Collegamento di resistenze Resistenze in serie Vogliamo calcolare la resistenza elettrica del circuito ottenuto collegando tra loro più resistenze in serie. Colleghiamo a una pila di forza elettromotrice f.e.m. tre resistenze in serie come illustrato in figura. Ciascuna resistenza è percorsa dalla stessa corrente. Se una resistenza elettrica si interrompe, il circuito si apre e in esso non passa più corrente. La differenza di potenziale tra A e D è data dalla somma delle differenze di potenziale ai capi di i? V R 3 A B C D AD? V? V? V AB BC CD f.e.m. ciascuna resistenza: V AD = V AB + V BC + V CD = i + i + R 3 i = ( + + R 3 ) i. Quindi le tre resistenze in serie si comportano come un unica resistenza equivalente R e di valore pari alla loro somma: R e = + + R 3 Se invece di tre si ha un numero qualsiasi di resistenze la regola precedente si generalizza nel seguente modo: La resistenza equivalente di più resistenze collegate in serie è data dalla somma di ciascuna di esse. Resistenze in parallelo Colleghiamo ora tre resistenze in parallelo. Le estremità delle resistenze in cui entrano le correnti sono collegate tra loro e formano il nodo A. Così pure le estremità da cui escono le correnti sono collegate tra loro e formano il nodo B. In questo modo le resistenze si trovano alla stessa differenza di potenziale: V AB = V = V 2 = V 3. Nel nodo A la corrente i prodotta dal generatore si suddivide nelle correnti uscenti i, i 2, i 3 che passano nelle resistenze. Osserviamo che deve valere la relazione: i i i 2 i 3 = 0, ossia la somma delle correnti entranti in un nodo e delle correnti uscenti è nulla ( Legge dei nodi ). Se infatti così non fosse, poiché la corrente è definita come la quantità di carica che attraversa la sezione di un conduttore nell unità di tempo, avremmo un accumulo o una diminuzione della carica nel nodo, contraddicendo in tal modo il principio di conservazione della carica elettrica. Le correnti che attraversano ciascuna resistenza sono: ; ; i = i 2 = i3 =. Inoltre, se R R2 R3 sostituiamo al gruppo delle tre resistenze un unica resistenza equivalente R e vale la relazione: i = e, poiché i = i + i 2 + i 3 possiamo scrivere: = + +. Re Re R R2 R3 Semplifichiamo entrambi i membri per V AB e otteniamo: = + +. R e R 3 Osserviamo che, contrariamente a quanto accade nel collegamento in serie, la resistenza equivalente di più resistenze in parallelo è minore di ciascuna resistenza. Se invece di tre si ha un numero qualsiasi di resistenze la regola precedente si generalizza nel seguente modo: l inverso della resistenza equivalente di più resistenze collegate tra loro in parallelo è data dalla somma degli inversi di ciascuna resistenza.
2 Esempio - Calcolo della resistenza equivalente di collegamenti di resistenze in serie e in parallelo Date tre resistenze: = 5,0 Ω, = 20,0 Ω, R 3 = 30,0 Ω, vogliamo calcolare la resistenza equivalente R e rispettivamente: a) nel collegamento in serie delle resistenze; b) nel loro collegamento in parallelo. Un generatore con f.e.m. = e resistenza interna trascurabile alimenta ciascun collegamento. Vogliamo determinare la caduta di potenziale ai capi di ogni resistenza nel collegamento in serie, e l intensità della corrente che circola in ogni resistenza nel collegamento in parallelo. Scriviamo i dati del problema Valori delle resistenze: = 5,0 Ω, = 20,0 Ω, R 3 = 30,0 Ω. Forza elettromotrice del generatore: f.e.m. = Incognite Resistenza equivalente R e nel collegamento in serie delle tre resistenze. Resistenza equivalente R e nel loro collegamento in parallelo. Le cadute di potenziale ai capi di ciascuna resistenza nel collegamento in serie: V, V 2, V 3. L intensità della corrente in ogni resistenza nel collegamento in parallelo: i, i 2, i 3. Analisi e soluzione Collegamento in serie: R e = 5,0 Ω + 20,0 Ω + 30,0 Ω = 65,0 Ω. 9,0 Collegamento in parallelo: = + + = ; otteniamo quindi: 5,0 Ω 20,0 Ω 30,0 Ω 60,0 Ω R e 60,0 Ω R e = = 6, 7Ω. 9,0 Per calcolare la caduta di potenziale in ogni resistenza nel collegamento in serie, calcoliamo dapprima la f. e. m. corrente che passa nelle resistenze: i = = = 2,0 A. Otteniamo quindi: Re 65,0 Ω V = i = 5,0 Ω 2,0 A = 30,0 V; V 2 = i = 20,0 Ω 2,0 A = 40,0 V; V 3 = R 3 i = 30,0 Ω 2,0 A = 60,0 V. La somma delle cadute di potenziale nelle tre resistenze è pari alla f.e.m. del generatore. Calcoliamo ora le correnti che passano nelle resistenze collegate in parallelo: i = = 8,6 A ; i 2 = = 6,5 A ; i 3 = = 4,3 A. 5,0Ω 20,0 Ω 30,0 Ω La somma delle tre correnti è di 9,4 A, valore uguale alla corrente erogata dal generatore: i = = 9,4 A. 6,7 Ω Collegamento misto Le resistenze possono essere collegate anche in altri modi: per esempio, nel caso di tre resistenze, si possono collegare in serie alla prima le altre due in parallelo tra di loro, R2 come illustrato in figura. Per ottenere la resistenza equivalente dobbiamo dapprima calcolare la resistenza equivalente -3 del R parallelo tra e R 3 mediante la formula = +. Quindi R 3 3 R 3 determiniamo la resistenza equivalente del collegamento in serie tra e -3 : R e = -3 +. Se invece e R 3 sono in serie tra loro e in parallelo con come mostrato in figura, per calcolare la resistenza equivalente del sistema dobbiamo determinare la resistenza equivalente -3 della serie tra e R 3 con la formula -3 = + R 3, quindi calcolare la resistenza equivalente del R 3
