Esercizi di Analisi Matematica I. Andrea Corli e Alessia Ascanelli

Esercizi di Analisi Matematica I Andrea Corli e Alessia Ascanelli 6 settembre 5

ii

Indice Introduzione v Nozioni preinari. Fattoriali e binomiali..................................... Progressioni.......................................... Massimi, minimi, estremo superiore e inferiore...................... Successioni 5. Definizioni e proprietà................................... 5. Calcolo dei iti...................................... 8. Altri esercizi........................................ Serie. Convergenza delle serie.................................... Altri esercizi........................................ 7 4 Funzioni di una variabile 4. Domini e proprietà..................................... 4. Grafici elementari...................................... 4. Funzioni invertibili..................................... 5 4.4 Limiti............................................ 8 4.5 Asintoti........................................... 4.6 Altri esercizi........................................ 5 Calcolo differenziale 5 5. Derivate........................................... 5 5. Rette tangenti....................................... 6 5. Derivate formali...................................... 7 5.4 Derivazione delle funzioni inverse............................. 8 5.5 Funzioni derivabili e non derivabili............................ 4 5.6 Calcolo di iti con la regola di de l Hospital...................... 4 5.7 Studi di funzione...................................... 4 5.8 Altri esercizi........................................ 49 6 Calcolo integrale 55 6. Primitive.......................................... 55 6. Integrali definiti....................................... 6 6. Calcolo di aree....................................... 64 6.4 Integrali generalizzati................................... 66 6.5 Altri esercizi........................................ 68 Alcuni libri di esercizi 7 iii

iv INDICE

Introduzione Gli esercizi risolti di seguito sono stati assegnati alle prove scritte del Corso di Analisi Matematica I, Corso di Laurea in Ingegneria Civile e Ambientale, durante gli anni 8. Lo scopo di questa raccolta è dunque quello di permettere allo studente di verificare il livello della sua preparazione in vista dell esame, non tanto quello di proporre un libro organico di esercizi; per questi, si veda la lista riportata in bibliografia. Numerosi grafici completano le risoluzioni; la grandezza delle figure è stata ridotta al minimo per questione di spazio. Ringraziamo Stefano D Angelo per averci segnalato alcuni errori ed imprecisioni in una versione precedente. Ferrara, 6 settembre 5 Andrea Corli, Alessia Ascanelli v

vi INTRODUZIONE

Capitolo Nozioni preinari. Fattoriali e binomiali.. Calcolare 7! 4!! 4! 5! n! c) n + )! d) n!) n n!. ; 6 5 ; c) n + ; d) n )!... Calcolare ) 8 ) 7 ) c) 8 ) d). 7 65; 5; c) 9; d).. Progressioni.. Calcolare n k= e k

CAPITOLO. NOZIONI PRELIMINARI n k= log ) k. Basta applicare la formula en+ e n e ) log ) n+ log ) n log ). n k= q n = qn+, valida per q. q. Massimi, minimi, estremo superiore e inferiore.. Dire se i seguenti insiemi hanno massimo o minimo e, in caso affermativo, calcolarli: A =, ], ], B =, ] [, + ) A = [, ) [, ), B =, ) [, 4) c) A =, ], + ), B = [, ], 4) d) A =, ), + ), B = [, 4], ). Si ha: ma A =, min A non esiste; ma B = min B = ; ma A non esiste, min A = ; ma B non esiste, min B = ; c) ma A =, min A non esiste; ma B non esiste, min B = ; d) non esistono ma A, min A, ma B, min B... Dire se i seguenti insiemi hanno massimo o minimo e, in caso affermativo, calcolarli: A = { + n ; n =,,...} B = {ne n ; n =,,...} c) C = { n +n ; n =,,...} d) D = { n n+ ; n =,,...}. Si ha: min A non esiste, ma A = 4; min B non esiste, ma B = /e; c) min C = /, ma C non esiste; d) min D =, ma D non esiste... Disegnare sommariamente nel piano gli insiemi riportati qui sotto; trovarne poi estremo superiore, inferiore, massimo e minimo se esistono). A = { n, n); n =,,,... } { B = n, ) } n ; n =,,,... C = {n, n ) } ; n =,,,... D = { n, n n + ) ; n =,,,... Vedi Figura.. Si ha: sup A = +, inf A = min A =, ma A non esiste poiché A non è superiormente itato; sup B =, inf B = min B =, ma B non esiste pur essendo B superiormente itato; sup C = ma C =, inf C =, min C non esiste; sup D =, inf D = min D = /, ma D non esiste. }.

.. MASSIMI, MINIMI, ESTREMO SUPERIORE E INFERIORE 5 A B 4.5.5 5 5 5 5 C D..8.4.6.6.8 5 5.4. 5 5 Figura.: Vedi Esercizio...

4 CAPITOLO. NOZIONI PRELIMINARI

Capitolo Successioni. Definizioni e proprietà.. Dire se le seguenti proprietà delle successioni {a n }, n, sono vere o false) definitivamente, motivando la risposta: a n = ) n ; a n = ) n n ; c) a n = log n ; n d) a n = /n >. Falsa, ma non definitivamente perché per ogni n dispari la successione {a n } assume valori negativi mentre per ogni n pari assume valori positivi; falsa, ma non definitivamente perché per ogni n dispari la successione {a n } assume valori negativi mentre per ogni n pari assume valori positivi; c) vera per tutti gli n N, in quanto a n se n <, condizione sempre soddisfatta; n d) vera per tutti gli n N, in quanto /n > equivale a n >... Dire se le seguenti proprietà delle successioni {b n }, n, sono vere o false) definitivamente, motivando la risposta; specificare esplicitamente da quale naturale n la proprietà diventa vera o falsa): b n = n 9 ; b n = log n < ; c) b n = n ; d) b n = e n <. Definitivamente vera: n 9 se n log, cioé se n ; 9 definitivamente vera: log n > se n > e, cioé se n ; c) definitivamente vera: deve essere n log, cioé n 7; d) definitivamente falsa: e n < se n 4, perciò la proprietà è falsa per n 5... Sia ϵ > ; dire se è vero che vale definitivamente + n < ϵ n + n < ϵ c) + n < ϵ. 5

6 CAPITOLO. SUCCESSIONI Vero: basta che n > ϵ. Falso: la disuguaglianza vale solo se n < ϵ. c) Vero: basta che n > ϵ )...4 Provare, utilizzando la definizione di ite, che log + ) = n n c) d) n n = n /n = log n + ) = +. n Dato ϵ > si deve verificare che log + ) < ϵ definitivamente, ovvero per n > N. n Risolvendo log + ) < ϵ, ossia + n n < eϵ, si ottiene n > e ϵ ) = N. Verifichiamo che per ogni ϵ > è n < ϵ definitivamente, ovvero < ϵ se n > N. n Si ottiene n > ϵ + = N. c) Sia ϵ > ; si deve verificare che /n < ϵ se n > N. Siccome /n per ogni n, basta risolvere /n < ϵ +, da cui n > log ϵ + )) = N. d) Dato M >, si deve provare che log n + ) > M definitivamente. Risolvendo n + > e M si ottiene n > e M ) = N...5 Calcolare, usando la definizione di ite: n n) n n n n ). Si ha n n n) = + ; infatti, dato M >, la disuguaglianza n n > M è soddisfatta ). per n > + +4M Si ha n n n ) = ; infatti, dato M >, la disuguaglianza n n < M è verificata per n > + +4M...6 Provare che la successione a n = n + n diverge a + usando la definizione stessa di ite. Dato M >, si deve provare che a n > M definitivamente. Risolvendo la disequazione di secondo grado n + n M > si ottiene n > + + 4M = N...7 Sia {a n } una successione. Dire se è vero o falso motivando la risposta) che {a n } itata {a n } ha ite; a n = l, a n > per ogni n l > ; n c) a n a n+ per ogni n {a n } ha ite; d) a n+ a n per ogni n n a n =. Falso. La successione a n = ) n è itata tra ed, ma non ha ite. Falso. La successione a n = + n è tale che a n > per ogni n, ma il suo ite vale l =. c) Vero. Ogni successione monotona crescente ammette ite.

