TORINO MARZO 2012 COMPENDIO DI GEOMETRIA ANALITICA E COMPLEMENTI DI GEOMETRIA di BART VEGLIA
Assi cartesiani ortogonali ASSI CARTESIANI y y 0 P (x 0 ; y 0 ) Sono due rette, tra loro perpendicolari, l una orizzontale e l altra verticale, il cui punto di incontro è detto origine degli 2 Q 1 Q assi. L asse orizzontale si chiama asse x, o delle ascisse; l asse verticale asse y, o delle ordinate. O I quattro angoli in cui è diviso il piano cartesiano si chiamano x 0 x quadranti, detti 1, 2, 3 e e 4. Il primo quadran te è quello a destra, in alto. Gli altri seguono in senso antiorario. 3 Q 4 Q Coordinate cartesiane Il piano definito dagli assi cartesiani x ed y, con origine O, viene indicato con la notazione Oxy. Ogni punto di tale piano è individuato da due numeri, prima l ascissa (x 0 ) e poi l ordinata (y 0 ), dette coordinate cartesiane. Es. P (x 0 ; y 0 ) Ad ogni coppia ordinata di coordinate corrisponde uno ed un solo punto, e viceversa. C è quindi una corrispondenza biunivoca tra punti del piano e coordinate. = Distanza tra due punti, cioè lunghezza di un segmento y La lunghezza di un segmento AB, i cui estremi hanno y B B coordinate (x A ; y A ) e ( x B ; y B ), si ottiene mediante il y M M teorema di Pitagora ed è y A A AB ( x A - x B ) 2 + ( y A - y B ) 2 x A x M x B x Punto di mezzo di un segmento Le coordinate ( x M, y M ) del punto di mezzo M di un segmento AB si calcolano facendo la media aritmetica delle coordinate omologhe degli estremi del segmento ( x A ; y A ) e ( x B ; y B ) x A + x B y A + y B x M = y M = 2 2 Coordinate del baricentro, o centro di gravità, di un triangolo Tre punti in un piano cartesiano A (x A ; y A ), B (x B ; y B ) e C (x C ; y C ), se non sono allineati definiscono un triangolo. Per determinare le coordinate del baricentro del triangolo, punto di intersezione delle tre mediane, valgono le formule x A + x B + x C y A + y B + y C x G = y G = 3 3 Trasformazione di coordinate Dati due sistemi di assi: O x y e C X Y, il secondo ruotato di un angolo α rispetto al primo; per trasformare le coordinate di un punto, riferite al sistema O x y, in coordinate 2
riferite al sistema C X Y, si usano le formule: x = x o + X cos α - Y sen α y = y o + X sen α + Y cos α (1) dove x o e y o sono le coordinate del punto C, origine degli assi X e Y, rispetto al sistema O x y Rotazione degli assi Se i due sistemi hanno l'origine coincidente, cioè x o = 0 e y o = 0, il sistema (1) diventa x = X cos α - Y sen α y = X sen α + Y cos α che sono le formule di rotazione degli assi Ad esempio per una rotazione di 90 in senso antio rario attorno all'origine O le formule diventano x = - Y ovvero X = y y = X Y = -x Traslazione degli assi Se i due sistemi hanno gli assi paralleli ed equiversi è α = 0, il sistema (1) diventa x = x o + X da cui X = x - x o y = y o + Y Y = y - y o che sono le formule della traslazione degli assi LE COORDINATE POLARI NEL PIANO Le coordinate cartesiane nel piano non sono l unico sistema per determinare la posizione di un generico punto P su un piano. Esistono infatti delle altre coordinate, dette polari, che consistono in due numeri, non negativi, mediante i quali si può determinare la posizione del punto P nel piano. Ecco in che cosa consistono le coordinate polari U Sia O un punto del piano, detto polo, e sia x una P semiretta orientata, che ha origine in O, detta asse polare. ρ Se si indica con ρ la lunghezza assoluta, in una data unità di misura (U), del segmento OP, e con ϑ l angolo che, in senso antiorario, il segmento OP forma con l asse O x polare, i due suddetti numeri, ρ e ϑ, rappresentano le coordinate polari di P e sono chiamati: ρ modulo e ϑ anomalia. Tra il punto P ed i due numeri ρ e ϑ sussiste una corrispondenza biunivoca che significa che, dato P sono fissate con certezza le due coordinate e, viceversa, stabilite le coordinate è determinato con sicurezza il punto P. Ovviamente l anomalia ϑ è determinata a meno di multipli additivi di 2π. Trasformazione delle coordinate polari in coordinate cartesiane 3
P Volendo trasformare le coordinate polari di un punto P nelle corrispondenti coordinate cartesiane, basta osservare ρ che è x = ρ cos ϑ e y = ρ sen ϑ ϑ E, viceversa, è O x da cui Ρ 2 = x 2 + y 2 e tg ϑ = y/x Ρ = x 2 + y 2 e ϑ = arctg y/x Es. Si vuole trasformare in forma cartesiana le coordinate polari ρ = 2 ; e ϑ = π / 2 Applicando le formule soprariportate si ottiene: x = ρ cos ϑ = 2 cos π/2 = 0 y = ρ sen ϑ = 2 sen π/2 = 2 Le coordinate cercate sono quindi x = 0; y = 2 Es. Si vuole trasformare in forma polare l equazione di una circonferenza data in forma cartesiana x 2 + y 2 = 4 (Si tratta di una circonferenza con centro O e raggio 2) Essendo, come risulta dalle formule di cui sopra, x = ρ cos ϑ e y = ρ sen ϑ si può trasformare l equazione della circonferenza data nel modo seguente da cui cioè ρ 2 cos 2 ϑ + ρ 2 sen 2 ϑ = 4 ρ 2 ( sen 2 ϑ + cos 2 ϑ ) = 4 ρ 2 = 4 e quindi ρ = 2 Chr significa che tuti i punti della circonferenza data distano di 2 dal centro O. L angolo ϑ, ovviamente, varia tra 0 e 2π LE COORDINATE CARTESIANE NELLO SPAZIO Per localizzare un punto nel piano è necessaria e sufficiente una coppia di numeri, che, come si è visto precedentemente, prende il nome di coordinate cartesiane nel piano. Per stabilire la posizione di un punto nello spazio occorre una terna di numeri detti coordinate cartesiane nello spazio. Questi tre numeri fanno riferimento a tre assi orientati: x, y, e z, perpendicolari tra di loro e passanti tutti e tre per lo stesso punto O,detto Origine degli assi. Su ognuno dei tre assi viene fissato un sistema di coordinate con l origine in O, aven ti normalmente le stesse (ma anche 4 z
