Corso di Laurea in Informatica Calcolo delle Probabilità e Statistica 69AA) A.A. 06/7 - Prima prova in itinere 07-0-03 La durata della prova è di tre ore. Le risposte devono essere adeguatamente giustificate. Problema Un ladro alquanto sbadato vuole aprire una serratura servendosi di una copia della chiave originale, che però ha raccolto in un mazzo insieme ad altre 3 chiavi che non aprono. Inoltre, la copia della chiave originale è difettosa, e la probabilità di aprire la serratura con essa, in ogni singolo tentativo, è / indipendentemente da altri tentativi). Dopo tentativi di apertura falliti il ladro decide di lasciar perdere. Poniamo T {,, 3,, S} la variabile aleatoria definita come T = k, per k {,, 3, }, se al tentativo k apre la serratura, mentre T = S se ladro rinuncia quindi tentativi falliti).. Supponiamo che il ladro decida di prendere ad ogni tentativo una chiave dal mazzo, anche eventualmente ripetendo quelle che ha già provato. Descrivere la legge di T, ossia la probabilità degli eventi {T = k}, per k {,, 3, } e di {T = S}.. Supponiamo invece che il ladro usi una seconda strategia, che consiste nel prendere una sola chiave e provare per volte al più) di aprire la serratura con quella chiave. Descrivere la legge di T. 3. Supponiamo invece che il ladro usi la strategia di provare ad ogni tentativo una chiave diversa dal mazzo, senza ripetere quelle che ha provato. Descrivere la legge di T.. Supponiamo di sapere che il ladro abbia seguito una delle tre strategie descritte sopra, ma non sapere quale: assegniamo inizialmente eguale probabilità ai tre eventi il ladro usa la strategia i per ciascun i {,, 3}. Per ogni k {,, 3, }, sapendo che T = k, come cambiano le probabilità dei tre eventi? quale strategia è più probabile che abbia usato? Sapendo che T = S, quale strategia è più probabile che abbia usato? Una soluzione:. La prima strategia utilizza estrazioni con reimmissione. Consideriamo prima un singolo tentativo: affinché la serratura si apra successo) il ladro deve scegliere la chiave giusta e deve avere successo nonostante il difetto della copia: otteniamo che la probabilità di aprire la serratura è P T = Ω) = = 8. La strategia descritta consiste nell effettuare al più prove indipendenti e interrompere nel caso vi siano fallimenti. Otteniamo quindi, per k {,, 3, }, P T = k strat. ) = ) 7 k 8 8, mentre P T = S strat. ) = ) 7 8 Pag.
. Nella seconda strategia, basta condizionare rispetto all evento il ladro ha scelto la chiave giusta. Abbiamo infatti, per k {,, 3, }, P T = k strategia ) = P T = k strat. chiave giusta)p chiave giusta strat. ) = k mentre P T = S strat. ) = P T = S strategia chiave giusta)p chiave giusta strat. ) + P T = S strat. chiave sbagliata)p chiave sbagliata strat. ) = + 3. 3. Nella terza strategia il ladro usa estrazioni senza reimmissione. La probabilità che il successo avvenga al primo tentativo è ancora P T = strategia ) = = 8, ma affinché il successo nel secondo tentativo dobbiamo aver scelto la chiave sbagliata nel primo, quindi e similmente e quindi P T = strategia 3) = 3 3 = 8, P T = 3 strat. 3) = 3 3 = 8 P T = strat. 3) = 3 3 = 8 P T = S strat. 3) = P T {,, 3, } strat. 3) = =.. Usiamo la formula di Bayes, per i {,, 3}, k {,, 3, }, Similmente, per T = S, P strat. i T = S) = P T = S strat. i ) P T = S strat. ) + P T = k strat. ) + P T = k strat. 3). Per capire quale strategia ha probabilità maggiore sapendo T = k, basta quindi capire quale tra le probabilità ) 7 k P T = k strat. ) = 8 8, P T = k start. ) = k, P T = k strat. 3) = 8 è maggiore, e in modo simile quale tra le tre probabilità ) 7 P T = S strat. ) =, P T = S strat. ) = 8 + 3, P T = S strat. 3) = è maggiore. Per k =, si ha 8 = 8 = 8, quindi nessuna delle tre strategie è più probabile delle altre. k {, 3, }, si vede che Per tutti gli altri ) 7 3 8 8 < 8 e k < 8, Pag.