.. DEFINIZIONI E PROPRIETÀ 7 d) Falso. La successione a n = n è monotona decrescente ma il suo ite vale zero...8 Provare che le seguenti successioni {a n } non hanno ite; trovare per ognuna di esse una successione {b n } tale che n a n b n = : a n = n sin π + nπ) a n = log n cosπn) c) a n = ) n n n ) d) a n = n + ) n n. Poiché sin π + nπ) = )n, si ha a n = ) n n: Tale successione non è itata, quindi non può convergere. Se divergesse a +, allora tutti i punti della successione, tranne al più un numero finito sarebbero contenuti in un intervallo M, + ), M > ; questo non può essere perché per ogni n dispari la successione assume valori negativi. Analogamente non può divergere a ; dunque la successione non ammette ite. Infine si scelga ad esempio b n = /n. Si ha cosπn) = ) n, quindi a n = ) n log n. Tale successione non è itata, e non diverge per lo stesso motivo del precedente esercizio; dunque non ammette ite. Si scelga b n = / log n. c) La successione è asintoticamente equivalente a ) n+ n, che non ha ite per lo stesso motivo dei precedenti esercizi. Si può scegliere b n = /n. d) La successione non è superiormente itata, quindi non può convergere. Se divergesse a +, si arriverebbe ad un assurdo ragionando come negli esercizi precedenti; dunque la successione non ammette ite. Infine b n = /n...9 Si consideri la successione a n = n + )n n Dire se è itata, monotona; calcolarne il sup, inf e, se esistono, ma, min; c) calcolarne il ite. per n =,,.... Si trova a =, a = 5, a = 8 )n,.... La successione è itata inferiormente: n + n n. La successione non è itata superiormente: fissato M > si ha n + )n n > M n se n > M +. La successione è monotona; infatti a n+ a n = { n+ nn+) + n+ nn+) se n pari se n dispari. Se n è dispari allora a n+ a n >. Se n è pari a n+ a n > se n n >, dunque se n n > ; nn+) risolvendo la disequazione si trova che questo è vero se n > 4; se n = si verifica direttamente che a a = >. Dunque {a 6 n} è monotona strettamente crescente. Infine si ha: sup a n = +, inf a n = min a n =, non esiste ma a n, n a n = +... Sia a n una successione di numeri reali, con n a n =. Dire se le seguenti affermazioni sono vere o false, motivando la risposta: n a n = ; n a n+ a n ) = ; c) n a n = + ; d) sup n N a n < +. Vero, per le proprietà dei iti; vero, perché il ite della differenza di due successioni convergenti è uguale alla differenza dei loro iti; c) falso, il ite potrebbe anche non esistere: si consideri ad esempio la successione a n = ) n ; d) vero, perché ogni successione convergente è itata.

8 CAPITOLO. SUCCESSIONI π ).. Dire per quali k N la successione n sin k n è convergente. π ) Dire per quali n N la successione k sin k n è convergente. Per k = la successione è identicamente nulla, dunque converge a zero; per k > la successione non ammette ite per n +, infatti: se n = mk, m N, la successione è identicamente π ) nulla, mentre se n = mk + la successione vale sin ; k π ) per ogni n N, k sin k n = sin =.. Calcolo dei iti.. Trovare un asintotico delle seguenti successioni: n4 + n + n + log n n n n + e n log n n c) n log n d) n/ + n / + n /4 + n /5. c) n4 + n + n + log n / n 4/ n n n n + e n n n = ; log n n n = n; n log n n = n; d) n/ + n / + n /4 + n /5 n/ n /4 = 4 n... Calcolare i seguenti iti: c) d) e) f) g) h) i) + n n n n n n n n n n n n n n + ) n n n log n n ) n n n /) n n e n e n n) e n n n n sinnπ/) n e n e n + e n Si ha + n n n n n n7/ n = n4/, e n n4/ ) = ;

.. CALCOLO DEI LIMITI 9 si ha + n )n n = +, dunque n + ) n n = ; c) n log n n n, e n = + ; n d) si ha n n n, perciò il ite vale ; e) è /) n, dunque si ha n f) poiché < e <, si ha n e n /) n = + ; ) n n e ) n =, e dunque n e n e n n) = ; n g) en n e ) n, perciò il ite vale zero; n h) il ite non esiste, perché la successione data è il prodotto di una successione divergente a +, n / n, per una successione che non ammette ite, sinnπ/); i) si ha che.. Calcolare e n e n + e = e e e dunque il ite vale e. n e + e n n [n logn ) n ) log n]; n ; n + n n n c) n Si ha n n n n +. logn ) n log n n = log Inoltre ) n = e, dunque n n [ ) n [ n = log n] = log ) n ] n. n n ) n n + ; pertanto il ite dato vale + ; n n )n n n Moltiplicando numeratore e denominatore per n + n + n n si ottiene n + n + n n n + n n =, n dunque il ite vale. c) Moltiplicando numeratore e denominatore per n + n n + si trova..4 Calcolare che è il valore del ite. n n n n log n. n n n n n n + = n + n n + ) n + n = n n Ricordiamo che a = e a log se >. Si ha n n log n = e n ; poiché log n n = allora n n n n = e =. Si ha n log n = e log n log n = e, dunque n n log n = e...5 Calcolare n n + ) n n + ) n. n

CAPITOLO. SUCCESSIONI Si ha + ) n [ = + )] [ n = n + ) ] n / ; n n n ) poiché n + n ) = e si ha n n + n = +. n Si ha + ) n [ = + )] n = n n n poiché n + n ) n = e si ha n + n ) n =. [ + ) n ] ; n..6 Si considerino le successioni definite qui sotto; dire se esistono i rispettivi iti e, in caso affermativo, calcolarli: { n + )/n se n pari a n = se n dispari { n se n b n = se n < { n/n + ) se n pari c) c n = se n dispari. n+ Il ite non esiste: poiché n =, fissato < ϵ < i termini di indice pari sono n definitivamente compresi nell intervallo [ ϵ, + ϵ], mentre in tale intervallo non cade alcun termine di indice dispari. La successione {b n} coincide definitivamente n ) con la successione {n }, che diverge; dunque n b n = +. n n+ c) Poiché n =, fissato ϵ > i termini di indice pari sono definitivamente compresi nell intervallo [ ϵ, + ϵ] e in tale intervallo cadono pure tutti i termini di indice dispari; dunque n c n =...7 Dire se esistono i iti delle successioni riportate di seguito e, in caso affermativo, calcolarli: ) n n n + n n + n ) n n. Si ha che )n n )n +n n Poiché +n ) n n )n n, il ite non esiste...8 Calcolare per q > n q n Si ha dunque poiché q >. n q n n k= il cui ite è ; dunque la successione è infinitesima. n q k. k= n k= q k = qn+ ; q q k q n+ = n q n q) = q n q n q) = q n q n q) q

