DMANDE E RISPSTE DI MATEMATICA APPLICATA ALL ECNMIA Ques.36 - Cit il nome di qulche vribile incontrt in economi. Cos si uò dire circ il loro segno? Ris. 36 Sono vribili economiche: l quntità rodott e oert, l quntità domndt, i costi di roduzione, il ricvo, l utile, il rezzo di vendit, le ordinzioni di mteri rim, ecc. Tutte le vribili economiche sono quntità ositive, discrete ( vlori interi ) o continue ( vlori reli con l virgol ). Ques.37 - A chi sett il comito di scegliere il modello mtemtico che meglio descrive un enomeno economico? Sull bse di cos viene scelto tle modello? Ris. 37 E comito degli economisti nlizzre i vri enomeni e ricvre o iotizzre i legmi r le vrie grndezze. Attrverso metodi mtemtici gli economisti scelgono i modelli mtemtici che interretno l meglio l reltà e, in qunto tli, ossono nche non rresentre bene le relzioni tr le grndezze in gioco. Ques.38 - Di l deinizione di vlore mrginle nel discreto dell unzione =() e di vlore mrginle nel continuo. Cos rresentno in economi? Cos in mtemtic? Ris. 38 Si deinisce vlore mrginle nel discreto dell unzione =() il rorto incrementle ( ) ( ). Esso è un indice che ci inorm sull ndmento crescente o decrescente dell unzione =() nell intervllo (, + ). Dl unto di vist mtemtico rresent l endenz dell rett secnte ssnte er i unti P(,()) e Q(+, (+ )). Se l unzione =() è derivbile, si deinisce vlore mrginle nel continuo il limite er 0 del d ( ) ( ) rorto incrementle lim lim. Mtemticmente coincide con l d 0 0 deinizione di derivt () e rresent l endenz dell rett tngente =() nel suo unto d P(,()). Il segno di ci indic se l unzione è crescente o decrescente nel unto P(,()). d Ques.39 - Di l deinizione di coeiciente di elsticità di un unzione =() e oi sieg il suo signiicto dl unto di vist economico-mtemtico. Ris. 39 Il coeiciente di elsticità di =() è il rorto tr l vrizione reltiv dell unzione e l vrizione reltiv dell vribile indiendente :. Esso misur l ridità con cui vri l vrire dell vribile indiendente. Ques.40 - Di l deinizione di elsticità d rco di un unzione =() nei suoi unti P(,()) e Q(+,(+ )). () P (+ ) Q + Ris. 40 Si deinisce elsticità d rco il rorto tr il vlore mrginle di =() nei unti P(,()) e Q(+,(+ )) e il suo vlore medio: ( ) ( ). Esso è un modlità divers di scrivere il coeiciente di elsticità, ( ) intti.
Ques.41 - Di l deinizione di elsticità untule di un unzione =() in P(,()). Ris. 41 Se () è derivbile, nel continuo, il limite dell elsticità d rco er 0 rende il nome di elsticità untule: lim 0 lim 0 ( ) ( ) ( ) lim 0 d d ( ) Ques.4 - Di l deinizione di domnd comlessiv e sieg se è un unzione crescente o decrescente motivndo l risost. Ris. 4 Si deinisce domnd comlessiv di un merce l quntità che viene richiest d un certo rezzo dll totlità degli cquirenti. L unzione dell domnd = () è unzione non crescente del rezzo, nel senso che ll umentre del rezzo l quntità domndt diminuisce. Ques.43 - Di l deinizione di unzione di vendit e sieg se è un unzione crescente o decrescente motivndo l risost. Ris. 43 Nel cso in cui l unzione dell domnd = () mmette invers, si deinisce unzione di vendit rorio l su invers = -1 () ed esrime il rezzo