Prof. Roberto BIANCO Scuola Media Santa Domenica Talao (CS), a.s. 008-09 In queste pagine si vuole dare un aiuto agli alunni di terza media che intendono approfondire le applicazioni algebriche alla geometria solida. Dall esecuzione dei problemi proposti si comprende l importanza del metodo di studio che bisognerebbe adottare per lo studio di tale disciplina. Le nozioni di prima e seconda media tornano sempre utili e confermano che l apprendimento della matematica è fatta di quanti di saperi sequenziali che diventano prerequisiti indispensabili per la comprensione degli argomenti trattati. Le tracce dei problemi che ho scelto sono stati svolti nel corso di quest anno scolastico nella classe 3^H di S. D. Talao e sono tratte da Colosio-Giliani Scopriamo la Matematica Ed. La Scuola. Spero di aver fatto cosa gradita agli alunni interessati. PROBLEMA N. 1 Due piramidi triangolari regolari hanno le facce di base coincidenti (vedi figura) e le altezze che stanno nel rapporto a 5. Calcola l area laterale del solido, sapendo che lo spigolo di base e il volume misurano rispettivamente 8 cm e 4 cm 3. SOLUZIONE DATI: l 8 cm, V 4 cm3, hp1 proporzionale hp proporzionale a 5 Scriviamo innanzitutto quello che vuole il problema e cioè: p a1 p a Sl Slp1 + Slp + - 1 -
Prof. Roberto BIANCO Scuola Media Santa Domenica Talao (CS), a.s. 008-09 Nella relazione appena descritta manca l apotema delle due piramidi per cui dobbiamo prima trovare le altezze e applicare due volte il teorema di Pitagora come è facile desumerlo anche dalla figura. Per la risoluzione del problema è necessario (se non ricordiamo) riprendere il testo di matematica della seconda media e rivedere le formule dei poligoni inscritti e circoscritti con particolare riferimento al calcolo delle aree utilizzando i numeri fissi nf. Inoltre dovremo rispulciare le proprietà delle proporzioni. In particolare la proprietà del comporre e cioè data una proporzione a : b c : d, la stessa può essere scritta come: (a + b) : a (c + d) : c o anche (a + b) : b (c + d) : d Vedremo tra poco come utilizzare tale proprietà. In tale problema l aiuto più importante ci viene fornito dalle equazioni. Infatti è possibile, dai dati sopra scritti, trovare la somma delle altezze attraverso l impostazione della seguente equazione: l Sl Vp + Vp 64 quindi : 3 hp1 l + 3 hp 64hp1 64hp 64 + 3 3 3 3 3 4 64 ( hp1 + hp) ( hp1 + hp) 4 Þ ( hp1 + hp) 10,50cm Ora che conosciamo la somma (hp1 + hp) impostiamo la proporzione ricordando la proprietà del comporre hp1 : hp : 5 è (hp1 + hp) : hp1 ( + 5) : ma (hp1 + hp) 10,50 cm, quindi 10,50 : hp1 7 : è hp1 (10,50 x )/7 3 cm è hp 10,50 3 7,50 cm Troviamo ora l apotema delle piramidi ricordando che l / 4cm : a1 3 + 4 5 5cm a 7,5 + 4 7,5 8,5cm Finalmente siamo ora in grado di trovare l area laterale del solido tenendo presente che il perimetro di base vale 8 x 4 3 cm: 3 5 3 8,5 Sl + 80 + 136 16cm. - -
Prof. Roberto BIANCO Scuola Media Santa Domenica Talao (CS), a.s. 008-09 PROBLEMA N. Calcola la misura dell area della sezione in colore nella figura, di una piramide quadrangolare regolare, sapendo che il piano a cui appartiene la sezione è perpendicolare alla faccia ADV, che l area di base è 65 cm, che lo spigolo laterale misura 35 cm e che i segmenti MA e ND sono la quinta parte dello spigolo laterale. V N M D C A B SOLUZIONE DATI: Ab 65 cm AV 35 cm 1 MA MD 35 7 cm 5 l angolo A MB 90 Diciamo subito che il quadrilatero BCNM altro non è che un trapezio isoscele. Scriviamo per prima cosa quello che vuole il problema (area del trapezio): BC + MN A BCMN h trap Lo spigolo di base BC si ricava facilmente: BC 65 5 cm Per trovare la base minore MN dobbiamo rifarci al concetto di proporzione scrivendo quanto segue: AD : MN AV : MV Se AM 7 cm allora MV 35 7 8 cm, quindi si avrà: 5 : MN 35 : 8 da cui MN (5 x 8)/35 0 cm - 3 -