.. ALTRI ESERCIZI. Altri esercizi.. Dare un esempio di una successione convergente a non definitivamente monotona; non itata e non divergente; c) divergente a + non definitivamente monotona; d) crescente e convergente a. a n = + )n n ; a n = ) n n; c) a n = n + ) n ; d) a n = n... Vero o falso? Ogni successione monotona strettamente crescente ha sempre ite + ; esistono successioni non crescenti che tendono a +. Falso: si consideri a n = n n. Vero: ad esempio a n = n + ) n... Trovare una successione {a n } che soddisfi le seguenti due condizioni: c) d) n n n n a n a n =, n n n = + ; a n n = +, a n n n n = ; a n a n = +, n n n = ; a n log n =, n Si scelga ad esempio: a n = n 4 ; a n = n n; c) a n = e n ; d) a n = log n) /. a n log n = +..4 Si considerino a, b R +. ) n a + b Determinare a, b in modo che la successione a n = sia convergente. a Disegnare nel piano cartesiano ab l insieme delle coppie a, b) del punto precedente. Si tratta di una successione geometrica di ragione a + b, la quale converge quando < a a + b, cioè nell insieme a { a + b > a + b. Si tratta del triangolo di vertici A/, ), B, ), C, ), esclusi i lati AB, AC, incluso il lato BC.

CAPITOLO. SUCCESSIONI..5 Sia {a n } una successione itata con a n > per ogni n N. Dire se le successioni di termine generale,, sono allora necessariamente itate. a n + a n log a n La successione a n non è necessariamente itata: ad esempio la successione a n = è n itata, a n > per ogni n N, ma a n = n non è itata. La successione +a n è itata: se m a n M allora + m + a n + M e dunque +M +a n. +m log a n La successione non è necessariamente itata: ad esempio la successione a n = + è itata, n a n > per ogni n N, ma = n non è itata. log a n = log+/n) /n..6 Sia {a n } una successione convergente con a n > per ogni n N. Dire se le successioni di termine generale a n, log + a n), log a n sono allora necessariamente convergenti. Sia {a n } una successione convergente a l con a n > per ogni n N; si noti che l per il teorema della permanenza del segno. La successione non è necessariamente convergente: ad esempio la successione a a n n = + n converge a, a n > per ogni n N, ma = n diverge a +. a n La successione log + a n) è convergente a log + l). La successione log a n non è necessariamente convergente: ad esempio la successione a n = n è convergente a, a n > per ogni n N, ma log a n = log n diverge a...7 Trovare due successioni {a n }, {b n } tali che a n +, b n, + + a n b n a n +, b n, a n b n. Ad esempio a n = n, b n = n. Ad esempio utilizzando i reciproci delle successioni precedenti) a n = n, b n = n...8 Sia q un numero reale e si consideri la successione {a n } definita da a = e a n = q n. Per quali q la successione {a n } è convergente? Si trova che a =, a = q, a = e, in generale, a n per { se n dispari a n = q se n pari. Pertanto la successione converge se e soltanto se q =, e il ite è...9 Al variare del parametro a R calcolare, quando esiste, il n n a n ). Entrambe le successioni { n } e {a n } sono geometriche; pertanto si ha n n a n ) = + se a > se a = se < a < se a... Esiste un numero reale a > tale che n n n a n ) =? No. Infatti se a < allora n n a n n + ; se a = si ha n n a n = n ; infine, se a >, si ha n n a n a n.

Capitolo Serie. Convergenza delle serie.. Dire se è vero che definitivamente n k > k= n k= kk + ) > 9. Sì. Infatti la serie k= è divergente, cioè per ogni M > esiste N tale che N k k= > M. k Basta allora prendere M =. Sì. Infatti e > 9 se n > 9. n+.. Per quale N si ha N k= n k= k? kk + ) = n k= k ) = k + n + Sia s n = n k= e si ricordi la maggiorazione s k n + n. Si ha che + n se n 98 e dunque basta prendere N = 98... Studiare la convergenza delle serie n n! c) d) e) f) g) n= e n ) n= n= /n ne n ) n n n n= n= n + n + n + n 4 ) n n + n n= n= ) n n log n

4 CAPITOLO. SERIE h) i) + e n n! n= e n + ) n. n= Nelle seguenti soluzioni verifichiamo anche la condizione necessaria per la convergenza di una serie, cioè: se la serie a n converge, allora n a n =. n= La condizione necessaria per la convergenza è soddisfatta; applicando il criterio del rapporto si n + ottiene n + )! n! = n, e dunque la serie converge. n nn + ) La condizione necessaria per la convergenza della serie non è soddisfatta: n e n ) = ; trattandosi di una serie a termini positivi, essa diverge a +. c) La condizione necessaria per la convergenza è soddisfatta; applicando il criterio della radice si n ottiene n n <, e dunque la serie converge. ne e d) La condizione necessaria per la convergenza della serie non è soddisfatta in quanto non esiste il n ) n n n; si tratta di una serie a termini di segno alterno che risulta indeterminata in quanto n n n =. e) La serie converge per il criterio del confronto asintotico poiché ha lo stesso comportamento di, che converge. n n= f) La condizione necessaria per la convergenza è soddisfatta; poiché la serie è a termini di segno alterno ed il termine decresce, per il criterio di Leibniz essa converge. n + n g) La condizione necessaria per la convergenza è soddisfatta; poiché la serie è a termini di segno alterno ed il termine decresce, per il criterio di Leibniz essa converge. n log n h) La serie converge per il criterio del confronto asintotico poiché ha lo stesso comportamento di, che converge. n! n= i) La serie converge per il criterio del confronto asintotico poiché ha lo stesso comportamento di ) n, serie geometrica convergente. Allo stesso risultato si perviene applicando il criterio n= della radice...4 Studiare il carattere delle seguenti serie c) d) e) n= n= log n n + sin n ) n n= n= n= n / log n n n + log n. Si ha log n > ; poiché la serie armonica diverge e la serie data ne è un maggiorante, n n= n= anch essa diverge per il criterio del confronto.

.. CONVERGENZA DELLE SERIE 5 La serie converge per il criterio del confronto asintotico poiché ha lo stesso comportamento di, che converge. n n= c) La condizione necessaria per la convergenza è soddisfatta; poiché la serie è a termini di segno alterno ed il termine decresce, per il criterio di Leibniz essa converge. n / d) Si ha log n n n + stesso comportamento di n ; la serie diverge per il criterio del confronto asintotico poiché ha lo n=, che diverge a. n/ e) Utilizzando la formula di cambiamento di base per i logaritmi si ha dunque poiché log n = log n log = log n/ log ) = n log ; n= = log n n= > serie armonica generalizzata). log..5 Studiare il carattere delle serie c) d) n= n= n + n! n + log n ) n + e n ) n= n= n + sin n + n. n log < + La condizione necessaria per la convergenza è soddisfatta; applicando il criterio del rapporto si ottiene n + ) + n! n + )! n + = n + n + n + n + n + n n, dunque la serie converge. La serie diverge per il criterio del confronto asintotico poiché ha lo stesso comportamento di, che diverge. n n= c) La condizione necessaria per la convergenza della serie non è soddisfatta in quanto n + e n ) = ; la serie risulta indeterminata poiché ha lo stesso comportamento di ) n. d) La serie diverge per il criterio del confronto asintotico poiché ha lo stesso comportamento di, che diverge. n n=..6 Studiare la convergenza delle serie: n= n= n= n log n log n) n. Si ha che n log n > n se n > e ; per il criterio del confronto la serie converge.

