Esercizi su variabili aleatorie discrete Esercizio 1. Data la variabile aleatoria discreta X, caratterizzata dalla seguente rappresentazione nello spazio degli stati: 1 0,25 X = { 0 0,50 1 0,25 calcolare valore atteso e varianza della v.a. X e determinare la funzione di ripartizione. Ricordando che, nel caso di v.a. discreta, valore atteso e varianza sono caratterizzati dalle seguenti relazioni definitorie: è immediato scrivere E(X) = μ = p( ) Var(X) = σ 2 2 = p( ) μ 2 E(X) = 1 0,25 + 0 0,50 + 1 0,25 = 0,25 + 0,25 = 0 Var(X) = 1 2 0,25 + 0 2 0,25 + 1 2 0,25 0 2 = 0,25 + 0,25 0 = 0,50 Quanto alla funzione di ripartizione, è definita come F(x) = Pr(X < x) cioè la funzione di ripartizione è la probabilità che la v.a. X assuma un valore strettamente inferiore ad una qualche sua determinazione x. La probabilità che X assuma un valore strettamente inferiore a 1 è pari a zero: infatti siamo fuori dall insieme di definizione di X verso e X assume un qualsiasi valore sull insieme dei numeri relativi minori di 1 con probabilità nulla. La probabilità che X assuma un valore strettamente inferiore a 0 non è altro che la probabilità che X assuma «esattamente» il valore 1, cioè 0,25. La probabilità che X assuma un valore strettamente inferiore a 1 è la probabilità che X assuma o il valore 1 o il valore 0. Poiché i due eventi sono incompatibili (nel senso che sono mutuamente esclusivi), in virtù dell assioma 3 (additività finita nel caso di eventi incompatibili) avremo che Pr(X < 1) = Pr[(X = 1) (X = 0)] = Pr(X = 1) + Pr(X = 0) = 0,25 + 0,50 = 0,75 Ovviamente, la probabilità che X assuma un valore maggiore o uguale a 1, cioè o l uno o l altro dei valori nel suo insieme di definizione, configura l evento certo e quindi ha probabilità pari a 1.
Sintetizziamo tali risultati nel seguente prospetto: 0 X < 1 0,25 1 X < 0 F(x) = { 0,75 0 X < 1 1 X 1 Esercizio 2. Ipotizziamo di estrarre con ripetizione 2 palline da un urna contenente 6 palline bianche e 4 nere e sia X il numero di palline nere ottenute nel corso dell esperimento di estrazione. Analizzare le caratteristiche distributive della variabile aleatoria X. Ricordando che la variabile aleatoria è uno strumento per la rappresentazione degli esiti di un esperimento su uno spazio di misura, nel corso dell esperimento di estrazione descritto è possibile osservare tre esiti: nessuna pallina nera (e quindi due palline bianche), una pallina nera, due palline nere. La probabilità di non ottenere palline nere nel corso dell esperimento di estrazione equivale alla probabilità di estrarre due palline bianche. Poiché lo schema di estrazione è bernoulliano, gli esiti delle due estrazioni configurano due eventi indipendenti, quindi la probabilità della loro intersezione, in virtù del postulato delle probabilità congiunte nel caso di indipendenza tra eventi, è data dal prodotto delle singole probabilità: Pr(B B) = Pr(B)Pr(B) = 6 10 6 10 = 36 100 = 0,36 La probabilità di ottenere una pallina nera nel corso dell esperimento è data dalla probabilità di ottenere una pallina nera alla prima estrazione o di ottenerla alla seconda estrazione, quindi si configura come probabilità di un evento unione di due eventi mutuamente esclusivi (nel senso che se ottengo come risultato una pallina nera e una bianca, ciò esclude il verificarsi dell evento pallina bianca-pallina nera, e viceversa). Quindi, in virtù dell assioma 3 (additività finita nel caso di eventi incompatibili) avremo che Pr[(N B) (B N)] = Pr(N B) + Pr(B N) = = 4 10 6 10 + 6 10 4 10 = 48 100 = 0,48 Infine, la probabilità di ottenere due palline nere nel corso dell esperimento di estrazione sarà data da Pr(N N) = Pr(N)Pr(N) = 4 10 4 10 = 16 100 = 0,16 Associando all esperimento la v.a. X = {numero di palline nere}, siamo interessati ad accertare le caratteristiche distributive di X, cioè la sua distribuzione di probabilità, il valore atteso, la varianza e la funzione di ripartizione.