Prof. Roberto BIANCO Scuola Media Santa Domenica Talao (CS), a.s. 008-09 Ora dobbiamo trovare l altezza del trapezio. Per calcolarne la misura devo applicare il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo formato dal lato obliquo e dalla sua proiezione sulla base maggiore del trapezio isoscele (pari alla semidifferenza delle basi del trapezio [(BC MN)/ (5 0)/,5 cm]). Avremo quindi: BM 5-7 576 4 cm Quindi: h 4 -,5 569,75 3, 87 cm trap Siamo ora in grado di calcolare l area del trapezio isolscele: BC + MN 5 + 0 A BCMN htrap 3,87 537,075 cm. - 4 -
Prof. Roberto BIANCO Scuola Media Santa Domenica Talao (CS), a.s. 008-09 PROBLEMA N. 3 Un solido è composto da una piramide triangolare regolare e da una piramide esagonale regolare sovrapposte (vedi figura). Calcola la misura del volume del solido sapendo che lo spigolo dell esagono è di 1 cm, che l altezza complessiva è di 54 cm mentre le altezze delle due piramidi sono, nell ordine, proporzionali ai numeri 4 e 5. DATI: SOLUZIONE: l es 1 cm h p1 + h p 54 cm, h p1 proporzionale a 4, h p proporzionale a 5 Scriviamo innanzitutto quello che vuole il problema e cioè: V Vp 1 + Vp A base_tri h p1 /3 +A base_es h p /3 Per la risoluzione del problema è necessario riprendere il testo di matematica della prima e seconda media e rivedere le formule dei poligoni inscritti e circoscritti con particolare riferimento al calcolo delle aree utilizzando i numeri fissi nf. Inoltre dovremo ancora utilizzare le proprietà delle proporzioni. In particolare la proprietà del comporre e cioè: data una proporzione a : b c : d, la stessa può essere scritta come segue (a + b) : a (c + d) : c o anche (a + b) : b (c + d) : d Vedremo ora come utilizzare tale proprietà. Intanto cerchiamo nf che useremo con la formula A l x nf (vedi poligoni seconda media). nf,598 (esagono) nf 0,433 (triangolo) - 5 -
Prof. Roberto BIANCO Scuola Media Santa Domenica Talao (CS), a.s. 008-09 impostiamo la proporzione per la ricerca delle altezze delle due piramidi, dai dati si ha: hp1 : hp 4 : 5 è (hp1 + hp) : hp1 (4 + 5) : 4 ma (hp1 + hp) 54 cm, quindi 54 : hp1 9 : 4 è hp1 (54 x 4) / 9 4 cm è hp 54 4 30 cm A questo punto non rimane che trovare lo spigolo di base della piramide triangolare regolare; per fare ciò proiettiamo su un piano le basi per capire meglio (vedi figura sotto). C 30 60 A B Come è possibile vedere dalla figura il triangolo ABC è un triangolo rettangolo emiequilatero (30, 60, 90 ), per cui il cateto minore (AB) risulta essere la metà dell ipotenusa (BC) e cioè: AB 1 : 6 cm. Ora applicando il teorema di Pitagora è possibile trovare AC che moltiplicato per ci da finalmente la misura del lato del triangolo equilatero corrispondente allo spigolo di base della piramide triangolare regolare. AC 1-6 108 10,39cm Þ ltr 10,39 0, 78cm Ora siamo in grado di trovare il volume del solido: V Vp 1 + Vp ( l tr x nf tr x hp1) / 3 + (l es x nf es x hp) / 3 (0,78 x 0,433 x 4) / 3 + (1 x,598 x 30) / 3 1495,78 + 3741,1 536,9 cm 3. - 6 -