Grandezze scalari e vettoriali

VETTORI

Grandezze scalari e vettoriali Tra le grandezze misurabili alcune sono completamente definite da un numero e da un unità di misura, altre invece sono completamente definite solo quando, oltre ad un numero e alla corrispondente unità di misura, vengono fissati anche direzione e verso Grandezze Fisiche Scalari : definite da numero e unità di misura Vettoriali : definite da Modulo (valore numerico e unità di misura) direzione verso

I VETTORI Un vettore viene indicato con la notazione: v (lettera che individua la grandezza vettoriale in grassetto) oppure v (lettera che individua la grandezza vettoriale con una freccia sopra) Il modulo di un vettore, cioè il suo valore numerico (o intensità) viene invece indicato con v oppure v oppure semplicemente v

I VETTORI Rappresentazione grafica di una grandezza vettoriale: Freccia la cui lunghezza indica l intensità o modulo e la cui direzione e verso (individuato dalla punta della freccia) coincidano con quelli della grandezza vettoriale che rappresenta direzione modulo verso

Esempi di scalari e vettori

Rappresentazione dei VETTORI nel PIANO y Modulo di V = V =OP y P V P(x p,y p ) V y = y P V x = x P V y O V x x P x

Rappresentazione dei VETTORI nello spazio z z P V P 0 (0,0,0) P (x P, y P, z P ) O y P y x P x Modulo di V = lunghezza del segmento OP

Rappresentazione dei VETTORI nello spazio z V z V V (V x,v y,v z ) V x V y y V z = z P V y = y P V x = x P x Componenti di V lungo i tre assi cartesiani = Proiezioni di OP sui tre assi cartesiani

VETTORI NEL PIANO y P Modulo di V = OP x V y = y P V x = x P Per esprimere un vettore in termini di componenti nei piano facciamo un breve richiamo di trigonometria.

RICHIAMO sin Sin, Cos, Tan a y R P α s R R a y P P (x P,y P ) s x P cos a x R P 10 tan a y x P P

RICHIAMO c a 2 b 2 a c cosa b b c a sina tana b a sina cosa tana 11 cos 2 a 2 sen a 1

VETTORI NEL PIANO y y P b P V y V V y a V x P x x Modulo di V = OP Componenti di V: V y = y P V x = x P Equivalentemente V x = V cosa V y = V sina V x = V sinb V y = V cosb

VETTORI NEL PIANO : -V -x p U= -V y y p y V x p P x x Il vettore U=-V ha stesso modulo di V, stessa direzione, ma verso opposto. Da cui segue : U y = -y P U x = -x P P -y p

I vettori sono enti che hanno delle specifiche operazioni di somma e prodotto. Si definiranno : - Somma (e differenza) tra vettori - Prodotto tra un vettore ed uno scalare - Prodotto scalare tra vettori - Prodotto vettoriale

OPERAZIONI TRA VETTORI 1. Somma tra vettori 2. Prodotto tra un vettore ed uno scalare 3. Prodotto scalare tra vettori 4. Prodotto vettoriale

Somma tra vettori Metodo 1 a b Metodo 2: b a Per determinare il vettore somma di a e b si possono usare due metodi : Metodo 1 : Costruire un parallelogramma Il vettore somma c = a+ b giace sulla diagonale maggiore Metodo 2 : Unire la punta di un vettore con la coda dell altro Unire la coda libera del primo con la punta libera del secondo b

SOMMA DI DUE VETTORI A e B A (A X, A Y, A Z ) B (B X, B Y, B Z ) Si definisce il vettore somma C: C = A + B di componenti C (C X, C Y, C Z ) C X = A X + B X C Y = A Y + B Y C Z = A Z + B Z

Somma di due vettori: componenti nel piano cartesiano In un piano XY Y A Y A C A A+B B B O B X A X X C X C= A+B = vettore somma = diagonale del parallelogramma avente per lati i vettori A e B

SOMMA DI N VETTORI A 1, A 2, A 3, A N A 1 A 2 A 3 A = A 1 + A 2 + A 3 +. A N A 4 vettore che congiunge il primo estremo di A 1 con il secondo estremo di A N A 1 A 2 A 3 A 4 A

