STATISTICA A K (63 ore)

STATISTICA A K (63 ore) Marco Riai mriai@uipr.it http://www.riai.it : stima della percorreza media delle vetture diesel di u certo modello al primo guasto =400 X =34.000 Km; s cor =9000 Km Calcolare l itervallo di cofideza di µ al 95% e al 99% PX z( / ) X z( / ) : stima della percorreza media delle vetture diesel di u certo modello al primo guasto =400 X =34.000 Km; s cor =9000 Km Livello di cofideza (-α)=0,95 z(0,05)=,96 P{338 < µ< 3488}=0,95 Livello di cofideza (-α)=0,99 z(0,005)=,58 P{3839 < µ< 356}=0,99 I dati che seguoo si riferiscoo alla durata (i migliaia di Km) di ua cighia da automobile i u campioe di 5 osservazioi 5,4 85, 89, 8,3 88,4 09,3 04,3 69,3 05,5 06,8 03, 0,6 0,9 89,6 09,3 Facedo le opportue ipotesi, si costruisca u itervallo di cofideza per la media al 99% =5 X =99,87 mila Km; s cor=70,4 Pr( )=0,99 Ip. Distribuzioe ormale ell uiverso PX t( / ) X t( / ) t(α) deve essere cercato i ua v.a. T di studet co4 gradi di libertà 0,005 0,005 0,99 t(/) -,977 t(/),977 =5 X =99,87 mila Km; s cor=70,4 Ip. Distribuzioe ormale ell uiverso PX t( / ) X t( / ) 3,05 3,05 P99,87,977 99,87,977 0,99 5 5 P 89,84 09,9 0, 99

Di seguito soo riportati i Km percorsi i u gioro da u campioe di taxi operate i ua grade città 73 95 5 54 49 0 48 5 68 3 9 0 48 03 0 Sulla base di questo campioe assumedo che la popolazioe geeratrice sia ormale è stato determiato il seguete itervallo di cofideza (6,55 44,7). Si calcoli il livello di cofideza su cui è stato calcolato Media campioaria=30,6875 =6 s cor =3, PX t( / ) X t( / ) P6,55 44,7 Equazioe da risolvere x t( / ) 44,7 t( / ) (44,7 x) / s,74 Dalla tavola t(α/)=,74 co g=5 corrispode ad α di poco superiore a 0, ossia ad u - α di poco iferiore a 0,9 (Utilizzado la fuzioe di Excel distrib.t(,74;5;) si ottiee α =0,039) cor Variate al precedete esercizio Se i dati di base fossero stati i segueti: 7 95 5 54 49 0 48 5 68 3 9 0 48 03 0 Quale sarebbe stato il livello di cofideza dell itervallo (6,55 44,7)? Media campioaria=30,65 S cor =3,45 t(α/)=,75 α 0,0 - α 0,9 Numero di dipedeti Nella seguete distribuzioe di frequeze è riportato il umero di dipedeti di 50 aziede tessili operati i ua determiata provicia. Frequeze assolute 5 8 4 8 5 7 545 Si calcoli l'itervallo di cofideza al 99% della media dell'uiverso del umero di dipedeti commetado i risultati otteuti (co o seza il valore aomalo) Stima di µ i distribuzioi di frequeze Stima corretta di σ i preseza di distribuzioi di frequeze s cor r i r i i i x x i

(co il valore aomalo) M=0,84 s cor =5735,55 PX z( / ) X z( / ) s cor / 0.5 = 0,70 z(α/)=,58 Estremo iferiore = -6,793 0 Estremo superiore = 48,47 Pr(0 < µ < 48,47) =0,99 (seza il valore aomalo) M=0,43 s cor = 4,375 s cor /49 0.5 = 0,54 z(α)=,58 PX z( / ) X z( / ) Estremo iferiore = 8,745 Estremo superiore =,540 Pr(8,745 < µ <,540) =0,99 U azieda produce rotoli di stoffa della lughezza di 70m. Tali rotoli possoo presetare difetti di diversa atura. L azieda è iteressata a stimare il umero medio di difetti preseti ei rotoli prodotti. I u campioe casuale di 85 rotoli si è trovata la seguete distribuzioe. difetti 0 3 4 5 6 Frequeza 6 6 3 5 Si determii l itervallo di cofideza al 99% per la media dei difetti preseti ei rotoli di stoffa Media campioaria=,7059 =85 S =,760554 S cor =,3347 PX,58 X,58 0,99 P,33,08 0, 99 Co riferimeto all esercizio precedete, si cosideri che u rotolo risulta vedibile se preseta u massimo di 3 difetti. Sulla base dello stesso campioe di cui all esercizio precedete, si costruisca u itervallo di cofideza al 95% per la proporzioe di rotoli cosiderati vedibili. difetti 0 3 4 5 6 Frequeza 6 6 3 5 Proporzioe di successi el campioe= (6+6++3)/85=0,9059=p P p,96s( p) p,96s( p) 0, 95 0,9( 0,9) 0,9( 0,9) P0,9,96 0,9,96 0,95 85 85 P s( p) p( p) 0,84 0,97 0, 95 3