diverse) unità di misura Dato un punto P nello spazio, del quale si C vuole determinare le coordinate riferite al sistema di assi sopra descritto, basta considerare i tre piani passanti per P e P perpendicolari ai tre assi (e quindi anche B tra loro ortogonali ) che intersecano: l asse x nel punto A; l asse y nel punto B e l asse z nel punto C O B A questi tre punti: A, B e C, corrispondono sui tre assi, a partire da O, tre segmenti: A OA, OB ed OC che, nell unità di misura scelta, danno tre numeriri relativi, che x rappresentano le tre coordinate spaziali di P, rispettivamente OA = x; OB = y; OC = z Per indicare che il punto P ha le suddette coordinate si usa la notazione P(x,y,z) y Come per le coordinate cartesiane nel piano e per le coordinate polari, anche in questo caso sussiste una corrispondenza biunivoca tra P e le tre coordinxte La distanza assoluta tra due punti generici nello spazio, R ed S, è data dalla fomula RS = ( x R x S ) 2 + ( y R y S ) 2 + (z R z S ) 2 In particolare la distanza di P dall origine O, che è la diagonale del parallelepipedo costruito sui tre assi, è PO = x 2 + y 2 + LUOGO GEOMETRICO PIANO Si definisce luogo geometrico piano l insieme di tutti e soli i punti del piano le cui coordinate cartesiane, sostituite ordinatamente alle x ed alle y di una equazione del tipo f(x ; y) = 0, soddisfano tale uguaglianza, che è detta equazione del luogo. Ad es. la funzione x 2 + y 2 = r 2 è l equazione del luogo geometrico: circonferenza con raggio r e centro nell origine delle coordinate cartesiane, come si vedrà in seguito. Particolari luoghi geometrici sono la retta e le coniche. Coefficiente angolare di una retta RETTA Si chiama coefficiente angolare di una retta la tangente trigonometrica dell'angolo di cui la retta stessa è inclinata rispetto all'asse x e lo si indica di solito con la lettera m Ovviamente non si può parlare di coefficiente angolare dell'asse y ( tg 90 = ) Retta per un punto 5
La retta per un punto P ( x o ; y o ), inclinata di un angolo α rispetto all'asse x, e avente quindi il coefficiente angolare uguale a m ( = tg α ) ha l'equazione y - y o = m ( x - x o ) oppure y = m x + q (in cui q = y o - m x o ) Queste equazioni sono dette equazioni esplicite della retta Retta per due punti Dati due punti P 1 ( x 1 ; y 1 ) e P 2 ( x 2 ; y 2 ), l'equazione della retta passante per tali due punti è x x 1 y y 1 = x 2 x 1 y 2 y 1 che, ponendo a = y 2 y 1 ; - b = x 2 x 1 ; c = x 2 y 1 - x 1 y 2 diventa: a x + b y + c = 0 Tale espressione è detta equazione generale della retta o equazione implicita della retta In particolare l'asse x ha equazione y = 0 e l'asse y ha l'equazione x = 0 Una retta r con tutti i coefficienti (a, b, c) diversi da zero, y detti anche parametri, intercetta gli assi cartesiani ad es, nei punti A (p ; 0) B (0 ; q) B (0;q) Essendo tali punti sulla retta r, si può scrivere ap + c = 0 e bq + c = 0 da cui si ricava p = -c/a e q = -c/b Poiché l equazione della retta r si può scrivere O A(p;0) x r x p y 0 = 0 p q 0 da cui si ha qx + py = pq, dividendo per pq si ottiene x/p + y/q = 1 (1) x y ossia = che è l equazione segmentaria della retta (2) -c/a -c/b perché p e q sono i segmenti intercettati dalla retta sugli assi cartesiani, detti intercette. Rette parallele Due rette sono parallele se i coefficienti angolari delle equazioni esplicite delle due rette sono uguali. Rette perpendicolari Due rette sono perpendicolari se il prodotto dei loro coefficienti angolari è = -1 (m e -1/m) Retta per un punto, perpendicolare ad una retta data 6
L'equazione di una retta passante per un punto dato P ( x o ; y o ) e perpendicolare ad una retta data y = m x + q si ottiene scrivendo l'equazione di una retta generica per quel punto y - y o = m' ( x - x o ) e imponendo che il prodotto dei due coefficienti angolari m m' = -1 ossia m' = - 1/m, come detto al paragrafo precedente Angolo tra due rette L'angolo γ tra due rette di equazione y = m x + q e y = m' x + q', indicando con α e β gli angoli di cui sono inclinate le rette rispetto all'asse x (supponendo α > β), con γ la loro differenza e ponendo m = tg α e m' = tg β si calcola mediante la formula tg α - tg β m m' tg γ = tg ( α - β ) = = 1 + tg α tg β 1 + m m' Distanza di un punto da una retta La distanza di un punto dato P ( x o ; y o ) da una retta data, avente equazione implicita a x + b y + c = 0, si ricava mediante la formula y 0 P (x 0 ;y 0 ) d a x o + b y o + c d = a 2 + b 2 O x 0 Bisettrici degli angoli fra due rette Siano date due rette s) ax + by + c = 0 e t) a'x + b'y + c' = 0 che formano 4 angoli Essendo la bisettrice di un angolo il luogo dei punti equidistanti dalle due rette che lo formano, per ricavare l'equazione della bisettrice occorre eguagliare le distanze di un suo punto generico P (x o ; y o ) dalle due rette s) ax o + by o + c a'x o + b'y o + c' d(p,s) = = d(p,t) = P a 2 + b 2 a' 2 + b' 2 cioè t) ax o + by o + c a'x o + b'y o +c' = ± a 2 + b 2 a' 2 +b' 2 da cui si ricavano le equazioni delle due bisettrici degli angoli formati dalle due rette Area di un triangolo 7 C
Per trovare l'area di un triangolo ABC,di cui sono note le coordinate dei vertici, si calcola la lunghezza del segmento di base ( ad es. AB ) e l'altezza h relativa ad AB, che è la distanza del punto C dalla retta passante per A e per B. E quindi S = AB h / 2 y h A Fascio proprio di rette O x Si definisce fascio proprio di rette l'insieme di tutte le rette B che passano per un punto fisso detto centro del fascio. L'equazione del fascio proprio si ottiene effettuando la combinazione lineare delle equazioni di due rette distinte del fascio, dette rette generatrici, cioè k ( a x + b y + c ) + k' ( a' x + b' y + c' ) = 0 essendo k e k' due numeri qualsiasi, detti parametri, di cui almeno uno 0 Le coordinate del centro del fascio si ricavano effettuando l'intersezione tra le due rette generatrici. a + t a c + t c Ponendo k /k = t l equazione esplicita del fascio è y = - x - a + t a b + t b b + t b e il coefficiente angolare generico è m = - b + t b Se x' e y' sono le coordinate del centro del fascio, l'equazione generale del fascio stesso si può scrivere così : a (x - x') + b (y - y') = 0 ovvero (x - x ) + t (y - y ) (1) dove a e b sono due numeri 0 e t è il rapporto b/a con a 0 Trovare le altezze di un triangolo, date le equazioni dei 3 lati, senza determinarne i vertici. L altezza h relativa al lato c appartiene al fascio dei lati a e b con centro C. Si scrive l equazione C del fascio (eq. di a ) + k (eq. di b ) = 0, e se ne y determina il coefficiente angolare generico m, che, b per l altezza relativa al lato c, deve essere uguale al reciproco, cambiato di segno, del coefficiente h a angolare m del lato c,. che è noto. Uguagliando A questi due valori si ricava k, che, sostituito nella equazione del fascio, dà l altezza h c Si procede analogamente per le altre due altezze. Fascio improprio di rette O x B Si definisce fascio improprio di rette l'insieme di tutte le rette parallele ad una retta data. Ovviamente il coefficiente angolare è lo stesso per tutte le rette Se la retta data ha equazione implicita a x + b y + c = 0 le altre rette del fascio avranno equazioni del tipo a x + b y + h = 0 Così pure se la retta data ha l'equazione esplicita y = m x + q le altre rette del fascio avranno equazioni del tipo y = m x + p CONICHE 8
