R2 e + R 2 i )(ω2 n ω 2 o) da cui ω 2 n = ω 2 o + ˆ iv) 8πF nr e M(R 2 e + R 2 i ) le due masse sono uguali quindi orbita circolare ;eccentricitá nulla. Massa ridotta : µ = m/2 = M S /2 equilibrio fra attrazione gravitazionale e forza centripeta ˆ v) G m2 r 2 = µω2 r da cui T = 2π ω = 2π r 3 2GM S Con r = d T S = 1.5 10 11 m, M S = 2.0 10 30 kg si ha T 2.23 10 7 s 259 giorni N N = n dσ dω dω = n 2π ( kzz e 2 4 2E ( ) 2 kzz e 2 6 = 2.1 10 3 N N = n 2π 4 2E ) 2 180 60 1 sin 4 (θ/2) sinθdθ 2
Problema 1 Si consideri il sistema formato da due masse m fissate su una sbarretta di massa trascurabile e lunghezza l connessa a sua volta a due molle identiche di costante elastica k. Il sistema é vincolato a muoversi(senza attriti)in un piano orizzontale e le masse m possono muoversi solamente lungo la direzione trasversa. Supporre pure di considerare solo piccoli spostamenti. 1. scrivere le equazioni del moto del sistema 2. determinare le pulsazioni dei modi normali di oscillazione del sistema 3. determinare la posizione dei nodi, cioé dei punti che hanno spostamento sempre nullo rispetto alla configurazione di equilibrio, corrispondenti ai due modi normali calcolati(determinare la distanza del nodo dall estremo sinistro dell asta). Soluzione 1. Con riferimento alle notazioni della figura e indicando co C il baricentro(coordinate x C, y C ) del sistema delle due masse, si ha x C = l 2, y C = y 0 + y l, tan θ θ = y 0 y C 2 l/2 = y C y l l/2 = y 0 y l l e quindi anche y 0 = y C + l 2 tan θ y C + l 2 θ; y l y C l 2 θ; y 2l y C 3l 2 θ Equazioni del moto(risultante forze esterne + momento delle forze rispetto a C)(attenzione al verso dell angolo!): 2m d2 y C dt 2 I C d 2 θ dt 2 = k(y 0 + y 2l ) = k(2y C lθ) = M est C 2m( l l 2 )2 θ = k(y0 2 y 3l 2l 2 ) = kl 2 ( 2y C + 5lθ) 3
In conclusione le equazioni del moto nelle variabili y C, lθ sono d 2 y C dt 2 = k m (y C lθ 2 ) = ω2 o(y C lθ 2 ) l d2 θ dt 2 = k m ( 2y C + 5lθ) = ωo( 2y 2 C + 5lθ) 2. Pulsazioni dei modi normali : y C = A cos(ωt + φ), lθ = B cos(ωt + φ). Equazione secolare ( ω 2 + ω 2 o) ω 2 o/2 2ω 2 o (ω 2 5ω 2 o) cioé : ω 4 6ω 2 oω 2 + 4ω 4 o = 0 che dá ω 2 = ω 2 o(3 ± 5) ω 2 1 = 5.24ω 2 o, ω 2 2 = 0.76ω 2 o 3. Nei modi normali : y C = A cos(ωt + φ), lθ = B cos(ωt + φ) ω = ω 1 ; ω 2. Dalle equazioni del moto Aω 2 = ω 2 o(a l 2 B) Bω 2 = ω 2 o( 2A + 5B) e quindi(ad es. dalla seconda equazione) A B = y C lθ = 5ω2 0 ω 2 Modo 1 : ω 2 1 = 0.76ω 2 0 Modo 2 : ω 2 2 = 5.24ω 2 0 ( yc ) lθ ) ( yc lθ 1 2 = 2.5 0.38 = 2.12 = 2.5 2.62 = 0.12 2ω 2 0 = 2.5 ω2 2ω 2 0 Il baricentro C ruota intorno a un punto che dista da C rispettivamente di : 2.12l e di 0.12l I nodi associati al modo 1 e al modo 2 sono quindi i punti che distano dall estremo sinistro dell asta(il quale dista da C di l/2) di : modo 1 : 2.12l + l/2 = 2.62l modo 2 : 0.12l + l/2 = 0.38l 4
Problema 2 Una ruota di automobile di raggio R e battistrada di larghezza d viene messa su un banco di prova e posta in rotazione con velocità angolare ω diretta lungo il mozzo della ruota e perpendicolare al piano della ruota stessa. Si osservano delle coppie spurie da esercitare lungo il mozzo per mantenere la ruota in rotazione con ω costante. Il tensore d inerzia, misurato a partire dai dati sperimentali, rispetto agli assi cartesiani, con l asse e 3 orientato lungo il mozzo della ruota, risulta essere: I 11 = I 22 I 33 = 2I 11 I 12 = I 13 = I 23 = I α con i termini fuori diagonale molto minori dei termini lungo la diagonale. 1. Qual è il lavoro necessario per porre la ruota in rotazione con ω costante? 2. Una piccola massa m viene posta sulla superficie esterna della ruota, quindi ad una distanza R dal mozzo e d/2 dal piano della ruota stessa, e si osserva che ora l asse e 3 è un asse principale di rotazione. Qual è il valore della massa m per cui si eliminano le coppie spurie? 3. Qual è ora il lavoro necessario per mettere in rotazione la ruota con velocità angolare costante ω? Soluzione 1. Il lavoro necessario per porre in rotazione intorno all asse e 3 la ruota e dato dalla variazione di energia cinetica. Nel nostro caso, si ha che: ω = ωe 3 T = 1 2 ωiω = 1 2 ω2 I 33 2. Il tensore di inerzia di una piccola massa m puntiforme è: I ij ρ[x] [ x 2 ] δ ij x i x j dx = m[x 2 δ ij x i x j ] V I 11 = m(y 2 + z 2 ) = m(y 2 + ( d 2 )2 ) I 22 = m(x 2 + z 2 ) = m(x 2 + ( d 2 )2 ) I 33 = m(x 2 + y 2 ) = mr 2 I 12 = mxy I 13 = mx d 2 I 23 = my d 2 E il tensore d inerzia complessivo è dato dalla somma dei due tensori. Visto che l asse e 3 è ora un asse principale di rotazione, i termini I 13 e I 23 sono nulli, cioè: I 13 = I α mx d 2 = 0 I 23 = I α my d 2 = 0 I α = mx d 2 = my d 2 2I 2 α = m 2 ( d 2 )2 (x 2 + y 2 ) = m 2 ( d 2 )2 R 2 m = 2 2 I α Rd 5
3. Come prima: T = 1 2 ωiω = 1 2 ω2 I 33 T = 1 2 ω2 (I 33 + mr 2 ) = 1 2 ω2 (I 33 + 2 2 RI α d ) 6