Nel processo di cotrollo del peso delle cofezioi di u determiato prodotto l azieda esamia u campioe di 800 cofezioi e trova che 5 di esse hao u peso fuori orma. Si determii l itervallo di cofideza al 97% della proporzioe di pezzi fuori orma. Se la proporzioe di pezzi fuori orma ell'uiverso fosse uguale a,5%, effettuado cique estrazioi si calcoli la probabilità di trovare esattamete due pezzi fuori orma; si scriva e si calcoli l'espressioe che cosete di calcolare la probabilità di otteere u umero di pezzi fuori orma compreso tra due e quattro (estremi compresi). rappresetare graficamete la desità : itervallo di cofideza p= 5/800= 0,0875 z(0,05)=? s(p)=? z(0,05)=,7 =800 s(p)=[0,0875(-0,0875)] 0,5 /(800 0,5 )=0,0047956 P p,7s( p) p,7s( p) 0, 97 Estremo iferiore = 0,0875-,7*0,0047956=0,008 Estremo superiore = 0,0875+,7*0,0047956=0,09 Pr(0,008<π<0,09)=0,97 Parte Se la proporzioe di pezzi fuori orma ell'uiverso fosse uguale a,5%, effettuado cique estrazioi si calcoli la probabilità di trovare esattamete due pezzi fuori orma; si scriva e si calcoli l'espressioe che cosete di calcolare la probabilità di otteere u umero di pezzi fuori orma compreso tra due e quattro (estremi compresi). rappresetare graficamete la desità : parte π =0,05 =5 X=umero di pezzi fuori orma~(5, 0,05) Pr(X=)=0,005 Probabilità di otteere u umero di pezzi fuori orma compreso tra due e quattro (estremi compresi). : rappresetazioe grafica desità π =0,05 =5 X=umero di pezzi fuori orma~(5, 0,05) Si cosideri ua popolazioe distribuita secodo il seguete modello X Si elechio tutti i campioi di ampiezza 3 che si possoo estrarre co ripetizioe da tale popolazioe assegado a ciascu campioe la relativa probabilità Si determii la distribuzioe campioaria della media e la si rappreseti graficamete Si calcoli il valore atteso e la variaza della media campioaria Si determii la distribuzioe campioaria della mediaa ed il suo valore atteso Pi 0.3 5 0.6 7 0. 4

: spazio dei campioi (7=3 3 ) e relative probabilità X Pi 0.3 5 0.6 7 0. Uiverso X Distribuzioe della media campioaria X Pi 0.3 5 0.6 7 0. Uiverso X Rappresetazioe grafica della distribuzioe della media campioaria Distribuzioe della media campioaria Quado è elevato la distribuzioe della media campioaria è ormale. Quado è piccolo la distribuzioe dipede da quella dell uiverso X Pi 0.3 5 0.6 7 0. Uiverso X Distribuzioe della mediaa campioaria X P i 0.3 5 0.6 7 0. Distribuzioe della mediaa campioaria Uiverso X E(X)=4.3 E(Me)=4.408. I questo caso lo stimatore mediaa campioaria è distorto Bias=0.08 5

La durata di u macchiario si distribuisce secodo ua distribuzioe ormale di media ai e scarto quadratico medio 0,5 ai. Si determii:. prob che il macchiario duri più di 8 mesi.. l itervallo di ampiezza ai al quale corrispode la massima prob di coteere la durata effettiva del macchiario. Calcolare tale probabilità. 3. Se il costo di acquisto del macchiario è di 000 euro e il costo del suo fuzioameto è stimato i 50 euro all ao, si calcolio la media e la variaza del costo complessivo del macchiario. T= v.a. che descrive la durata del macchiario T~N(4 mesi 6 mesi) Pr(T>8)? Pr(T>8)=-Pr(T<8)=-F(4/6)=0,549 Itervallo di ampiezza ai al quale corrispode la massima prob di coteere la durata effettiva del macchiario. T= v.a. che descrive la durata del macchiario T~N(4 mesi 6 mesi) Dalla forma campaulare e simmetrica attoro a μ della desità di ua geerica N(μ, σ ), si ottiee che l itervallo di ampiezza ai che cotiee la massima probabilità per ua N(4,6) è l itervallo di ampiezza ai attoro alla media (E(T) = 4), ossia [ mesi,36 mesi]. Pr( mesi T 36 mesi) Dato che T~N(4 mesi 6 mesi) Pr( <T<36) =Pr(-<(T-E(T))/σ(T)<)=0,9545 Media e variaza del costo complessivo del macchiario C= v.a. che descrive il costo complessivo CA=costo acquisto = 000 CM = costo mautezioe auo =50 T = v.a. che descrive la durata i mesi C=CA+(CM/) T C=000+(5/) T co T~N(4m 6 m) E(C) =? E(C)= 000+ (5/) E(T)=300 VAR(C)=? VAR(C)= (5/) VAR(T)= 565 Se avessi espresso tutto i ai C= v.a. che descrive il costo complessivo CA=costo acquisto = 000 CM = costo mautezioe auo =50 T A = v.a. che descrive la durata i ai C=CA+CM T A C=000+50 T A co T A ~N( 0,5 ) E(C) = 000+ 50 E(T A )=300 VAR(C)= 50 VAR(T A )= 565 6

