Lo spazio di Minkowski.

Pre-appnti ersione 5 maggio 004 1. Lo Spazio-Tempo di Minkowski è il dato di M := (A, V, Q) oe A è no spazio affine di spazio delle traslazioni V, V è no spazio ettoriale s R (reale) di dimensione 4, Q è na forma qadratica non degenere di segnatra (3, 1). Dnqe esistono basi di V in ci la forma ammette matrice del tipo 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 e diremo che na tale base è n riferimento ortonormale di V. Scrieremo, w per la forma bilineare simmetrica associata alla forma qadratica Q. Daremo na nozione di osseratore, e di come l osseratore misri gli interalli di tempo e di spazio ; ogliamo arriare a confrontare le misre fatte da osseratori diersi.. Un ettore V si dice di tipo tempo, lce, spazio a seconda che Q() sia negatio, nllo, positio. Sia T l insieme dei ettori di tipo tempo: T := { V Q() < 0} V ; osseriamo che se, T e, < 0, allora per ogni λ, λ in R 0 non entrambi nlli rislta λ+λ T. Da ciò si dedce che T è nione disginta di de coni conessi (n cono è n sottinsieme di no spazio ettoriale con la segente proprietà: se sta nell insieme allora λ sta nell insieme per ogni λ R >0 ) che ne sono le componenti connesse. Il bordo dei de coni descrie i ettori di tipo lce; l esterno descrie i ettori di tipo spazio, che formano n insieme connesso, ma non conesso. La scelta di no dei de coni, diciamo T +, si chiama la scelta di n orientamento temporale. Allora abbiamo T = T + T ; T + si chiama il ftro, T si chiama il passato. Notare che de ettori tempo, stanno nella stessa componente connessa di T (entrambi erso il ftro o entrambi erso il passato) se e solo se, < 0. T + T 3. Eenti dello Spazio-Tempo. Un eento E di M è n pnto E A. Il ftro di E è E+T +, e il passato di E è E+T. 4. Osseratori dello Spazio-Tempo. Un osseratore di M è dato dalla coppia (P, ) di n eento P e n ettore tempo riolto erso il ftro e normalizzato dalla condizione Q() = 1; dnqe P A e T + tale che Q() = 1. Se (P, ) è n osseratore, allora V è n sottospazio ettoriale di V di dimensione 3 in ci la forma qadratica indotta da Q è definita positia (si pò scegliere n riferimento ortonormale di V in ci sia il qarto ettore...). Dnqe si tratta di n sottospazio eclideo di V che si chiama lo spazio a riposo dell osseratore (P, ). È in qesto spazio che li farà le misre di distanza; notare che osseratori diersi hanno spazio a riposo diersi tra loro. Notare che n riferimento ortonormale di V è dato dal ettore associato ad n osseratore insieme con la scelta di na base ortonormale del so spazio a riposo. Diremo che n riferimento ortogonale di M è il dato di n osseratore (P, ) e di na base ortonormale dello spazio eclideo. Uniersità di Padoa, Italia 1 marizio@math.nipd.it

