Programma di Fisica I vettori

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1 Programma di Fisica I vettori (Per la scuola superiore) Autore: Enrico Campanelli Prima stesura: Giugno 2011 Ultima revisione: Febbraio 2013 Per segnalare errori o per osservazioni e suggerimenti di qualsiasi tipo, potete contattarmi al seguente indirizzo [email protected] Il titolare dei diritti d autore di quest opera è lo studio didattico Studio Bells nella persona di Enrico Campanelli ( Quest opera è rilasciata secondo i termini della licenza: Creative Commons 3.0 Italia Attribuzione - Non Commerciale - Condividi Allo Stesso Modo (

2 Indice 1 Proprietà generali dei vettori Grandezze scalari e grandezze vettoriali Principio di sovrapposizione Rappresentazione delle grandezze vettoriali Punto di applicazione di un vettore Somma di vettori Opposto di un vettore Differenza tra due vettori Multiplo di un vettore Scomposizione di un vettore lungo due direzioni ortogonali Prodotto scalare tra due vettori Prodotto vettore tra due vettori Componenti cartesiane e regole di calcolo Componenti cartesiane di un vettore Dalle componenti cartesiane alle proprietà di un vettore Calcolo della somma tramite componenti cartesiane Calcolo del multiplo di un vettore tramite componenti cartesiane Versori Scomposizione di un vettore lungo gli assi cartesiani Calcolo dei prodotti scalare e vettoriale tramite componenti cartesiane Una regola pratica sul vettore posizione ii

3 1 Proprietà generali dei vettori 1.1 Grandezze scalari e grandezze vettoriali Nello studio della fisica si incontrano grandezze di vario tipo che possiamo raggruppare in due categorie: grandezze scalari grandezze vettoriali. Le grandezze scalari sono quelle che per essere descritte in modo completo hanno bisogno solo di un numero. Sono grandezze scalari, ad esempio, la massa di un corpo o una lunghezza. Per descrivere la massa di un corpo è sufficiente dire che essa misura 5 kg. Ci sono grandezze, invece, per descrivere le quali non basta solo un numero. Pensiamo alla velocità di un auto. Se diciamo che l auto si muove a 80 km/h abbiamo un idea di come si sta muovendo, ma non sappiamo, ad esempio, in che direzione si muove. Analogamente, per descrivere una forza non ci basta sapere solo quanto è intensa, ma è necessario conoscere anche in che direzione ed in che verso tale forza tira. Grandezze come la velocità e la forza vengono chiamate grandezze vettoriali (o semplicemente vettori) e per darne una descrizione completa è necessario specificare tre elementi: l intensità: essa si esprime con un numero, ed ha lo stesso significato che assume il numero nelle grandezze scalari, cioè indica quanto vale quella grandezza la direzione: ad esempio, nel caso di una forza, possiamo dire che la forza è verticale il verso: per ogni direzione, esistono due possibili versi. Ad esempio, una volta stabilito che la forza è verticale, occorre specificare se essa tira verso l alto oppure verso il basso. 1.2 Principio di sovrapposizione In realtà, c è un altra proprietà che deve avere una grandezza fisica per poter essere definita vettoriale. Per essa deve valere il seguente principio. 1

4 Principio di sovrapposizione Se due grandezze (dello stesso tipo) agiscono contemporaneamente in un sistema fisico, allora il comportamento del sistema deve essere quello dato dalla sovrapposizione dei comportamenti che esso assume quando agiscono singolarmente le due grandezze. L esperienza dimostra che, ad esempio, per le forze vale il principio di sovrapposizione. Consideriamo due forze con le seguenti proprietà. La prima forza è tale che se la applichiamo per 1 secondo ad un corpo, esso si sposta di 1 metro verso Nord. Se applichiamo invece la seconda forza, sempre per 1 secondo, osserviamo che il corpo si sposta di 2 metri verso Est. Gli esperimenti dimostrano che se applichiamo contemporaneamente le due forze per 1 secondo, il corpo si ritroverà nello stesso punto in cui si ritroverebbe se si spostasse prima di 1 metro verso Nord e poi di 2 metri verso Est. Solo perché l esperienza ci mostra che per le forze vale questo principio possiamo dire che la forza è una grandezza vettoriale! Se non valesse tale principio, non potremmo farlo. 1.3 Rappresentazione delle grandezze vettoriali Adesso che abbiamo un idea abbastanza chiara di cosa sia una grandezza vettoriale, ci poniamo il problema di come possiamo rappresentare queste grandezze. Sappiamo che le grandezze scalari sono ben rappresentate tramite l insieme dei numeri reali con le note operazioni matematiche di somma, sottrazione ecc. Ad esempio, per descrivere matematicamente la massa di cui sono composti due oggetti, sia presi singolarmente che presi insieme, facciamo il seguente uso degli strumenti matematici: con un numero reale esprimiamo la massa che compone ciascun oggetto: ad esempio 5,23 kg e 7,44 kg usiamo l operazione matematica somma per determinare la massa che compone l insieme dei due oggetti: (5,23 + 7,44) kg = 12,67 kg. Come già detto, per rappresentare le grandezze vettoriali i soli numeri reali non sono adatti; abbiamo quindi bisogno di un nuovo oggetto matematico che sia in grado di esprimere le loro proprietà caratteristiche. Tale oggetto è il vettore. Per i nostri scopi, possiamo definire un vettore come un segmento orientato, caratterizzato da tre elementi: 2

