Apput d Statstca Socal Uvrstà Kor d Ea IDICI DI POSIZIOE O DI TEDEZA CETRALE Gl dc d poszo, o d tdza ctral, soo umr ch sprmoo la sts umrca d ua dstrbuzo ( ) statstca smplc d ua varabl X. I valor ossrvat possoo ssr dstrbut pr:. utà;. modaltà;. class. Gl dc d poszo pù ot soo:. la moda;. la mdaa; 3. la mda artmtca. Data ua dstrbuzo d valor ossrvat o smpr è ammssbl calcolar tutt tr gl dc d poszo. Ifatt, la sclta dll dc d tdza ctral doo a dscrvr ua dstrbuzo d valor dpd dalla atura (qualtatva o quattatva) d dat dalla scala d msura adottata l procsso d msurazo. Solo quado dat soo d atura quattatva qud msurat almo su ua scala d trvall, s possoo calcolar tutt tr gl dc d tdza ctral. La dffrza prcpal tra gl dc rsd l loro dvrso cotuto formatvo. Gl dc soo qu d sguto lcat ord crsct d capactà formatva: la moda è l uco dc d tdza ctral ch s può smpr calcolar, ovvro a partr da dat msurat su scala omal; la mdaa s può calcolar pr dat msurat almo su scala ordal; la mda s può calcolar solo pr dat quattatv, msurat su scala almo a trvall. LA ODA: Utà: è l valor dlla varabl X ossrvato l maggor umro d volt; odaltà: è la modaltà,, d X co la massma frquza,. Class: è la class, dtta modal, a cu corrspod la frquza massma. Quado l class hao ampzza dvrsa, la class modal è qulla a cu corrspod la massma dstà, d. È cssaro calcolar la quattà d pr tutt l class: d f o d a a qud dvduar la class modal cu corrspod ma(d ). La moda d ua dstrbuzo o è cssaramt uca. S la dstrbuzo statstca è carattrzzata da:. u uca moda, la dstrbuzo s dc umodal;. du o pù valor modal, la dstrbuzo s dc plurmodal. Doct: Fabo Allo A.A. 00/
Apput d Statstca Socal Uvrstà Kor d Ea EDIE LASCHE: Soo qull md la cu dvduazo s basa sulla poszo occupata da uo o pù dgl trm dlla dstrbuzo ordata d X. La pù ota tra qust è la mdaa. Codzo prlmar è ch la sr d valor ossrvat sa ordata ua graduatora, sso almo o dcrsct, tal ch: [] La poszo occupata da u ossrvazo so alla graduatora s chama rago d è u umro ordal. LA EDIAA ( ): La mdaa, d ua dstrbuzo d valor d X, è l valor ch bpartsc la graduatora [], modo da lascar alla propra sstra alla propra dstra lo stsso umro d trm (,,, ). Qusto sgfca ch è u barctro, co l 50% d valor alla sua a sstra l rstat 50% alla sua dstra. La procdura pr dtrmar la mdaa vara rlazo alla tpologa dlla dstrbuzo statstca cosdrata alla umrostà dll ossrvazo. A tal proposto, è mportat rcordar ch: - prma, s dtrma la poszo occupata dalla mdaa, so alla graduatora, po s dvdua la mdaa; - la poszo occupata dalla mdaa s dtrma modo dvrso, a scoda ch sa dspar o par. Vdamo com s dtrma la, a partr da ua dstrbuzo pr utà. Caso : ~ utà:. dspar la mdaa è qul valor ossrvato d X tal ch: + a. ha poszo mdaa lla graduatora par a, da cu b. +. par la mdaa covzoal appart ad u trvallo dfto da: a. du poszo mda, +, da cu + + b., è l trvallo mdao. + Esmpo: X umro d ms trascors dal momto dlla laura a qullo dl prmo mpgo; utà statstch (u.s.) laurat dlla Kor szo succssv; 8, umro d utà statstch; ossrvazo, pr,, 8: {4, 5, 0,, 4,, 6, 7, 7, 0, 0, 0, 3, 0, 4, 5, 6, 7}. pr calcolar la mdaa dlla dstrbuzo pr utà è cssaro aztutto ordar sso almo o dcrsct l ossrvazo, assgado a cascua d ss l propro rago, r : Doct: Fabo Allo A.A. 00/