Pre-appnti ersione 5 maggio 004 Se = (x, y, z, t) sono le coordinate di in na fissata base ortonormale, con x +y +z t = 1, esplicitare na base per e scriere la matrice, rispetto a qesta base, della forma qadratica indotta da Q s. 5. Vogliamo esplicitare le relazioni tra de osseratori, ed in particolare definire la nozione di elocità relatia di no rispetto all altro. Siano (P, ) e (Q, ) de osseratori in M. Siccome V = R, possiamo scriere = s + w con s R e w (spostamenti temporale e spaziale del secondo osseratore, isti dal primo). Calcolando, = s + w, troiamo isto che, < 0 in qanto, T +. Calcolando, = s + w, s + w troiamo s =, > 0 w = s 1 doe abbiamo definito w = Q(w) > 0 (nota che w è di tipo spazio, poiché sta in ). Definiamo il ettore elocità relatia di (Q, ) rispetto a (P, ) come il rapporto spostamento/tempo isti da (P, ): ν(, ) := w s e scriiamo anche ν = ν(, ) se non ci saranno ambigità sgli osseratori scelti. Osseriamo che ν = w s = s 1 s = 1 1 s < 1 oero la elocità relatia di de osseratori ha sempre modlo minore di no (che è la elocità della lce normalizzata ). Inoltre abbiamo isto (doe?) la relazione s = Infine possiamo ora scriere il ettore come 1 =,. 1 ν = s+w = s(+ν) = +ν 1 ν da ci si ede che è determinato dalla conoscenza di e della elocità relatia ν(, ). ν(, ) = w/s s w w s ν(, ) = w /s 6. Fare composizioni di elocità relatie per più osseratori è tecnicamente molto difficile (perché?). Notiamo inizialmente che in generale per de osseratori abbiamo ν(, ) ±ν(, ), ma in effetti le de elocità hanno lo stesso modlo: ν(, ) = ν(, ). Se poi abbiamo tre osseratori (P 1, 1 ), (P, ) e (P 3, 3 ) che siano complanari in V, allora rislta che ν( 3, 1 ) = ν( 3, ) + ν(, 1 ) 1 + ν( 3, ) ν(, 1 ). Per dimostrare la formla senza troppi calcoli coniene spporre d aer scelto n riferimento ortonormale in ci 1 = ( x, 0, 0, x ), = (0, 0, 0, 1) e 3 = (y, 0, 0, y ), natralmente con x x = 1 = y y (sono osseratori) e x > 0, y > 0, xy x y < 0 (sono ttti riolti al ftro). Si pò sempre scegliere n tale riferimento ortonormale? Uniersità di Padoa, Italia marizio@math.nipd.it

Pre-appnti ersione 5 maggio 004 La storia dei trenini. Un modo pittoresco spesso sato per illstrare la formla precedente è il segente: se abbiamo n treno che iaggia a elocità ν rispetto alla Terra, e sl treno si sta moendo, nella stessa direzione, n altro trenino con elocità ν rispetto al treno stesso, allora il trenino ha elocità ν+ν 1+νν rispetto alla Terra. In particolare se il trenino è n raggio di lce (ν = 1), allora la sa elocità rispetto alla terra è ancora ν+1 1+ν = 1 (la lce ha elocità 1 per ttti gli osseratori). La composizione di elocità relatie mostra qindi che la fnzione reale che manda (ν, ν ) in ν+ν 1+νν dà na legge di grppo si nmeri reali dell interallo aperto ] 1, 1[, con elemento netro 0 ed elemento opposto di ν dato da ν, come si pò facilmente erificare. In effetti ricordando che la fnzione tangente iperbolica tanh : R ] 1, 1[ è na biiezione e possiede la proprietà tanh(ϑ + ϑ tanh ϑ + tanh ϑ ) = 1 + tanh ϑ tanh ϑ, tanh(0) = 0 tanh( ϑ) = tanh(ϑ), si ede che la legge di grppo di ci si parla è qella corrispondente alla somma tramite la fnzione tanh. 7. Misre di distanze spazio-temporali tra eenti. Ora dati de eenti E 1 ed E in A, ogliamo edere come gli osseratori ne misrano la distanza spazio-temporale. Se (P, ) è n osseratore, poiché E E 1 V = R, li ede E E 1 = t + s e chiama t R l interallo temporale tra i de eenti (il tempo trascorso tra l no e l altro), s l interallo spaziale (n ettore del so spazio a riposo) tra i de eenti e s la distanza