Corso di Idraulica ed Idrologia Forestale Docente: Prof. Santo Marcello Zimbone Collaboratori: Dott. Giuseppe Bombino - Ing. Demetrio Zema Lezione n. 7: Il moto dei fluidi reali Anno Accademico 008-009 009
Indice Regimi di moto Cadente e cadente piezometrica Sforzo tangenziale e perdita di carico Formule pratiche di moto uniforme Formule per il moto laminare Formule per il moto turbolento Moto puramente turbolento Moto turbolento in tubi lisci Moto turbolento di transizione Abaco di Moody
Indice Perdite di carico localizzate come fenomeni turbolenti Perdita nei divergenti Perdita d imbocco d Perdita d imbocco d nel caso di tubazione ben immersa nel serbatoio Sbocco con diffusore 3
Materiale didattico Slides delle lezioni frontali Citrini-Noseda (pagg. 80 + 86-87 87 + 97-0 + 08-6 + 4-40) 40) 4
Regimi di moto Nel moto di un fluido reale,, rispetto ad un fluido ideale intervengono due azioni interne: viscosità dà luogo ad azioni tangenziali tra le particelle di fluido e tra esse e la tubazione (azione( di trascinamento-resistenza resistenza del condotto) agitazione turbolenta dà luogo ad urti ed a scambio di quantità di moto tra le particelle Entrambe tali azioni provocano una perdita di energia meccanica 5
Regimi di moto Il moto di un fluido si può svolgere in presenza delle sole azioni viscose: : in tal caso si parla di moto in regime laminare (o moto laminare) Quando è presente l agitazione l turbolenta si parla di moto in regime turbolento (o moto turbolento) Nel moto turbolento possono coesistere le azioni viscose e l agitazione l turbolenta: : in generale quest ultima ultima prevale sulle azioni viscose 6
Regimi di moto Nel campo di moto turbolento possiamo immaginare sovrapposti due movimenti: l uno, cosiddetto di trasporto,, che determina lo spostamento d insieme d della massa fluida l altro, cosiddetto di agitazione,, che comporta scambi di massa da zona a zona del campo di moto, dovuto a componenti della velocità del fluido ( componenti di agitazione ) ) non parallele alla direzione della corrente Le componenti di agitazione non danno alcun contributo al trasporto di massa, ma determinano unicamente una irregolare oscillazione dei caratteri del moto intorno ai valori medi di trasporto 7
Regimi di moto Reynolds mostrò che, introducendo un filetto fluido colorato in una tubazione con acqua in moto, fino a una certa velocità V il filetto si mantiene rettilineo,, mentre, per velocità V >V, esso si disperde nella massa fluida Nel primo caso il moto è laminare; nel secondo è turbolento 8
Cadente Se esiste una forza tangenziale o azione di trascinamento (ossia un azione esercitata dal liquido sulla superficie del condotto), si origina una differenza dh tra le quote piezometriche p v p v dh = ( z + + α ) ( z + + α ) γ g γ g 9
Cadente L energia perduta per unità di peso e per unità di percorso (o perdita unitaria) è: J = dh ds cadente [-] 0
Cadente piezometrica Nel caso di moto uniforme (v = v ) p p dh = z + z + γ γ = dh dh dh J = = cadente ds ds piezometrica
Sforzo tangenziale e perdita di carico Indichiamo con R l azione l di trascinamento,, che ha la seguente espressione (derivata dall applicazione applicazione dell equazione equazione globale dell idrodinamica al volume di controllo) R = γ σ dh σ = sezione del volume di controllo
Sforzo tangenziale e perdita di carico Possiamo facilmente esprimere lo sforzo tangenziale alla parete, τ 0, dividendo per C ds,, dove C è il contorno del prisma di sezione σ e lunghezza ds ( contorno bagnato ),, trovando: τ = 0 γ σ ds J C ds Posto σ/c = R i (raggio idraulico), si ha: τ 0 = γ R i J 3
da cui: Sforzo tangenziale e perdita di carico J = τ 0 γ R i Possiamo inoltre considerare che τ 0 risulterà funzione della velocità,, in base alla sua definizione (legge di Newton) Sarà quindi: J = f ( v) 4
Sforzo tangenziale e perdita di carico Applicazione: condotta a diametro costante che collega due serbatoi di quota z A e z B Σ C v g z A z B = H + v g + Σ C v g = JL + v g + Σ C v g somma delle perdite concentrate (per esempio di imbocco e di brusco allargamento) eventualmente presenti 5
Sforzo tangenziale e perdita di carico Applicazione: condotta a diametro costante che collega due serbatoi di quota z A e z B Basterà dunque, conoscere τ 0 anche J = J(v) e poter porre: z A z B = J ( v) L + = τ 0 (v), per conoscere k v g risolvendo il problema del moto rispetto alla sola incognita v 6
Formule pratiche di moto uniforme Formula di Darcy-Weisbach J = f v gd f = indice di resistenza, usualmente compreso tra 0,0 e 0, 7