Si chiamano coniche le curve ottenute sezionando una superficie conica con un piano Se il piano secante è perpendicolare all'asse del cono, la conica è una circonferenza ( Che si riduce ad un punto se il piano passa per il vertice del cono ) Se il piano secante è parallelo alla generatrice del cono, la conica è una parabola ( Una coppia di rette coincidenti se il piano passa per il vertice del cono ) Se il piano secante è parallelo all'asse del cono, la conica è un'iperbole (Una coppia di rette incidenti se il piano passa per il vertice del cono ) Se il piano secante è inclinato, rispetto all'asse del cono, di un angolo diverso da 90, non passante per il vertice e non parallelo alla generatrice del cono, la conica è una ellisse ( Un punto se il piano passa per il vertice del cono ) L'equazione generale di una conica è ax 2 + bxy + cy 2 + dx + ey + f = 0 L'espressione = b 2-4ac si chiama discriminante della conica Se < 0 la conica è un'ellisse (Se a=c=1 e b=0 la conica è una circonferenza; se poi anche d=e=f=0, la circonferenza ha il centro in O(0;0)) Se = 0 " " " una parabola Se > 0 " " " un'iperbole (v. anche a pag 16) Circonferenza, ellisse e iperbole si chiamano coniche a centro perché hanno un centro di simmetria CIRCONFERENZA La circonferenza è il luogo dei punti del piano equidistanti da un punto fisso detto centro C La distanza di ogni punto da C è il raggio r Indicando con α e β le coordinate del centro C, l'equazione cartesiana della circonferenza è ( x - α ) 2 + ( y - β ) 2 = r 2 (1) Se C coincide con l'origine degli assi O ( α = β = 0 ) l'equazione diventa x 2 + y 2 = r 2 L'equazione (1) sviluppata e con le sostituzioni a = -2α ; b = -2β ; c = α 2 + β 2 r 2 diventa x 2 + y 2 + ax + by + c = 0 (2) detta equazione normale della circonferenza Le coordinate del centro sono ovviamente α = a / -2 e β = b / -2 Il raggio è r = α 2 + β 2 - c L'equazione (2) rappresenta realmente una circonferenza solamente se il raggio è > 0 r 2 = α 2 + β 2 - c > 0 cioè (a/2) 2 + (b/2) 2 - c > 0 9
Intersezioni tra retta e circonferenza Le intersezioni di una circonferenza con una retta si ottengono facendo sistema delle due relative equazioni. Risolvendo il sistema si ottiene una equazione di 2 grado di cui è il discriminante Se > 0 (2 soluzioni) la retta è secante (2 intersezioni) Se = 0 (2 soluzioni coincidenti) la retta è tangente (punto doppio di tangenza) Se < 0 (nessuna soluzione reale) la retta è esterna alla circonferenza Lunghezza di una corda di una circonferenza Dati: l'equazione di una circonferenza ( ad es. x 2 + y 2 = 9 ) ed un punto A (x' ; y') su di essa ( ad es. (2 ; 5) ), volendo calcolare la lunghezza della corda intercettata dalla circonferenza su una secante passante per A con coefficiente angolare m ( ad es. m = 2/3 ) e la cui equazione è quindi y y' = m (x x') ( Nel caso dell'es. y = 2/3 (x-2) + 5 ) occorre porre a sistema le due equazioni ricavando così le coordinate dell'altro estremo B della corda La lunghezza della corda si ottiene come distanza tra i punti A e B ( v. relativo a pag. 2 ) Circonferenza per tre punti Per scrivere l'equazione della circonferenza passante per tre punti dati: A B e C si può procedere nel modo seguente. Ricordando che il centro si trova sugli assi delle corde, si scrivono le equazioni delle rette AB e BC, si trovano le coordinate dei punti di mezzo dei segmenti AB e BC (M ed N), si scrivono le equazioni degli assi di AB e BC (cioè le rette per M ed N perpendicolari rispettivamente alle rette AB e BC) e si trova l'intersezione dei due assi ottenendo così le coordinate α e β del centro P della circonferenza cercata. Calcolato il raggio della circonferenza ( ad es PA ), l'equazione voluta è del tipo della (1) di pag 7. Un altro modo per risolvere tale problema è quello cui si fa riferimento nel paragrafo "Fascio di parabole" di pag 14 Circonferenza passante per due punti dati e tangente ad una retta data Si fa sistema tra l equazione della circonferenza passante per i due punti e la equazione della retta. Ne risulta una equazione di 2 grad o di cui si pone il.uguale a zero. Il risultato di questa equazione permette di risolvere il problema. Il problema si può risolvere anche indicando con α e β le coordinate del centro C e imponendo che la distanza di C dalla retta sia uguale al raggio. Tangenti alla circonferenza Le due tangenti ad una circonferenza da un punto P ( x' ; y' ) esterno alla stessa si ottengono scrivendo l'equazione generica di una retta passante per P, cioè y - y' = m ( x - x' ), mettendola a sistema con l'equazione della circonferenza data e imponendo che il dell'equazione di 2 grado così ottenuta sia = 0 Si ottengono in tal modo due valori di m ed i valori delle coordinate dei punti di tangenza Un altro modo per scrivere l'equazione della tangente ad una circonferenza per P è quello di imporre che la distanza di una retta generica per P, dal centro sia uguale al raggio. 10
La tangente ad una circonferenza per un punto T ( x' ; y' ) appartenente alla stessa, si ottiene con la regola dello sdoppiamento, effettuando, nell'equazione della circonferenza le seguenti sostituzioni x 2 = x x' ; y 2 = y y' ; x = ( x + x' ) / 2 ; y = ( y + y') / 2 In questo modo l'equazione della tangente risulta: x x' + y y' + a ( x + x' ) / 2 + b ( y + y' ) / 2 + c = 0 Fascio di circonferenze Si definisce fascio di circonferenze l'insieme di tutte le circonferenze rappresentate dall'equazione risultante dalla combinazione lineare delle equazioni di due circonferenze date, dette generatrici k ( x 2 + y 2 + ax + by + c ) + k' ( x 2 + y 2 + a'x + b'y + c' ) = 0 o, più semplicemente, dividendo per k (supposto 0) e ponendo h = k' / k -1 x 2 + y 2 + ax + by + c + h ( x 2 + y 2 + a'x + b'y + c' ) = 0 a + a' h b + b' h c + c' h che si può scrivere x 2 + y 2 + x + y + = 0 (1) 1 + h 1 + h 1 + h Le coordinate del centro e il raggio di una generica circonferenza del fascio si ricavano dalla (1) ponendo a + a' h b + b' h 1 + h 1 + h c +c' h α = ; β = ; r 2 = α 2 + β 2 - - 2-2 1 + h I diversi tipi di fasci di circonferenze 1 ) Le due circonferenze generatrici