spaziale tra i de eenti. Se (Q, ) è n altro osseratore, ede E E 1 = t + s con t R interallo temporale e s interallo spaziale. Dall gaglianza t + s = t + s, applicando la forma contro, otteniamo da ci ricaiamo (sando le formle del pnto 5) Infatti t, + s, = t t = t s, ν 1 ν ( t =, t + ) ( ) s, =, t + s,,, =, ( t s, + ν ). Dnqe possiamo concldere che: se s = 0, oero i de eenti si manifestano nello stesso pnto dello spazio a riposo di (P, ) (per esempio de lettre del so proprio orologio), allora t = t / 1 ν. Significa che secondo l osseratore (Q, ) l orologio di (P, ) è rallentato, scorre meno eloce del so proprio. Si tratta del fenomeno di contrazione dei tempi della relatiità ristretta:. E 1 t E s t t < t = t / 1 ν Osseriamo che in ogni caso abbiamo le gaglianze t + s = Q(E E 1 ) = t + s e dnqe se t = 0, cioè i de eenti sono contemporanei isti da (P, ), allora s = t + s, cioè l altro osseratore li ede come più distanti nello spazio (oltre che non contemporanei!). Uniersità di Padoa, Italia 3 marizio@math.nipd.it

Pre-appnti ersione 5 maggio 004 s < s t E s E 1 s Nota però che qesto non è na misra di lnghezza di n oggetto fisico, ma la misra di distanza spaziale tra de fissati eenti dello spazio-tempo. Misrare la lnghezza di na sbarra per esempio è n procedimento dierso da qesto: qando n osseratore misra la lnghezza di na sbarra sta altando de eenti per li contemporanei, che sono gli estremi della sbarra nel so spazio a riposo. 8. Riassnto per i ari tipi di coppie di eenti: dati E 1 ed E eenti dello spazio-tempo, poniamo τ = Q(E E 1 ). Vi sono allora le segenti tre possibilità: (1) se τ < 0 allora E E 1 è di tipo tempo; esiste n osseratore (P, ) con parallelo a E E 1, per il qale qei de eenti aengono nello stesso spazio, e il nmero τ > 0 si dice il tempo proprio trascorso tra i de eenti. () se τ > 0 allora E E 1 è di tipo spazio; esiste n osseratore (P, ) con ortogonale a E E 1, per il qale qei de eenti sono contemporanei (nel tempo), e il nmero τ > 0 si dice la distanza propria tra i de eenti. (3) se τ = 0 allora E E 1 è di tipo lce, e si dice che i de eenti stanno sllo stesso raggio di lce (rette generate da ettori di tipo lce); ogni osseratore edrà qei de eenti come non contemporanei e non sorapposti; nella decomposizione sale n osseratore (P, ) chiamerà s la direzione di proenienza del raggio di lce, e t = E E 1, il colore del raggio di lce (positio se E E 1 è orientato erso il ftro, oero nel bordo del ftro). 9. Oggetti e misre di lnghezza. Gli eenti dello spazio di Minkowski sono pnti fissati dello spazio tempo; n oggetto fisico è inece qalcosa che persiste nel tempo, dnqe nello spazio di Minkowski sarà rappresentato da ttti gli eenti che li ia ia occpa. Per esempio na particella libera è il dato di na retta P +Rw oe P A, e w è n ettore di tipo tempo riolto erso il ftro; si tratta di n pnto che si moe con moto rettilineo niforme secondo l osseratore (O, e 4 ) per esempio. Il dato di na sbarra, che sia in moto rettilineo niforme secondo l osseratore (O, e 4 ), (na striscia nello spazio tempo) pò essere rappresentato da de particelle libere parallele (come rette), che sono i soi