Esercizi di Fisica Matematica 3, anno 014-015, parte di meccanica hamiltoniana e quantistica Dario Bambusi 09.06.015 Abstract Gli esercizi dei compiti saranno varianti dei seguenti esercizi. Nei compiti non è ammesso l uso né di appunti né di testi. 1 Meccanica Hamiltoniana Esercizio 1.1. Data la langragiana risolvere le equazioni di Hamilton L(q, q) = 1 q + q q 3q. (1.1) Esercizio 1.. Data la langragiana risolvere le equazioni di Hamilton L(q, q) = 1 ( q + q q) q (1.) Esercizio 1.3. Data la langragiana L(q, q) = q 1 + q 3 4 q (1.3) 1
Meccanica quantistica A premessa di tutti gli esercizi si ricordano le seguenti formule; quelle rilevanti verranno anche ricordate nel testo dei compiti + e σx dx = π σ, + e a x π +bx dx = a e b 4a. Le autofunzioni dell oscillatore armonico sono Ĥ := m x + 1 Kx (.1) u n (x) = N n H n (αx)e 1 α x, n = 0, 1,... (.) con H n i polinomi di Hermite e α = (mk/ ) 1/4. I primi sono dati da H 0 (ξ) = 1, H 1 (ξ) = ξ, H (ξ) = 4ξ. (.3) Nell oscillatore armonico con K = m = = 1 gli operatori di creazione e distruzione a, a sono dati da a = ˆq + iˆp, a = ˆq iˆp Esercizio.1. Determinare i livelli energetici e le autofunzioni normalizzate di una particella soggetta ad un potenziale V tale che V = 0 per 0 x L e V = altrimenti. Calcolare il valor medio e lo scarto quadratico medio della posizione. Esercizio.. Determinare i livelli energetici e le autofunzioni normalizzate di una particella soggetta ad un potenziale V tale che V = 0 per 0 x L e V = altrimenti. Trovare la distribuzione del momento per una particella che si trovi nell nesimo livello energetico Esercizio.3. Scrivere l equazione di Schrödinger per un oscillatore armonico in rappresentazione momento. Scriverne la soluzione. Calcolare la distribuzione di probabilità del momento nello stato fondamentale e nel primo stato eccitato. Esercizio.4. Scrivere la soluzione dell equazione di Schrödinger per una particella soggetta al potenziale V (x) = F x. Esercizio.5. Si consideri una funzione d onda della forma Ψ(x, t) = Ae λ x e iωt dove A, λ ed ω sono costanti positive. Normalizzare la funzione d onda, determinare il valor medio di x ed x e lo scarto quadratico medio x.
Esercizio.6. Si consideri una particella quantistica sulla retta e si denoti con P ab (t) la probabilità di trovare la particella nell intervallo [a, b] all istante t. Mostrare che vale la relazione dp ab dt = J(a, t) J(b, t), dove J(x, t) è un opportuna funzione di x, t. Calolare tale funzione. Esercizio.7. Si consideri una funzione d onda della forma { A(a x ) if x a ψ(x) = 0 altrimenti Normalizzarla, calcolare x, p, x, x. Esercizio.8. Una particella in una buca di potenziale infinita si trova all istante t = 0 in uno stato che è la combinazione lineare di due stati stazionari ψ 1, ψ, cioè in uno stato della forma ψ 0 = A(ψ 1 + ψ ). Normalizzarla, calcolare ψ(x, t), ψ(x, t), x all istante t. Esercizio.9. Una particela in una buca di potenziale infinita, situata tra a ed a (dove a > 0), si trova all istante iniziale in uno stato della forma { A, se x > 0 ψ 0 (x) = 0, altrimenti Calcolare la probabilita che all istante zero una misura dell energia fornisca un valore pari allo stato fondamentale. Calcolare la medesima quantità all istante t. Esercizio.10. Trovare l unica autofunzione propria ed il corrispondente valore dell energia per una particella soggetta ad un potenziale della forma V (x) = qδ(x). Esercizio.11. Trovare le relazioni di indeterminazione tra le osservabili q e F (p), dove F è un polinomio. Esercizio.1. Si consideri la funzione d onda ψ(x) = φ(x)e i p0x con φ a valori reali. Si calcoli il valor medio del momento. Come si interpreta p 0? Esercizio.13. Si mostri che gli autostati di una particella soggetta ad un potenziale soddisfano a p = 0. Suggerimento: calcolare [ˆx, Ĥ]. 3
Esercizio.14. Dimostrare che, nel caso di operatori limitati vale la formula La serie converge? e ˆL Âe ˆL = Â + [ˆL, Â] + 1! [ˆL, [ˆL, Â]] + 1 3! [ˆL, [ˆL, [ˆL, Â]]] +... Esercizio.15. Calcolare le relazioni di commutazione [ ˆM i, ˆx j ] e [ ˆM i, ˆp j ], dove ˆM i sono le varie componenti dell operatore momento angolare. Esercizio.16. Calcolare le relazioni di commutazione [ ˆM i, (ˆx + ŷ + ẑ )] e [ ˆM i, (ˆp x + ˆp y + ˆp z)], dove ˆM i sono le varie componenti dell operatore momento angolare. Esercizio.17. Mostare che in un autostato di ˆMz i valori di aspettazione di M x ed M y sono nulli. Calcolare in un siffatto stato il valore di aspettazione della componente del momento angolare lungo un asse che forma un angolo θ con l asse z. Esercizio.18. Si ricorda che l hamiltoniana di unaparticella in un campo magnetico è data da Ĥ = 1 ( ˆp e ) m c A + V (x) dove ˆp (ˆp x, ˆp y, ˆp z ) e A è il potenziale vettore. Avendo definito l operatore velocità come ˆv j := i [Ĥ, ˆx i], si calcoli tale operatore e si calcolino le relazioni di commutazione tra le sue componenti. Esercizio.19. Si scriva l Hamiltoniana di due particelle sulla retta interagenti tramite un potenziale centrale. Definite le variabili X := m 1x 1 + m x m 1 + m, x = x 1 x e i corrispondenti operatori momento, cioè ˆP := i X, ˆp := i x, si riscriva l Hamiltoniana in termini di tali operatori e se ne deducano alcune conseguenze. Esercizio.0. Un campo di forze a simmetria centrale da luogo ad un sistema discreto di autovalori. Mostrare che il minimo dell energia per un dato l (dove l è il numero quantico orbitale), aumenta con l. Esercizio.1. Si consideri ψ 0 (x) = Ce x /. Determinare C in modo che valga ψ 0 L = 1 4
Si consideri l Hamiltoniana dell oscillatore armonico con K = /m e si calcoli il valor medio dell energia in ψ 0. Commentare. Esercizio.. Si consideri ψ 0 (x) = Ce x. Determinare C in modo che valga ψ 0 L = 1 Si consideri l Hamiltoniana dell oscillatore armonico con K = /m. Si calcoli la probabilità che una misura dell energia fornisca il valore K m. Esercizio.3. Si consideri ψ 0 (x) = Ce x /. Determinare C in modo che valga ψ 0 L = 1 Calcolare la soluzione ψ(x, t) dell equazione di Schrödinger per la particella libera con dato iniziale ψ 0. quanto vale lim t ψ(0, t)? Esercizio.4. Si consideri l equazione di Schrödinger per una particella libera di massa m e si assuma che all istante iniziale la funzione d onda valga ψ 0 (x) = { 1 se x 1 0 se x > 1 (.4) Calcolare ψ(x, t) in termini di trasformata di Fourier. Calcolare la probabilità che la quantità di moto all istante t sia tra p e p + dp. 5