5 Figura 1: Rappresentazione di un vettore. la lunghezza (detta anche modulo): essa indica l intensità della grandezza fisica la direzione: è quella della retta che contiene il segmento e rappresenta la direzione della grandezza fisica il verso: è indicato da una freccia posta ad una estremità del segmento e rappresenta il verso della grandezza fisica. Si chiama punta del vettore l estremità che contiene la freccia. Si chiama coda del vettore l estremità opposta alla punta. Per la scrittura delle formule, valgono le seguenti regole: un vettore si indica con una lettera sormontata da una freccina verso destra, a il modulo del vettore si indica con la doppia barra, a, oppure semplicemente con la lettera senza la freccina sopra, a. La figura 1 rappresenta un vettore. La linea tratteggiata è stata messa solo per indicare la retta che contiene il vettore, cioè la sua direzione, e di norma non viene mai disegnata. Osservazione. In genere il termine vettore viene usato sia per indicare la grandezza fisica vera e propria (la velocità, la forza ecc.) sia per indicare l oggetto matematico (la freccia) che la descrive. Dal contesto del discorso, tuttavia, normalmente si capisce a che cosa ci si sta riferendo. 3

6 Figura 2: Rappresentazione di un vettore velocità, con l indicazione del valore del modulo. Figura 3: La collocazione della coda di un vettore indica il luogo in cui esso agisce. Vediamo un esempio d uso di un vettore. Se vogliamo rappresentare la velocità di un oggetto che si muove a 12 m/s, allora disegnamo una freccia la cui lunghezza, in opportune unità di misura, rappresenta l intensità della velocità e la cui direzione e verso sono quelli del moto (vedi figura 2). 1.4 Punto di applicazione di un vettore Il punto di applicazione di un vettore è il punto in cui si trova la sua coda e rappresenta, fisicamente, il luogo in cui è presente la grandezza fisica che viene rappresentata. Se ad esempio vogliamo illustrare il fatto che su un corpo si applica una certa forza rappresentata da un vettore, allora metteremo il punto di applicazione (cioè la coda) del vettore sul corpo (vedi figura 3). È evidente che da un punto di vista fisico è importante specificare il punto di applicazione della forza: c è una bella differenza tra il dare una martellata sul tavolo (il punto di applicazione è il tavolo), e darsi la stessa martellata sul dito (il punto di applicazione è il dito)! È importante, tuttavia, chiarire subito un concetto: il punto di applicazione di un vettore non ha nulla a che fare con le sue caratteristiche 4

7 Figura 4: Tre identiche grandezze, anche se applicate a tre diversi punti, si rappresentano con lo stesso vettore. intrinseche. Una forza con una data intensità, orientata verso destra e inclinata di 10 verso l alto, sarà sempre la stessa forza, sia che la applichiamo al tavolo, sia al dito, sia a qualsiasi altro oggetto in qualsiasi altra posizione. Ciò che caratterizza e descrive completamente un vettore, sono solo la sua lunghezza, la sua direzione ed il suo verso: il punto di applicazione di un vettore serve solo per capire dove agisce una data grandezza, e non per capire chi è. Questo fatto si ripercuote anche sulla descrizione matematica dei vettori (che vedremo più avanti): la descrizione matematica di un vettore non cambia se cambia il suo punto di applicazione. Se ad esempio A, B, e C rappresentano tre punti distinti dello spazio, e le tre frecce in figura 4 rappresentano tre forze uguali applicate ai tre punti, allora la forma matematica dei tre vettori è identica. 1.5 Somma di vettori Anche per i vettori esiste l operazione di somma, tuttavia essa è diversa dalla familiare operazione di somma che siamo abituati a considerare per i numeri. I vettori, infatti, non essendo numeri, seguono una regola diversa per essere sommati. Un importante proprietà dell operazione somma tra vettori che andremo a definire, è che la somma tra due vettori dà come risultato ancora un vettore (così come la somma tra due numeri dà per risultato un numero). Ne segue che l operazione di somma tra vettori ci deve permettere di conoscere non solo il modulo del vettore risultato, ma anche la sua direzione ed il suo verso. La somma tra vettori si esegue con il metodo detto metodo punta-coda. Ad esempio, la somma a + b tra due vettori, si esegue nel seguente modo: 5

8 Figura 5: La somma di due vettori eseguita con il metodo punta-coda. si trasla il vettore b in modo da far coincidere la sua coda con la punta di a il risultato della somma, è il vettore che congiunge la coda di a con la punta di b. La figura 5 mostra come si esegue la somma tra due vettori. In generale per sommare più vettori: si dispone ogni vettore in modo che la sua coda coincida con la punta del precedente il risultato della somma è il vettore che congiunge la coda del primo con la punta dell ultimo. Osserviamo che il metodo punta-coda è equivalente alla nota regola del parallelogramma ma presenta il vantaggio di poter essere applicata anche nel caso di vettori con la stessa direzione ed inoltre è più semplice da usare nel caso di somma tra più di due vettori. È importante notare, infine, che dalla figura si vede chiaramente che il modulo del vettore somma non è la somma dei moduli dei due vettori! Questo è un errore molto comune... quindi attenzione! 1.6 Opposto di un vettore Il vettore opposto ad un vettore dato, si ottiene prendendo un vettore con lo stesso modulo e la stessa direzione del vettore dato, ma con verso opposto. 1.7 Differenza tra due vettori Per sottrarre due vettori, si somma al primo l opposto del secondo cioè a b = a + ( b). 6

9 Figura 6: Sottrarre un vettore, significa sommare il suo opposto. Figura 7: Il vettore u e due suoi multipli (entrambi hanno la coda coincidente con la coda di u). 1.8 Multiplo di un vettore Sia dato un vettore a. Un multiplo di a è un qualsiasi vettore che ha la sua stessa direzione. Un vettore multiplo di a si indica semplicemente con r a, dove r è un qualsiasi numero reale, ed ha le seguenti caratteristiche: il modulo di r a è r a il verso di r a è lo stesso di a se r > 0, è l opposto se r < 0. In pratica, moltiplicare un vettore per 3, significa allungarlo di 3 volte, mentre moltiplicarlo per -2, significa raddoppiare la sua lunghezza e cambiarne il verso. In figura 7 sono rappresentati il vettore u con i suoi due multipli z = 2 u e w = 3 u. Notare che z ha verso opposto a quello di u essendo 2 < 0. 7