l qule si uò vendere un dt quntità di merce. Tle unzione è decrescente come l unzione dirett d cui deriv. Ques.44 - Qule curv rresent l unzione linere = + b nel ino crtesino? Rresent = 300-15. Ris. 44 L unzione rzionle inter di rimo grdo = + b h er grico quello di un line rett che ttrvers il rimo e terzo qudrnte se l endenz > 0, mentre è disost tr secondo e qurto qudrnte qundo l endenz < 0. Il termine noto b, detto ordint nell origine o intercett, rresent l lunghezz del segmento intercettto sull sse. > 0 < 0 b b -b/ -b/ L rett = 300-15 h endenz negtiv e ertnto è disost tr il secondo e qurto qudrnte. Per disegnrl si h bisogno di lmeno due suoi unti. Determinimo, tle scoo, le intersezioni con gli ssi crtesini: 300 15 0 A 0,300 0 300 300 300 15 300 15 0 300 0 15 B 0,0 0 0 0 Scegliendo un sistem di rierimento con unità di misur diverse e oortune, ossimo rresentre l rett come quell lto. 0
Ques.45- Qule curv rresent l unzione qudrtic = + b +c nel ino crtesino? Disegn l curv = -0,5 + 300 10.000. Ris. 45 L unzione rzionle inter di secondo = + b + c h come grico quello di un b rbol di vertice V, 4 con l concvità verso l lto se > 0 e verso il bsso se < 0. Per rresentrl gricmente occorrono lmeno tre unti. Di solito conviene clcolre il vertice e le intersezioni con gli ssi crtesini. Dll risoluzione del sistem b c b c 0 0 Si deduce che: se 0 l rbol incontr l sse in due unti 1 e ; se 0 l rbol incontr l sse in un solo unto 1 ed è ivi tngente; se 0 l rbol non incontr l sse. 1 Per rresentre = -0,5 + 300 10.000 determineremo il vertice e le intersezioni con l sse : b 300 V 600 V (600) 0,5(600) 300(600) 10.000 80. 000 0.5 V 600,80.000 Pss er 0,5 300 10.000 0 100 40.000 0 34,31 1 600 600 40.000 1165,69 34,31; 0 B 1165,69 ; 0 Pss er A e 80.000 35 600 1165-10.000 Ques.46 Qule curv rresent l unzione qudrtic = + b nel ino crtesino? Rresent l curv = 0,01 + 8. Ris. 46 L unzione rzionle inter di secondo = + b + c h come grico quello di un b rbol di vertice V, con l 4 concvità verso l lto se > 0 e verso il bsso se < 0. Nel nostro cso, mncndo del termine noto c, risult ssnte er l origine. Per disegnre l unzione = 0,01 + 8, determinimo le coordinte del vertice e dei unti di intersezione con l sse. b 8 V 400 0,0 V ( 400) 0,01( 400) 0,01 8 0 0,01 8 0 0 0,01 0 1, 0 8( 400) 1.600 0 8 0 800-800 -400 0-1.600 L rbol ss er i unti 400, 1.600 0,0 e A 800,0 V,
Ques.47 Disegn l unzione dell domnd = b con, b > 0 in generle e oi rresent l unzione = 150-10 nel ino. Ris. 47 L unzione rzionle di rimo grdo = b con, b > 0 h come grico quello di un rett con endenz m=-b < 0 e intercett. Incontr gli ssi nei unti: b 0 ss er A(0, ) ; 0 b b 0 b ss er B,0 0 0 0 b /b Per disegnre l unzione = 150-10, determinimo le intersezioni con gli ssi crtesini: 150 10 0 ss er A(0, 150) 0 150 150 10 150 10 0 150 15 10 0 0 0 ss er B 15, 0. Scegliendo unità di misure diverse ed oortune si giunge l grico qui lto. 100 50 150 5 10 15 Ques.48 Disegn l unzione dell domnd = b con, b > 0 in generle e oi rresent l unzione = 16 nel ino. Ris. 48 L unzione rzionle inter di secondo grdo h come grico quello di un rbol. Nel nostro cso = b con, b > 0 h er