DIFFERENZA DI DUE VETTORI A e B: somma dei vettori A e B A A B B A A+B B A B AB

PRODOTTO DI UNO SCALARE PER UN VETTORE Sia A un vettore ed m uno scalare. Si definisce B come prodotto di m per A

RAPPRESENTAZIONE DI UN VETTORE TRAMITE VERSORE Un vettore nello spazio lo si può scrivere come multiplo di un vettore di modulo unitario, chiamato versore Versore u direzione verso Modulo = 1 v = m u

ALTRA RAPPRESENTAZIONE DEI VETTORI NEL PIANO y y v y v P v y j P v x x i v x x v v v x y v v i v x y j

Rappresentazione tramite versori Versore = vettore di lunghezza unitaria i j k versori degli assi coordinati i k j i (1,0,0 ) j (0,1,0 ) k (0,0,1)

Scomposizione lungo gli assi cartesiani A = A X i + A Y j + A Z k Z A Z k A X i A A Y j Y X

RAPPRESENTAZIONE DEI VETTORI NEL PIANO y A y A = A X i + A Y j P j i A x x

SCOMPOSIZIONE DI UN VETTORE LUNGO DUE DIREZIONI ORIENTATE r ED s determinazione di due vettori paralleli a r ed s la cui somma è A A = A + A r s r A r A A s s

PRODOTTO SCALARE Il risultato è uno SCALARE A B a A B = 0 A 0 B = 0 A B A A = A A cos 0 =A 2

Proprietà del prodotto scalare i i = 1 j j = 1 k k = 1 i j = 0 j k = 0 i k = 0 proprietà commutativa A B = B A proprietà distributiva A ( B + C) = A B + A C

Prodotto scalare in componenti cartesiane A B = (A X i + A Y j + A Z k) (B X i + B Y j + B Z k) = = A X B X + A Y B Y + A Z B Z A A = A 2 = A X 2 + A Y 2 + A Z 2

Prodotto vettoriale di due vettori C = A B oppure C vettore C = A B C A B modulo di C : C = A B sen direzione di C : perpendicolare al piano definito da A e B verso di C C : definito dalla regola della vite destrorsa o dalla regola della mano destra C A B A B

Regole per determinare il verso di C=AxB Regola della vite : direzione perpendicolare al piano e verso pari allo spostamento della vite se ruotata da a a b a x b a b Regola della mano destra 1. Supponete che la vostra mano destra sia il piano in cui sono disegnati i vettori; 2. Considerate le prime 3 dita della mano destra: pollice, indice e medio; 3. Orientate l indice secondo la direzione di a e il medio secondo la direzione di b; 4. Orientare il pollice in modo che sia perpendicolare al piano formato dalle altre 2 dita 5. La direzione e il verso dei vettore prodotto sono quelli del pollice;

Proprietà del prodotto vettoriale proprietà anticommutativa A B = B A proprietà distributiva A ( B + C ) = A B + A C i i = 0 j j = 0 k k = 0

ESERCIZI

Richiamo trigonometria 38 sin Sin, Cos, Tan a y R P α s R R a y P P (x P,y P ) s x P cos a x R P tan a y x P P

Richiamo trigonometria 39 c a 2 b 2 a c cosa b b c a sina tana b a sina cosa tana cos 2 a 2 sen a 1

Richiamo trigonometria 0 90 2 1 60 2 2 45 2 3 30 1 0 cos cos cos cos cos 1 90 2 3 60 2 2 45 2 1 30 0 0 sen sen sen sen sen 90 3 60 1 45 3 1 30 0 0 tg tg tg tg tg

Richiamo di trigonometria Noto il valore di sen, cos o tg di un angolo, possiamo determinare l angolo tramite le funzioni inverse (i.e. la funzione inversa del seno sen -1 arcsen, analogamente cos -1 arccos, tg -1 arctg)) : a arccos(cos a ) b arcsen(senb ) arctg(tg )