10 Figura 8: La scomposizione di un vettore in due vettori ortogonali. 1.9 Scomposizione di un vettore lungo due direzioni ortogonali Una operazione che sarà molto utile nello studio della fisica, è quella di scomporre un vettore lungo due direzioni ortogonali tra loro, cioè scomporlo nella somma di due vettori tra loro ortogonali. I due vettori ottenuti dalla scomposizione si chiamano vettori componenti del vettore di partenza, secondo le rette date. Nella figura 8 è riportata la scomposizione del vettore z (in rosso) secondo le due direzioni rappresentate dalle due rette (perpendicolari tra loro) disegnate con linea continua. I vettori componenti sono disegnati in blu. Per eseguire la scomposizione si procede così: si tracciano le due rette perpendicolari lungo cui si vuole scomporre il vettore, in modo che esse si intersechino sulla coda del vettore si proietta la punta del vettore su entrambe le rette i due vettori cercati sono quelli che hanno la coda coincidente con la coda del vettore di partenza e la punta coincidente con le proiezioni. Nella figura 9 si vede bene, applicando il metodo punta-coda, che la somma dei due vettori componenti dà come risultato il vettore di partenza. 8

11 Figura 9: Il vettore scomposto è uguale alla somma dei due vettori componenti. Figura 10: Angolo tra due vettori Prodotto scalare tra due vettori Un altra operazione matematica che possiamo fare con due vettori è il prodotto scalare. Questa operazione non ha nessun equivalente tra le ordinarie operazioni tra numeri: essa è un operazione che esiste solo per i vettori. Innanzi tutto diciamo che il risultato del prodotto scalare tra due vettori non è un vettore ma un normale numero. Da questo fatto deriva anche il nome dell operazione, infatti con il termine scalare si usa indicare un numero in contrapposizione ad un vettore. Prima di definire l operazione di prodotto scalare, definiamo anche il concetto di angolo tra due vettori. Come si vede dalla figura 10, due vettori con la coda coincidente formano due angoli, uno minore ed uno maggiore di 180. Per angolo tra due vettori, si intende sempre l angolo minore di 180 (indicato dalla lettera α in figura 10). Dati, quindi, due vettori a e b, il loro prodotto scalare si indica con la seguente espressione a b 9

12 Figura 11: Significato geometrico del prodotto scalare. Figura 12: Esempio di calcolo di un prodotto scalare. ed il risultato si può ottenere in due modi diversi: prodotto tra b e la proiezione di a lungo la direzione di b prodotto tra a e la proiezione di b lungo la direzione di a. Tale prodotto, inoltre, va preso positivo se l angolo tra i vettori è minore di 90, mentre va preso negativo se esso è maggiore di 90. Nella figura 11 sono illustrati gli elementi geometrici per il calcolo del prodotto scalare. In essa, abbiamo indicato con a b la proiezione ortogonale di a lungo la direzione di b e con b a la proiezione ortogonale di b lungo la direzione di a. Nella figura 12 è riportato un esempio di calcolo di prodotto scalare. Osserviamo che, essendo l angolo tra i due vettori minore di 90, abbiamo preso il risultato con il segno positivo, altrimenti sarebbe stato negativo. Il risultato del prodotto scalare si ottiene anche dalla seguente formula, noti che 10

13 Tabella 1: Valori delle funzioni seno e coseno per alcuni angoli notevoli. (a) Valori del seno. (b) Valori del coseno. α sin α α cos α siano i moduli dei vettori e l angolo compreso tra essi: a b = a b cos α (1) Questa formula contiene la funzione matematica coseno, che si indica con cos. Essa si applica ad un angolo ed in generale restituisce come risultato un numero compreso tra 1 e 1. Il suo valore per un dato angolo può essere ottenuto con una calcolatrice scientifica o da una tavola numerica. Nella tabella 1b, riportiamo il valore della funzione coseno per alcuni angoli notevoli. Discutiamo alcuni importanti casi particolari: quando l angolo è 0, cioè i vettori sono paralleli, allora il prodotto scalare è dato semplicemente dal prodotto dei moduli quando l angolo è 90, cioè i vettori sono perpendicolari, allora il prodotto scalare è 0 quando l angolo è 180, cioè i vettori sono antiparalleli, allora il prodotto scalare è dato semplicemente dal prodotto dei moduli preso col segno. Osserviamo, infine, che per il prodotto scalare vale la proprietà commutativa a b = b a (2) 11

14 La validità della 2 si dimostra facilmente sfruttando la proprietà commutativa del normale prodotto tra numeri Prodotto vettore tra due vettori Un altra operazione matematica che possiamo fare con due vettori è il prodotto vettoriale, detto anche prodotto vettore. Dati due vettori a e b, il loro prodotto vettore si indica con la seguente espressione a b (3) A differenza del prodotto scalare, il prodotto vettore dà come risultato un vettore (da questo fatto deriva anche il nome dell operazione) e dobbiamo quindi dare una regola che permetta di determinare modulo, direzione e verso del vettore risultato. Cominciamo dal modulo. Il modulo del prodotto vettore si può ottenere in due modi diversi: prodotto tra a e la proiezione di b lungo la direzione perpendicolare a quella di a prodotto tra b e la proiezione di a lungo la direzione perpendicolare a quella di b. Nella figura 13 sono illustrati gli elementi geometrici per il calcolo del prodotto vettore. In essa abbiamo indicato con a b la misura della proiezione di a lungo la direzione perpendicolare a quella di b e con b a la misura della proiezione di b lungo la direzione perpendicolare a quella di a. A proposito del modulo del vettore risultato, osserviamo che esso è pari all area del parallelogramma individuato dai due vettori. Dobbiamo ora dare una regola per stabilire direzione e verso del vettore risultato. Quella più usata è la cosidetta regola della mano destra. Si debba calcolare a b. Si disponga la mano destra aperta con l indice orientato come il vettore che compare per primo nel prodotto (in questo caso a) ed in modo che chiudendo la mano a pugno, le dita si avvicinino al secondo vettore (in questo caso b) seguendo l angolo minore formato dai due vettori. Allora il pollice indica direzione e verso del vettore a b. La figura 14 mostra un esempio di applicazione della regola della mano destra. Osserviamo che da questa regola derivano due fatti importanti: 12