b vertice V, 0,, volge l concvità 4 verso il bsso e incontr l sse nei unti b b 0 b 0 0 0 b b A, 0 e B b,0 b L unzione dell domnd = 16 è un rbol di vertice b V, 0,16 e 4 16 incontr l sse nei unti 16 16 0 16 4 0 0 0 A 4, 0 e B 4, 0 Scegliendo unità di misur diverse ed oortune si giunge l grico qui lto. -4 +4 Ques.49 Disegn l unzione dell domnd b con > 0, b 0, c 0 in generle e oi c 5 rresent l unzione nel ino. 1 b bc Ris. 49 L unzione rzionle rtt b è dett unzione omogric. c c
H er grico quello di un ierbole equilter di sintoti =-c (verticle) e =-b (orizzontli ):, c c, D lim b, lim b b. c c c Incontr gli ssi crtesini nei unti b 0 bc c bc A 0, 0 c c (-bc)/c -c (-bc)/b -b b c 0 b bc c 0 0 bc B,0 b 5 L unzione è deinit er 1 0 1 H er sintoto verticle l rett = -1 5 6 lim 1 1 0 er sintoto orizzontle l rett di equzione =-1 5 1 5 lim lim 1 1 1 1 Incontr gli ssi crtesini nei unti 5 0 1 A 0, 5 0 5, 1 1, D. 5-1 5-1 5 1 0 5 c 0 0 B 5, 0 b Ques.50 Disegn l unzione dell domnd e con > 0, b > 0 in generle e oi 0, 0 rresent l unzione 00 e nel ino. b b 1 Ris. 50 L unzione e è un unzione esonenzile di bse e 1, semre b e D,, con sintoto decrescente nel suo dominio b e 0 orizzontle =0 (qundo + ) : lim e ; e inoltre incontr l sse nel unto P(0,). 0, 0 L unzione 00 e incontr l sse in P(0,00) ed h l sse come sintoto orizzontle di equzione =0. Il grico è riortto nell igur qui lto. 00
Ques.51 Disegn l unzione dell domnd con > 0, α > 0 in generle e oi 9 rresent l unzione nel ino. Ris. 51 Nel cso che si un numero intero ositivo l curv è comost di due rmi situti nel rimo e terzo qudrnte se n è disri e nel rimo e secondo se n è ri. All umentre di il grico si schicci verso il bsso, come mostrno i seguenti grici colorti (d ogni colore ugule corrisonde un medesimo vlore di ). 9 Studimo or l unzione. Ess è deinit er 0 0 e ertnto h er dominio D,0 0,. H sintoto orizzontle 9 9 l sse di equzione =0: lim 0 e sintoto verticle comleto l sse di equzione 9 9 = 0 : lim. 0 0 18 Dlle derivte rim e second:, 3 54 è cile rendersi conto che l unzione 4 non h né mssimi, né minimi e né lessi; è crescente er <0, decrescente er >0 e volge semre l concvità verso l lto. Il grico è quello dell igur lto. Ques.5 Dimostr che l elsticità untule dell domnd con > 0, α > 0 è. Ris. 5 In bse ll deinizione di elsticità untule ossimo scrivere: d d d 1 1 d d 1 Ques.53 Di l deinizione di oert e sieg se è un unzione crescente o decrescente motivndo l risost. Ris. 53 Si deinisce oert di un merce l quntità totle immess sul mercto dll totlità dei roduttori. Ess è un unzione non decrescente (crescente o costnte) del rezzo: = g(), nel senso che iù si lz il rezzo e iù i roduttori cerchernno di immettere sul mercto mggior merce ossibile, ovvimente, entro i limiti dell ccità mssim roduttiv. Ques.54 Di l deinizione di unzione di roduzione e sieg se è un unzione crescente o decrescente motivndo l risost. Ris. 54 Se con = g() indichimo l unzione dell oert e tle unzione mmette invers, llor si deinisce unzione di roduzione = g -1 () l su unzione invers. Anche l unzione di roduzione è un unzione non decrescente come l corrisondente unzione dirett d cui deriv.