Esercizio 1 Scomporre un vettore di modulo 100 in due componenti ad angolo retto, una delle quali forma un angolo di 30 con la direzione del vettore. Risolvere graficamente e con il calcolo

Soluzione

Esercizio 2 Dati i due vettori scritti in forma cartesiana a = (4.0 ) i (3.0) j e b = (6.0 ) i + (8.0) j determinare: 1) modulo e direzione di a (rispetto ad i); 2) modulo e direzione di b; 3) modulo e direzione di a+b; 4) modulo e direzione di b-a; 5) modulo e direzione di a-b; 6) l angolo fra la direzione di b-a e a-b

Risposta ad 1) e 2)

Risposta 3)

Risposta 4)

Risposta 5)

Risposta 6)

Esercizio 3 Un automobilista percorre 5 miglia verso Ovest, quindi 4 miglia in direzione Nord-Est e infine 3 miglia verso Nord. Qual è lo spostamento risultante? Quanto cioè si è allontanato dal punto di partenza?

Esercizio 4

Prodotti tra vettori Scalare Vettoriale

Esercizio 5

Esercizio 6 Il vettore a ha modulo 8.08 e punta verso l asse x negativo. Il vettore b ha modulo 4.51 e punta a +45 rispetto all asse x positivo. o Determinare le componenti x ed y di ciascun vettore. o La somma dei 2 vettori in modulo, direzione e verso; o Il prodotto scalare ed il prodotto vettoriale.

Esercizio 6 Sono dati 3 vettori: o a di modulo 66.0 che forma un angolo di 28 rispetto al semiasse positivo delle x; o b di modulo 40.0 che forma un angolo di 124 rispetto al semiasse positivo delle x; o c di modulo 46.8 che punta verso l asse negativo delle y. Determinare : le componenti dei tre vettori; Il vettore risultante a+b+c in modulo, direzione e verso

Esercizio 7 Un uomo si sposta di 24 metri nella direzione 30 nord rispetto ad est, poi di 28 metri nella direzione 37 nord rispetto a est, infine di 20 metri nelle direzione 50 sud rispetto a ovest. Determinare il vettore spostamento totale in modulo, direzione e verso.

Esercizio 8 Un aereo viaggia alla velocità di v r = 400 Km/h verso Est, poi si trova in una zona in cui spira un forte vento da Nord, con velocità v v = 80 Km/h. Calcolare quale velocità ( in modulo e direzione) dovrà assumere l aereo in questo caso per non perdere la rotta.

Esercizio 9 Un motoscafo da corsa si muove in direzione E 30º N alla velocità di 25 miglia/h in un corso d acqua in cui la corrente è tale che il moto risultante avviene nella direzione E 50º N alla velocità di 30 miglia/h. Trovare la velocità della corrente (in modulo e direzione).

Esercizio 10 Un vagoncino delle montagne russe parte e si muove di 60 m orizzontalmente. Poi sale di 40 m secondo una direzione inclinata di 30 rispetto all orizzontale e quindi sale ancora di 25 m secondo una direzione inclinata di 45. 1. Determinare lo spostamento totale del carrello. 2. Quanto distante in orizzontale si trova il carrello rispetto alla partenza? Ed in verticale?

Esercizio 11 Un imbarcazione si sposta per 50 miglia verso Nord, poi percorre altre 50 miglia verso Ovest e infine 25 miglia verso Sud. Che angolo, misurato dalla direzione Est, avrebbe dovuto seguire l imbarcazione alla partenza per raggiungere direttamente la destinazione?

Esercizio 12 Durante una partita di calcio, il portiere P, dal centro della propria porta, rilancia la palla al terzino T che si trova ad una distanza d = 30m dalla sua linea di fondo e s = 20m dalla sua sinistra. Il terzino poi passa la palla all attaccante A che si trova a una distanza h = 80m dalla linea di fondo ed a 15m a destra del proprio portiere: 1. Quale direzione e verso deve imprimere alla palla l attaccante per centrare la porta avversaria se il campo di calcio è lungo 100m? 2. Quale spostamento ha compiuto la palla nel momento in cui entra nella porta avversaria? E quanto spazio ha percorso?