ESERCIZI DI MATEMATICA FINANZIARIA DIPARTIMENTO DI ECONOMIA E MANAGEMENT UNIFE A.A. 2016/2017 Esercizi: lezione 04/11/2016 Piani di ammortamento Esercizio 1. Un finanziamento pari a 100000e viene rimborsato con 4 rate annue posticipate a quote di capitale costante (piano all italiana) e tasso annuo composto i = 8%. a) Stabilire l ammontare delle quattro rate R 1, R 2, R 3, R 4 redigendo il piano di ammortamento; b) stabilire l ammontare delle quattro rate R2, R 3, R 4, R 5 nel caso in cui, dopo il pagamento della prima rata R 1, il debitore ottenga l allungamento di un anno del rimborso, di nuovo a quote di capitale costante e riduzione del tasso di un punto percentuale. Soluzione. Il piano è all italiana, quindi C 1 = C 2 = C 3 = C 4 = C. Poiché il rimborso si chiude al quarto anno si ha C 1 + C 2 + C 3 + C 4 = D 0 4 C = 100000 C = 25000e. a) Dobbiamo applicare le seguenti formule: I k = D k 1 i, per k = 1, 2, 3, 4, R k = C + I k = 25000 + I k, per k = 1, 2, 3, 4, D k = D 0 k C = 100000 25000 k per k = 1, 2, 3, 4, dunque otteniamo il seguente piano di ammortamento: 0 1 25000 8000 33000 75000 2 25000 6000 31000 50000 3 25000 4000 29000 25000 4 25000 2000 27000 0 1
2 ESERCIZI DI MATEMATICA FINANZIARIA b) Siano C = C 1 e C = C 2 = C 3 = C 4 = C 5, quindi abbiamo che C 1 + C 2 + C 3 + C 4 + C 5 = D 0 C + 4 C = 100000 4 C = 75000 da cui C = 18750e. Procedendo come nel punto a) per le epoche t = 2, 3, 4, 5 con tasso annuo di interesse i = 0, 07, abbiamo il seguente piano di ammortamento: 0 1 25000 8000 33000 75000 2 18750 5250 24000 56250 3 18750 3937,50 22687,50 37500 4 18750 2625 21375 18750 5 18750 1312,50 20062,50 0 Esercizio 2. Un impresa ha contratto 3 anni fa un mutuo di ammontare 10000e al tasso annuo composto del 10%. Un anno più tardi ha versato una prima rata di 3000e e due anni dopo una seconda rata di 4000e. a) Determinare il debito residuo D 2. b) Determinare la terza rata se il debito è chiuso al terzo anno. c) Se invece l impresa estingue il debito in 4 anni complessivi, pagando una stessa rata R negli ultimi due anni, determinare tale rata, sapendo che, solo nel quarto anno, il tasso è salito al 12%. Soluzione. a) Per quanto riguarda l epoca t = 1, abbiamo I 1 = D 0 i = 10000 0, 1 = 1000e, C 1 = R 1 I 1 = 3000 1000 = 2000e, D 1 = D 0 C 1 = 10000 2000 = 8000e. In modo analogo si calcolano I 2, C 2 e D 2 per l epoca t = 2, dunque abbiamo il seguente piano di ammortamento: dunque D 2 = 4800e.
ESERCIZI DI MATEMATICA FINANZIARIA 3 b) Se supponiamo di estinguere il debito al terzo anno si ha I 3 = D 2 i = 4800 0, 1 = 480e; essendo D 3 = 0 e D 3 = D 2 C 3, abbiamo che C 3 = D 2 = 4800e; infine R 3 = C 3 + I 3 = 4800 + 480 = 5280e. Allora il piano di ammortamento è il seguente: 3 4800 480 5280 0 c) In questo caso il piano di ammortamento è il seguente: 3 R 480 480 R 5280 R 4 5280 R 633, 6 0, 12 R R 0 L equazione da impostare è R 4 = C 4 + I 4, ossia otteniamo la seguente equazione in R: R = 5280 R + 633, 6 0, 12 R 2, 12 R 5913, 6 = 0 da cui R = 2789, 43e. Esercizio 3. Un prestito di 10000e viene rimborsato in 5 anni a rate semestrali costanti al tasso i s = 2, 4%. Dopo 2 anni esatti, il debitore continua il piano di ammortamento presso un altro istituto di credito a tasso i s = 2%, pagando al vecchio istituto una penale, finanziata dal nuovo istituto, dell 1, 2% sul debito residuo. Supponendo che, presso il nuovo istituto, il debitore, oltre ad un abbassamento di tasso, ottenga anche di pagare con un anno in più di tempo, a quanto ammonta la nuova rata?