estremi. Misrare la lnghezza della sbarra per n osseratore (P, ) significa misrare la distanza tra de eenti nel so spazio di riposo ciascno dei qali appartenga ad n estremo della sbarra. Spponiamo che gli estremi della sbarra siano dati dalle rette E 1 + Rw e E + Rw, e possiamo spporre E E 1 w. Allora la lnghezza della sbarra secondo (P, ) è la distanza tra E 1 ed n eento E = E + kw E + Rw tali che E E 1. Da qest ltima condizione troiamo k = E E1, w, e dnqe E E 1 = (E E 1 ) E E 1, w w, è la lnghezza della sbarra secondo (P, ). In particolare, se è parallelo a w, allora E = E e l osseratore misra la lnghezza l = E E 1 che si chiama la lnghezza propria (o a riposo) della sbarra. Per n osseratore (Q, ) allora la lnghezza l della sbarra sarà data dalla radice di l = E E 1 = (E E 1 ) E E 1,, = (E E 1 ) + E E 1, ν = (E E 1 ) E E 1, ν = l E E 1, ν Uniersità di Padoa, Italia 4 marizio@math.nipd.it

Pre-appnti ersione 5 maggio 004 (stiamo sempre spponendo parallelo a w, dnqe ortogonale a E E 1 ) ed in particolare darà na misra inferiore di qella dell osseratore solidale, in fnzione della elocità relatia e dell angolo formato con la sbarra. Usando la definizione di (misra del coseno dell )angolo tra E E 1 e ν nello spazio a riposo di, cioè cos ϑ(e E 1, ν) = E E 1, ν / E E 1 ν, otteniamo la formla più leggibile: l = (E E 1 ) (E E 1 ) E E 1, ν (E E 1 ) ν ν = (E E 1 ) (1 ν cos ϑ(e E 1, ν)) e dnqe l = l 1 ν cos ϑ(e E 1, ν). Se spponiamo che la elocità relatia ν sia parallela a E E 1 (significa che l osseratore si moe nella direzione della lnghezza della sbarra) allora abbiamo l = (E E 1 ) E E 1, ν = (E E 1 ) (E E 1 ) ν = (E E 1 ) (1 ν ) e qindi l = l 1 ν. Si tratta del fenomeno di contrazione delle lnghezze per osseratori della relatiità ristretta: w w l > l = l 1 ν E E l l E 1 10. Che cosa sccede della misra dell angolo di n regolo da mratori isto da osseratori diersi? Dati de osseratori, misrare l angolo che essi formano nello spazio a riposo di n terzo osseratore. Che relazioni i sono con le elocità relatie dei primi de rispetto al terzo? La misra dipende da qest ltimo osseratore? 11. La disgaglianza triangolare per i ettori del tempo ftro. Dai disegni precedenti si è notato che le disgaglianze troate sono in contrasto con la rappresentazione grafica sale. Il motio è che per i ettori di tipo tempo l sale disgaglianza di Cachy-Schwartz è inertita, come pre la disgaglianza triangolare che ne discende. Sia T + e definiamo :=, > 0 (è la misra di tempo proprio di ). Allora per, T + abbiamo che o eqialentemente e dnqe,,,, = + +. Inoltre algono le gaglianze se e solo se i ettori sono linearmente dipendenti. Per mostrare il primo asserto possiamo scegliere n riferimento ortonormale in ci / sia il qarto ettore della base, dnqe = (0, 0, 0, s) con s > 0, e scriendo le coordinate di come (x, y, z, t) la Uniersità di Padoa, Italia 5 marizio@math.nipd.it