6 CAPITOLO. SERIE La condizione necessaria per la convergenza della serie è soddisfatta in quanto Applicando il criterio della radice si ottiene log n n) n = n e n log log n =. log n n, dunque la serie converge...7 Studiare convergenza semplice e convergenza assoluta delle serie a termini di segno alterno c) d) ) n n + e n ) n= n= ) n n + e n ) n n n + n= ) n n + n +. n= Poiché n n + e n ) = + la serie non converge semplicemente né assolutamente. Si ha che, e dunque la serie non converge assolutamente; converge invece semplicemente per il criterio di n+e n n Leibniz. c) Vale che n n + n, pertanto la serie converge assolutamente e dunque semplicemente. d) Poiché n+ la serie non converge assolutamente; converge invece semplicemente per il n + n criterio di Leibniz...8 Provare che la serie n= n n n è convergente. La condizione necessaria per la convergenza è soddisfatta; applicando il criterio della radice si ottiene n n / = n n) / n n <, dunque la serie converge...9 Studiare il comportamento delle serie numeriche c) d) n= cosn) n n ) n n + e n n= n 5 n= ) n ) n. n + log n n= La serie converge assolutamente in quanto cosn) n n La serie non converge assolutamente in quanto n /. n+e n n. Si ha convergenza semplice per il criterio di Leibniz. c) Si ha n n ) n <, dunque la serie converge per il criterio della radice. 5 5 n+log n ; essa converge semplice- n / d) La serie non converge assolutamente in quanto mente per il criterio di Leibniz.

.. ALTRI ESERCIZI 7. Altri esercizi.. Se una serie diverge a + allora il suo termine generale non può tendere a. Vero o falso? Falso, la serie armonica è un controesempio... È vero che n= Sì. Infatti n+ <? n+ n= n+ n+ = 9 n= ) n = ) 9 = 4 9 <... Dire se la successione {a n } definita da a n = n k= log k k è itata. La successione log k k è itata in quanto convergente a ), dunque log k k < C e log k < C k k. k La serie log k k= converge allora per il criterio del confronto; perciò la successione {a k n} delle somme parziali è convergente, dunque itata...4 Sia q > ; discutere la convergenza della serie Se q = si ha +. Se < q < è n= n= q n + q n. = +. Se q >, è q n + q qn n q n q n + q n qn e la serie n= converge per q, ) e diverge a + per q...5 Calcolare la somma delle serie ) n 4 n= ) n. n= ) n = e dunque la serie diverge a q n converge serie geometrica). Dunque la serie data In entrambi i casi si tratta di serie geometriche, la prima di ragione /4, la seconda ; entrambe le ragioni sono minori di in valore assoluto, dunque le serie convergono. Ricordando che, se q <, q n = q q, si deduce che la prima serie converge a / e la seconda a )...6 Calcolare la somma delle serie n ) n n= n= n 4 n+. Si ha ) n= n = n n= n= n n= In questo caso n n= = ) n 4 n+ n= = 4..7 Provare che la serie n= = n 4 =. =. n ) è convergente e calcolarne la somma. n +

8 CAPITOLO. SERIE Si ha n n + = nn + ) ; la serie converge per il criterio del confronto asintotico n perché ha lo stesso comportamento di. Per calcolare la somma basta osservare, come nelle n n= serie telescopiche, che: n ) = ) + n + 4 ) + 5 ) + 6 4 ) + 7 5 ) +... = 8 n= = + + + 4 4 ) + 5 ) +... = + 5 + = 6...8 Discutere al variare dei numeri reali a e b la convergenza della serie n= Calcolare la somma nei casi di convergenza. Si ha n= a n b ) = n + n= a b)n + a nn + ). a n ) b n+. Se a b si ha a b)n+a a b, termine generale di una serie armonica) divergente; se a = b si ha nn+) n a b)n+a a, termine generale di una serie armonica generalizzata) convergente. In tal caso la nn+) n serie di partenza si riduce alla serie di Mengoli: a n ) = a. n + n=..9 Dire per quali numeri reali a le serie seguenti sono convergenti: c) d) n= a n n n= + a n ) n + a n ) n= a n. n= La serie converge se e solo se a >. Infatti se a > si ha +a n a )n, termine generale di una serie geometrica convergente. Se a < il termine generale tende a, se a = tende a ; dunque in nessuno di questi due casi ci può essere convergenza. a La serie converge se e solo se a <. Infatti se a > si ha n n = +, dunque la n serie non può convergere. Se a < la serie converge per il criterio della radice; se a = si ha la serie armonica, divergente. c) La serie non converge per alcun a. Infatti il termine generale della serie non tende in nessun caso a in quanto + n an ) = + se a > se a = se a <. d) La serie converge se e soltanto se a =. Infatti il termine generale della serie tende a se a >... Siano a, b, c numeri reali positivi. Dire per quali valori di a, b e c le serie seguenti convergono: n= n= n a + n b n a + n b

.. ALTRI ESERCIZI 9 c) n= a n b n, per < a < b < c. + cn La serie data ha lo stesso comportamento di n= n b a, serie armonica generalizzata che converge se b a >, ossia b > a +, e diverge a + se b < a +. Dunque, per il criterio del confronto asintotico, la serie converge per ogni a, b tali che b > a +. Si ha n a + n b n a e dunque si ha convergenza se e soltanto se a >. a n b n +c n ) n. La serie di termine generale a c ) n converge è c) Poiché < a < b < c si ha an = a c n c una serie geometrica di ragione minore di ); dunque converge la serie di partenza per il criterio del confronto asintotico... Sia {a n } una successione di numeri reali, a n. Se la serie Se la serie a n converge, può convergere la serie n= n= + a n? a n diverge, può la successione {a n } non avere ite? n= Poiché la serie n= a n converge si ha n a n =, dunque n +a n = e la serie n= +a n non può convergere. Sì. Si consideri ad esempio la successione a n = + ) n... Si consideri la serie geometrica q n. n= È possibile scrivere una serie geometrica che abbia per somma? Se sì, quale? È possibile scrivere una serie geometrica che abbia per somma? Ricordiamo che n= qn = q Si ha q = se q =. se q <. Invece = se q =, ma la serie geometrica non converge per la ragione ; dunque non q esistono serie geometriche come sopra con somma... Si consideri la successione a n = sinnπ/) + cosnπ/). Dire se esiste il n a n; dire se converge la serie a n. n= La successione data assume valori ; ; ; ; ;..., quindi n a n non esiste. Di conseguenza la condizione necessaria per la convergenza della serie non è soddisfatta: la serie non può convergere...4 Studiare la convergenza della serie n= La serie converge in quanto e la serie armonica generalizzata n= n +α, per < α <. n α n +α n α n +α converge poiché + α >. n+α

CAPITOLO. SERIE

Capitolo 4 Funzioni di una variabile 4. Domini e proprietà 4.. Determinare i domini delle seguenti funzioni: log c) d) 4 + ) e) log f) log g) arcsin 4 ) h) log ) 4., e) e, + );, ), ), ), + ); c), ); d), ] [, + ); e), ); f) e, ), e) [ ] [ 5 g), [ h), 4, ) ],. 4 4.. Calcolare il dominio di log loglog ) ) e di. 5 ] Nel primo caso, affinché la funzione log più esterna sia definita occorre loglog ) >, dunque log >, dunque > e. Nel secondo, la radice esterna è definita quando, dunque se. 4.. Determinare i domini delle seguenti funzioni: ) arcsin arccos ).