4 ESERCIZI DI MATEMATICA FINANZIARIA Soluzione. Dopo 2 anni, usando la formula compatta che lega un debito residuo intermedio a quello iniziale nel piano alla francese, il debito residuo è D 4 = D 0 1 (1 + i s) 6. (1) 1 (1 + i s ) 10 Poiché il debitore, cambiando istituto di credito, paga una penale dell 1, 2% su D 4, ma ha a disposizione un anno in più (ossia 2 ulteriori rate) per pagare, significa che nel nuovo istituto deve ripianare un debito di (1, 012) D 4, sempre alla francese, in 4 anni, a tasso i s. La nuova rata costante R, pertanto diviene R = 1, 012 D 4 Inserendo nella (2) la (1), si ha che R = 1, 012 D 0 i s 1 (1 + i. (2) 8 s) i s (1 (1 + i s ) 6 ) (1 (1 + i s) 8 ) (1 (1 + i s ) 10 ). (3) Inserendo ora i dati numerici nella (3) si trova che R 867, 85. e Esercizio 4. Non potendo pagare l ultima rata R n, pari a 1000e, di un mutuo a tasso i = 10%, ottenete di chiudere il prestito pagando 2 rate uguali pari a R alle epoche t = n e t = n + 1. A quanto ammonta R? Soluzione. In pratica, si tratta di scambiare la rata di 1000 euro con due rate costanti pagate l una sempre all ultimo anno e l altra l anno dopo, ma il cui complessivo valore attuale, dove attuale qui si riferisce all n-esimo anno, deve coincidere con 1000. Dunque, l equazione da impostare è 1000 = R + R 1 + i da cui facilmente R = 1 + i 1000 523, 80952. 2 + i Esercizio 5. (Difficile) Stilate un piano di ammortamento all italiana con prestito iniziale pari a 2000 euro e durata 4 anni, ai tassi i 1 = 4% per i primi due anni e i 2 = 6, 5% per i successivi due anni. Successivamente, dimostrate che a questo piano corrisponde un tasso costante i per tutto il periodo compreso tra il 4, 7% e il 4, 8%. Soluzione. La quota capitale costante (anche se i tassi cambiano nel corso dei quattro anni, rimane questa la caratteristica saliente di un piano all italiana) é data da C = D 0 /4 = 500 euro. Il piano dei primi due anni, a tasso costante pari a i 1, risulta dunque
ESERCIZI DI MATEMATICA FINANZIARIA 5 0 0 0 0 2000 1 500 80 580 1500 2 500 60 560 1000 Poi si riparte incollando al piano precedente un nuovo piano all italiana di due anni, con quota capitale costante sempre pari a 500 euro, debito residuo iniziale pari a D 2, ossia 1000 euro, e a tasso costante pari a i 2, dato da 2 - - - 1000 3 500 65 565 500 4 500 32,5 532,5 0 Per sapere a quale tasso costante avrei ottenuto lo stesso piano, mi basta impostare la condizione di chiusura finanziaria, ossia n R k (1 + i) k = 2000, k=1 ove R k, per k = 1,..., 4, sono le rate effettivamente pagate. La formula precedente risulta una equazione nell incognita i: per dimostrare che la soluzione di tale equazione é compresa tra i valori indicati, chiamate f la funzione f(i) = n k=1 R k 580 2000 = (1 + i) k (1 + i) + 560 (1 + i) 2 + 565 (1 + i) 3 + 532, 5 (1 + i) 4 2000 e notate che (a) f(0) > 0; (b) f(i) < 0 per i molto elevati; (c) f(i) é monotona decrescente (lo si vede facilmente calcolando la derivata di f(i)). Pertanto la soluzione che cerco é unica e siccome, attraverso lunghi ma banali calcoli, si verifica che f(0, 047) > 0, mentre f(0, 048) < 0, ho dimostrato che l unica soluzione che sto cercando é necessariamente compresa tra i due valori di i indicati.