Corsi di laurea di I livello: Scienze e tecnologie agrarie Gestione tecnica del territorio agroforestale e sviluppo rurale TEOREMA DI BERNOULLI FLUIDI NON PERFETTI Materia: Idraulica agraria (6 CFU) docente: prof. Antonina Capra prof. A. Capra 1
TEOREMA DI BERNOULLI FLUIDI NON PERFETTI A causa della presenza degli sforzi tangenziali tra le molecole del liquido, ma soprattutto tra il liquido e le pareti del canale, si verifica una dissipazione di energia meccanica. In un certo senso si potrebbe pensare che l energia potenziale della corrente viene dissipata per vincere le resistenze al moto. La velocità si mantiene dunque costante (condizione di moto uniforme), cosicché risulta: z 1 + p 1 /γ + v 12 /2g = z 2 + p 2 /γ + v 22 /2g + Y Con Y= J ΔL Essendo Y= perdita di carico distribuita durante il percorso J = perdita di carico per unità di percorso L J indica dunque l inclinazione della cadente piezometrica, funzione delle grandezze geometriche, cinematiche e fisiche che caratterizzano il moto. Y= J ΔL rappresenta la perdita di carico distribuita relativa al tratto di lunghezza L, dovuta alla scabrezza del canale. prof. A. Capra 2
Linea dei CARICHI TOTALI PER LIQUIDI NON PERFETTI Y=J*L Linea dei carichi totali (lct) Linea piezometrica Profilo della condotta Il piano dei carichi idrostatici (pci) è orizzontale perché rappresenta l altezza che raggiungerebbe l acqua in condizioni idrostatiche (principio dei vasi comunicanti) Esso dista dalla linea dei carichi totali della quantità Y (J*L), che si manifesta solo con acqua in movimento La linea dei carichi totali lct è inclinata nella direzione del moto, poiché H diminuisce della quantità Y La linea piezometrica (z+p/γ) è inclinata e dista dalla lct della quantità v 2 /2g prof. A. Capra 3
Applicazione ad una condotta monodiametrica o ad un canale con altezza dell acqua h costante (moto uniforme) Piano dei carichi totali Y=J*L Linea piezometrica Le diverse sezioni idriche Ai sono costanti Le velocità in corrispondenza di dette sezioni sono costanti (per l equazione di continuità Q=A*V) da cui si evince che La pendenza della linea piezometrica è uguale alla pendenza di fondo del canale (o della condotta) J = i essendo il piano dei carichi totali parallelo alla linea piezometrica e al fondo del canale. prof. A. Capra 4
IL MOTO DEI FLUIDI REALI NELLE CORRENTI IN PRESSIONE Una semplice esperienza può evidenziare la differenza di comportamento di un fluido reale rispetto a quello di un fluido ideale: in un condotto tra due serbatoi è convogliata una portata fluida, una serie di piezometri consente il rilievo della linea piezometrica innalzandosi del termine cinetico V 2 /2g si ha la linea dei carichi totali. Se il liquido fosse perfetto la linea dei carichi totali sarebbe orizzontale, alla quota del serbatoio di monte, mentre la linea piezometrica si svilupperebbe parallela ad essa raggiungendo, sempre orizzontalmente, il serbatoio di valle. prof. A. Capra 5
Se eseguissimo l esperienza con un fluido reale i piezometri evidenzierebbero che i loro menischi si dispongono a quote calanti nel senso del moto; ciò implica un analogo calo della linea dei carichi totali, conseguente alle dissipazioni energetiche che inevitabilmente intervengono nel fenomeno. prof. A. Capra 6
La diminuzione del carico con l ascissa s prende il nome di cadente e si indica con la lettera J. H J = s In altre parole, il dislivello Y disponibile tra i due serbatoi non si trasforma totalmente in energia cinetica ( V = 2gY ), ma una parte di energia potenziale si dissipa durante il moto del fluido. Le dissipazioni distribuite lungo il condotto prendono il nome di perdite di carico distribuite e risultano funzione dei parametri ogeometrici (sezione, forma, scabrezza), ofisici (densità e viscosità del fluido) e ocinematici (velocità media o portata) della corrente. prof. A. Capra 7
Z Su un tratto uniforme di lunghezza L, le perdite di carico distribuite risultano pari all integrazione della cadente J (adimensionale: m/m o m/km) sul tratto L: ed il dislivello Z tra i serbatoi: in parte si trasforma in energia cinetica (V 2 /2g) ed in parte (JL) si dissipa sottoforma di energia termica Z=(V 2 /2g)+Y=(V 2 /2g)+J*L 2 p. d. c. = Y = 1 J ds = J L prof. A. Capra 8
Quanto detto ci conferma l'insufficienza nelle applicazioni pratiche della ipotesi di liquido perfetto. Anzi, mentre l'ipotesi di incomprimibilità può essere conservata con sufficiente approssimazione, l'ipotesi di assenza di viscosità o di attrito interno nullo conduce a risultati completamente difformi dalla realtà. Il moto reale in effetti è dissipativo e quindi il livello energetico della massa di peso unitario non si mantiene costante. La ragione sta proprio nelle azioni tangenziali e nelle resistenze dovute alla viscosità. Le azioni tangenziali sono dovute alle differenze di velocità che sussistono all'interno del liquido tra le particelle in movimento. prof. A. Capra 9
Basta osservare una distribuzione di velocità in una sezione di una corrente cilindrica in moto uniforme L'andamento della velocità lungo un diametro è all'incirca parabolico. Esiste una velocità massima al centro ed una velocità nulla ai bordi. Tale paraboloide della velocità ha forme differenti a secondo della scabrezza della parete. E' più allungato nel caso della parete scabra e più appiattito nel caso della liscia. Ciascuna corona circolare del liquido in movimento sarà dotata di velocità diverse ola corona più esterna eserciterà un azione frenante rispetto a quella più interna oviceversa quella più interna eserciterà un'azione di trascinamento su quella esterna Queste azioni reciproche, e soprattutto quelle sull'involucro esterno vincolato, producono dissipazione di energia. prof. A. Capra 10
Perdite di carico localizzate Se la condotta non conserva le sue caratteristiche di uniformità ma varia bruscamente la sezione o la direzione del suo asse l'esperienza rileva delle sacche di liquido che non partecipano al moto di trasporto. In esse si accentua la turbolenza e tutta l'energia viene dissipata da moto di agitazione che in parte viene attivato dalla corrente in moto. La corrente in moto trasmette un'energia che non viene ritrasformata e risulta quindi perduta. Queste ulteriori dissipazioni di energia prendono il nome di perdite di carico localizzate prof. A. Capra 11
Esempi di linee piezometriche a) Liquido perfetto Y=J*L b) Liquido reale prof. A. Capra 12