15 Figura 13: Significato geometrico del prodotto vettore. Figura 14: Regola della mano destra applicata al prodotto w = a b. 13

16 Figura 15: Un esempio di prodotto vettore. Figura 16: Una variante della regola della mano destra. il vettore risultato è sempre perpendicolare al piano contenente i due vettori moltiplicati per il prodotto vettore non vale la proprietà commutativa. È semplice verificare che per il prodotto vettore vale, invece, la proprietà anticommutativa e cioè a b = b a (4) Consideriamo un altro esempio, illustrato nella figura 15. I due vettori a e b si trovano sul piano del foglio e quindi, per applicare la regola, occorre girare la mano destra in modo che il pollice sia rivolto verso il foglio. Il vettore risultato, quindi, è perpendicolare al foglio, con la punta che entra nel foglio. Nella figura, il vettore risultato è rappresentato con il simbolo, che dà l idea delle piume della coda di una freccia vista da dietro. Analogamente, un vettore che esce dal foglio, si rappresenta con il siumbolo, che dà l idea della punta di una freccia vista di fronte. Una variante della regola della mano destra, è illustrata nella figura 16. Si formi il numero tre con le dita della mano destra, col medio perpendicolare al palmo, poi si metta la mano in modo che l indice si allinei con il primo vettore ed il medio con il 14

17 secondo: allora il pollice è disposto come il risultato. Il valore del modulo del risultato di un prodotto vettore, può essere calcolato con la seguente formula, noti che siano i moduli e l angolo compreso tra i vettori da moltiplicare: a b = a b sin α (5) La formula 5 contiene la funzione matematica seno, che si indica con sin, oppure con sen. Essa si applica ad un angolo ed in generale restituisce come risultato un numero compreso tra 1 e 1. Il suo valore per un dato angolo può essere ottenuto con una calcolatrice scientifica o da una tavola numerica. Nella tabella 1a, riportiamo il valore della funzione seno per alcuni angoli notevoli. Discutiamo alcuni importanti casi particolari: quando l angolo è 0 oppure 180, cioè i vettori sono paralleli o antiparalleli, allora il prodotto vettore è 0 quando l angolo è 90, cioè i vettori sono perpendicolari, allora il modulo del prodotto vettore è dato semplicemente dal prodotto dei moduli. 2 Componenti cartesiane e regole di calcolo 2.1 Componenti cartesiane di un vettore Finora abbiamo descritto i vettori in termini puramente geometrici, cioè li abbiamo descritti come oggetti concreti, come se fossero bastoncini di legno con una estremità appuntita. Questa rappresentazione è molto utile perché dà una descrizione molto efficace della grandezza fisica che il vettore rappresenta. Se disegnamo un vettore per rappresentare una velocità, capiamo subito come si sta muovendo l oggetto. La forma geometrica dei vettori, tuttavia, non ci permette di fare i calcoli, e quindi abbiamo bisogno di rappresentarli in una forma numerica che ci permetta facilmente di eseguire le somme, i prodotti scalari ed i prodotti vettoriali. A tal fine è utile ricorrere al piano (o, più in generale, allo spazio) cartesiano. Tramite il piano cartesiano, potremo associare ad ogni vettore dei numeri che, insieme ad opportune regole di calcolo, ci permetteranno di eseguire 15

18 facilmente tutte le operazioni matematiche viste prima. Quello che dobbiamo fare, in pratica, è lo stesso procedimento che facciamo quando vogliamo misurare qualcosa. Cosa significa misurare? Misurare significa associare dei numeri a certe grandezze fisiche per poterle poi trattare matematicamente, cioè per poterci fare dei calcoli. Se, ad esempio, vogliamo misurare la lunghezza di un asta, devo: prendere un metro prendere l asta mettere una estremità dell asta in corrispondenza dello zero del metro prendere nota del numero in corrispondenza dell altra estremità dell asta: questo numero è la misura della lunghezza dell asta. Facciamo ora due osservazioni che sembrano banali ma sono importantissime per il seguito. Osservazione 1. In tale procedimento non ha nessuna importanza l orientazione dell asta; la lunghezza dell asta (che è l unica informazione che ci interessa) non cambia se la misuro in verticale, in orizzontale o di traverso. Osservazione 2. Invece che mettere la prima estremità in corrispondenza dello zero, avremmo potuto metterla in qualsiasi altra posizione, ad esempio a 12 cm. Se facciamo così, però, per conoscere la lunghezza dell asta non basta più segnarsi il numero in corrispondenza della seconda estremità, ma bisogna fare la differenza tra tale numero e 12 cm. Se l asta è lunga 50 cm, e mettiamo la prima estremità a 12 cm, la seconda estremità si troverà a 62 cm ma la lunghezza dell asta non è 62 cm, ma 62 cm - 12 cm = 50 cm. Vediamo ora come si fa a misurare un vettore. Ricordiamo che le tre caratteristiche di un vettore sono lunghezza, direzione e verso e quindi il procedimento di misura deve permettere di misurare tutte e tre queste caratteristiche. Il metodo sarà analogo a quello visto sopra ma bisognerà tenere conto di alcune cose: la lunghezza del vettore non verrà misurata direttamente, ma si misureranno le lunghezze delle proiezioni del vettore sugli assi; queste proiezioni, come si vedrà, non sono altro che i cateti di un triangolo rettangolo che ha il vettore come ipotenusa e quindi la lunghezza del vettore si potrà calcolare successivamente tramite il teorema di 16