si intersecan o in due punti A e B detti punti base per i quali passa una retta detta asse radicale ( la cui equazione si può ottenere facendo la differenza tra le equazioni delle due circonferenze generatrici ), perpendicolare alla retta passante per i centri, detta asse centrale Tutte le circonferenze del fascio passano per i punti base Per scrivere l'equazione di un fascio di circonferenze dati due punti (A e B) per i quali esse passano (punti base) si scrive l'equazione dell'asse radicale e poi quella dell'asse centrale Si sceglie un punto qualsiasi dell'asse centrale (per es l'intersezione con uno degli assi cartesiani) come centro C (α, β) di una circonferenza del fascio, se ne calcola il raggio r = AC e quindi l'equazione della circonferenza relativa (x - α) 2 + (y -β ) 2 = r 2. Si fa quindi la combinazione lineare delle equazioni dell'asse radicale e della circonferenza trovata, ottenendo così la richiesta equazione del fascio Un altro sistema è quello descritto nel paragrafo " Fascio di parabole " a pag. 14 dove è pure indicato un modo per scrivere l'equazione di una parabola passante per tre punti valido pure per la circonferenza 2 ) Le due circonferenze generatrici sono tra loro tangenti in un punto T per il quale passa la tangente t che è l'asse radicale 11
Tutte le circonferenze del fascio sono tangenti in T alla retta t L'equazione del fascio si può scrivere come combinazione lineare di una circonferenza qualsiasi del fascio, ad es.quella il cui centro C è l intersezione dell'asse centrale (retta perpendicolare alla t in T ) con uno degli assi cartesiani e il raggio CT, con l'equazione della retta t. In questo caso anche la circonferenza degenere di centro T e raggio nullo appartiene al fascio. 3 ) Le due circonferenze generatrici sono concentr iche Tutte le circonferenze del fascio hanno lo stesso centro delle due date. Infatti essendo In questo caso, le coordinate del centro, uguali, risulta a = a' ; b = b' e l'equazione del fascio (dalla (1) ) diventa quindi c + k c' x 2 + y 2 + ax + by + = 0 1 + k che è l'equazione di una generica circonferenza concentrica con le due date ELLISSE L'ellisse è il luogo dei punti del piano per i quali è costante la somma delle distanze da due punti fissi, detti fuochi dell'ellisse ( F e F' ), posti entrambi sull'asse x, oppure sull'asse y. Le intersezioni dell'ellisse con gli assi coordinati si chiamano vertici dell'ellisse ( V e V' ) y Indicando con 2a la distanza tra i vertici posti sull'asse x, con 2b la distanza tra i vertici posti sull'asse y, con ± c le ascisse dei fuochi sull'asse x o le ordinate dei fuochi sull'asse y, l'equazione del- V F F V l'ellisse risulta x 2 y 2 + = 1 a 2 b 2 detta equazione canonica o normale dell'ellisse -c a b x Se a > b è a 2 c 2 = b 2 ; a è il semiasse maggiore, b il semiasse minore, c = a 2 - b 2 (v. figura) c 2 = a 2 b 2 Se b > a è b 2 c 2 = a 2 ; b è il semiasse maggiore, a il semiasse minore, c = b 2 a 2 c 2 = b 2 a 2 Si chiama eccentricità dell'ellisse, l'espressione e = c/a, se riferita all'asse x oppure e = c/b se riferita all'asse y Il valore di e indica di quanto l'ellisse differisce dalla circonferenza Essendo e = c/a = 1 - ( b 2 / a 2 ) se a = b si ha e = 0 e l'equazione dell'ellisse diventa x 2 + y 2 = a 2 che rappresenta una circonferenza con centro O e raggio a Si chiamano direttrici dell'ellisse le rette con equazione x = ± a 2 / c 12
Si chiama diametro dell'ellisse qualsiasi corda passante per il centro Si chiamano raggi vettori focali dell'ellisse le distanze di un suo punto P (x;y) dai fuochi F ed F' La somma dei due raggi focali è uguale a 2a, come risulta dalla definizione dell'ellisse Tangenti all'ellisse Le tangenti ad un'ellisse da un punto esterno ad essa si ottengono come per la circonferenza (v. pag 8) L'equazione della tangente ad un'ellisse per un punto (x' ; y' ) appartenente alla stessa è data, con la regola dello sdoppiamento ( v pag 7), da x x' y y' + = 1 a 2 b 2 Ellisse con gli assi paralleli agli assi cartesiani Se il centro C dell ellisse non coincide con l origine O degli assi coordinati, l equazione di questa ellisse con gli assi paralleli agli assi x e y si ottiene mediante una traslazione di assi (V. a pag, 3) che porti O in C, avente coordinate x 0 ; y 0.. Pertanto la sua equazione rispetto ai nuovi assi X ed Y è X 2 Y 2 = 1 a 2 b 2 Ricordando le formule della traslazione degli assi, che sono le seguenti x = x 0 + X dalle quali derivano X = x x 0 y = y 0 + Y Y = y y 0 l equazione succitata diventa (x x 0 ) 2 (y y 0 ) 2 = 1 a 2 b 2 IPERBOLE L'iperbole è il luogo dei punti del piano per i quali è costante la differenza tra la maggiore e la minore delle loro distanze da due punti fissi, detti fuochi dell iperbole, posti entrambi sull'asse x o sull asse y Le intersezioni dell'iperbole con l'asse x ( conl'asse y ) si chiamano vertici dell'iperbole ( A e A' oppure B e B' ) Indicando con 2a la distanza tra i vertici F F dell'iperbole posti sull'asse x, detto asse x trasverso, con ± c le ascisse dei fuochi c b sull'asse x e ponendo c 2 a 2 = b 2 B ( b è posto sull'asse y, detto asse non trasverso perché non intersecato dall'iper- a 2 + b 2 = c 2 bole ) l'equazione dell'iperbole con il centro nell'origine O degli assi è la seguente: -c a 13 y B
x 2 y 2 = 1 a 2 b 2 detta equazione canonica o normale dell'iperbole con l'asse x come asse trasverso (Questa equazione differisce solo per il segno da quella dell iperbole) Se è l'asse y l'asse trasverso, è 2b la distanza tra i vertici dell'iperbole, c 2 b 2 = a 2, l'equazione dell'iperbole, sempre con il centro nell'origine O degli assi, risulta y 2 x 2 - = 1 a 2 b 2 che è l'equazione canonica dell'iperbole con l'asse y come asse trasverso Le ascisse dei fuochi F e F', se l'asse x è l'asse trasverso, o le loro ordinate, se l'asse trasverso è l'asse y, sono ± c = ± a 2 + b 2 Si chiama eccentricità dell'iperbole l'espressione e = c/a, se l'asse x è l'asse trasverso, oppure e = c/b, se l'asse trasverso è l'asse y Si chiamano asintoti dell'iperbole le rette aventi equazione y = ± (b/a) x che passano per il centro dell'iperbole e sono inclinate dell'angolo ± α rispetto all'asse x essendo tg α = ± b/a Si chiamano direttrici dell'iperbole le rette con equazione x = ± a 2 / c Si chiamano raggi vettori focali dell'iperbole le distanze di un suo punto P (x;y) dai fuochi F ed F' Si chiama diametro dell'ellisse qualsiasi segmento, passante per il centro, che unisce due punti dell'iperbole Tangenti all'iperbole Le tangenti ad un'iperbole da un punto esterno ad essa si ottengono come per la circonferenza (V. pag 8) La tangente ad un'iperbole per un punto P ( x' ; y' ) appartenente alla stessa è data con la regola dello sdoppiamento (v pag 7) da : x x' y y' y y' x x' - = 1 oppure - = 1 a 2 b 2 b 2 a 2 a seconda che sia trasverso l'asse x oppure l'asse y y Iperbole equilatera riferita agli assi E' una particolare iperbole in cui a = b L'equazione canonica di tale iperbole è x 2 - y 2 = a 2 (1) x Gli asintoti hanno equazione y = ± x L'eccentricità è e = 2 O a a x 14