3 parallelo tra e -3 : = +. Il valore della resistenza equivalente R e è dato dall inverso del R e 3 risultato della precedente relazione. Gli strumenti che misurano la differenza di potenziale e l intensità di corrente Lo strumento che misura la differenza di potenziale tra due punti, A e B, di un circuito elettrico è il voltmetro, il cui simbolo utilizzato negli schemi elettrici è: I morsetti del voltmetro sono contrassegnati rispettivamente dal segno + (positivo) e dal segno (negativo). Il voltmetro deve essere inserito in parallelo rispetto al ramo del circuito compreso tra i due punti A e B in modo che il morsetto positivo sia collegato al punto del circuito a potenziale maggiore, mentre il morsetto negativo va collegato al punto a potenziale minore.. La resistenza del voltmetro deve essere elevata, in modo che la corrente che lo attraversa sia trascurabile rispetto alla corrente del circuito e non vengano alterate le caratteristiche del circuito stesso. Lo strumento che misura l intensità di corrente è l amperometro, il cui simbolo è: I morsetti dell amperometro sono contrassegnati rispettivamente dal segno + e dal segno ; esso deve essere inserito in serie nel circuito per poter essere attraversato dalla corrente che deve misurare. Il morsetto positivo viene collegato al punto del circuito a potenziale maggiore, mentre il morsetto negativo al punto a potenziale minore.. La resistenza interna dell amperometro deve essere molto piccola in modo che la caduta di potenziale ai capi della propria resistenza interna sia trascurabile rispetto alla differenza di potenziale applicata al circuito.
Collegamenti di resistenze nel quotidiano L illuminazione dell albero di natale o del presepe, o del profilo di monumenti, sono esempi del collegamento in serie di resistenze elettriche. Un filo che illumina l albero di Natale è formato da un certo numero di lampadine collegate in serie. La somma delle differenze di potenziale applicate a ogni lampadina dà il valore della tensione a cui è alimentato l intero circuito. Se però una lampadina si brucia, il circuito si apre e tutte quante le lampadine si spengono. Per ovviare a questo fatto, in parallelo a ogni lampadina è collegata una resistenza (shunt) che interviene evitando l interruzione del circuito. Il circuito elettrico domestico (rete domestica) è un esempio di collegamento in parallelo di più utilizzatori. Dal contatore che misura l energia utilizzata dall impianto, si diramano i fili conduttori che raggiungono le varie stanze della casa. Collegati in parallelo a questi fili conduttori sono poste le prese elettriche fissate nei muri. A queste prese vengono inserite le spine dei vari elettrodomestici che risultano così collegati in parallelo alla comune differenza di potenziale di 220 V. Lo spegnimento di uno qualunque degli elettrodomestici non interrompe il funzionamento degli altri. 4
5 Verifiche di comprensione. Qual è la caratteristica della corrente che percorre più resistenze collegate in serie? 2. Che cosa succede se una delle resistenze in serie si interrompe? 3. Da che cosa è data la differenza di potenziale totale ai capi delle resistenze in serie? 4. Come si calcola la resistenza equivalente di più resistenze collegate in serie? 5. Come si effettua il collegamento di più resistenze in parallelo? 6. Come sono le differenze di potenziale delle resistenze collegate in parallelo? 7. Che cosa afferma la legge dei nodi? 8. Come si calcola l inverso della resistenza equivalente di più resistenze in parallelo? 9. Qual è lo strumento che misura la differenza di potenziale tra due punti di un circuito elettrico? 0. Qual è lo strumento che misura l intensità di corrente?. Come si inserisce in un circuito un voltmetro? 2. Come si inserisce in un circuito un amperometro? 3. Come deve essere la resistenza interna del voltmetro e perché? 4. Come deve essere la resistenza interna dell amperometro e perché? 5. Descrivi un esempio di realizzazione del collegamento di più resistenze in serie. 6. Come sono collegati gli elettrodomestici all impianto elettrico? 7. A che cosa serve l interruttore elettromeccanico in un circuito elettrico? 