19 Pitagora. Questo punto è fondamentale e lo ripetiamo: il metodo con cui misureremo il vettore deve permetterci di misurare la lunghezza delle sue proiezioni sugli assi perché è tramite esse che otterremo il suo modulo a differenza di quanto detto nell Osservazione 1 per un asta, un vettore contiene altre informazioni oltre alla sua lunghezza; abbiamo visto che anche la sua direzione è importante e quindi quando lo misuriamo non possiamo girarlo come ci pare; tuttavia possiamo traslarlo, cioè spostarlo senza variarne la direzione poiché, come abbiamo già detto nel paragrafo 1.4, la posizione della coda non ha nulla a che fare con le caratteristiche del vettore la direzione di un vettore è una caratteristica che si manifesta nello spazio tridimensionale (o bidimensionale se ci limitiamo ad un piano), e quindi non è sufficiente il solo metro per misurarla. Uno strumento adatto a misurare la direzione dei vettori nello spazio è, ad esempio, un sistema di assi cartesiani ortogonali, che possiamo vedere come una specie di metro tridimensionale. Tenendo conto di queste precisazioni, vediamo allora il procedimento di misura di un vettore ricalcando, con le opportune modifiche, quello visto sopra per la misura dell asta: prendere un sistema di assi cartesiani ortogonali prendere il vettore con una traslazione (quindi senza girarlo!!) mettere la coda del vettore nell origine degli assi proiettare la punta del vettore sull asse x e prendere nota del numero in corrispondenza di tale proiezione: questo numero si definisce componente cartesiana x del vettore proiettare la punta del vettore sull asse y e prendere nota del numero in corrispondenza di tale proiezione: questo numero si definisce componente cartesiana y del vettore. 17

20 Figura 17: Un vettore velocità. Figura 18: Il vettore velocità posto su un piano cartesiano. Facciamo un esempio concreto, limitandoci per semplicità ad uno spazio bidimensionale. Consideriamo un vettore v. Supponiamo che si tratti di un vettore velocità, il cui modulo valga 5 m/s e che sia orientato verso destra in modo da formare un angolo di 30 con l orizzontale (vedi figura 17). Prendiamo ora un sistema di coordinate cartesiane e tramite una traslazione (quindi senza variarne l inclinazione) disponiamo il vettore con la coda nell origine degli assi. Poiché si tratta di un vettore velocità, sugli assi cartesiani prendiamo una opportuna unità di misura (in questo caso m/s) ed associamo ad ogni tacca un valore opportuno, ad esempio supponiamo che ogni tacca valga 1 m/s (vedi figura 18). Adesso proiettiamo la punta del vettore sugli assi cartesiani e chiamiamo v x e v y i numeri che leggiamo sugli assi in corrispondenza delle proiezioni, come mostrato in figura 19. I numeri v x e v y sono le componenti cartesiane di v e dal disegno si vede chiaramente che: esse coincidono con le coordinate cartesiane del punto A in cui cade la punta del vettore 18

21 Figura 19: Componenti cartesiane del vettore velocità. i loro valori assoluti sono uguali alle lunghezze delle proiezioni (disegnate in verde nella figura) del vettore sugli assi, e questo è proprio quello che cercavamo di ottenere. Spesso, per indicare le componenti cartesiane di un vettore, si usa la notazione v = (v x ; v y ) (6) Naturalmente, anche per la misura dei vettori vale quanto detto nell Osservazione 2 a proposito della misura dell asta. In teoria, potremmo benissimo mettere la coda del vettore in un punto qualsiasi del piano cartesiano invece che nell origine. Così facendo, tuttavia, non sarebbe più vero che le lunghezze delle proiezioni del vettore sugli assi (cioè le sue componenti cartesinae), coincidono con le coordinate cartesiane della punta del vettore. Vediamolo in un esempio. Nella figura 20 è riportato un vettore con la coda in un punto A diverso dall origine. La punta del vettore cade nel punto B(5; 2) ma è evidente che le componenti cartesiane del vettore non sono (5; 2); infatti le lunghezze delle proiezioni del vettore sugli assi (disegnate in verde nella figura), sono 3 per l asse x e 1 per l asse y. Per ottenere le componenti cartesiane corrette, così come nel caso dell asta facevamo la differenza tra i numeri in corrispondenza dei punti in cui cadevano le due estremità dell asta, qui dobbiamo fare la differenza tra le coordinate x dei punti B ed A per la componente x, e la differenza tra le coordinate y dei punti B ed A per la componente y. 19

22 Figura 20: Un vettore con la coda non sull origine degli assi. In questo modo otteniamo i numeri B x A x = 5 2 = 3, (7) B y A y = 2 3 = 1 (8) che, presi in valore assoluto, forniscono proprio le lunghezze delle proiezioni. Naturalmente, così come nella misura dell asta preferiamo porre la sua estremità in corrispondenza dello zero del metro, così nella misura dei vettori preferiamo mettere il vettore con la coda nell origine degli assi e quindi di norma è così che vengono rappresentati. Concludiamo questo paragrafo con una osservazione. Attenzione a non confondere il concetto di componente cartesiana di un vettore, con il concetto di vettore componente secondo una retta visto nel paragrafo 1.9. La componente cartesiana è un numero, mentre un vettore componente è un vettore. Sono due cose diverse! 2.2 Dalle componenti cartesiane alle proprietà di un vettore Vediamo ora come utilizzare le coordinate cartesiane per ricavare le informazioni che esso contiene e cioè modulo, direzione e verso. Dalla figura 19, applicando il teorema di Pitagora, si ricava subito che per il modulo vale v = v 2 x + v 2 y (9) 20