Iperbole equilatera riferita agli asintoti y X Ruotando gli assi Oxy di ± 45 si ottengono a dei nuovi assi OXY e l'iperbole equilatera A che ha come assi X ed Y e come asintoti x ed y, ha l'equazione X 2 - Y 2 = a 2, che, con O x le formule di rotazione degli assi con α = ± 45, diventa x y = ± a 2 / 2 = k (costante) Il semiasse a si ricava calcolando le coordinate a del punto A (intersezione tra l'equazione della curva in coordinate XY e l'asse Y) x y ' + x' y La tangente in P (x' ; y') in questo caso è = k 2 Iperbole con gli assi paralleli agli assi cartesiani Se il centro C dell iperbole non coincide con l origine O degli assi cartesiani, la sua equazione, nel sistema CXY in cui gli assi X ed Y sono paralleli a quelli x ed y, si ottiene con un procedimento analogo a quello seguito nel paragrafo Ellissi con gli assi paralleli agli assi cartesiani (V. pag. 11) L equazione di tale iperbole è quindi: (x x 0 ) 2 (y y 0 ) 2 se l asse trasverso è parallelo all asse x a 2 b 2 oppure (y y 0 ) 2 (x x 0 ) 2 se l asse trasverso è parallelo all asse y a 2 b 2 Funzione omografica ax + b y E' la funzione y = (1) cx + d Y X in cui a, b, c e d sono costanti reali Se c = 0 la (1) rappresenta una retta di coefficiente β C angolare a / d Se c 0 e bc - ad = 0 la (1) rappresenta una retta parallela all'asse x Se c 0 e bc - ad 0, applicando le formule di traslazione degli assi ( v pag 3 ) con x 0 = -d/c = α e O α x y 0 = a/c = β (dove α e β sono le coordinate in Oxy del centro C degli assi X Y), la (1) si trasforma nella (2) bc - ad X Y = = k (costante) (2) c 2 che rappresenta una iperbole equilatera riferita agli asintoti, traslata,(cioè con C diverso da O) Le equazioni degli asintoti della (2) si ottegono ponendo nella (1) cx + d = 0 (cioè y= ), da cui x = -d/c e analogamente, nella funzione inversa x = (dy-b)/(-cy+a), ponendo -cy+a = 0 ( cioè x = ), da cui y = a/c 15 Y
PARABOLA La parabola è il luogo dei punti del piano equidistanti da un punto fisso, detto fuoco ( F ) e da una retta fissa, detta direttrice ( d ) Indicando con a, b, c, tre costanti reali arbitrarie l'equazione della parabola avente l'asse di simmetria parallelo all'asse y è y = a x 2 + b x + c y O F d x Tale equazione è detta equazione normale o canonica della parabola se a > 0 la concavità è rivolta verso l'alto (v. figura); se a < 0 verso il basso - b 4ac - b 2 Il vertice V è il punto avente coordinate ( ; ) 2a 4a - b 1 + 4ac b 2 Il fuoco F è il punto con coordinate ( ; ) 2a 4a -1 + 4ac b 2 La direttrice d è la retta parallela all'asse x, di equazione y = 4a L'asse di simmetria è la retta parallela all'asse y e passante per il vertice, di equazione x = - b / 2a Se l'asse di simmetria della parabola è parallelo all'asse x le espressioni precedenti diventano: Equazione canonica x = a' y 2 + b' y + c 4a'c' b' 2 -b' Vertice ( ; ) 4a' 2a' 1 + 4a'c' b' 2 -b' Fuoco ( ; ) 4a' 2a' -1 + 4a'c' b' 2 Direttrice x = 4a' -b' Asse di simmetria y = 2a' y O d F x Se a' > 0 la concavità è rivolta verso destra (v. figura); se a' < 0, verso sinistra 16
Tangenti alla parabola Le tangenti alla parabola da un punto esterno ad essa si ottengono come per la circonferenza (v. pag 8) L' equazione della tangente alla parabola per un punto ( x' ; y' ) appartenente alla stessa, per una parabola con asse di simmetria parallelo all'asse y,è data con la regola dello sdoppiamento ( v pag 8 ) da: y + y' x + x' = a x x' + b + c 2 2 L'equazione di una parabola con asse di simmetria parallelo all'asse x si ottiene sostituendo i coefficienti a b c con a' b' c' e scambiando y e y' con x e x' e viceversa Parabola del tipo y = ax 2 + bx + c tangente ad una data circonferenza in un suo punto ( x' : y' ) Si scrivono le equazioni delle due tangenti, alla parabola ed alla circonferenza, in ( x' ; y' ) in forma esplicita e si eguagliano i coefficienti delle x (coefficienti angolari) ed i termini noti ottenendo così i valori di a, b, c. Per risolvere il problema occorre però ancora una condizione, come ad es. il passaggio della parabola per un punto dato. Fascio di parabole Analogamente a quanto detto per la circonferenza, si definisce fascio di parabole l'insieme di tutte le parabole rappresentate dall'equazione risultante dalla combinazione lineare delle equazioni di due parabole dette generatrici k ( y - ax 2 - bx - c ) + k' ( y - a' x 2 - b' x - c' ) = 0 o più semplicemente,dividendo tale equazione per k (supposto o) e ponendo h = k' / k -1 y - ax 2 - bx - c + h ( y - a' x 2 - b' x - c' ) = 0 Anche per il fascio di parabole, se le due generatrici si intersecano in due punti, detti punti base, tutte le parabole del fascio passano per quei punti. Se, invece, le due generatrici non si intersecano, nessun punto del piano è comune a tutte le parabole. Per scrivere l'equazione del fascio di parabole passanti per due punti (A, B) si sostituiscono, nell'equazione generica della parabola, ad x e ad y, le corrispondenti coordinate di A e poi di B e si ricavano, dal sistema di due equazioni in tre incognite così ottenuto, i valori di due dei tre coefficienti, dei quali uno o entrambi in funzione del terzo coefficiente. Assumendo quest'ultimo come parametro h si ottiene la richiesta equazione del fascio Per scrivere l'equazione della parabola del fascio passante per tre punti (A, B e C) si può scrivere l'equazione del fascio di parabole avente come punti base due dei tre punti dati (ad es A e B) mediante il procedimento sopraindicato. Quindi si sostituiscono le coordinate di C al posto di x e y nell'equazione del fascio ottenendo in tal modo il valore di h che permette di ricavare l'equazione della parabola passante per i tre punti dati. 17