La rappresentazione di X nello spazio degli stati è riportata nel seguente prospetto: Il valore atteso, definito dalla seguente relazione 0 0,36 X = { 1 0,48 2 0,16 è pari a E(X) = μ = p( ) E(X) = 0 0,36 + 1 0,48 + 2 0,16 = 0,80 La varianza, definita come segue ammonta a Var(X) = σ 2 2 = p( ) μ 2 Var(X) = 0 2 0,36 + 1 2 0,48 + 2 2 0,16 0,80 2 = = 1,12 0,64 = 0,48 La funzione di ripartizione, infine, definita come è riportata nel seguente prospetto: F(x) = Pr(X < x) 0 X < 0 0,36 0 X < 1 F(x) = { 0,84 1 X < 2 1 X 2
Esercizio 3. Consideriamo la variabile aleatoria discreta X, caratterizzata dalla seguente rappresentazione nello spazio degli stati 0 0,40 X = { 1 0,30 2 0,30 Ipotizzando di estrarre da X un campione di ampiezza 2 con schema di estrazione bernoulliano, determinare le principali caratteristiche distributive dello stimatore media campionaria. In primo luogo calcoliamo valore atteso e varianza della v.a. X, in quanto ci fornirà utili indicazioni sul valore atteso e sulla varianza dello stimatore media campionaria, definito come Infatti sappiamo che X = 1 n E(X ) = μ Var(X) = σ2 n con μ e σ 2 rispettivamente valore atteso e varianza della v.a. generatrice X. Quindi, è utile calcolare i due parametri di X in quanto, in questo modo, abbiamo modo di sapere in anticipo a quanto ammonteranno i parametri distributivi dello stimatore media campionaria. Con questa (lunga) premessa, calcoliamo valore atteso e varianza di X. Avremo che E(X) = 0 0,40 + 1 0,30 + 2 0,30 = 0,90 Var(X) = 0 2 0,40 + 1 2 0,30 + 2 2 0,30 0,90 2 = = 1,50 0,81 = 0,69 Con queste informazioni possiamo già affermare che il valore atteso della media campionaria (che coincide con il valore atteso della v.a. generatrice X) è pari a 0,90, mentre la varianza della media campionaria sarà pari alla varianza della v.a. X diviso l ampiezza campionaria n = 2, cioè 0,69 2 = 0,345. Ora determiniamo lo spazio campionario, cioè l insieme dei campioni di ampiezza 2 che possono essere generati dalla v.a. X. Osservando che lo schema di estrazione è bernoulliano, la cardinalità dello spazio campionario è data dal numero di disposizioni con ripetizione di 3 oggetti di classe 2, cioè 3 2. Rappresentiamo adesso lo spazio campionario: 00 01 02 κ 2 = { 10 11 12 20 21 22 Da notare che gli eventi elementari in κ 2 non sono equiprobabili (lo sarebbero solo nel caso in cui la distribuzione di probabilità della X fosse di tipo uniforme, ricordate l esperimento del lancio di due dadi?). Quindi dobbiamo determinare la probabilità associata ai 9 campioni di ampiezza 2 che possono essere ottenuti come esito dell esperimento di estrazione.
Osservando che l estrazione è condotta con schema bernoulliano, il risultato della seconda estrazione è indipendente dal risultato della prima, per cui i due eventi sono indipendenti. Il postulato della probabilità congiunta, nel caso di eventi indipendenti, afferma che la probabilità di un intersezione di eventi è pari al prodotto tra le probabilità dei singoli eventi. Quindi, con riferimento al nostro esperimento, la probabilità di osservare la sequenza {0, 0} sarà data da Pr(0 0) = Pr(0) Pr(0) = 0,40 0,40 = 0,16 mentre la probabilità di osservare la sequenza {0, 1} sarà data da Pr(0 1) = Pr(0) Pr(1) = 0,40 0,30 = 0,12 Ne risulta provato che, in questo caso, gli eventi elementari non sono equiprobabili. La distribuzione di probabilità associata ai risultati dell esperimento di estrazione appartenenti a κ 2 è riportate nel seguente prospetto: 0,16 0,12 0,12 = { 0,12 0,09 0,09 0,12 0,09 0,09 Tale distribuzione è importante, perché ci consente di risalire alla distribuzione di probabilità dello stimatore media campionaria. Infatti, la probabilità di ottenere un valore di media campionaria pari a 0 è equivalente alla probabilità di osservare la sequenza {0, 0}, cioè 0,16. Analogamente, la probabilità di ottenere un valore di media campionaria pari a 0,5 corrisponde alla probabilità di osservare la sequenza {0, 1} o la sequenza {1, 0}, cioè alla probabilità della loro unione. E poiché i due eventi elementari sono incompatibili, nel senso che nel corso dell esperimento di estrazione o si verifica il primo, o si verifica il secondo, la probabilità dell evento unione è definita dall assioma 3, che fissa l additività finita dell unione di due eventi incompatibili e afferma che la probabilità di un unione di due eventi incompatibili è data dalla somma delle singole probabilità. Formalmente, avremo che Pr(X = 0,5) = Pr[(0, 1) (1, 0)] = = Pr(0, 1) + Pr(1,0) = 0,12 + 0,12 = 0,24 Lo svolgimento di considerazioni analoghe per gli altri valori di media campionaria ci conduce alla seguente rappresentazione dello stimatore media campionaria nello spazio degli stati: 0,0 0,16 0,5 0,24 X = 1,0 0,33 1,5 0,18 { 2,0 0,09 È adesso possibile procedere al calcolo dei parametri distributivi della media campionaria, cioè valore atteso e varianza. Avremo che E(X ) = 0 0,16 + 0,5 0,24 + 1 0,33 + 1,5 0,18 + 2 0,09 = 0,90 Var(X ) = 0 2 0,16 + 0,5 2 0,24 + 1 2 0,33 + 1,5 2 0,18 + 2 2 0,09 0,90 2 = = 0,06 + 0,33 + 0,405 + 0,36 0,81 = 0,345