CAPITOLO 4. FUNZIONI DI UNA VARIABILE, ] [, + ); [, ] [, ]. 4..4 Dire se le seguenti funzioni sono pari, dispari o né pari né dispari: e e e sin c) + d) e) f) e + e g) h) sin cos. Né pari né dispari; dispari; c) dispari; d) né pari né dispari; e) né pari né dispari; f) pari; g) dispari; h) né pari né dispari. 4. Grafici elementari 4.. Disegnare approssimativamente i grafici delle funzioni ) c) + + cos d) e) log e f) g) e h) sin π/4). Vedi Figura 4.. 4.. Disegnare un grafico approssimativo, senza svolgere calcoli, delle funzioni log sin e c) + ) d) log. Vedi Figura 4.. 4.. Disegnare approssimativamente i grafici delle funzioni /, /, / in, ] e /, e, e c) sin/), sin, sin) in [, 4π]

4.. GRAFICI ELEMENTARI 5 ) 5 5 5 5 4 4 4 6 5 ++cos) 7 5 5 5 5 6 5 4 4 4 log) e 5 4 5 6 5 7.5.5 5 4 4 6 e sin π/4) 5 4.5 4 4.5 5 5 Figura 4.: Vedi Esercizio 4..

4 CAPITOLO 4. FUNZIONI DI UNA VARIABILE log)sin) e.8.6 4 6 8.4. 4 4 +) log) 4 6 8 4 5 6 5 5 7 4 6 8 Figura 4.: Vedi Esercizio 4.. 8 6 4 / /, /, / / / / / 8 6 4 e /, e, e e / e e..4.6.8.5.5 4 sin/), sin), sin) sin/) sin sin) 5 5 4 log/), log), log) log/) 6 log) log) 8..4.6.8 Figura 4.: Vedi Esercizio 4...

4.. FUNZIONI INVERTIBILI 5 d) log), log, log/) in, + ). Vedi Figura 4.. 4..4 Disegnare in maniera approssimativa i grafici delle funzioni f ) = f ) = + ) c) f ) = d) f 4 ) = ). Vedi Figura 4.4. 8 +) 6 4 ).5.5 4.5 6 8 Figura 4.4: Vedi Esercizio 4..4. 4. Funzioni invertibili 4.. Sia f la funzione definita qui sotto. Disegnare il grafico di f, provare che è invertibile, disegnare il grafico della funzione inversa, calcolare esplicitamente la funzione inversa. { se [, ] f) = se, ] { se [, ] f) = se, ] { se [, ] c) f) = / se, ] { + se [, ] d) f) = + / se, ]. Vedi Figura 4.5. La funzione è monotona crescente, dunque è invertibile con inversa { f se [, ] ) = + )/ se, ]

6 CAPITOLO 4. FUNZIONI DI UNA VARIABILE { se [, ] La funzione è monotona decrescente, f ) = / se [, ) { se [, ] c) La funzione è monotona crescente, f ) = se, /] { se [, ] d) La funzione è monotona crescente, f ) =. se, /] 4 4 c) d) 4.. Si considerino le funzioni { / se f ) = se < ; { / + se f ) = se <. Figura 4.5: Vedi Esercizio 4... Disegnarne i grafici, calcolarne le funzioni inverse, disegnare i grafici delle funzioni inverse. Vedi Figura 4.6. Si ha f ) = { se / se < ; Si ha f ) = { se + )/ se <. 4.. Dire in che intervallo del tipo a, + ) è invertibile la funzione f) = + ; calcolare la funzione inversa della restrizione di f a questo intervallo. Il grafico di f è una parabola di vertice V /, /4); la funzione f è dunque invertibile in /, + ) perché in tale intervallo è monotona crescente; si ha f ) = + + 4 per [ /4, + ). 4..4 Calcolare la funzione inversa delle seguenti funzioni f; specificare il dominio di f ; disegnare un grafico approssimativo di f e f : f) = e f) =

4.. FUNZIONI INVERTIBILI 7 Figura 4.6: Vedi Esercizio 4... c) f) = arctg ) d) f) = log + ). Vedi Figura 4.7. Le funzioni sono tutte invertibili perché strettamente monotone; si ha: f : R, + ), f :, + ) R, f ) = log + ; f :, /] [, + ), f : [, + ), /], f ) = )/; c) f : R π/, π/), f : π/, π/) R, f ) = tg + ; d) f : /, + ) R, f : R /, + ), f ) = e. 4 4 c) d) Figura 4.7: Vedi Esercizio 4..4. 4..5 Provare che le seguenti funzioni f sono invertibili e calcolare le loro funzioni inverse f : f) = + 5 + f) =

8 CAPITOLO 4. FUNZIONI DI UNA VARIABILE Esistono punti in cui i grafici di f) e f ) si intersecano? Se sì, quali? Disegnare i grafici di tutte le funzioni in modo approssimativo. Vedi Figura 4.8. Osserviamo che, se f è una funzione invertibile, il grafico di f) e quello di f ) sono simmetrici rispetto alla bisettrice del primo quadrante; i punti in cui i due grafici eventualmente si incontrano sono dunque sulla retta =. Il dominio di f è R; si tratta di una funzione strettamente crescente, dunque invertibile. Risolvendo = + 5 + rispetto a si trova la sua funzione inversa f ) = + + ) 5. Risolvendo il sistema = f), = si trova = + 5 +, dunque =,, sono le ascisse dei punti di interesezione. Il dominio di f è R; si tratta di una funzione strettamente crescente, dunque invertibile. Risolvendo = rispetto a si trova f ) = ). Risolvendo = f), = si trova =, dunque =,, sono le ascisse dei punti di interesezione. Figura 4.8: Vedi Esercizio 4..5. 4.4 Limiti 4.4. Calcolare, usando la definizione di ite e cercando un intorno centrato nel punto in cui si calcola il ite, 5 ; +. Si ha 5 = ; per verificarlo, fissato ϵ > cerchiamo δ > tale che < ϵ se 5 δ, 5 + δ), 5. Risolvendo la disequazione < ϵ, si ottiene + < + ϵ, cioé 5 9ϵ < < 5 + 9ϵ. Poiché +ϵ ϵ + 9ϵ < 9ϵ +ϵ ϵ si sceglie δ = 9ϵ +ϵ. +ϵ < Si ha + = ; procedendo come sopra, fissato ϵ > cerchiamo δ > tale che < ϵ se δ, + δ),. Risolvendo < ϵ, si ottiene + + < + ϵ, cioé 4ϵ < < + 4ϵ. Poiché +ϵ ϵ 4.4. Calcolare, usando la definizione di ite, il +. + 4ϵ < 4ϵ +ϵ ϵ si sceglie δ = 4ϵ +ϵ. +ϵ < Proviamo che + = +. Fissato infatti M > cerchiamo δ in modo che > M se < < + δ. Risolvendo la disuguaglianza > M si ottiene < < +, da M cui δ = 4.4. Calcolare M. sin + + + +