CONICHE DEGENERI E NON DEGENERI L' equazione generale di una conica: (v. pag 7) si può scrivere anche così: ax 2 + 2bxy + cy 2 + 2dx + 2ey + f = 0 (1) Consideriamo il determinante dei coefficienti a b d = b c e = acf + bed + bed cd 2 b 2 f e 2 a d e f Consideriamo ora il determinante a b δ = = ac - b 2 b c Consideriamo infine l'espressione Ι 1 = a + c Le tre espressioni, δ, Ι 1 prendono il nome rispettivamente di invariante cubico, invariante quadratico, invariante lineare del polinomio F(x, y) = ax 2 + 2bxy + cy 2 + 2dx + 2ey + f Se = 0 la conica è degenere Se δ > 0 si tratta di un punto Se δ < 0 si tratta di una coppia di rette incidenti (perpendicolari se Ι 1 = 0) Se δ = 0 si tratta di due rette parallele Il prodotto membro a membro delle equazioni, in forma implicita,di due rette incidenti dà l'equazione di un'iperbole degenere Il quadrato dell'equazione, in forma implicita, di due rette coincidenti dà l'equazione di una parabola degenere L'ellisse degenere consiste in un punto; ad es. lo 0, come nell'equazione x 2 + 2y 2 = 0 Es. 2x 2 + 3xy - 2y 2 + 7x - y + 3 = 0 ( = 0) che si può scrivere ( 2x - y + 1) (x + 2y +3 ) che rappresenta appunto una coppia di rette Essendo 2 3/2 δ = = 4 9/4 < 0 e Ι 1 = a + c = 2 2 = 0 3/2-2 le rette sono perpendicolari Si tratta di un'iperbole degenere Se 0 la conica non è degenere Se δ > 0 e il prodotto Ι 1 * < 0 si tratta di un'ellisse reale " " " " " Ι 1 * > 0 " " " ellisse immaginaria Se δ < 0 " " " iperbole " " " " " " Ι 1 = 0 " " " iperbole equilatera Se δ = 0 " " di una parabola 18
Riduzione delle coniche a centro alla forma canonica Per le coniche con un centro di simmetria C le relative coordinate x 0 e y 0 si trovano risolvendo il sistema a x + b y + d = 0 b x + c y + e = 0 Tale centro esiste se il determinante dei coefficienti di x e y, cioè a c - b 2 è 0 Si effettua quindi una traslazione di assi, che trasporta O in C; risolvendo il sistema x = X + x 0 y = Y + y 0 e la (1) si trasforma così in un'altra equazione del tipo a X 2 + 2 b X Y + c Y 2 + F = 0 (2) La conica in questione, oltreché traslata, può essere anche ruotata di un angolo α. Ponendo Y / X = tg α da cui (Y = X tg α) dalla (2) si ottiene - F X 2 = (3) c tg 2 α + 2 b tg α + a E' opportuno scegliere α in modo che sia rispettata l'equazione b tg 2 α - (c a) tg α - b = 0 (4) da cui si ricavano due valori della tg α che sono i coefficienti angolari dei due assi Ovviamente i valori trovati della tg α corrispondono ai coefficienti angolari di due direzioni tra loro perpendicolari. Le misure dei due assi si ottengono inserendo i due valori della tg α nella (3) e quindi utilizzando la formula MN = X 2 + Y 2 = X 1 + tg 2 α, che dà la misura di un generico diametro dell'ellisse, Volendo ridurre alla forma normale l'equazione della conica, che è anche inclinata dell'angolo α, si deve ruotare la conica stessa di α, in un senso o nell'altro, utilizzando l'uno o l'altro valore di tg α Con il valore prescelto si calcolano sen α e cos α con le note formule tg α 1 sen α = e cos α = (5) ± 1 + tg 2 α ± 1 + tg 2 α Ricavando X ed Y con le formule di rotazione degli assi ( v. pag. 3 ) la (2) assume la forma X = x' cos α - y' sen α (6) Y = x' sen α + y' cos α 19
x' 2 y' 2 ± = 1 2 x 0 y 0 che è la voluta equazione normale di una conica a centro Nel caso dell'iperbole gli asintoti sono le rette, passanti per C, aventi coefficiente angolare m = y / x dato dalla soluzione dell'equazione a x 2 + 2 b x y + c y 2 = 0 Esempio Sia data l'equazione 5 x 2 + 4 xy + 8 y 2 + 8 x +14 y + 5 = 0 Calcoliamo 5 2 4 = 2 8 7 = - 81 0 Si tratta quindi di una conica non 4 7 5 degenere δ = 5 2 2 8 = 40 4 = 36 > 0 La conica è un'ellisse I 1 = a + c = 13 I 1 = (- 81 ) 13 < 0 La conica è un'ellisse reale Calcolo del centro dell'ellisse C 5 x + 2 y + 4 = 0 x o = - 1/2 2 x + 8 y + 7 = 0 y o = - 3/4 coordinate di C effettuando la traslazione di assi x = X - 1 / 2 y = Y - 3 / 4 l'equazione dell'ellisse, nel nuovo sistema d'assi X,Y, diventa: 5 X 2 + 4 X Y + 8 Y 2-9/4 = 0 (7) Ponendo Y/X = tg α ( da cui Y = X tg α ) nell'equazione dell'ellisse, si ottiene (V. la (3)) 9 X 2 = 4 ( 8 tg 2 α + 4 tg α + 5 ) Applicando la (4), che nel caso dell'esempio vale: 2 tg 2 α - 3 tg α - 2 = 0 si ricavano i due valori di tg α ( 2: coefficiente angolare dell'asse minore e -1 / 2: coefficiente angolare dell'asse maggiore) e quindi le misure del semiasse minore (1 / 2 ) e di quello maggiore ( 3 / 4 ) 20
Volendo ridurre a forma normale l'equazione data si deve ruotare l'ellisse dell' angolo α in un senso o nell'altro. Ad es α = arctg 2 che corrisponde a una rotazione in senso orario Con tg α = 2 si calcolano (con le (5)) sen α = ± 2 / 5 e cos α = ± 1 / 5 Assumendo per es. i valori positivi di sen α e cos α le formule di rotazione degli assi (5) diventano X = x ' / 5-2 y ' / 5 Y = 2 x ' / 5 + y '/ 5 Applicando queste formule la (7) diventa x' 2 y' 2 9 x' 2 + 4 y' 2 = 9 / 4 da cui + = 1 1 / 4 9 / 16 che è la voluta equazione normale dell'ellisse data y Y -1/2 O α x y Ellisse ridotta in forma normale C -3/4 X Ellisse data 21
Equazioni parametriche dell ellisse EQUAZIONI PARAMETRICHE DELLE CONICHE L equazione cartesiana dell ellisse, come si è visto nel relativo a tale conica, è x 2 y 2 + = 1 in cui a e b sono due numeri che rappresentano le misure dei due a 2 b 2 semiassi dell ellisse Dalla goniometria è noto che sen 2 φ + cos 2 φ = 1 x 2 y 2 Si può quindi porre = cos 2 φ e = sen 2 φ la cui somma è a 2 b 2 appunto uguale a 1 Le espressioni sopra citate si possono anche scrivere x = cos φ x = a cos φ a (1) y = sen φ y = b sen φ b Le (1) sono le equazioni parametriche dell ellisse. Esse permettono di disegnare per punti, con facilità, un ellisse data, nel modo seguente y s A b sen φ B P (x;y) φ O B A x OA = a (in figura. a = 3,5) OB = b (in figura. b = 2) a cos φ Con il centro in O si disegnano due circonferenze aventi raggi a e b. Quindi, partendo da O, si conducono delle semirette, come la s, che forma l angolo φ con l asse x ed interseca le due circoferenze, rispettivamente, in A ed in B. Dette A e B le proiezioni di A e B sull asse x, si può subito constatare che il segmento OA = a cos φ ed il segmento BB = b sen φ Pertanto il punto P(x;y). che è l intersezione tra la parallela per A all asse y e la parallela per B all asse x, rappresenta un punto dell ellisse, che nell esempio del disegno ha l equazione x 2 y 2 + = 1 da cui, essendo l angolo φ nella figura di circa 49, 9 4 si possono calcolare le coordinate parametriche di P che sono x = a cos φ = 3,5 cos 49 2,3 e y = b sen φ = 2 sen 49 1,51 22
