Esercitazione 7 Marzo 06 Viki Nellas Esercizio : Rendimenti di scala Determinare i rendimenti di scala delle seguenti funzioni di produzione: a) q + b) q c) q ( L + K) d) q αy Soluzione I rendimenti di scala indicano come varia il livello di produzione a seguito di una variazione equiproporzionale di tutti gli input. Vediamo quindi come varia q se facciamo variare entrambi i fattori nella proporzione λ(cioè lambda volte il valore vecchio). a) f ( λ, λ ) ( λ ) + ( λ ) λ ( ) + λ λq + Quindi questa funzione ha rendimenti di scala costanti, perché moltiplicando entrambi i fattori per λ f λ, λ ) si ottiene esattamente λ volte il livello di produzione iniziale ( λ q ). ( ( ) ( ) λ λ b) f ( λ λ ) λ λ λ λ, q Poiché λ è inferiore a λ (per definizione λ > visto che stiamo guardando un aumento dei fattori di produzione) ovvero <, la funzione presenta rendimenti di scala decrescenti: ad un aumento equiproporzionale degli input, corrisponde un aumento meno che proporzionale dell output. c) f ( λ L, λk ) ( λl + λk) λ ( L + K) λq Questa funzione di produzione ha rendimenti costanti. λ, λ α ( λ )( λ ) αλ λ λ α λ. > rendimenti crescenti di scala. d) f ( y) y y y q
Esercizio : produzione Data la funzione di produzione Y / / ) calcolare la produttività marginale e media dei fattori produttivi; ) derivare la funzione del generico isoquanto associato alla funzione di produzione e calcolarne il saggio marginale tecnico di sostituzione; ) descrivere i rendimenti di scala di tale tecnologia. Soluzione ) La produttività marginale dei fattori indica di quanto varia il livello di produzione in corrispondenza di una variazione nella quantità impiegata del fattore stesso. Un singolo fattore produttivo può avere produttività marginale crescente, costante o decrescente. La produttività marginale si calcola derivando la funzione di produzione rispetto ai singoli fattori produttivi. Si avrà quindi ' Y P ' Y P La produttività media di un fattore produttivo indica la quantità di output ottenuta per unità di input ed è pari al rapporto tra prodotto totale e quantità impiegata di un singolo fattore produttivo Y PM Y PM
) Un isoquanto è una curva che mostra tutte le possibili combinazioni dei fattori produttivi che permettono di ottenere uno stesso livello di prodotto. La funzione del generico isoquanto si ottiene partendo dalla funzione di produzione ed esprimendo un fattore in funzione dell altro. Deriviamo quindi l equazione dell isoquanto rispetto ad Y / / / Y / / Y / con 0 La pendenza dell isoquanto è rappresentata dal saggio marginale tecnico di sostituzione. Tale misura indica il livello di sostituibilità tra i fattori consentito dalla tecnologia a disposizione dell impresa. Ci dice, quindi, in che misura è possibile sostituire un fattore produttivo con un altro per ottenere lo stesso livello di prodotto. Il SMTS si ottiene come rapporto tra le produttività marginali dei fattori: SMTS Y P', P' Y ) I rendimenti di scala rappresentano la misura con cui l output cresce al crescere dei fattori produttivi impiegati. Un processo produttivo presenta rendimenti di scala costanti, crescenti o decrescenti a seconda che l ammontare totale di prodotto cresca rispettivamente in modo proporzionale, più che proporzionale o meno che proporzionale rispetto al maggior impiego di tutti i fattori. In questo caso si avrà Y (k ) / ( k ) / k / / ky Esercizio Data la funzione di produzione:, e i prezzi dei fattori w 4 e r 6 a) Calcolare prodotto medio e marginale dei due fattori b) Determinare l equazione dell isoquanto di produzione c) Calcolare il saggio marginale di sostituzione tecnica d) Dimostrare analiticamente quale tipo di rendimenti di scala presenta la funzione di produzione
Soluzione a) Calcolare prodotto medio e marginale dei due fattori Prodotto medio Prodotto marginale b) Determinare l equazione dell isoquanto di produzione 4 4 c) Calcolare il saggio marginale di sostituzione tecnica d) Dimostrare analiticamente quale tipo di rendimenti di scala presenta la funzione di produzione La funzione di produzione è di tipo Cobb-Douglas; per sapere di che tipo sono i rendimenti di scala basta guardare alla somma degli esponenti dei fattori di produzione: rendimenti di scala costanti. In alternativa, basta moltiplicare ciascun fattore per una costante t >0 e verificare se l output risulta maggiore, minore o uguale a tq:!,!!!!!!! essendo!,!! i rendimenti di scala sono costanti