4.4. LIMITI 9 c) e d) e) + log e e loglog ) log. Per +, è sin + sin per + si ha +, e +, e sin = ; + = ; c) poiché per si ha e, è, dunque il ite vale zero; e d) introducendo il cambiamento di variabile = si ottiene log ee ) = log + ) ee ). Ma poiché per è log + ) ed e log + ), si ha che ee ), ed il ite vale e e ; e) il numeratore tende a mentre il denominatore tende a per valori positivi; dunque il ite vale. 4.4.4 Calcolare i iti log ) + ) sin ) tg c) d) 4 e e) log f) ) arccos + arctg g) e log ) h) π π cos. Posto =, si ottiene log ) = log = ; + + ) posto =, si ottiene sin ) = sin = = ; c) poichè per è tg, si ha d) posto = si ottiene e) posto =, si ha tg = = ; 4 e 4 = + e = ; log = log + ) = = ;

CAPITOLO 4. FUNZIONI DI UNA VARIABILE ) arccos f) + arctg = arccos π/ = π/ π/ = ; g) poiché per si ha e e log ), il ite vale ; h) posto π/ =, si ha 4.4.5 Calcolare + + π π cos = + 4 4 + ) ; + ). cos + π/) = sin =. Si ha: [ + 4 4 + = + ) / + ) ] /4 [ + ) + )] = 4 4 ; analogamente: [ + = ) / + ) ] / [ ) + )] =. 4.4.6 Provare che le funzioni definite qui sotto non hanno ite per + : + sin log sin c) sin d) cos. Si consideri la successione n = n + )π/; si consideri la successione n = nπ/; c) si consideri la successione n = n + )π/; d) si consideri la successione n = nπ/. 4.4.7 Calcolare i seguenti iti destro e sinistro: c) d) ± sin log + ) π π ± cos ± e/ arctg/) ±. Per ± è sin, log + ), perciò si ha ± sin log + ) = ± = ± ;

4.4. LIMITI Con il cambiamento di variabile π = si ha π ± π cos = ± c) Posto =, si ottiene e ±. È cos + π/) = ± e + = +, sin = ± = ± ; e = ; d) Per ±, arctg/) ±π/, mentre +, perciò arctg/) ± = ±. 4.4.8 Calcolare, se esistono, i seguenti iti: sin) e sin) e e e c) d) log + ) sin sin e) sin f) g) h) + e/ arctge ). ± Si ha sin) e, perciò il ite vale /; poiché { e e se = e se > il ite destro vale /, quello sinistro /; dunque il ite non esiste; c) per è e e ) e, perciò il ite vale ; d) si ha log + ), perciò il ite non esiste; e) sin sin sin = sin, dunque il ite vale ; f) i iti destro e sinistro valgono rispettivamente ±, quindi il ite non esiste; g) posto = / si ottiene e e/ = + + = + ; h) con i cambiamenti di variabili = / e quindi z = e si ha arctge ) = + + arctge ) = arctg z = π z + ; analogamente, posto = /, per la continuità delle funzioni esponenziale ed arcotangente si ha 4.4.9 Trovare un asintotico per + della funzione arctge ) = arctge ) =. + tg. Per è + tg +, dunque un asintotico è / = 6. 4.4. Calcolare il ; dedurre il + +. Poiché log = e log e + = si ha + =. Infine = / ; dal ite precedente e dal fatto che la funzione è positiva se > si ha + = +.

CAPITOLO 4. FUNZIONI DI UNA VARIABILE 4.4. Calcolare + ). Si ha ) = e log) ; poiché + log) =, si ha +) = per la continuità della funzione esponenziale. 4.4. Calcolare + + ). Si può scrivere ricava + ) [ = + ) ] /, e ponendo = si + + [ + ) ] / = e / = e e. + e 4.4. Calcolare i due iti ±. Posto = / si ha e ± = ± e = { + = e = e e in conclusione e + e =, =. 4.5 Asintoti 4.5. Calcolare, se esistono, le equazioni degli asintoti a ± delle funzioni + + e + c) log d) / + e. La funzione non ammette asintoti orizzontali, ma ammette un asintoto obliquo a ± di equazione = ; la funzione non ammette asintoti orizzontali, ma ammette solo a + ) un asintoto obliquo di equazione = / /4; c) non esistono asintoti orizzontali né obliqui; d) la funzione ammette un asintoto orizzontale = per +, mentre non esistono asintoti orizzontali né asintoti obliqui per. 4.5. Scrivere il dominio della funzione f) = ; dire poi se f ha asintoti e, in caso affermativo, calcolarli. Posto si trova che il dominio di f è, ] [, + ). Non vi sono asintoti verticali. Asintoti orizzontali: + ) ) 4 = + + = = ) = ; +

4.6. ALTRI ESERCIZI pertanto la retta = è un asintoto orizzontale a + mentre non vi sono asintoti orizzontali a. Per quanto riguarda gli asintoti obliqui ) = = = + + ) + + ) + + 6 + 4 = = ; perciò la retta = è un asintoto obliquo a. Si noti che il ite + + ) poteva essere calcolato sfruttando l asintotico + ) α + α per. Infatti allora + + + ) =. 4.5. Dire se la funzione f) = + e ) + log ha un asintoto obliquo per +. f) Si ha =, ma f) ) = + + l asintoto obliquo non esiste. 4.6 Altri esercizi 4.6. Dire quali delle seguenti affermazioni sono vere o false: ogni funzione continua è monotona; ogni funzione continua è itata; c) i iti di ogni funzione continua esistono finiti. Falso: si consideri f) = sin ; falso: si consideri f) = e ; c) falso: + = +. 4.6. Vero o falso? Ogni funzione periodica è itata; ogni funzione f : R R pari ha ite in. Falso: si consideri la funzione tg ; falso: la funzione è pari ma non ha ite per. 4.6. Studiare la convergenza della serie n= + e + + ) sin se f) = se = cos )). n Dalla formula cos, per, segue che cos n ) = per n ; n n la serie data converge perché equivale asintoticamente a n= n. log = +. Dunque

4 CAPITOLO 4. FUNZIONI DI UNA VARIABILE

Capitolo 5 Calcolo differenziale 5. Derivate 5.. Calcolare le derivate delle funzioni log + ) tg c) sin ) e d) log e) cos ) f) log g) e h) + sin. log + ) ) = 6 log + ) ; + ) = tg + tg ) ; tg tg c) sin ) ) = 4 sin ) cos ); ) e d) = e log log log ; e) cos ) ) = 6 cos ) sin ); ) log f) = + log ; ) g) e ) = e ); ) + sin cos h) =. + sin + sin ) 5.. Calcolare D tg + ) ) ) D arcsin + ) ) + sin c) D cos d) D log log + ) )) 5

6 CAPITOLO 5. CALCOLO DIFFERENZIALE D tg + ) ) = tg + ) + + tg + )); ) D arcsin + 9 ) = + ) ; ) + sin c) D = cos d) D log log + )) ) = 5.. Calcolare D ) D log c) D sin ) d) D e) D [ ] f) D [ log log ) ] g) D sin e ). D ) = log ; cos + sin ) sin ; + ) log + ). D log = log log ; c) D sin ) = sin cos log + sin ) d) D = log log + ; [ e) D ] = log log ; f) D [ log ) log ] = log ) log loglog ) + ; g) D sin e ) = e cos e. [ ] tgarccos ) 5..4 Provare che per, ) vale D =. ) ; Per, ) si ha tgarccos ) = dunque f) =, da cui il risultato. sinarccos ) cosarccos ) =, 5. Rette tangenti 5.. Scrivere l equazione della retta tangente al grafico della funzione f nel punto di ascissa specificato: f) = e, = f) =, = c) f) = tg, = π/4 d) f) = log, = e.