Ques.55 Elenc i requisiti necessri erché un mercto si oss ritenere di concorrenz erett. Ris. 55 In economi si rl di mercto di liber concorrenz o di concorrenz erett se esso soddis i seguenti requisiti: - omogeneità del rodotto ( devono essere immessi sul mercto rodotti dello stesso tio, dell stess qulità e crtteristiche tecniche roduttive) - trsrenz del mercto ( ogni oertore deve conoscere le condizioni di domnd, di oert e il reltivo rezzo) - libertà di ingresso ( ogni oertore deve essere libero di entrre o di uscire dl mercto second dell rori convenienz) - rzionmento dell domnd e dell oert ( devono essere resenti sul mercto molti roduttori e molti consumtori, in modo che nessun oertore oss singolrmente inluire sul rezzo del bene) Ques.56 In un mercto di liber concorrenz, d chi è determinto il rezzo di un bene? Col ssre del temo il rezzo di equilibrio uò cmbire? Ris. 56 In un mercto di liber concorrenz il rezzo di un bene è determinto dll incontro r l domnd e l oert, soluzione del sistem: d s g d s Ques.57 Di l deinizione di costo totle, costo medio e costo mrginle. Ris. 57 Si deinisce costo totle l somm di tutti i costi sostenuti d un imres nell roduzione di un bene: = C(). Si deinisce costo medio o unitrio il rorto r il costo totle er rodurre l quntità e l quntità C( ) rodott: con > 0. Se l unzione costo totle è deinit nel discreto o non è derivbile, si deinisce costo mrginle sostenuto er ottenere un unità ddizionle di rodotto o nche il rorto incrementle r l incremento C( ) del costo e l incremento dell quntità rodott:. Se l unzione del costo totle = C() è derivbile, il costo mrginle è l derivt dell unzione costo totle risetto ll quntità rodott: C( ) dc( ) lim C( ). 0 d Ques.58 D quli costi è comost l unzione =C() del costo totle? Ess è un unzione crescente o decrescente? Ris. 58 I costi si dividono in ) costi issi ( indiendenti dll quntità rodott, come il slrio degli oeri, le sese er l mnutenzione dei mcchinri, il consumo di corrente elettric, l itto dei locli, ecc. ); b) costi vribili, che ossono essere loro volt direttmente roorzionli ll quntità rodott ( come i costi er l mteri rim, di mgzzinggio, ecc.) o non roorzionli ( come le sese di ordinzione er l rovvigionmento delle scorte di mgzzino). L unzione = C() è un unzione crescente. Ques.59 Di un rresentzione gric dei seguenti modelli di unzione costo: 1) b con, b 0 ) b c con 0, b, c 0 3 3) b c d con 0, b, c, d 0 b 4) e con, b 0 Ris. 59 Riortimo di seguito i grici di ciscun unzione: b, b 0 b c 0, b, c 0 3 b c d b e, b 0 0, b, c, d 0 b c d
Ques.60 Se l unzione costo è b, qul è l unzione costo unitrio? Qul è il suo grico? Ris. 60 Se l unzione costo totle è linere b b, l unzione costo unitrio è l unzione omogric che h il grico di un ierbole equilter di sintoti =0 (verticle) e = (orizzontle). Ques.61 Rresent gricmente l unzione costo totle 1 1800 e le corrisondenti unzioni del costo unitrio e del costo mrginle. Ris. 61 Le unzioni richieste sono le seguenti: ) C( ) 1 1800 C( ) 1 1800 dc( ) b) c) C( ) 1 d C( ) 1 1800 h er grico quello di costo costo totle un rett ssnte er i unti A(0,1.800) e unitrio B(-150, 0) intersezioni con gli ssi crtesini. C( ) 1 1800 è l unzione omogric che h come grico quello di un ierbole equilter di sintoti =0 (verticle) e =1 (orizzontle). 1.800 dc( ) C( ) 1 unzione costnte il cui d 1 Costo mrginle grico è un rett rllel ll sse. Ques.6 Se l unzione costo è b c, qul è l unzione costo unitrio? Qul è il suo grico? Ris. 6 Se l unzione costo è C( ) b c llor l unzione costo unitrio è dt dll unzione somm C( ) b c c b il cui grico è quello di un ierbole non equilter di sintoti =0 (orizzontle) e =+b (obliquo). Dllo studio dell derivt rim ricvimo i c c unti di m e min: c 0 c 0 c 0 0 c c 0 veriict er c, c c c + + + + + + o - - - - - - - - - - - - - - o + + + + + + + + + + m min