Esercizio 4 Date le seguenti funzioni di produzione: (), (), # $ # (), $ (4),min, a) Spiegate in cosa consiste il concetto di rendimenti di scala b) Determinare se ciascuna funzione di produzione è caratterizzata da rendimenti di scala costanti, crescenti o decrescenti. Calcolare inoltre, per ogni funzione, il prodotto marginale di ciascun fattore di produzione. Soluzione a) I rendimenti di scala (r.d.s.) sono una proprietà tecnica di lungo periodo della funzione di produzione (f.d.p.) che descrive la relazione tra scala ed efficienza. In altre parole, essi evidenziano in che modo varia l output al variare di tutti gli input in una stessa proporzione: se tutti gli input aumentano nella stessa proporzione e si osserva un aumento equi-proporzionale, meno che proporzionale oppure più che proporzionale dell output, allora si hanno rispettivamente rendimenti di scala costanti, decrescenti oppure crescenti. Operativamente, per verificare i r.d.s. di una f.d.p. occorre moltiplicare tutti gli input per una medesima costante positiva t e confrontare il risultato con tq(l;k). Avremo tre casi: I) tf(l;k) F(tL;tK) aumento dell output EQUI-PROPORZIONALE, quindi r.d.s. COSTANTI; II) tf(l;k) > F(tL;tK) aumento dell output MENO che proporzionale quindi r.d.s. DECRESCENTI; III) tf(l;k) < F(tL;tK) aumento dell output PIU che proporzionale quindi r.d.s. CRESCENTI. b) Determinare se ciascuna funzione di produzione è caratterizzata da rendimenti di scala costanti, crescenti o decrescenti. Calcolare, inoltre, per ogni funzione, il prodotto marginale di ciascun fattore di produzione. () )*+;-.+.-.+ - Questa f.d.p. di tipo additivo indica una relazione di perfetta sostituibilità tra il fattore lavoro (L) e il
fattore capitale (K). La mappa degli isoquanti è composta da rette parallele e la combinazione ottima dei fattori di produzione prevede l impiego di uno solo degli input. Per verificare i r.d.s. si moltiplicano entrambi i fattori per una costante positiva t e si controlla se il risultato è maggiore, minore o uguale a t*q(l;k). Avremo allora: F(tL;tK)(tL+tK) t(l+k)tf(l;k) rendimenti di scala costanti Calcoliamo le produttività marginali dei fattori produttivi, derivando la f.d.p. prima rispetto a L e poi rispetto a K: () )*+;-+ /.- 0. Questa f.d.p. di tipo Cobb-Douglas indica una relazione di parziale sostituibilità tra il fattore lavoro (L) e il fattore capitale (K). Per verificare i r.d.s. moltiplico entrambi i fattori per una costante positiva t e controllo se il risultato è maggiore, minore o uguale a t*q(l;k).!;!! #! $ #! # #! $ # $ #! # $ #!, rendimenti di scala costanti NB: Qualunque generica funzione di tipo Cobb-Douglas Q (L; K) A L α K β è sempre omogenea di grado r (α+β). Conseguentemente è possibile individuare i r.d.s. osservando la somma degli esponenti: se r i r.d.s. sono costanti; se r > i r.d.s sono crescenti; se r < i r.d.s. sono decrescenti. In questo caso infatti Le produttività marginali sono: $ # $ # $ # # # # () )*+;-0+- 0 Anche in questo caso, come nel precedente, abbiamo una f.d.p. di tipo Cobb-Douglas: ; $ $ $. La somma degli esponenti è 4 decrescenti. In alternativa si può utilizzare anche l altro procedimento: 4 4 pertanto i r.d.s. sono
!;!!! 4! $! $ 4!; Le produttività marginali sono: $ $ $ $ (4) )*+;-678 0+,- Questo tipo di funzione di produzione (di Leontiev) indica una relazione di perfetta complementarietà tra i due input (lavoro e capitale). Gli isoquanti che ne derivano saranno ad angolo retto e la combinazione ottima di produzione si troverà in uno dei vertici. Per valutare i r.d.s. dobbiamo moltiplicare entrambi gli input per una medesima costante positiva t.!;!min!,! Tuttavia, dato che t>0 possiamo sicuramente dire che min!,!!9:;, Quindi!;!!; che presuppone r.d.s. costanti. Per valutare le produttività marginali dei fattori di produzione bisogna considerare due casi: ; ; se se Pertanto le produttività marginali valgono rispettivamente: P L P K0 P L0 P K
Domande a risposta multipla. Nella funzione di produzione rappresentata in figura la produttività media è: (a) crescente fino a L e decrescente dopo L (b) decrescente fino a L e crescente dopo L (c) crescente fino a L e decrescente dopo L (d) decrescente fino a L e crescente dopo L (e) sempre crescente. La curva del prodotto marginale e quella del prodotto medio: (a) sono sempre parallele (b) non si intersecano mai (c) si intersecano sempre (d) si intersecano quando la produttività media è massima (e) si intersecano quando la produttività marginale è massima. Data la funzione di produzione in figura, quale delle seguenti affermazioni è errata? (a) la massima produttività marginale è ottenuta in corrispondenza di L0 (b) la massima produttività media è ottenuta in corrispondenza di L (c) dopo L la produttività marginale diventa pari zero (d) la produttività media è sempre crescente (e) in L la produttività marginale è più bassa che in L
4. Se Giorgia lavora 0 ore al giorno, il suo prodotto medio del lavoro è: a. Crescente. b. Decrescente. c. Costante. d. In mancanza di ulteriori informazioni, non è possibile stabilirlo.. La funzione di produzione Q L / K presenta: a. Rendimenti di scala decrescenti. b. Rendimenti di scala costanti. c. Rendimenti di scala crescenti. d. Non è possibile stabilirlo. 6. Perché la funzione di produzione Q L / K a abbia rendimenti di scala costanti, quale valore deve assumere il parametro a? Dovrebbe valere < 4