I due valori calcolati corrispondono, come si può facilmente verificare, alle misure della figura. Ripetendo più volte la costruzione sopra descritta si può tracciare, in modo facile, per punti qualsiasi ellisse Equazioni parametriche della circonferenza Nel caso particolare in cui a = b = r l ellisse diventa una circonferenza le cui equazioni parametriche si ricavano facilmente da quelle dell ellisse, sostituendo r ad a ed a b. x = r cos φ Esse sono y = r sen φ Equazioni parametriche dell iperbole Per quanto riguarda l iperbole che, come si è visto nel relativo a tale conica, ha l equazione cartesiana x 2 y 2 - = 1 a 2 b 2 x = a / cos φ Le equazioni parametriche sono (2) y = b tg φ Infatti se le (2) vengono scritte nella forma x / a = 1 / cos φ y / b = tg φ si ha x 2 y 2 1 sen 2 φ cos 2 φ - = - = = 1 a 2 b 2 cos 2 φ cos 2 φ cos 2 φ Viene così dimostrato che le equazioni parametriche sopra riportate per l iperbole corrispondono effettivamente all equazione cartesiana della stessa conica. Asintoto p OA = a (in figura a = 2) A B P (x;y) OB = b (in figura b = 1,5) φ O B A Iperbole t Asintoto b a a / cos φ 23
- Anche nel caso dell iperbole si può fare una facile costruzione per punti di una curva data c ome, ad es. quella della figura, nella quale a = 2 e b = 1,5. Bisogna operare nel modo seguente. Si disegna una circonferenza di centro O e raggio a, ed una retta di equazione x = b Si conducono quindi, a partire da O, delle semirette, come la p che forma con l asse x l angolo φ (Nella figura quest angolo vale circa 54 ) e d interseca la circonferenza in A ( OA = a) e la retta di equazione x = b in B. Condotta per A la tangente t alla circonferenza, essa interseca l asse x in A, determinando il segmento OA che è uguale ad OA / cos φ cioè ad a / cos φ, che è la coordinata x dell equazione parametrica dell iperbole. L intersezione tra la parallela all asse y per A e la parallela all asse x per B è il punto P, che è un punto dell iperbole data in quanto la sua ascissa è x = a / cos φ e l ordinata è y = b tg φ (Infatti dal triangolo OBB risulta che è tg φ = BB / b cioè y / b ) x = 2 / cos 54 3,40 L equazione parametrica della iperbole della figura è y 1,5 tg 54 = 2,06 I due valori trovati corrispondono abbastanza bene alle misure effettuate sulla figura. Ripetendo più volte la costruzione sopra descritta si può disegnare per punti qualunque iperbole. y 2 x 2 Se l iperbole da tracciare ha l equazione cartesiana - = 1 - a 2 b in tal caso le cordinate parametriche, che costituscono le equazioni parametriche cercate, sono y = a / cos φ x = b tg φ 24
TRASFORMAZIONI NEL PIANO Le trasformazioni stabiliscono una corrispondenza biunivoca tra i punti di un piano Esiste cioè una relazione che fa corrispondere ad ogni punto del piano uno ed un solo punto del piano stesso Le trasformazioni di questo tipo si chiamano affinità Sono affinità: le rotazioni, le traslazioni, le simmetrie, le omotetie e le similitudini. Le equazioni di una generica affinità nel piano sono del tipo x' = ax + by + p (1) a b y' = cx + dy + q con il determinante dell'affinità A = c d 0 Un'affinità con A > 0 è detta diretta o positiva; con A < 0 indiretta o inversa o negativa Se in una trasformazione nel piano ad un punto P corrisponde se stesso, P si chiama punto unito. Deve quindi essere x = x e y = y In una affinità del tipo rappresentato dal sistema (1) i punti uniti si trovano scrivendo x = ax + by + p ossia (a 1)x + y + p = 0 (2) y = cx + dy + q cx + (d-1)y + q = 0 Le soluzioni delle (2) sono le coordinate degli eventuali punti uniti Analogamente, se ad una retta del piano corrisponde se stessa, tale retta si chiama retta unita. Tutti i punti di una retta unita sono punti uniti Se, ad es.,l affinità data è x = 2x + y + 1 y = x + 2y + 1 per cercare i punti uniti si deve scrivere x = 2x + y + 1 ossia x + y + 1 = 0 y = x + 2y + 1 x + y + 1 = 0 Si può concludere che l affinità data ha una retta di punti uniti ed è quindi una retta unita di equazione x + y + 1 = 0 Studiare una trasformazione significa stabilirne il tipo e cercarne gli eventuali elementi uniti Traslazione ( V. anche pag 2 ) Fa corrispondere ad un punto P (x;y) del piano un punto P' (x ;y ) spostato rispetto a P di un segmento orientato (vettore) PP' il cui modulo è a 2 + b 2 Le equazioni della trasformazione sono y' P' x' = x + a y' = y + b La traslazione di vettore nullo è un'identità (a=b=0) b y O P x P a, x' Traslazione-prodotto E il risultato di due successive traslazioni 25
1ˆ traslazione 2^ traslazione Traslazione- prodotto x' = x + a x = x + c x = x + a + c y' = y + b + y = y + d y = y + b + d Traslazione simmetrica Data la traslazione x' = x + a la traslazione simmetrica è x = x - a y' = y + b y = y - b La traslazione prodotto di due traslazioni simmetriche è l identità. Infatti si ha x = x - a = x + a a = x y = y - b = y + b b = y Rotazione y y P (x ;y ) Nella figura a fianco il segmento r = OP è ruotato di un angolo α rispetto a OP = r, che a sua volta forma un angolo β r con l asse x. Le coordinate di P e P sono P(x;y) e P (x ;y ) y P(x;y) r Poiché è x = r cos β e y = r sen β si ha α x = r cos (α + β) = r (cos α cos β - sen α sen β) = x cos α - y sen α O x x y = r sen (α + β) = r (senα cos β + cos α sen β) = y cos α + x sen α Le equazioni trovate x = x cos α y sen α y = x sen α + y cos α sono le formule della rotazione, gia viste a pag.3 β x Simmetria assiale Fa corrispondere ad ogni punto P del piano il punto P' simmetrico di P rispetto ad una retta r detta asse di simmetria Se l'asse di simmetria è quello delle ascisse le r equazioni della trasformazione sono x' = x y' = -y P Analogamente se l'asse di simmetria è quello delle ordinate le equazioni della trasformazione sono x' = -x y' = y O P' 26