Ques.63 Rresent gricmente l unzione costo totle 0, 1.000 00. 000 in un rimo grico e le corrisondenti unzioni del costo unitrio e del costo mrginle insieme in un secondo grico. Ris. 63 Le unzioni d rresentre gricmente sono le seguenti: C( ) 0, 1.000 00.000 costo totle C( ) 0, 1.000 00.000 00000 0, 1000 costo medio o unitrio dc( ) C( ) 0,4 1.000 costo mrginle d C( ) 0, 1.000 00.000 è un rbol di vertice V(-.500, -1.050.000) b 1.000 V.500 0,4 V (.500) 0,(.500) 1.050.000 che incontr l sse nei unti: 0, 1.000 00.000 0 0, 1.000 00.000 0.500.000 00.000 5.000 1.000.000 0 4791,9 1 500 500 1000000 500 91,9 08,71 L unzione del costo medio C( ) 0, 1.000 00.000 00000 0, 1000 è un unzione somm di sintoti =0 e 0, 1000 e unti di m e min determinti dllo studio dell derivt 00000-4791,9-08,71-1050000 A 4791,9 ; 0, B 08,71; 0 00000 00.000 0, 0 1. 0, 000 0, 00 000 0 0 veriict er 1.000, 1.000-1.000 1.000 + + + + + + + + + + + 0 - - - - - - - - - - - - - - 0 + + + + + + + + + + m min m min 00.000 ( 1.000) 0,( 1.000) 1.000 00 1.000 00 600 1.000 00.000 (1.000) 0,(1.000) 1.000 00 1.000 00 1.400 1.000
dc( ) L unzione del costo mrginle C( ) 0,4 1. 000 h er grico un rett crescente d che incontr gli ssi crtesini nei unti: 0,4 1.000 0 A 0, 1.000 0 1.000 0,4 1.000 0,4 1.000 0 1.000.500 0,4 B.500, 0 0 0 0 Ques.64 Dimostr che le curve del costo medio e del costo mrginle si incontrno nei unti stzionri ( di mssimo e di minimo ) dell unzione costo medio. C Ris. 64 Considerimo l unzione del costo medio. Come è noto, i unti stzionri ( di m e/o di min reltivi) si determinno imonendo 0, ertnto, derivndo risetto e imonendo l C C1 C derivt ugule zero si h: 0 C C 0 C che C equivle risolvere il sistem. Quindi le curve del costo medio e del costo mrginle si C incontrno nei unti stzionri dell curv del costo medio. Ques.65 Dt l unzione costo totle 0,5 00 10. 000, r vedere che le corrisondenti unzioni di costo medio e costo mrginle si incontrno nei unti stzionri dell unzione costo medio. Ris. 65 Determinimo le unzioni richieste: C 0,5 00 10.000 10.000 0,5 00 costo unitrio o medio dc( ) C( ) 0,5 00 d Derivndo il costo medio risetto e onendo l derivt rim ugule zero si h: 10.000 0,5 10.000 u 0,5 0 0 0,5 10.000 0 10.000 40.000 00. Dllo studio del segno dell derivt rim 0,5 0,5 10.000 u 0 0 0,5 10.000 0 00, 00-00 +00 + + + + + + 0 - - - - - - - - - - - - - 0 + + + + + + + + + + m min C si deduce che m h un unto di m e uno di min 10.000 m 00 0,5 00 00 50 00 50 100 A(-00,100) m 00
10.000 min 00 0,5 00 00 50 00 50 300 B(00,300) min 00 Fccimo vedere che A e B ossono essere determinti come unto di incontro delle curve del costo unitrio e del costo mrginle: 10.000 0,5 00 10.000 0,5 00 0,5 00 0,5 10.000 0 0,5 00 0,5 10.000 10.000 0 0,5 10.000 0 40.000 00 0,5 00 00 00 0,5 00 0,5 00 00 100 0,5 00 Rresentimo le due unzioni er ritrovre i risultti nche gricmente. u è un unzione somm con sintoti: =0 verticle e =0,5+00 obliquo, con unti A(-00,100) m e B(00,300) min Per disegnre l sintoto obliquo = 0,5+00 determinimo i unti di incontro con gli ssi: = 0,5+00 0 00-800 0 Anlogmente rocedimo er disegnre l rett del costo mrginle m : m = 0,5+00 0 00-400 0 00 300 c.v.d Ques.66 Di le deinizioni di ricvo totle, ricvo medio e ricvo mrginle. Ris. 66 Si deinisce ricvo totle