8. A che cosa serve l interruttore differenziale in un circuito elettrico? Verifiche di conoscenza. La resistenza equivalente di più resistenze collegate in serie è: a. maggiore di ciascuna resistenza b. minore di ciascuna resistenza c. uguale alla resistenza maggiore d. può essere minore o maggiore delle resistenze collegate, in base al loro valore 2. La resistenza equivalente di più resistenze collegate in parallelo è: a. maggiore di ciascuna resistenza b. minore di ciascuna resistenza c. uguale alla resistenza maggiore d. può essere minore o maggiore delle resistenze collegate, in base al loro valore 3. Se più resistenze sono collegate in serie, le cadute di potenziale di ciascuna resistenza sono: a. uguali tra loro b. uguali alla differenza di potenziale applicata al gruppo delle resistenze c. direttamente proporzionali alla rispettiva resistenza d. inversamente proporzionali alla rispettiva resistenza 4. Le correnti che attraversano delle resistenze collegate in parallelo sono: a. uguali tra loro e pari alla corrente totale divisa per il numero delle resistenze b. uguali tra loro e dello stesso valore della corrente totale c. direttamente proporzionali alla rispettiva resistenza d. inversamente proporzionali alla rispettiva resistenza 5. Se si collegano due resistenze a una pila, in quale situazione la corrente che attraversa la pila è maggiore? a. nel collegamento in serie in quanto la corrente non deve dividersi in più rami b. nel collegamento in parallelo perché la resistenza di questo è minore del collegamento in serie c. poiché le resistenze sono le stesse, la corrente è la stessa rispetto ai due tipi di collegamento d. dipende dal rapporto tra le resistenze 6. La legge dei nodi afferma che a. la somma del numero delle correnti che entrano in un nodo è uguale alla somma del numero delle correnti che escono b. la somma delle correnti che entrano in un nodo è uguale alla somma delle correnti che escono c. la somma del numero delle correnti che attraversano un nodo è zero 7. In quale caso si ha il cortocircuito? a. quando un utilizzatore è troppo vicino al generatore per cui la corrente possiede tutta la sua efficacia e può danneggiarlo b. quando il filo di fase entra direttamente in contatto con il filo neutro
6 c. quando un generatore eroga una potenza insufficiente per poter far funzionare gli utilizzatori collegati, per cui il circuito si interrompe Problemi. Una pila con f.e.m. di 2,0 V alimenta un circuito costituito da tre resistenze collegate in serie. I valori delle resistenze sono rispettivamente: = 0,0 Ω, = 2,0 Ω, R 3 = 8,0 Ω. Calcola la resistenza equivalente del circuito, la corrente che passa nelle tre resistenze e la caduta di potenziale in ogni resistenza. 2. Le tre resistenze: = 20,0 Ω; = 75,0 Ω; R 3 = 50,0 Ω, sono collegate tra loro in parallelo e soggette alla differenza di potenziale di 300,0 V. Calcola la resistenza equivalente del circuito, l intensità totale della corrente e l intensità in ogni resistenza. 3. Una differenza di potenziale di 220 V alimenta 22 lampadine collegate in serie. Ogni lampadina ha una resistenza interna di 2,5 Ω. Calcola la corrente che circola nelle lampadine e la differenza di potenziale ai capi di ciascuna lampadina. 4. La differenza di potenziale applicata a tre resistenze in serie vale 48,0 V e la corrente che le attraversa è di 0,2 A. Sapendo che la prima resistenza vale 00 Ω, la seconda 60 Ω, quanto vale la terza resistenza? 5. Tre resistenze sono collegate in serie e due di esse valgono rispettivamente: = 2,0 Ω; = 8,0 Ω. La differenza di potenziale applicata alla prima resistenza,, è di 7,20 V. Calcola la differenza di potenziale ai capi di e il valore della terza resistenza sapendo che la differenza di potenziale ai capi dell intero circuito è di 24,0 V. 6. Consideriamo quattro resistenze collegate in parallelo tra loro: = 50,0 Ω; = 75,5 Ω; R 3 = 64,0 Ω; R 4 = 42,5 Ω. La differenza di potenziale ai capi del collegamento è di 50,0 V. Calcola la resistenza equivalente delle quattro resistenze e l intensità di corrente in ciascuna di esse. 7. Una resistenza di 0,0 Ω è collegata in serie a due resistenze rispettivamente di 24,0 Ω e di 6,0 Ω collegate tra loro in parallelo. Il circuito è alimentato da una pila di f.e.m. pari a 98,0 V. Calcola la resistenza equivalente del circuito, l intensità della corrente erogata dalla pila e l intensità delle correnti che passano attraverso le due resistenze in parallelo. 8. Determina la resistenza da collegare in parallelo a una resistenza di 240 Ω in modo da ottenere una resistenza equivalente di 80 Ω. 9. Determina quante resistenze da 60,0 Ω occorre collegare in parallelo a una pila la cui f.e.m. vale 240 V, affinché la corrente totale sia di 2 A.