Apput d Statstca Socal Uvrstà Kor d Ea :,, 4, 7, 7, 7, 0, 0, 0, 0, 0, 3, 4, 4, 5, 5, 6, 6 rago:,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0,,, 3, 4, 5, 6, 7, 8 è par, qud: + 0 + 0 pr cu: ( 9) 0 ; ( 0) 0 ; 0. + Caso : ~ modaltà: C s comporta acora modo dvrso a scoda d par o dspar. S dvdua la poszo occupata dalla modaltà mdaa d X, facdo rfrmto alla coloa dll frquz cumulat assolut,, o rlatv, F. La mdaa è, pr: - dspar, la pù pccola modaltà, la cu frquza cumulata è: + - par, la pù pccola modaltà la cu frquza cumulata soddsfa ua sola dll sgut codzo:. > ach +. oppur + allora: I [ -, ] +. Esmpo : usamo la sgut dstrbuzo d frquza pr modaltà: Caso 3: ~ class: f F 0,04 0,04 0,04 0,084 4 0,04 3 0,6 7 3 0,4 6 0,50 0 5 0,08 0,458 3 0,04 0,500 4 0,083 4 0,583 5 0,083 6 0,666 6 0,083 8 0,749 3 0,04 9 0,79 4 0,04 0 0,833 7 0,083 0,96 3 0,04 3 0,958 3 0,04 4 Total 4 La class mdaa (cm ) può ssr dvduata du mod quvalt, o grafcamt, o aaltcamt. Grafcamt è suffct costrur l stogramma, podo sull ordat l frquz rlatv cumulat, F ; succssvamt s tracca la parallla all ass dll ascss, passat pr l puto d Doct: Fabo Allo A.A. 00/ 3
Apput d Statstca Socal Uvrstà Kor d Ea ordata F 0.5. La cm è qulla a cu corrspod la prma barra dll stogramma trscata dalla rtta. Aaltcamt s dvoo sgur sgut pass:. s calcola, sa pr dspar ch pr par;. s dvdua la cm com qulla assocata alla pù pccola ; 3. s dtrma la scodo l pots dll stogramma, a partr dalla cm [ -, ]. L pots dll stogramma assum l uform dstrbuzo dll frquz og class, pr cu la frquza è proporzoal all trvallo cosdrato: Ara(cm ) : a(cm ) Ara[ -, ] : a[ -, ] L ara (la frquza) dlla cm sta alla bas (l ampzza) dlla cm com l ara comprsa tra strmo fror dlla cm mdaa sta alla sua bas (l sgmto d ampzza - ), dov:. Ara(cm ) frquza d cm ;. a(cm ) ampzza d cm - ; 3. Ara[ -, ] ; 4. a[ -, ]. Sosttudo: : ( ) : ( ) d splctado rsptto a : ( ) +. Esmpo 3: X rddto da lavoro dll famgl dlla provca d Ea utà statstch (u.s.) famgl rsdt provca d Ea; : rddto dlla -sma famgla. Dstrbuzo d frquza pr class: - (uro) f F 0.000 0,0 0,0.000.000 0,0 0,03.000 3.000 0,03 0,06 3.000 4.000 0,04 0,0 4.000 5.000 0,05 0,5 5.000 6.000 0,05 0,0 6.000 7.000 0,05 0,5 7.000 8.000 0,5 0,40 8.000 9.000 0,6 0,66 9.000 0.000 0,5 0,9 0.000.000 0,08 0,99.000.000 0,0 Doct: Fabo Allo A.A. 00/ 4