23 Direzione e verso possono essere determinati calcolando l angolo che il vettore forma con l asse x. La trigonometria ci insegna che, per un generico angolo α, valgono le relazioni v x = v cos α (10) v y = v sin α (11) Dalle formule 10 e 11, facendo il rapporto tra la seconda e la prima equazione, si ricava v y = sin α v x cos α (12) Il rapporto tra le funzioni seno e coseno è uguale ad un altra funzione goniometrica, che si chiama tangente e si indica con tan (oppure con tg ). Quindi possiamo scrivere v y v x = tan α (13) A questo punto, possiamo ricavare l angolo tramite la funzione inversa della tangente, che si chiama arcotangente e si indica con arctan (oppure arctg, oppure atan, oppure tan 1 ). In conclusione, l angolo che il vettore forma con il semiasse positivo delle x, (e che va preso in senso antiorario se positivo ed in senso orario se negativo), è dato da: ( vy ) α = arctan, se v x > 0 v x ( ) α = 180 vy + arctan, se v x < 0 v x L aggiunta di 180 al risultato, nel caso in cui v x < 0, è necessario per ragioni che saranno chiare quando si studieranno le funzioni goniometriche inverse. (14) (15) 2.3 Calcolo della somma tramite componenti cartesiane Vediamo ora come le coordinate cartesiane ci aiutano ad eseguire la somma tra vettori. Consideriamo tre vettori, a, b e c, e sia d il vettore che rappresenta la loro somma. Disponiamo i vettori su un piano cartesiano ed eseguiamo la somma con il metodo puntacoda. Dalla figura 21 si vede chiaramente che per la somma vale la seguente regola: il vettore somma ha per componenti cartesiane la somma (algebrica) delle componenti cartesiane dei singoli vettori sommati. In formule si scrive 21

24 Figura 21: A sinistra, i tre vettori da sommare. A destra, la somma eseguita con il metodo punta-coda. Si vede che le componenti cartesiane del vettore somma sono date dalla somma delle componenti cartesiane dei vettori sommati. d x = a x + b x + c x (16) d y = a y + b y + c y 2.4 Calcolo del multiplo di un vettore tramite componenti cartesiane Il calcolo del multiplo di un vettore è molto semplice. Se b = (b x ; b y ) è un vettore ed r è il numero per cui lo si moltiplica, allora il multiplo è dato da r(b x ; b y ) = (rb x ; rb y ) (17) cioè vale la seguente regola: le componenti cartesiane del multiplo di un vettore si ottengono moltiplicando le componenti cartesiane del vettore per il numero. Che la formula 17 sia quella giusta, si capisce dal fatto che da essa, usando le formule 9 e 14, si ricavano i valori corretti per il modulo e l angolo formato con l asse x, come definiti nel paragrafo 1.8 (provare a ricavarli per esercizio!). Nella figura 22 sono riportati i due 22

25 Figura 22: Un vettore con due suoi multipli. seguenti multipli del vettore b = (2; 1): w = 2, 5 b = (5; 2, 5) u = 2 b = ( 4; 2) 2.5 Versori Abbiamo visto l utilità delle componenti cartesiane per eseguire alcune operazioni matematiche sui vettori. Ora introduciamo un nuovo oggetto che ci sarà utile per ricavare altre regole di calcolo. Definiamo versore, un vettore il cui modulo vale 1. Un versore viene indicato come un vettore, ma al posto della freccia, sulla lettera, si mette un accento circonflesso, come nel seguente esempio in cui abbiamo usato la lettera e: ê L utilità di un versore è che per mezzo dei suoi multipli possiamo indicare in modo semplice tutti i vettori che sono orientati lungo la sua direzione. Supponiamo, ad esempio, di voler indicare in modo semplice uno qualsiasi tra tutti i vettori che giacciono sulla retta inclinata di 45 rispetto all asse x. A tal fine, abbiamo bisogno innanzi tutto di un versore che sia orientato lungo tale direzione. Usando le formule 9 e 14, è facile vedere che il versore cercato è dato dal vettore ê = ( 1 2 ; ) 1 2 (18) 23

26 Figura 23: Il versore ê e alcuni suoi multipli. Esso, infatti, ha modulo 1 e l angolo che forma con l asse x è proprio di 45 : ( ) 2 ( ) ê = = 1 α = arctan ( ) = arctan(1) = 45 A questo punto, per quanto detto nel paragrafo 1.8, il generico vettore rê, con r numero reale, è un vettore il cui modulo vale proprio r. Inoltre, esso è sempre orientato nella direzione di ê, ed ha il suo stesso verso se r > 0, o verso opposto se r < 0. Nella figura 23 sono riportati il versore ê (in rosso) ed alcuni suoi multipli. Usando un versore, quindi, otteniamo due risultati: al variare di r nei numeri reali, il vettore rê rappresenta tutti e soli i possibili vettori che giacciono sulla retta individuata da ê il numero che compare davanti al versore, preso in modulo, ci dà immediatamente il valore del modulo del vettore, senza fare nessun calcolo. In conclusione, possiamo vedere un versore come una specie di cannone che spara vettori al posto di proiettili. La direzione del versore indica la direzione in cui verrà sparato il vettore, il valore assoluto del numero che lo moltiplica indica invece quanto lontano arriverà la punta del vettore ed il segno indica se il vettore verrà sparato all indietro. 24

27 Figura 24: Il vettore a scomposto secondo gli assi cartesiani. componente y. v è il componente x, u è il 2.6 Scomposizione di un vettore lungo gli assi cartesiani Abbiamo già visto come si scompone un vettore lungo due direzioni ortogonali. Un caso particolare di scomposizione, è quella fatta rispetto agli assi cartesiani. Nella figura 24 si mostra la scomposizione del vettore a = (a x ; a y ) = (4; 2) fatta rispetto agli assi x e y. Esso è stato scomposto nella somma dei due vettori componenti v ed u. Il vettore v è detto vettore componente x (poiché è parallelo all asse x), mentre il vettore u è detto vettore componente y (poiché è parallelo all asse y). La particolarità di questo tipo di scomposizione è che i vettori componenti che si ottengono sono paralleli agli assi. Grazie a questa loro caratteristica, le loro componenti cartesiane assumono una forma particolare. Della figura 24 si vede subito che le componenti cartesiane di v ed u sono v = (4; 0) u = (0; 2) Ricordando le proprietà dei multipli di un vettore, possiamo scrivere v = (4; 0) = 4(1; 0) u = (0; 2) = 2(0; 1) 25