5.. DERIVATE FORMALI 7 Ricordando che l equazione della retta tangente al grafico di una funzione f) nel punto di ascissa è data da f ) = f ) ), si ricava: = /e + /e; = + ; c) = + π/ + ; d) = /e. 5.. Dire se le seguenti funzioni f sono derivabili nei punti di cui è indicata sotto l ascissa; scrivere, se esiste, l equazione della retta tangente in tali punti: f) =, nei punti, ; f) = +, nei punti,. In la funzione f è derivabile e in la sua derivata f ) = vale /4; l equazione della retta tangente è dunque = ). Nel punto la funzione non è derivabile: 4 si tratta di un punto a tangente verticale. In la funzione f è derivabile e in la sua derivata f ) = vale +) ; l equazione 4 della retta tangente è dunque = ). Nel punto la funzione non è derivabile: 4 si tratta di un punto di flesso a tangente verticale. 5.. Nell intervallo, + ) si considerino le funzioni f) = log e g) = arctg. Dire se vi è un punto in cui le rette tangenti ai grafici di f e g in, f ) ), rispettivamente, g ) ), sono parallele. La tangente al grafico di f nel punto, f )) ha coefficiente angolare f ) = /, quella al grafico di g in, f )) ha coefficiente angolare g ) = / + ). Le due rette sono parallele quando = +, cioè + =. Tale equazione non ammette soluzioni reali perché il suo discriminante è negativo; dunque non esiste il punto cercato. 5..4 Si considerino le funzioni f) = e g) =. Dire per quale R le rette tangenti ai grafici di f, g nei punti, f )), rispettivamente, g )), sono perpendicolari tra loro. La tangente al grafico di f nel punto, f )) ha coefficiente angolare f ) = 4, quella al grafico di g in, g )) ha coefficiente angolare g ) =. Le due rette sono perpendicolari quando 4 =, cioè = /. 5..5 Si consideri la funzione f) =. Dire in che punto dell intervallo [, ] la retta tangente al grafico di f nel punto, f )) ha pendenza. Scrivere l equazione di tale retta tangente. Il coefficiente angolare della retta tangente nel punto, f)) è f ) =. Si ha f ) = se = ± ; pertanto = ). Nel punto, la retta tangente ha equazione =. 5..6 Si consideri la funzione f) = in [, + ); scrivere l equazione della retta tangente al grafico nel generico punto, f )); scrivere l equazione della perpendicolare a tale retta passante per il punto, f )); determinare il punto in modo che i punti di intersezione di tali rette con l asse siano simmetrici rispetto a. L equazione della retta T tangente al grafico di f nel punto, f )) è = + ). L equazione della perpendicolare N è = ). La retta T interseca l asse in, mentre N interseca l asse in +. Tali punti sono simmetrici rispetto al punto se =, cioè se =. 5. Derivate formali 5.. Calcolare formalmente D f g) ) D f) g))

8 CAPITOLO 5. CALCOLO DIFFERENZIALE c) D f)g ) )) d) D f. g) D ) = f g)) g ) ; f g) f g)) ) D f) g) = f) g) g ) log f) + g) f ) ) ; f) c) D f)g ) = f )g) + f)g ) ; f )g ) )) ) d) D f = f g ) g) g) g ). 5.. Calcolare ) D f + + g)) ) D f + ) g ) c) D f g) g + ) )) ) d) D f g)). ) D f + + g)) = f + + g)) + g )); ) D f + ) g ) = f + ) g ) f + )g ); c) D f g) g + )) ) = f g) g + )) g ) g + )); ) d) D f g)) = f g)) g) + g )). 5.. Calcolare D f) g)h)). ) { ) D f) g)h) = f) g)h) g )h) + g)h ) log f) + g)h) f } ). f) 5.4 Derivazione delle funzioni inverse 5.4. Dire se la funzione f) = e è invertibile in R. In caso negativo specificare in quali intervalli la sua restrizione lo è. Sia ha f ) = e +). La funzione f non è monotona in R e pertanto non è invertibile in R. E invece invertibile la sua restrizione all intervallo, ], in quanto f è ivi strettamente decrescente, e la restrizione all intervallo [, + ), in cui f è strettamente crescente. 5.4. Si consideri la funzione f) = e. Disegnare il grafico di f. In quali intervalli è invertibile? c) Provare in particolare che f è invertibile in e calcolare la derivata della funzione inversa f ) nel punto = f). Vedi Figura 5.. La funzione è invertibile negli intervalli, ], e [, + ) perché in essi è rispettivamente monotona crescente, decrescente; in particolare, siccome f ) =, si ha f ) ) = f ) =.

5.4. DERIVAZIONE DELLE FUNZIONI INVERSE 9 e 5 4 Figura 5.: Vedi Esercizio 5.4.. e.5.5.5.5.5 4 Figura 5.: Vedi Esercizio 5.4.. 5.4. Si consideri la funzione f) = +. Provare che è invertibile. Indicata con f ) la funzione inversa, dire dove essa è derivabile e calcolare poi f ), f ) ). Siccome f ) = + > R, la funzione f) è monotona crescente su tutto R, dunque è invertibile. La funzione f ) è derivabile su tutto R, poiché f ) ) = f ), = f ) ed f ) non possiede zeri. Per calcolare f ) si dovrà risolvere l equazione + =, la quale ha come unica soluzione =. Dunque è f ) =, ed f ) ) = f ) = 4. 5.4.4 Si considerino le seguenti funzioni f; determinare il loro dominio, motivare la loro invertibilità, calcolare f ) ) nei punti indicati: f) = log + e, = f) f) = e + +, = f). Il dominio di f è, + ); f ) = + e >, dunque f è strettamente monotona e perciò invertibile. Infine f ) ) = f ) = + e. Il dominio di f è [, + ); f ) = e + >, dunque f è strettamente monotona e + perciò invertibile. Infine f ) ) = f ) = e +. 5.4.5 Provare che la funzione f) = + arctg è invertibile e calcolare f ) ). Si ha f ) = + + > ; dunque f è strettamente crescente, dunque invertibile. Inoltre f) = se e soltanto se =. Perciò f ) ) = f ) =.