Sia X,, X u campioe casuale estratto da u uiverso X co la seguete distribuzioe di Cauchy (T di studet co u solo grado di libertà) Richieste Verificare che f(x; θ, d) è ua desità Rappresetare graficamete f(x; θ, d) Calcolare la fuzioe di ripartizioe F(x) Calcolare la mediaa di X Calcolare E(X) Illustrare se i preseza di u campioe casuale estratto da questa desità è possibile applicare il teorema cetrale del limite Richieste Verificare che 6,34 (ossia il umero all icrocio della prima riga e della prima coloa della tabella di p. 50 del testo di ifereza) è il quatile che lascia alla sua siistra ua probabilità pari a 0,95 Trovare il quatile 0,995 (ossia il valore che lascia alla sua destra ua probabilità pari a 0,005). Verificare che tale umero risulta uguale a 63,656 (v. tabella di p. 50 del libro di ifereza) Verifica che è ua desità Per chi desidera ripassare le proprietà dell arcotagete http://it.wikipedia.org/wiki/arcotagete Rappresetazioe grafica θ=0, d= Calcolo della fuzioe di ripartizioe θ=0, d= 7

Calcolo della mediaa La mediaa (Me) per u v.c. cotiua co fuzioe di desità f(x) e ripartizioe F(x) è defiita come la soluzioe della seguete equazioe Calcolo della mediaa Mediaa = quatile che lascia alla sua destra ed alla sua siistra ua probabilità pari a 0,5 Calcolo del valore atteso Per semplificare i calcoli possiamo cosiderare la variabile di Cauchy i forma «stadardizzata» z= (x-θ)/d Domada: illustrare se i preseza di u campioe casuale estratto da questa desità è possibile applicare il teorema cetrale del limite Risposta: o è possibile applicare il teorema cetrale del limite i quato E(X)=. Di cosegueza lo scostameto stadardizzato della media campioaria o si distribuisce come ua v.c. ormale stadardizzata Verificare che 6,34 (ossia il umero all icrocio della prima riga e della prima coloa della tabella di p. 50 del testo di ifereza) è il quatile che lascia alla sua siistra ua probabilità pari a 0,95 Occorre verificare che Trovare il quatile 0,995 (ossia il valore che lascia alla sua destra ua probabilità pari a 0,005). Verificare che tale umero risulta uguale a 63,656 (v. tabella di p. 50 del libro di ifereza) Occorre trovare x 0,995 tale per cui F(x 0,995 )=0,995 Osservazioe: i Excel =INV.T(0,0;) =63,65674 8

Il tempo impiegato da u meccaico i u egozio di biciclette per assemblare u certo tipo di bicicletta può essere cosiderato ua v.c. ormale co media 3 miuti e deviazioe stadard 3,5 miuti. Si calcoli la probabilità che il tempo medio per assemblare 0 biciclette No superi 33 miuti Sia compreso tra 8,5 e 3,5 miuti X=v.c. tempo impiegato X~N(3, 3,5 ) =0 X ~ N(, ) 3,5 X ~ N(3, ) 0 Pr media campioaria <33? X 33 3 Pr( X 33) Pr( ) / 3,5/ 0 Pr( X 33) Pr( Z 0,9035) 0,869 Il valore 0.869 è stato otteuto dalla fuzioe di Excel =DISTRIB.NORM.ST(0,9035). Utilizzado le tavole F(0,90)=0,8594 Calcolo di Pr( 8,5 X 3,5)? Pr( X 3,5) Pr( Z -0,4575) 0,357 Pr( X 8,5) Pr( Z -3,68) 0,00078 Pr( 8,5 X 3,5) 0,3494 3,5 X ~ N(3, ) 0 I valori 0,357 e 0,00078 soo stati otteuti co le fuzioi di Excel =DISTRIB.NORM.ST(-0,4575) e =DISTRIB.NORM.ST(-3,68). Utilizzado le tavole si ottiee F(-0,45)-F(-3,6)= 0.3636-0.00079=0.3557 Sia f(x)=/ -<x< Si calcoli E(X) E(X+) E(X ) σ E(X/4+7) Sia f(x)=/ -<x< E(X)=0 E(X+)= E(X ) =/3 σ =/3 E(X/4+7)=7 Ua lotteria mette i palio uo scooter del valore di 3000 Euro. Vegoo veduti 0000 biglietti al prezzo di. Se si acquista u biglietto qual è il guadago atteso? Qual è il guadago atteso se si comperao 00 biglietti. SI cofroti la variaza del guadago ei due casi 9