8 8 Formule pratiche di moto uniforme Formule pratiche di moto uniforme Pertanto si ha: Pertanto si ha: g v g v JL z z C B A + Σ + = Corso di Idraulica ed Idrologia Forestale Lezione 7 g v g v g v L D f z z C B A + Σ + = g v L D f z z C B A + Σ + = e infine: e infine:
Formule per il moto laminare Per il moto laminare e per sezione circolare vale la formula di Hagen e Poiseuille,, in base alla quale la cadente J è funzione della viscosità dinamica µ,, della velocità v, del diametro D della tubazione e del peso specifico del fluido γ: J = 3 µ v γ D 9
Formule per il moto laminare Dal confronto con la formula di Darcy Weisbach risulta: f v 3µ v = g D γ D f = 64 µ ρ v D L espressione ρνd/ D/µ è anch esso adimensionale ed è denominato numero di Reynolds: Re = ρ v D µ 0
Formule per il moto laminare Pertanto si ha: ƒ = 64/Re log ƒ = log 64 log Re 0, f 0,0 00 000 0000 Re Il moto laminare è stabile per Re = 800 000
Formule per il moto turbolento Al contrario di quanto accade per il moto laminare, le formule di moto uniforme per il regime turbolento sono valide sia per le condotte, sia per i canali, dipendendo poco dalla forma della sezione Si usa pertanto esprimere in tali formule J in funzione del raggio idraulico della generica sezione R i = A C
Formule per il moto turbolento Formula di Gauckler Strickler v = K R i 3 J Formula di Manning v = n R i 3 J K è un coefficiente di velocità con dimensioni [L /3 T - ] n è un coefficiente di scabrezza con dimensioni [L -/3 T] 3
Formule per il moto turbolento Per le condotte metalliche degli acquedotti (75 mm < D < 400 mm) valgono le formule f seguenti: J = Q β D 5 Formula di Darcy β = 0,0064 + 0,00004 D Si osservi che [β] = [L 5 ] [L - 6 T ] = [L - T ], cioè /β = [L T - ] (β ha le dimensioni del reciproco di una accelerazione) 4
Formule per il moto turbolento f = log 3,75 ε D Formula di Prandtl dove D è il diametro della tubazione ed ε una variabile che ne caratterizza la scabrezza 5
Formule per il moto turbolento Pertanto ƒ non dipende dal numero di Reynolds,, ma è sempre decrescente col diametro e crescente con la scabrezza 0. f D <D <D 3 D D D 3 0.0.E+0.E+03.E+04.E+05.E+06.E+07.E+08 Re 6
Formule per il moto turbolento f = log,5 Re f Formula di Von Kàrman ε = log f 3,75 D +,5 Re f Formula di Colebrook e White Il moto puramente turbolento è caratterizzato da valori del numero di Reynolds molto elevati, dell ordine di 0 5 o 0 6 7
Moto turbolento in tubi lisci (in materiale plastico) f = 0,36 Re 0,5 Formula di Blasius f =,03 log,5 Re f Formula di Prandtl-Von Kármán 0. f ε/d=0,05 ε/d=0,0 ε/d=0,00 0.0.E+0.E+03.E+04.E+05.E+06.E+07.E+08 Re 8
Moto turbolento di transizione Regime intermedio tra quello puramente turbolento e quello turbolento in tubi lisci,5 ε =,03log + f Re f 3, 75D Formula di Colebrook e White 9
Abaco di Moody Completa rappresentazione delle diverse leggi di moto 0. f Mo to la m inare Mo to Turb ole nto di tra ns izione Moto assolutamente T urbolento Tu bo lis cio 0.0.E + 0.E + 03.E + 04.E + 05.E + 06.E + 07.E + 08 Re 30
Perdite di carico localizzate come fenomeni turbolenti Poiché le perdite di carico localizzate sono associate ad agitazione turbolenta,, esse sono espresse come: H = ξ V g dove V è la velocità che si stabilisce in una sezione caratteristica e ξ è un coefficiente che dipende dalla geometria 3
Perdite localizzate Quando nelle tubazioni si verificano dei cambiamenti di sezione o di direzione, la corrente non può essere considerata come gradualmente variata e si verificano delle perdite di carico localizzate b) Brusco restringimento c) curva d) saracinesca 3
Brusco allargamento (perdita di Borda) H Carichi totali Piezometrica v /g p / γ p / γ D D p V p z + + α H = z + + α γ g γ V g H = γ ( p p ) + g ( V V ) [] 33
Brusco allargamento (perdita di Borda) Applichiamo l equazione l globale dell equilibrio equilibrio idrodinamico in condizioni di moto permanente al volume fluido compreso fra le sezioni fra le quali è stato applicato il teorema di Bernoulli Essa fornisce: G + Π + M M = 0 34
Brusco allargamento (perdita di Borda) scomponendo P nelle varie aliquote: G + Π M + Πcc + Π + Π0 + M = 0 dove con Π si è indicata l azione l che la superficie, appartenente alla tubazione con diametro D, esercita sul volume fluido, con Π cc quella esercitata dalla corona circolare, con Π quella esercitata dalla sezione ed, infine, con Π 0 quella esercitata dalla superficie di contorno 35
Brusco allargamento (perdita di Borda) Questa Π 0 poichè si è visto che non si può considerare il liquido perfetto, avrà anche una componente tangenziale Proiettando l ultima l equazione sull orizzontale, possiamo trascurare la componente orizzontale di Π, ottenendo: 0 Π + Π cc + M + Π M = 0 36