Pre-appnti ersione 5 maggio 004 disgaglianza è eidente. Il secondo asserto sege dal primo come d sale: + = +, + =,,,,, + = + + = ( + ) da ci la disgaglianza triangolare roesciata. La storia dei gemelli. L interpretazione relatiistica del fenomeno è il paradosso dei gemelli: stiamo confrontando i tempi propri di de particelle, na libera e l altra che sbisce na accelerazione, che partono da n certo eento, e si reincontrano in n altro eento dopo aer iaggiato separatamente: la particella che ha sbito l accelerazione (qella che ha iaggiato prima in direzione e poi con direzione ) misra n tempo proprio + minore del tempo proprio + dell altra; cioè è rimasta più gioane. + > + + eento d arrio eento di accelerazione eento di partenza 1. Le trasformazioni di Lorentz. Diamo n occhiata alle trasformazioni di Lorentz, cioè gli endomorfismi di V che rispettano la forma Q di Minkowski. Usiamo in generale no spazio V s R di dimensione n + 1, e na forma bilineare di segnatra (n, 1) (forma di Lorentz). Definiamo Lor n (R) = Lor(n, R) l insieme degli endomorfismi ϕ di V che rispettano la forma di Lorentz, i.e. ϕ, ϕw ) =, w per ogni, w. Scelta na base ortonormale in ci la forma di Lorentz abbia matrice L =, definiamo ( I n 0 0 1 O n,1 (R) = {P GL n+1 (R) P t LP = L}. Osseriamo sbito che ϕ(t ) T, e definiamo O n,1 +(R) (risp. O n,1 (R)) come il sottogrppo (risp. sottinsieme) delle trasformazioni di Lorentz ϕ O n,1 (R) per ci ϕ(t + ) T + (risp. ϕ(t + ) T ), cioè che preserano (risp. roesciano) il tempo, o la direzione temporale. Siccome il determinante di na trasformazione di Lorentz è ±1, possiamo diidere il grppo di Lorentz in qattro sottinsiemi disginti: O n,1 (R) = O n+,1 +(R) O n,1 +(R) O n +,1 (R) O n,1 (R) oe il primo e l ltimo formano le matrici di determinante 1, e natralmente O n,1 +(R) = O n +,1 +(R) O n,1 +(R) e O n,1 (R) = O n +,1 (R) O n,1 (R). Le matrici di O n,1 +(R) rappresentano trasformazioni che rispettano il tempo e cambiano orientamento spaziale; le matrici di O n+,1 (R) rappresentano trasformazioni che roesciano il tempo e mantengono l orientamento spaziale. Il sottogrppo O n+,1 +(R) delle matrici che mantengono gli orientamenti del tempo e dello spazio si indica con SO n,1 (R), chiaramente contiene la matrice identica, e scelti T O n+,1 (R), S O n,1 +(R) (cosicché T S S O n,1 (R)) le moltiplicazioni per T, S, T S danno logo a biiezioni di SO n,1 (R) con gli insiemi O n +,1 (R), O n,1 +(R), O n,1 (R) rispettiamente. Il grppo SO n,1 (R) contiene alcni sottogrppi noteoli che coniene mettere in eidenza. Anzittto contiene (na copia di) SO n (R), poiché contiene le matrici del tipo ( ) P 0 0 1 con P SOn (R) (trasformazioni pramente spaziali, che non modificano il tempo: sono essenzialmente le trasformazioni della fisica classica di qell osseratore). In secondo logo, osseriamo che na trasformazione di Lorentz in SO n,1 (R) manda osseratori in osseratori (poiché rispetta la normalizzazione e la direzione temporale). Per ogni coppia di osseratori con elocità relatia ν del primo rispetto al secondo, diciamo nella direzione del ettore e n della base fissata, esiste na trasformazione che manda il primo osseratore nel secondo, e che è l identità nell intersezione dei loro spazi a riposo (gli ortogonali dei de osseratori). Tale trasformazione è l identità se i de osseratori ( I n 1 0 0 H ) oe H = 1 1 ν ) coincidono, altrimenti è data dalla matrice ν 1. Ricordando la definizione di fnzioni iperboliche, possiamo anche scriere H come matrice di na rotazione iperbolica H = ( ) cosh ϑ sinh ϑ sinh ϑ cosh ϑ per n ben preciso ϑ R. Qeste trasformazioni si dicono boost o trasformazioni irrotazionali di direzione e n e elocità ν. ( 1 ν Uniersità di Padoa, Italia 6 marizio@math.nipd.it