Esempio Esempio Distribuzioe della v.c. X = guadago x i p i - 9999/0000 Distribuzioe della v.c. X = guadago x i p i - 9999/0000 999 /0000 999 /0000 E(X) = -7/0 guadago atteso se si acquista u biglietto E(00*X) =-70 guadago atteso se si acquistao 00 biglietti VAR(X) = 899.9 se si acquista u biglietto VAR(00*X) =0000VAR(X)= 89990 se si acquistao 00 biglietti : il gioco dell itruso (odd ma game) 3 persoe giocao all «odd ma game». Ciascuo lacia ua moeta. Chi ottiee ua faccia diversa da quella degli altri due è l itruso («odd ma») e perde. Qual è la probabilità che via sia u itruso i u determiato turo di gioco assumedo che le moete o siao truccate? Qual è la probabilità che siao ecessari u umero di turi pari di gioco per determiare il perdete («l odd ma»)? Spazio degli eveti Ω={TTT, TTC, TCT, CTT, CCT, CTC, TCC, CCC} Casi favorevoli che determiao la coclusioe del gioco al primo turo {TTC, TCT, CTT, CCT, CTC, TCC} P(vi sia u itruso) = 3/4 Probabilità che siao ecessari u umero di turi pari di gioco per determiare il perdete («l odd ma») Pr coclusioe turo = (/4)(¾) Pr coclusioe turo 4 = (/4) 3 (¾) Pr coclusioe turo 6 = (/4) 5 (¾).. Pr coclusioe turo pari= : il gioco dell itruso (odd ma game) Si rispoda ai quesiti dell esercizio precedete assumedo stavolta che il umero dei giocatori sia uguale a 4 (i questo caso «l odd ma» è quello che ottiee ua faccia diversa da quella degli altri 3). 3 4 j0 4 j 3 6 j0 4 j 3 6 j0 6 j 3 6 6 5 0

Spazio degli eveti Ω={6 possibili casi} Casi favorevoli che determiao la coclusioe del gioco al primo turo {CTTT, TCTT, TTCT, TTTC TCCC, CTCC, CCTC, CCCT} P(vi sia u itruso) = / Probabilità che siao ecessari u umero di turi pari di gioco per determiare il perdete («l odd ma») Pr coclusioe turo = (/)(/) Pr coclusioe turo 4 = (/) 3 (/) Pr coclusioe turo 6 = (/) 5 (/).. Pr coclusioe turo pari= j0 j 4 j0 j 4 j0 4 j 4 4 3 : il gioco dell itruso (odd ma game) Si rispoda ai quesiti dell esercizio precedete assumedo stavolta che il umero dei giocatori sia uguale a (i questo caso «l odd ma» è quello che ottiee ua faccia diversa da quella degli altri -). Does this seem like a feasible game as gets large? Spazio degli eveti Ω? Ω={ possibili casi} Casi favorevoli che determiao la coclusioe del gioco al primo turo {CTT T, TCT T,, TT TC TCC C, CTC C,., CC CT} P(vi sia u itruso) = / =/ - Probabilità che siao ecessari u umero di turi pari di gioco per determiare il perdete («l odd ma») Pr coclusioe turo = (-/ - )(/ - ) Pr coclusioe turo 4 = (-/ - ) 3 (/ - ) Pr coclusioe turo 6 = (-/ - ) 5 (/ - ).. Pr coclusioe turo pari= j - j0 - Probabilità che siao ecessari u umero di turi pari di gioco per determiare il perdete («l odd ma») Pr coclusioe turo pari= j - - j0 - - j0 - j0 - j - - - j -

Does this seem like a feasible game as gets large? P(vi sia u itruso) = / =/ - / - 0 se lim - - 0