28 Ottobre 2010
Outline 1
Integrazione numerica I metodi deterministici di integrazione numerica (come Simpson, trapezi, e in generale Newton-Cotes) lavorano tipicamente con campionature uniformi del dominio. Tali formule di quadratura funzionano molto bene per funzioni univariate, ma all aumentare della dimensione/gradi di libertà del problema soffrono di una perdita di efficienza dovuta alla crescita esponenziale del numero di punti in cui si valuta la funzione integranda. Per ovviare a ciò, se la funzione da integrare ha un buon comportamento, è possibile utilizzare metodi statistici, che generano casualmente un numero prefissato di punti di valutazione all interno del dominio (di qualsiasi dimensione esso sia).
Le realizzazioni dalle varie leggi distributive possono essere utilizzate per approssimare numericamente gli integrali del tipo o, in più dimensioni, b a V g(u)du g(u)du
Valore atteso Definizione Data una variabile aleatoria X definita su uno spazio di probabilità (Ω, F,P), si definisce valore atteso di X la quantità E[X] = X dp Se la distribuzione di probabilità di X ammette una densità di probabilità p(x), allora il valore atteso diventa E[X] = xp(x) dx R Ω
Siano u 1,...,u n n realizzazioni indipendenti da variabili aleatorie uniformi nell intervallo [a,b], ovvero con densità di probabilità pari a p(u) = 1 b a. Applicando la definizione di valore atteso nel nostro caso, si ha E[g(u)] = b a 1 g(u) b a du Per la legge debole dei grandi numeri, c è convergenza della media campionaria della funzione integranda al valore atteso: 1 n n i=1 g(u i ) n E[g(u)]
Pertanto vale b a g(u)du = (b a)e[g(u)] (b a) 1 n n g(u i ) i=1 Quindi si ottiene un valore approssimato dell integrale moltiplicando la stima del valore atteso (data dalla media) per l ampiezza dell intervallo.
Il teorema del limite centrale assicura 1 n g(u i ) N (E[g(u)], 1n ) n var[g(u)] i=1 L errore può quindi scriversi come deviazione standard σ n = (b a) g 2 ( g) 2 n dove g = 1 n g(u i ) e n g2 = 1 n g 2 (u i ) n i=1 e il valore dell integrale si può esprimere più correttamente come b g(u)du (b a) 1 n g(u i ) ± σ n n a i=1 i=1
Osservazione La stima del valore dell integrale si discosta da E[g(u)] dell ordine di σ n 1 n, ovvero P (E[g(u)](b a) σ n < valore stimato < E[g(u)](b a) + σ n ) 0.68 Questo significa che il metodo converge lentamente O(n 1 2), ovvero per migliorare di una cifra significativa il risultato è necessario utilizzare un numero di punti (cioè di numeri generati casualmente) 100 volte più grande. di metodi più efficienti: trapezi O(n 2 ) Simpson/Gauss O(n 4 )
Osservazione Tuttavia, il metodo di Monte Carlo (che mantiene la stessa forma per integrali multi-dimensionali) si dimostra più conveniente a partire dalla dimensione 6 o 7, in confronto ad altri metodi deterministici di integrazione. Ad esempio, rispetto al metodo midpoint (che prevede una suddivisione equispaziata del dominio), Monte Carlo è più efficiente già per dimensione 3.
montecarlo.r contiene: function montecarlo 1d per Monte Carlo 1-dimensionale function montecarlo 2d per Monte Carlo 2-dimensionale function montecarlo per Monte Carlo a dimensione qualunque valutazione delle funzioni integrande main per testare gli esempi
o 1 Approssimare l integrale 5 2 sinx dx. Vero valore: cos(2) cos(5) 0.699809 0.5 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 0.5 1.0 Figure: f (x) = sin x, x [2, 5]
o 2 Approssimare l integrale doppio 10 3 1 sin(x y)dx dy. Vero valore: 2 sin(3)(cos(6) cos(1)) 0.118504 7 1.0 0.5 0.0 10 8 6 0.5 1.0 6 4 4 2 Figure: f (x, y) = sin(x y), (x, y) [1, 7] [3, 10]
o 3 Approssimare l integrale doppio 1 0 4 Vero valore: π 1.27324 π π y cos(xy)dx dy. 1.0 0.5 0.0 1.0 0.5 1.0 2 0.5 0 2 0.0 Figure: f (x, y) = y cos(xy), (x, y) [ π, π] [0, 1]