4 CAPITOLO 5. CALCOLO DIFFERENZIALE 5.5 Funzioni derivabili e non derivabili 5.5. Dire in che punti le funzioni definite qui sotto non sono derivabili, motivando la risposta: sin c) d) sin. Non è derivabile in = perché D sin ) = cos D ), e ha in zero un punto angoloso; non è derivabile in =, perché la funzione ha in = un flesso a tangente verticale; c) non è derivabile in = perché ha in zero un punto angoloso; d) non è derivabile nei punti = kπ, k Z, cioé negli zeri della funzione = sin, dove si hanno infiniti punti angolosi. 5.5. Disegnare i grafici delle seguenti funzioni; dire in quali punti sono continue e in quali sono derivabili: se < + se f) = se < g) = se < se, se. Vedi Figura 5.. La funzione f è continua su tutto R e derivabile per ogni ±; i punti = ± sono punti angolosi. La funzione g è continua per ogni e derivabile per ogni ±; il punto = è un punto angoloso. f g Figura 5.: Vedi Esercizio 5.5.. 5.5. Studiare continuità e derivabilità delle funzioni { se f) = se < { cos se f) = + se < { e se c) f) = se <. { e se > d) f) = se. Tutte le funzioni sono continue e derivabili in R \ {} perché le loro restrizioni a, + ) e, ) lo sono; Rimane da considerare il solo punto. La funzione f è continua in poiché + f) = f) =. Considerando poi i fh) f) iti dei rapporti incrementali h ± si trova che f h +) = f ) =, dunque f è derivabile in con f ) =.

5.5. FUNZIONI DERIVABILI E NON DERIVABILI 4 La funzione f è continua in poiché + f) = f) =. Procedendo come sopra si trova che f +) = = f ); dunque f non è derivabile in, e è un punto angoloso. c) La funzione f è continua in poiché + f) = f) =. Inoltre f +) = = f ); dunque f non è derivabile in, essendo un punto angoloso. d) La funzione f è continua in : + f) = f) =. Inoltre f +) = = f ); dunque f è derivabile in, con f ) =. 5.5.4 Si consideri la funzione f) = cotgarcsin ). Stabilire il dominio, discutere la derivabilità, calcolare la derivata. La funzione è definita per gli [, ] tali che arcsin kπ, k Z; il dominio è dunque D = [, ), ]. In D si ha se, ] cotgarcsin ) = se [, ). Pertanto, per, ), ) si ha f ) = se, ) se, ). 5.5.5 Dare un esempio di una: funzione continua con un punto angoloso in = ; funzione convessa se < e concava se > ; c) funzione continua in, ) non itata; d) funzione definita in R concava e negativa. Si prenda ad esempio f) = ; si prenda ad esempio f) = arctg ; c) si prenda ad esempio f) = /; d) si prenda ad esempio f) = +. 5.5.6 Dare un esempio di una funzione continua in, + )\{}, discontinua in, non derivabile nei punti ±. Vedi Figura 5.4. Si prenda ad esempio f) = + + sgn. 4 + +sgn).5.5.5.5 Figura 5.4: Vedi Esercizio 5.5.6. 5.5.7 Disegnare il grafico di una funzione f con f >, f ) <, f ) >. Scrivere una espressione analitica di una tale funzione. Si prenda ad esempio f) = +.

4 CAPITOLO 5. CALCOLO DIFFERENZIALE 5.5.8 Disegnare il grafico di una funzione f concava, negativa, crescente. Scrivere una espressione analitica di una tale funzione. Basta prendere f) = e. 5.5.9 Si considerino le funzioni f, g definite da: { ae b se f) = + se < { a + sin b se g) = + se <, dove a, b R. Dire per quali a, b le funzioni f, g sono continue derivabili derivabili volte. Entrambe le funzioni sono infinitamente derivabili in, ), + ). Dobbiamo pertanto studiare soltanto il loro comportamento in =. Poiché f + ) = a, f ) =, la funzione f è continua solo se a = e per ogni valore di b ; poiché f +) = b, f ) =, è derivabile se inoltre b = ; pioché f +) =, f ) =, non è derivabile volte per nessun a, b ; f +) = a, f ) =, quindi g è continua solo se a = e per ogni valore di b; f +) = b, f ) =, quindi g è derivabile se inoltre b = ; f +) =, f ) =, quindi g non è derivabile volte per nessun a, b. 5.6 Calcolo di iti con la regola di de l Hospital 5.6. Calcolare + log + e ) log c) + arctg π ). Il ite si presenta nella forma indeterminata del tipo ; applichiamo la regola di de l Hospital e troviamo log log = = log log. + + Il ite è nella forma indeterminata ; applichiamo la regola di de l Hospital e troviamo log + e ) log = e +e =. c) Il ite si presenta nella forma indeterminata ; portando il fattore a denominatore e applicando la regola di de l Hospital si ha: 5.6. Calcolare sin log + ) e + ). arctg π + ) = arctg π + = + + =. Entrambi i iti sono nella forma indeterminata /, le formule asintotiche al primo ordine non sono direttamente applicabili in quanto siamo in presenza di differenze e non di prodotti o quozienti). Applicando due volte la regola di de l Hospital si ottiene

5.7. STUDI DI FUNZIONE 4 sin log + ) = cos + = sin + +) = e + ) e + ) = = e =. 5.6. Calcolare, se esiste, +. Applicando la regola di de l Hospital e ricordando che = e log si ottiene = + + log + ) =. 5.7 Studi di funzione 5.7. Studiare le seguenti funzioni e disegnarne il grafico: e e c) e d) )e. Vedi Figura 5.5. La funzione è definita per ogni ; la retta = è asintoto verticale; per +, l asintoto orizzontale è =, per non ci sono asintoti; in = c è un minimo, il minimo vale e /4; la funzione è convessa, non ci sono punti di flesso; la funzione è definita su tutto R; per +, l asintoto orizzontale è =, per non ci sono asintoti; in = / c è un massimo, il massimo vale ; in = c è un flesso; e c) la funzione è definita su tutto R; per, l asintoto orizzontale è =, per + non ci sono asintoti; in = c è un massimo, il massimo vale 4/e ; il punto = è di minimo; i punti = ± sono di flesso; d) la funzione è definita su tutto R; per, l asintoto orizzontale è =, per + non ci sono asintoti; in = / c è un minimo, il minimo vale /e; il punto = è di flesso. 5.7. Studiare le seguenti funzioni e disegnarne il grafico: e e log c) log + ) d) arctg ). Vedi Figura 5.6. Dominio: R; asintoti: = asintoto orizzontale per ; estremi: = log punto di minimo; flessi: = log 4; la funzione è convessa per > log 4, concava per < log 4; dominio: ], + [; asintoti: = asintoto verticale, non ci sono asintoti orizzontali o obliqui; estremi: = / punto di minimo; la funzione è sempre convessa; c) dominio: ], + [; asintoti: = asintoto verticale, non ci sono asintoti orizzontali o obliqui; estremi: = punto di massimo; la funzione è sempre concava; d) dominio: R; asintoti: = π/ asintoti orizzontali rispettivamente per ± ; la funzione è monotona decrescente, concava per <, convessa per > ; flessi: =. 5.7. Studiare le seguenti funzioni e disegnarne il grafico: +

44 CAPITOLO 5. CALCOLO DIFFERENZIALE / e ).5 )/e 8 6 4 6 4.5 4 e 4 )e 4 Figura 5.5: Vedi Esercizio 5.7. 5 e e 5 log) 4 4.5.5 log+).5 arctg ).5.5 4 4.5 4 4 Figura 5.6: Vedi Esercizio 5.7..