28 Figura 25: I due versori (1; 0) e (0; 1). e ricordando che 4 e 2 sono proprio le componenti cartesiane di a, possiamo scrivere in generale v = a x (1; 0) u = a y (0; 1) In conclusione, possiamo scrivere a = a x (1; 0) + a y (0; 1) Guardiamo bene questa formula. Essa ci dice che un qualsiasi vettore si può sempre scrivere come somma di multipli dei vettori (1; 0) e (0; 1), con coefficienti pari alle componenti cartesiane del vettore. Ma chi sono questi due strani vettori? Per capirlo, proviamo a disegnarli sul piano cartesiano, come mostrato in figura 25. Essi sono due vettori di modulo 1, disposti lungo gli assi cartesiani, quindi essi non sono altro che i versori relativi alle direzioni degli assi cartesiani. In particolare: (1; 0) è il versore dell asse x, e si indica con ˆx (0; 1) è il versore dell asse y, e si indica con ŷ In conclusione, preso un qualsiasi vettore a, le cui componenti cartesiane sono a x e a y, esso si può sempre scrivere come a = a xˆx + a y ŷ (19) 26

29 cioè come somma di multipli dei versori degli assi cartesiani, dove i coefficienti dei versori sono proprio le componenti cartesiane del vettore. Ad esempio, il vettore a = (3; 2) può essere scritto come a = 3ˆx 2ŷ cioè come somma tra il triplo di ˆx ed il doppio cambiato di segno di ŷ. 2.7 Calcolo dei prodotti scalare e vettoriale tramite componenti cartesiane In questo paragrafo, tramite l uso dei versori, ricaveremo alcune importanti formule per il calcolo del prodotto scalare e del prodotto vettore a partire dalle componenti cartesiane. Prima di tutto però, ricaveremo di nuovo la formula per il calcolo della somma tra due vettori facendo vedere come essa possa essere ottenuta tramite l uso dei versori. Diamo innanzi tutto la seguente regola: Quando sommiamo vettori che sono multipli dello stesso versore, otteniamo un nuovo multiplo di quel versore il cui coefficiente è dato dalla somma dei coefficienti dei singoli vettori. Ad esempio, si debba fare la somma d = a + b c, dove a = ˆx + 3ŷ (20) b = 2ˆx 3ŷ c = 4ˆx + 5ŷ Applicando la regola si ottiene d = (ˆx + 3ŷ) + ( 2ˆx 3ŷ) (4ˆx + 5ŷ) = ˆx + 3ŷ 2ˆx 3ŷ 4ˆx 5ŷ = (1 2 4)ˆx + (3 3 5)ŷ (21) = 5ˆx 5ŷ Questa regola è equivalente, ovviamente, a quella rappresentata dalle formule 16. Infatti abbiamo ottenuto che la componente cartesiana x del vettore somma è data dalla somma delle componenti cartesiane x dei vettori da sommare. Stesso discorso vale per la 27

30 componente cartesiana y. In generale, quindi, per sommare i due vettori a = a xˆx + a y ŷ (22) b = bxˆx + b y ŷ vale la formula a + b = (a x + b x )ˆx + (a y + b y )ŷ (23) Prodotto scalare Per il prodotto scalare vale la stessa proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma che vale per il normale prodotto tra numeri. Supponiamo, quindi, di dover calcolare a b dove i vettori a e b sono quelli indicati nella 22. Applicando la proprietà distributiva, si ha: a b = (a xˆx + a y ŷ) (b xˆx + b y ŷ) = a x b xˆx ˆx + a x b y ˆx ŷ + a y b x ŷ ˆx + a y b y ŷ ŷ Per procedere con il calcolo, basta osservare che i versori ˆx e ŷ sono tra loro perpendicolari e quindi il loro prodotto scalare è 0. Se invece moltiplico un versore per sé stesso, sto moltiplicando scalarmente due vettori paralleli di modulo 1 e quindi ottengo 1. In sintesi, per i versori degli assi cartesiani, valgono le seguenti regole: ˆx ŷ = ŷ ˆx = 0 (24) ˆx ˆx = ŷ ŷ = 1 Per il nostro calcolo, otteniamo allora a b = a x b x + a y b y (25) che possiamo leggere come: il prodotto scalare tra due vettori è dato dalla somma dei prodotti delle componenti cartesiane corrispondenti. Si debba, ad esempio, fare il prodotto scalare tra i vettori a e b dati dalla 20. Dobbiamo sommare i prodotti tra le due coordinate x e le due coordinate y: a b = 1( 2) + 3( 3) = 11 28

31 Figura 26: I due tipi di terne cartesiane. Prodotto vettore Anche per il prodotto vettore vale la proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma. Supponiamo, quindi, di dover calcolare a b dove i vettori a e b sono quelli indicati nella 22. Applicando la proprietà distributiva, si ha a b = (a xˆx + a y ŷ) (b xˆx + b y ŷ) = a x b xˆx ˆx + a x b y ˆx ŷ + a y b x ŷ ˆx + a y b y ŷ ŷ Per procedere oltre, dobbiamo fare una considerazione. Fino ad ora abbiamo sempre considerato vettori contenuti nel piano cartesiano. Poiché, come abbiamo detto a suo tempo, il prodotto vettore fornisce un vettore che è perpendicolare al piano contenente i due vettori moltiplicati, è chiaro che il prodotto vettore tra due vettori contenuti nel piano xoy sarà perpendicolare a tale piano e quindi esterno ad esso. Per rappresentare tutti i vettori coinvolti in un prodotto vettore, quindi, siamo obbligati a considerare non più solo il piano cartesiano ma tutto lo spazio cartesiano, e cioè anche la terza dimensione che è indicata da un terzo asse, perpendicolare ad entrambi gli assi x ed y, chiamato asse z. Esistono due modi non equivalenti per prendere il terzo asse. Nella figura 26 sono rappresentati entrambi. Supponiamo di prendere gli assi x ed y nel solito modo, e cioè l asse x orizzontale orientato verso destra e l asse y verticale orientato verso l alto. L asse z deve essere preso 29