Simmetria centrale Fa corrispondere ad un punto P del piano il punto P' simmetrico di P rispetto ad un punto fisso C (a, b) detto centro di simmetria Le equazioni della trasformazione si ottengono dalle x + x' y' P' = a x' = 2a - x C 2 da cui b y + y' y' = 2a - y y = b P 2 Omotetia x a x' Dato un punto O ( centro dell'omotetia ) ed un numero k ( rapporto di omotetia ) la trasformazione fa corrispondere ad un punto A un punto A' allineato con O e tale che il rapporto OA' / OA = k Così pure per OB e per OC. Se k > 0 l'omotetia è diretta Se k < 0 l'omotetia è inversa Se k = 1 si ha un'identità C' Le equazioni della trasformazione C sono x' = kx y' = ky O B A B' A' K = 3 Similitudine Mantiene invariati gli angoli ed il rapporto tra i segmenti Tale rapporto è detto rapporto di similitudine ( k ) c ε b Se k = 1 la similitudine è detta isometria o congruenza β Il rapporto tra l'area di una figura piana e quella della γ k = 2 figura ad essa corrispondente in una similitudine con e rapporto uguale a k, è costante e uguale a k 2 Se si tratta di solidi, anziché di figure piane, il rapporto tra le superfici totali è k 2, mentre il rapporto tra i γ i volumi è k 3 2b Le equazioni della trasformazione sono del tipo x' = k ( x cos α - y sen α ) + p y' = k ( x sen α + y cos α ) + q oppure x' = k ( x cos α + y sen α ) + p y' = k ( x sen α - y cos α ) + q Per essere una similitudine i coefficienti della (1) debbono soddisfare le condizioni a 2 +c 2 = b 2 + d 2 e ab + cd = 0 Il rapporto di similitudine k = a 2 + c 2 = b 2 + d 2 27 ε 2 c β 2e
Trasformazione prodotto E il risultato di due trasformazioni successive: ad es. una traslazione ed una rotazione danno origine ad una traslorotazione. Traslorotazione o rototraslazione Siano date: la traslazione (2) e la rotazione (3) espresse dalle formule viste prima. X = x + x 0 x = x cos α - y sen α Y = y + y o (2) y = x sen α + y cos α (3) La trasformazione prodotto delle due è la traslorotazione le cui equazioni sono: X = x cos α - y sen α + x 0 Y = x sen α + y cos α + y 0 (4) Queste formule possono, ad es., essere impiegate per la risoluzione del problema della Riduzione di una conica a centro alla forma canonica, già trattato in una forma un po diversa alla pag. 16 Occorre innanzitutto ricordare la equazione generale delle coniche rappresentata dalla (1) di pag. 15 Riprendendo in esame la conica, traslata e ruotata, dell esempio di pag. 17 che è 5 X 2 + 4 XY + 8 Y 2 + 8 X + 14 Y + 5 = 0 (5) si determinano innanzitutto i valori dei coefficienti che compaiono nella (1) con i quali è opportuno calcolare gli indici, δ, I 1. Tali indici avevano consentito di appurare (V. pagg. 15-17) che la conica in esame è una ellisse reale con un centro di coordinate x 0 = -1/2 e y 0 = -3/4 Sostituendo i valori di x 0 e y 0 nelle (4) e sostituendo le (4) nella (5) si ottiene 5 (x cos α - y sen α - ½) 2 + 4 (x cos α - y sen α - ½)(x sen α + y cos α- ¾) + 8 (x sen α + y cos α ¾) 2 + 8 (x cos α y sen α - ½) + 14 (x sen α + y cos α - ¾) + 5 = 0 Effettuati i calcoli piuttosto laboriosi si perviene alla seguente espressione (5 x 2 + 8 y 2 ) cos 2 α+ (5 y 2 + 8 x 2 ) sen 2 α+ 4 sen α cos α (x 2 - y 2 ) + + 6 xy sen α cos α - 4 xy (sen 2 α - cos 2 α) 9/4 = 0 (6) Poiché nella equazione della conica in forma canonica non compaiono termini in xy si pone 6 xy sen α cos α - 4 xy (sen 2 α - cos 2 α) = 0 Dividendo per 2 xy cos 2 α si ottiene 2 tg 2 α - 3 tg α - 2 = 0-1/2 α 1 = - 26,56505 da cui si ricavano i valori della tg α = ( α 2 - α 1 = 90 ) 2 α 2 = 63,43495 I due valori dell angolo α corrispondono alla rotazione della conica data in senso orario ( α < 0 ) o in senso antiorario ( α > 0 ). Qualunque sia però il valore della tangente che si inserisce nelle formule del seno e del coseno ( che sono le (5) di pag. 17) da sostituire nella (6), si perviene allo stesso risultato, che è l equazione 9 x 2 + 4 y 2 = 9/4 da cui dividendo per 9/4 si ottiene l equazione canonica della ellisse, uguale a quella di pag.19. x 2 / (1/4) + y 2 / (9/16) = 1 28
Elementi di geometria DISCUSSIONE DI PROBLEMI DI GEOMETRIA Problema con una sola incognita Esempio In un triangolo isoscele ABC di base BC = 2 λ, gli angoli alla base sono di 30. Determinare sul lato AC un punto M in modo che sia BM 2 + CM 2 = 2 k λ 2 Ponendo AB = m risulta m cos 30 = λ Ossia m = 1 / cos 30 = 2 λ / 3 = ( 2 3 / 3 ) λ A Ponendo CM = 2 x M si ha MH = 2 x sen 30 = x m 2x HC = 2 x cos 30 = 3 x 30 BH = 2 λ - 3 x B Applicando il teorema di Pitagora al triangolo BMH si 2 λ H ricava BM 2 = MH 2 + BH 2 = x 2 + ( 2 λ - 3 x ) 2 C L'equazione del problema si può quindi scrivere così 4 x 2 2 3 λ x + 2 λ 2 - k λ 2 = 0 che è l'equazione ( parametrica ) risolvente 3 λ ± λ 3 8 + 4 k _ x = Σ = 3 λ / 4 4 Dalla figura risulta 0 2 x 2 3 λ / 3 cioè 0 x 3 λ / 3 Discussione dell'equazione parametrica Si studiano : = 4 k 5 0 per k > 5/4 A = 4 > 0 sempre verificato Confronto con gli estremi dell'intervallo della x f(0) = 2 k 0 per k 2 Σ - 0 = 3 λ / 4 > 0 sempre verificato f( 3 λ / 3) = 4/3 - k 0 per k 4/3 Σ - 3 λ / 3 = 3 λ / 4-3 λ / 3 = - 3 λ / 12 > 0 29 mai verificato
Si riportano i risultati nello schema seguente 5/4 4/3 2 (k) A f(0) Σ - 0 _ f( 3 λ / 3) _ Σ - 3 λ / 3 Dall'esame dello schema si può concludere che Per k < 5/4 le radici non sono reali Per 5/4 k 4/3 le radici sono reali ( coincidenti per k = 5/4 ) f(0) e f( 3 λ / 3) sono concordi con A e tenendo conto dei Σ le radici sono disposte come nello schema seguente 0 Σ 3 λ /3 x 1 x 2 2 soluzioni Per 4/3 < k 2 le radici sono reali e distinte f(0) e A sono concordi e Σ > 0 f( 3 λ /3) ed A sono discordi, le radici sono disposte come nello schema _ 0 Σ 3 λ /3 x 1 x 1 soluzione ( x 1 ) Per k > 2 le radici sono reali e distinte f(0) e f( 3 λ/ 3) sono discordi da A le radici sono disposte come nello schema 0 Σ 3 λ/3 x 1 x 2 nessuna soluzione 30
Problema con due incognite Esempio Nella circonferenza di centro O e raggio r sono condotte: a) la corda AB la cui distanza dal centro è uguale alla metà del raggio; b) la corda BC perpendicolare ad AB. Determinare sull'arco AC, non contenente B, un punto P in modo che sia 2 PC PA = k r (1) Ponendo PC = x e PA = y l'equazione (1) del problema diventa 2 x + y = k r in cui 0 x 2 r 0 y 2 r Poiché AC è un diametro e l'angolo in P è quindi retto, dal teorema di Pitagora riferito al triangolo APC, si ha x 2 + y 2 = 4 r 2 da cui il sistema A B y = k r - 2 x (2) x 2 + y 2 = 4 r 2 che si trasforma nel sistema misto ( V. Cap "Sistema misto" nel "Compendio di analisi matematica" ) 5 x 2-4 k r x - 4 r 2 + k 2 r 2 = 0 equazione risolvente 0 x 2 r P y r/2 x r C Discussione dell'equazione risolvente (tenendo presente la (2)) 2 k r ± r 4 k 2 + 20-5 k 2 2 k r ± r 20 k 2 x = = Σ = 2 k r / 5 5 5. Adottiamo il metodo del confronto = 20 - k 2 0 per k 2 20 cioè 0 k 2 5 A = 5 > 0 sempre verificato 31