Apput d Statstca Socal Uvrstà Kor d Ea ALTRI IDICI DI POSIZIOE QUATILE: è u valor ch bpartsc la graduatora (), modo da lascar ua crta porzo d trm alla sua sstra la rstat part alla sua dstra. S possoo calcolar u umro dtrmato d quatl. Soo dc d poszo aalogh alla mdaa. I pù comu soo: quartl (Q ); dcl (d ); prctl (p ). QUARTILI: I quartl soo 3:. Q : ¼ d trm a sstra ¾ a dstra;. Q : ½ a sstra ½ a dstra; 3. Q 3 : ¾ a sstra ¼ a dstra. Caso : ~ utà o modaltà: luogo dlla dstrbuzo ossrvata d u.s. s dtrma ua uova, *, sml a ssa, modo ch * sa cotmporaamt multplo d d 4. S cofrotao valor dll frquz cumulat pr la uova dstrbuzo * co: *. 4 pr Q ; *. pr Q ; 3 * 3. 4 pr Q 3. Caso : ~ class: s procd modo aalogo a qullo vsto pr la dtrmazo dlla. Prma s dvdua la class cu cad cascu quartl po l valor bas all pots dll stogramma alla ota proporzo: Ara(Q ) : a(q ) Ara[ -, Q ] : a[ -, Q ]. DECILI: soo 9. Il prmo (d ) bpartsc la dstrbuzo modo da lascar /0 d trm alla sua sstra rstat 9/0 alla sua dstra. S procd modo aalogo al calcolo d quartl, s cosdra qud ua uova dstrbuzo, tal ch * sa multplo d d 0. Ioltr: d 5 PERCETILI: soo 99. Il prmo (p ) bpartsc la dstrbuzo modo da lascar /00 d trm alla sua sstra rstat 99/00 alla sua dstra. PROPRIETÀ DELLA EDIAA. La somma d valor assolut dgl scart d valor ossrvat dalla mdaa è u mmo, rsptto alla somma d valor assolut dgl scart d valor ossrvat da u qualsas altro valor: m. La mdaa o è afftta dalla prsza d valor aomal (o outlr). Doct: Fabo Allo A.A. 00/ 5
Apput d Statstca Socal Uvrstà Kor d Ea LA EDIA ARITETICA Ua mda è u dc ch sprm ua sts d ua dstrbuzo statstca smplc. Dfzo d Chs: Data ua dstrbuzo smplc d valor,,,,,, ua mda è la quattà μ (o, caso d campo) ch, s sosttuta a cascu trm dlla dstrbuzo, lasca altrato l rsultato dll applcazo dlla fuzo f( ) a trm dlla dstrbuzo stssa: f(,,,,, ) f(μ, μ,, μ). Il tpo d mda camba al varar dlla fuzo applcata a dat. Così, s:. f( ) Σ( ) è la somma, allora: f (,,,,, ) + + + + + f(μ, μ,, μ,, μ) μ+μ+ +μ+ +μ μ l du quattà soo ugual pr dfzo, qud: Esmpo 4: μ μ.,, 4, 7, 7, 7, 0, 0, 0, 0, 0, 3, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 3, 4, 7, 7, 3, 3 4, 345 345 μ 4,375. 4 Quado s ha ua dstrbuzo d valor pr utà, com l caso sopra rportato, l umrator è la somma d tutt l ossrvazo, la mda μ è la mda artmtca smplc. Quado, vc, s ha ua dstrbuzo d frquza pr () modaltà l umrator è la somma d prodott dll modaltà pr l rspttv frquz, la mda μ è la mda artmtca podrata: μ K K. f( ) Π( ) è l prodotto, allora: μ μ μ μ μ da cu s ott la mda gomtrca pr utà: μ g la mda gomtrca pr () modaltà: μ g Doct: Fabo Allo A.A. 00/ 6
Apput d Statstca Socal Uvrstà Kor d Ea f f f dato ch: f μg. 3. f( ) è la somma d quadrat, allora: ( ) +( ) + +( ) + +( ) μ + μ + + μ + + μ μ da cu s ott la mda quadratca pr utà: la mda quadratca pr () modaltà: q K K q f PROPRIETÀ DELLA EDIA ARITETICA. Uctà smplctà: pr u dato sm d ossrvazo sst ua d ua sola mda artmtca.. La somma algbrca dgl scart dll ossrvazo dallo loro mda μ è ugual a zro: 0 ( μ) μ ( ). La somma d quadrat dgl scart dll ossrvazo dalla loro mda è u mmo rsptto alla somma d quadrat dgl scart dll da ua qualsas altro valor: ( μ) m L ultma è ua dll proprtà pù mportat dlla mda, prché garatsc la qualtà dll dc d varabltà assocato alla mda artmtca. Qusta quattà è ota com dvaza. U lmt dlla mda artmtca rsd l fatto ch è afftta da valor aomal o outlrs. Doct: Fabo Allo A.A. 00/ 7