Pre-appnti ersione 5 maggio 004 La composizione di de tali trasformazioni permette di ritroare la formla di composizione delle elocità relatie: infatti abbiamo che ( ) ( ) ( ) 1 1 ν 1 1 ν 1 1 1 + νν ν + ν 1 ν ν 1 1 ν ν = 1 1 ν 1 ν ν + ν 1 + νν 1 + νν ( 1 ν+ν ) = 1+νν 1 ν 1 ν ν+ν 1 = ( 1 ) ν+ν 1+νν 1+νν 1 ( 1 ν+ν 1+νν ν+ν 1+νν 1 che è proprio la trasformazione irrotazionale di elocità ν+ν 1+νν nella direzione olta. Ogni trasformazione di Lorentz si ottiene componendo trasformazioni irrotazionali con trasformazioni pramente spaziali? Osseriamo infine che, analogamente alle rappresentazioni di U 1 (C) = S 1 s SO (R) (isomorfismo) e di SU (C) s SO 3 (R) (omomorfismo sriettio con ncleo {±1}), abbiamo n morfismo sriettio di SL (C) (matrici in GL (C) di determinante 1) erso SO 3,1 (R), di ncleo {±1}, che si esplicita meglio nel modo segente. Si identifichi V con lo spazio reale di dimensione 4 aente per base ortonormale le matrici di Pali σ 0 = I, σ 1 = ( ) 0 1 1 0, σ = ( ) ( ) 0 i i 0 e 1 0 σ3 = 0 1 (la norma corrisponde al determinante delle matrici, a parte il segno). Allora na matrice V SL (C) indce na mappa ϕ V di V in sé stesso data da ϕ V (W ) = V t W V. ) Uniersità di Padoa, Italia 7 marizio@math.nipd.it

Pre-appnti ersione 5 maggio 004 Fnzioni circolari e iperboliche. Per comodità riportiamo le informazioni fondamentali slle fnzioni trigonometriche circolari e iperboliche (con ϑ R, il ttto qando le formle hanno senso). Definizioni fondamentali e iϑ = cos ϑ + i sin ϑ [e x+iy = e x e iy ] e ϑ = cosh ϑ + sinh ϑ e iϑ = cos ϑ i sin ϑ e ϑ = cosh ϑ sinh ϑ cos ϑ = eiϑ + e iϑ cosh ϑ = eϑ + e ϑ sin ϑ = eiϑ e iϑ sinh ϑ = eϑ e ϑ i tan ϑ = sin ϑ cos ϑ = e iϑ ieiϑ e iϑ + e iϑ tanh ϑ = sinh ϑ cosh ϑ = eϑ e ϑ e ϑ + e ϑ Relazioni fondamentali cos ϑ + sin ϑ = 1 [e z e z = 1] cosh ϑ sinh ϑ = 1 Periodocità, simmetrie e asintoti {cos, sin}(ϑ + π) = {cos, sin}(ϑ) [e πi = 1] {cos, sin}(ϑ + π) = {cos, sin}(ϑ) [e πi = 1] tan(ϑ + π) = tan(ϑ) {cos, sin}(ϑ ± π ) = { sin, ± cos}(ϑ) [e± π i = ±i] tan(ϑ ± π ) = 1/ tan(ϑ) {cos, sin}( ϑ) = {cos, sin}(ϑ) {cosh, sinh}( ϑ) = {cosh, sinh}(ϑ) tan( ϑ) = tan(ϑ) [ ] tanh( ϑ) = tanh(ϑ) lim tan(ϑ) = ± lim ϑ ±π/ y ±π/ eiy = ±i [ ] lim x ± e x = 0 + Grafici lim tanh(ϑ) = ±1 ϑ ± tan ϑ cosh ϑ cos ϑ sin ϑ tanh ϑ sinh ϑ Formle di addizione cos(ϑ + ϑ ) = cos ϑ cos ϑ sin ϑ sin ϑ cosh(ϑ + ϑ ) = cosh ϑ cosh ϑ + sinh ϑ sinh ϑ sin(ϑ + ϑ ) = sin ϑ cos ϑ + cos ϑ sin ϑ sinh(ϑ + ϑ ) = sinh ϑ cosh ϑ + cosh ϑ sinh ϑ tan(ϑ + ϑ tan ϑ + tan ϑ ) = 1 tan ϑ tan ϑ tanh(ϑ + ϑ tanh ϑ + tanh ϑ ) = 1 + tanh ϑ tanh ϑ Parametrizzazioni razionali di cerchio ed (n ramo di) iperbole 1/ tan ϑ cosh ϑ cos ϑ sin ϑ ϑ tan ϑ cos(ϑ) = 1 tan ϑ 1 + tan ϑ cosh(ϑ) = 1 + tanh ϑ 1 tanh ϑ 1/ tanh ϑ tanh ϑ ϑ sinh ϑ sin(ϑ) = tan ϑ 1 + tan ϑ sinh(ϑ) = tanh ϑ 1 tanh ϑ Uniersità di Padoa, Italia 8 marizio@math.nipd.it