il rodotto tr il rezzo di vendit e l quntità vendut. Dette l quntità vendut e =() l unzione di vendit (unzione invers dell unzione dell domnd) R Il ricvo medio è ugule l rorto tr il ricvo totle e l quntità di bene vendut, ossi l unzione di R vendit =():. R Il ricvo mrginle, nel discreto, è dto dl rorto incrementle, mentre, se R() è R derivbile, è dto dll derivt di R() risetto : dr R lim. 0 d Ques.67 Se l unzione dell domnd è esress dll relzione 50 0, 5 d chi è dt l unzione ricvo? Per quli vlori di il ricvo è mssimo? Ris. 67 Ricvimo dll unzione dell domnd 50 0, 5 l unzione di vendit 100 e scrivimo l unzione del ricvo totle come rodotto r e : R 100 100. R() h come grico quello di un rbol ssnte er l origine, con concvità verso il bsso, ertnto il mssimo è rggiunto nel suo vertice: b 100 V 5 V 5 1005 150 4 Il ricvo mssimo si ottiene vendendo 5 unità di bene e mmont 150. Per rresentre R() gricmente determinimo le sue intersezioni con l sse :
0 100 100 0 0 50 0 0 0 0 e 50 0 R() ss er V(5,150), (0,0) e A(50,0) e volge l concvità verso il bsso. Ques.68 Di l deinizione di roitto e mostr che esso è mssimo er quel vlore di in cui il costo mrginle ugugli il ricvo mrginle. Ris. 68 Si deinisce roitto o utile netto l dierenz tr il ricvo totle e il costo totle: G R C. Determinimo er quli vlori di il roitto è mssimo, utilizzndo l derivt rim: R G R C 0 R C 0 R C C ricvo mrginle = costo mrginle ovvimente il roitto G() è mssimo se nel unto che nnull G'() risult sinistr G'()>0 e destr G'()<0 o equivlentemente R'() > C'() sinistr e R'() < C'() destr. Si deduce l mos legge economic: si h il mssimo utile er quel vlore di in cui il costo mrginle ugugli il ricvo mrginle. Ques.69 Rresent in un unico grico crtesino, in generle, le curve del ricvo mrginle, del costo unitrio e del costo mrginle (nel cso di un mercto di concorrenz erett) e giustiic erché ll imres conviene singere vnti l roduzione inché il costo mrginle non diventi ugule l ricvo mrginle. Ris. 69 Nel cso di mercto di erett concorrenz il rezzo, incontro tr domnd e oert, è costnte, ertnto il ricvo totle è dto d R e di conseguenz il ricvo =C'() mrginle è ugule l rezzo R, il =C u () cui grico è un rett rllel ll sse. Nel unto Q risult R'()=C'(), sinistr è R'() > C'() ( il grico di R'() suer quello di C'() ) e destr R'() < C'() (il grico di R'() st sotto quello di C'()), quindi Q è il unto di mssimo del roitto G(). D qunto detto si deduce che ll imres conviene esndere l roduzione inché il costo mrginle non risulti ugule l ricvo mrginle. Q P A B ric. mrg. Ques.70 Dt l unzione del costo totle 0,5 00 10. 000, determinre, nel cso in cui il rezzo di vendit è costnte = 500, er qule vlore di l utile è mssimo e er quli vlori l utile non è negtivo. Ris. 70 Determinimo il ricvo totle e successivmente il gudgno totle: R 500 C( ) 0,5 00 10.000 R C 500 0,5 00 10.000 0,5 300 10. 000 G Il roitto h come grico quello di un rbol con concvità verso il bsso, ertnto rggiunge il mssimo nel vertice:
V b 300 0,5 600 600 0,5600 30060010.000 80. 000 V Il gudgno mssimo lo si rggiunge con l vendit di 600 unità di bene e mmont 80.000. Ritrovimo or il risultto nche gricmente disegnndo = G(). Determinimo i unti di incontro tr =G() e l sse 0,5 300 10.000 0 0,5 300 10.000 0 1 100 40.000 0 600 600 40.000 34,3 600 565,68 1165,68 Per non essere in erdit occorre che R C ossi G 0. Bst risolvere l disequzione di secondo grdo: 0,5 300 10.000 0 100 40.000 0 34,3 1165, 68 Si conclude che er non essere i erdit ll imres conviene rodurre non meno di 35 unità di bene e non iù di 1165.