32 Figura 27: Terna cartesiana destrorsa, con i versori degli assi. perpendicolare al foglio e quindi la sua orientazione può essere scelta in due modi: uscente dal foglio; si dice allora che abbiamo preso una terna cartesiana destrorsa entrante nel foglio; si dice allora che abbiamo preso una terna cartesiana sinistrorsa. La regola comunemente adottata è quella di lavorare con terne destrorse. In figura 27 è riportata una terna destrorsa con i relativi versori degli assi. Applicando ora le regole del prodotto vettore, è semplice ricavare le seguenti uguaglianze ˆx ˆx = 0 ˆx ŷ = ẑ ˆx ẑ = ŷ ŷ ẑ = ˆx (26) ŷ ŷ = 0 ŷ ˆx = ẑ ẑ ˆx = ŷ ẑ ŷ = ˆx ẑ ẑ = 0 Tornando al nostro calcolo, quindi, si trova subito a b = a x b y ẑ a y b x ẑ = (a x b y a y b x )ẑ (27) Come ci aspettavamo, il risultato, dovendo essere un vettore perpendicolare al piano xoy, è un multiplo del versore dell asse z. Il verso potrà essere sia positivo che negativo, a seconda del segno del coefficiente (a x b y a y b x ). Ricordare a memoria la formula 27 può essere difficile. Per ricavarla, si può usare la seguente regoletta pratica, (illustrata nella figura 28): si scrivono le componenti cartesiane dei due vettori su due righe (è importante rispettare l ordine dei vettori: sulla prima riga si scrivono le componenti cartesiane del primo vettore, sulla seconda le componenti cartesiane del secondo) 30

33 Figura 28: Regola pratica per il calcolo del prodotto vettore tra due vettori appartenenti al piano xoy. Ciò che si ottiene è il coefficiente del versore ẑ. Figura 29: Vettore posizione del punto A. si fa la differenza tra il prodotto dei termini presenti sulla diagonale che va dall alto in basso e da sinistra verso destra, ed il prodotto dei termini sull altra diagonale. Osserviamo che tale regola vale solo per vettori contenuti nel piano xoy. 2.8 Una regola pratica sul vettore posizione Uno dei primi vettori che si incontrano nello studio della fisica è il vettore posizione, così chiamato perché indica la posizione del punto di cui si vuole studiare il moto, rispetto ad un altro punto preso come riferimento. In genere, poiché descriviamo la posizione dei corpi rispetto ad un sistema di coordinate cartesiane, il vettore posizione esprime la posizione di un punto rispetto all origine degli assi. Nella figura 29 è indicato il vettore posizione del punto A. Fino ad ora abbiamo sempre indicato un vettore tramite una lettera minuscola. Per indicare un vettore posizione, invece, spesso si usano due lettere maiuscole: 31

34 Figura 30: Vettori posizione. Alcuni sono riferiti all origine degli assi, come OA, altri sono riferiti a punti diversi, come AB. la prima lettera indica il punto preso come riferimento la seconda lettera indica il punto di cui si vuol dare la posizione. In base a tale regola, il vettore posizione del punto A si indica con OA, essendo O l origine degli assi. Analogamente, il vettore posizione di B si indica con OB (vedi figura 30). A volte tuttavia, capita di scrivere vettori che esprimono la posizione di un punto rispetto ad un punto diverso dall origine. Ad esempio nella figura 30 è rappresentato il vettore AB che esprime la posizione di B rispetto ad A e non rispetto ad O. Abbiamo già osservato che, poiché il vettore AB non ha la coda nell origine, le sue componenti cartesiane non coincidono con le coordinate cartesiane del punto B. Quello che vogliamo fare ora, è trovare un modo per ricavare le componenti cartesiane del vettore AB, a partire da quelle dei due vettori posizione OA ed OB, cioè dei vettori posizione delle sue estremità. Dalla figura 30, ricordando il metodo punta-coda per la somma dei vettori, si vede che OA + AB = OB, da cui si ricava AB = OB OA (28) Quindi, in generale, possiamo usare la seguente regola pratica: Il vettore che va da un punto iniziale ad un punto finale è dato dalla differenza tra i vettori posizione del punto finale e del punto iniziale. 32

35 ATTENZIONE! Notare l inversione dell ordine delle parole punto iniziale e punto finale tra la prima e la seconda parte della frase! La stessa regola vale anche quando sono coinvolti più di un vettore. Dalla figura 30 si vede che OA + AB + BC = OC da cui si ricava AB + BC = OC OA. Osservando che AB + BC = AC, si ottiene AC = OC OA Osservazione. Naturalmente, per esprimere le coordinate cartesiane di un vettore posizione possiamo sempre usare anche il metodo punta-coda. Ad esempio per il vettore AC della figura 30, abbiamo due possibilità: AC = OA + AC AC = OC OA (metodo punta-coda) (regola vista ora) Quale delle due forme conviene usare, dipende dal problema che abbiamo davanti. Se ad esempio abbiamo a disposizione tutti i vettori posizione dei punti, conviene usare la regola pratica, se invece abbiamo a disposizione i vettori che congiungono i vari punti, conviene usare il metodo punta-coda. 33