Brusco allargamento (perdita di Borda) Le quantità di moto M ed -M sono applicate nei baricentri delle relative sezioni; le spinte Π, Π cc e Π sono applicate, a rigore, nei centri di spinta, ma, nei casi pratici, a causa delle piccole distanze fra essi e i corrispondenti baricentri non si commette sensibile errore considerandole applicate in questi ultimi I moduli valgono : Π =p A, Π =p A, Π cc =p (A -A ), M =ρqv e M =ρqv Nel calcolare il modulo di Π cc si è ipotizzato che la distribuzione delle pressioni sulla corona circolare sia idrostatica e con valori uguali a quelli che competono alla sezione 37
Brusco allargamento (perdita di Borda) Effettuando le sostituzioni si ottiene l equazione l scalare: p A + p A A ) ( + ρqv = p A + ρqv da cui, considerando Q=A V, dopo aver semplificato risulta: p ( V ) p = ρv V Questa espressione fornisce il legame cercato fra la variazione di pressione e le velocità 38
Brusco allargamento (perdita di Borda) p / γ H Carichi totali Piezometrica v /g p / γ D D Inoltre essa permette di evidenziare che la pressione p è maggiore di p dal momento che V >V Pertanto, in corrispondenza di un brusco allargamento si ha un abbassamento della linea dei carichi totali e un aumento della quota piezometrica 39
Brusco allargamento (perdita di Borda) p / γ H Carichi totali Piezometrica v /g p / γ D D Sostituendo nella [], si ottiene dunque: H = ( V V ) g 40
Perdita d imboccod p / γ A 0,5 v /g v /g h B p / γ z v H = 0,5 g Nella condotta collegante due serbatoi, la linea dei carichi totali si dovrà condurre da monte, a distanza 0,5 v /g rispetto all orizzontale passante per la superficie libera del serbatoio A z z=0 4
Perdita d imboccod L imbocco di una condotta da un serbatoio può essere realizzato secondo due diverse modalità: : con uno spigolo vivo oppure ben raccordato Mentre in quest ultimo ultimo caso non si hanno apprezzabili perdite di carico nel primo caso esse sono presenti e per le brevi condotte hanno valore tutt altro che trascurabile Nel caso dell imbocco a spigolo vivo l efflusso l fino alla sezione contratta non differisce da quello libero; a valle di essa si ha la brusca espansione della vena liquida secondo le modalità illustrate per l appunto l nel caso di brusco allargamento 4
Perdita d imboccod Tale perdita localizzata è dunque la somma di due diverse aliquote: H, fino alla sezione contratta ed è dovuta principalmente alla viscosità H H Vc 0.04 g = = V 0.4 g = = V 0. g H, per il brusco allargamento ed è dovuta all agitazione agitazione turbolenta Vc 0.5 g H Vc = H + H = 0.9 = g V 0.5 g 43
Perdita d imbocco d nel caso di tubazione ben immersa nel serbatoio Il più piccolo valore assunto dal coefficiente di contrazione dàd luogo però a delle perdite di carico localizzate di entità più rilevanti H H Vc 0.04 g = = Vc 0.5 g = = V 0.6 g V g H = Vc 0.9 g V =.6 g 44
Perdita di sbocco p / γ A 0,5 v /g v /g h B p / γ z z z=0 Come caso particolare della perdita per brusco allargamento si può considerare la perdita di sbocco: in questo caso si può considerare il serbatoio come la tubazione a diametro più grande e si può ritenere trascurabile la velocità ad essa relativa 45
Perdita di sbocco p / γ A 0,5 v /g v /g h B p / γ z z z=0 Di conseguenza la perdita di energia è pari all energia cinetica all uscita, cioè: H V = α g V è la velocità di sbocco ed α tiene conto della sua non uniforme distribuzione 46
Perdita nei divergenti Se il passaggio dalla tubazione a diametro D a quella a diametro D non avviene in maniera brusca ma graduale, per esempio mediante un divergente o, nel caso di sbocco in un serbatoio, mediante un diffusore, la perdita di carico che si realizza in essi è dovuta sia alla separazione della corrente, sia alle perdite di carico continue 47
Perdita nei divergenti Da un punto di vista costruttivo, per ridurre la perdita di carico è conveniente rastremare i diffusori nella parte iniziale come indicato qualitativamente nella figura a o realizzare un primo tratto tronco conico con angolo di apertura minore e successivamente un brusco allargamento come in figura In entrambi i casi infatti la separazione della corrente avviene più a valle, quando la vena liquida ha già subito un primo rallentamento 48
Sbocco con diffusore Imbocco non raccordato h = J ( v ) + v g 49
Sbocco con diffusore Inserimento del diffusore ( v v ) v h = J ( v ) L + + g g Si può notare che si ha: v v g Si può notare che si ha: ( ) v g + < v g 50