quindi la terza strategia è la più probabile. Se T = S, troviamo invece ) 7 < 8 + 3 e < + 3, e quindi la seconda strategia è la più probabile. Problema Un drone è programmato per sorvolare quattro regioni numerate,, 3, ) seguendo una catena di Markov schematizzata come segue, dove [0, ] è un parametro fissato. 3. Per ogni [0, ], scrivere la matrice di transizione Q della catena descritta sopra e, per ogni k {,, 3, }, calcolare la probabilità che al tempo k il drone si trovi in una posizione dispari ossia X k {, 3}), sapendo che al tempo 0 si trova nello stato.. Per ogni [0, ], trovare tutte le distribuzioni invarianti di Q. Per ogni 0, ], nel caso in cui la catena di Markov sia stazionaria, è più probabile che il drone all istante 00 si trovi in una posizione dispari o pari? 3. Fissato =, supponendo che la catena di Markov sia stazionaria e che all istante il drone si trovi in una posizione dispari, ossia X {, 3}, qual è la probabilità che al tempo 0 si trovi nella posizione? Come cambia la probabilità dello stesso evento se si suppone che la catena sia stazionaria e che all istante si trovi nella posizione? è maggiore o minore? Una soluzione:. La matrice di transizione è Q = 0 0 0 0 0 0 0 0 Per calcolare le probabilità richieste, troviamo prima, 0, 0, 0) Q k per k {,, 3, }:, 0, 0, 0) Q =,, 0, 0), 0, 0, 0) Q =,, 0, 0) Q = ), ),, 0), 0, 0, 0) Q 3 = ) 3, 3 ), 3 ), 3 ), Pag. 3
, 0, 0, 0) Q = ) +, ) 3, 6 ), 3 )). Per trovare le probabilità richieste basta sommare la prima e la terza componente di ciascun vettore trovato: P X dispari X 0 = ) =, P X dispari X 0 = ) = ) +, P X 3 dispari X 0 = ) = ) 3 + 3 ) P X dispari X 0 = ) = ) + + 6 ).. Dobbiamo risolvere il sistema omogeneo associato alla matrice Q τ I, ossia 0 0 0 0 0 0. 0 0 Se = 0, otteniamo la matrice nulla, quindi le distribuzioni invarianti sono infinite: ogni vettore µ, µ, µ 3, µ ) con µ i [0, ] e i= µ i = è una distribuzione invariante. Se invece 0, possiamo dividere ogni riga per e trovare la matrice equivalente 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 da cui si vede che tutte le soluzioni sono della forma t,,, ) per t R. L unica distribuzione invariante è quindi /, /, /, /). La probabilità che al tempo k in particolare k = 00) la catena stazionaria si trovi in una posizione pari è + =, e quindi vale anche la probabilità che si trovi in una posizione dispari. 3. La formula di Bayes implica P X 0 = staz. e X dispari) = P X dispari staz. e X 0 = )P X 0 = staz.) P X dispari staz.) ) + + 6 ) ) = = ) + + 6 ) ) = nel caso = /. Per la seconda domanda, troviamo similmente P X 0 = staz. e X = ) = P X = staz. e X 0 = )P X 0 = staz.) P X = staz.) ) + ) = = ) + = 8 nel caso = /. Pag.
Problema 3 Si suppone che il tempo di funzionamento T [0, ] in una certa unità di misura) di un componente elettronico dipenda da una variabile aleatoria θ N, avente legge Poisson di parametro rispetto ad una informazione Ω). Precisamente, rispetto a Ω {θ = 0}, si sa che T = 0 con probabilità mentre, per n, la funzione di sopravvivenza di T, per t [0, ], vale P T > t Ω {θ = n}) = t n.. Verificare che, per ogni n, la variabile T, rispetto a Ω {θ = n}, è assolutamente continua e calcolarne la densità, il valore atteso e la varianza.. All istante / il componente non sta funzionando quindi T /). Come cambia la legge di θ? calcolarne valore atteso e varianza. 3. Supponiamo invece di scoprire che esattamente all istante t = / il componente smette di funzionare. Come cambia la legge di θ? Calcolarne valore atteso e varianza. Sugg: potrebbe essere utile ricordare l identità e = + n=0 n!.) Una soluzione:. Se una variabile è assolutamente) continua, allora la sua densità si ottiene derivando la funzione di sopravvivenza e cambiandone il segno. Quindi deve valere ϱt = t Ω {θ = n}) = d dt tn ) = nt n, per t [0, ]. Se vogliamo verificare che ϱ così trovata è la densità di T rispetto all informazione Ω {θ = n}) basta notare che per ogni t [0, ], Calcoliamo il valore atteso e la varianza da cui Var T Ω {θ = n} = t ns n ds = t n ) = P T > t Ω {θ = n}). E [T Ω {θ = n}] = E [ T Ω {θ = n} ] = 0 0 tnt n dt = t nt n dt = n n +, n n + n ) n n + = n n + ) nn + ) n + n + ) = n + ) n n + ) n + ).. Per n 0, P θ = n T ) = P θ = n Ω) P T {θ = n} Ω) P T Ω) n = e n! P n = e n! T > {θ = n}) P T Ω) n P T Ω) = e P T Ω) n!. Pag. 5
Qui possiamo procedere in due modi: o si calcola P T + Ω) = P n=0 T ) + {θ = n} Ω P θ = n Ω) = n=0 e n! = e, oppure si riconosce che la legge di θ è Poisson di parametro, a meno di moltiplicare per una costante: ma allora la costante e /P T ) deve essere quella della Poisson di parametro, ossia e. Avendo notato che θ è Poisson di parametro, segue che [ E θ T ] =, Var θ T ) =. 3. Innanzitutto non può essere θ = 0, perché altrimenti T = 0 e invece abbiamo osservato T = /. Per n, usiamo la formula di Bayes discreto/continuo, P θ = n T ) = P θ = n Ω) ϱ T {θ = n} Ω) ϱt = Ω) n = e n! n n ϱt = Ω) = e P T ) n )!. e Anche stavolta si potrebbe argomentare che la costante deve valere P T ) e, perché la legge di θ risulta Poisson di parametro. Si può anche fare il calcolo direttamente ϱt = Ω) = + = n= + e n= ϱt = Ω {θ = n})p θ = n Ω) n )! = e. Abbiamo quindi trovato che θ ha legge Poisson di parametro, perché { P θ = n Ω T = } { ) = P θ = n + Ω T = } ) = e n!. Infine calcoliamo E [ θ Ω { T = }] [ { = E θ Ω T = }] + =, { Var θ Ω T = }) { = Var θ Ω T = }) =. Pag. 6