Università degli Studi di Napoli Federico II - Facoltà di Ingegneria. Piano verticale di coda, potenza di controllo di rollio effetto diedro dell ala

Uniersità degli Studi di Napoli Federico II - Facoltà di Ingegneria Piano erticale di coda, potenza di controllo di rollio effetto diedro dell ala

Simbologia ed unità di misura Simbolo Unità di misura Descrizione α gradi Angolo d attacco β gradi Angolo di sideslip adimensionale Fattore correttio σ gradi Angolo deiazione laterale Г gradi Angolo diedro AR adimensionale Allungamento alare Λ c/4 gradi Angolo di freccia dell ala ad ¼ di corda Λ c/ gradi Angolo di freccia dell ala ad ½ di corda Λ l.e. gradi Angolo di freccia dell ala al bordo d attacco C lα 1/gradi Pendenza retta di portanza del profilo C α 1/gradi Pendenza retta di L w portanza dell ala M adimensionale Numero di Mach S m Superficie alare b m Apertura alare c m m.a.c. y m.a.c. m Dist. da c r di m.a.c. c r m Corda di radice c t m Corda d estremità l H m Dist. tra (a.c.) H e il bordo d uscita dell ala l m Dist. tra (a.c.) e il bordo d uscita dell ala l f m Lunghezza fusoliera h oppure d g m Altezza fusoliera w f m Larghezza massima della fusoliera C nβ 1/rad Gradiente momento di imbardata risp. β C δ 1/rad Gradiente momento l a di rollio risp. δ a C lβ 1/rad Gradiente momento di rollio risp. β m/s elocità eliolo

λ adimensionale Rapporto di rastremazione (c t /c r ) R e adimensionale Numero di Reynolds τ adimensionale Fattore di efficacia Spessore percentuale C m adimensionale Coeff. di momento di beccheggio η adimensionale Rapporto tra pressioni dinamiche Corda adimensionale x m m Dist. c.g. dall inizio della fusoliera c t oppure R adimensionale Rapporto olumetrico del piano erticale ν m /s iscosità cinematica K n, K R1 adimensionale Fattori correttii a m/s elocità del suono z w m Dist. dell ala dall asse della fusoliera S a m Sup. dell alettone S wa m Sup. dell ala influenzata da alettone W TO Kg Peso max. al decollo W F Kg Peso del carburante ρ Kg/m 3 Densità dell aria g m/s Acc. di graità C Lcr adimensionale Coeff. di portanza in crociera β C lδ k adimensionale Fattore di efficacia Tali simboli potranno aere un pedice che indicherà: h piano di coda orizzontale piano di coda erticale w ala isolata f fusoliera wb eliolo parziale (wing-body) wf eliolo parziale (wing-fuselage) a alettone

Dati iniziali S = 4. m b = 13.3 m Λ c/4 = 0 gradi λ = 0.39 S f = 15.40 m l f = 13.70 m w f = 1.6 m h= h 1 =d g = 1.6 m h = 1.07 m x m = 8.0 m C nβ = 0.1 1/rad = 150 m/s ρ 0 = 1.5 Kg/m 3 a = 340.49 m/s ν 0 = 1.46 10-5 m /s NACA 001 C lα = 0.109 1/gradi NACA 3014 C lα = 0.107 1/gradi NACA 301 C lα = 0.107 1/gradi η i = 0.55 η 0 = 0.94 W TO = 516.31 Kg W F = 1131.713 Kg Lo scopo del nostro esercizio è di dimensionare il piano di coda erticale di un eliolo, business jet, affinché il C sia pari a 0.1 rad -1. Inoltre ogliamo determinare il Cl δ a nβ (potenza di controllo di rollio) dell ala ed ogliamo alutare 1 l angolo Г necessario per aere un effetto diedro dell ala pari a = 0.1 rad C lβ. Cominciamo ad analizzare il piano erticale di coda. Il eliolo che prendiamo in considerazione è un Cessna Citation 500, i dati che utilizzeremo sono riportati nell apposito spazio. Dalla conoscenza della superficie alare e dell apertura ci calcoliamo l allungamento alare b AR = = 7.3 (1) S A questo punto abbiamo tutti i dati necessari per disegnare la pianta dell ala

3,5 Ala linea a c/4 m.a.c.=1,933 [m] a.c. (approx.) [m] 1,5 1 0,5 0 0 0, 0,4 0,6 0,8 1 η [adimensionale] Figura 1 Forma in pianta dell ala Nel disegnare la forma in pianta dell ala abbiamo riportato la corda media aerodinamica (m.a.c.) alutata tramite la formula approssimata data da Torenbeek Egbert - Synthesis of Subsonic Airplane Design (pag. 441) 1+ λ + λ c = m. a. c. = cr = 1. 993 m 3 1+ λ b 1+ λ ym. a. c. = =. 843 m 3 ( 1+ λ) () (3) e abbiamo ipotizzato la posizione del centro aerodinamico (a.c.) al 5% di m.a.c. Poiché conosciamo la deriata del momento di imbardata, douto all angolo di sideslip, C (chiamata anche stabilità statica direzionale) da attribuire al nostro nβ eliolo partiamo da esso per la nostra analisi. Da Roskam (Part I) - Preliminary Calculation of Aerodynamic, Thrust and Power Characteristics (pag. 397) otteniamo che Cnβ = Cn + Cn + Cn (4) β w β f β somma del contributo dell ala, della fusoliera e del piano erticale di coda. Per quanto riguarda il contributo dell ala, Roskam ci dice che esso è importante solo alla

alte incidenze e quindi per calcoli preliminari di progetto possiamo porre tale alore nullo, quindi Cn β = 0 (5) w Il contributo della fusoliera può essere stimato tramite la S f l f Cn = s 57. 3 K N K R (6) β f l S b Per alutare K N utilizziamo la figura Figura Diagramma per la stima di K N

Mentre per i dati sulla fusoliera utilizziamo la figura 3 Figura 3 Dati geometrici della fusoliera Come si nota dalla figura per poter utilizzare lo schema abbiamo bisogno di alcuni dati che possiamo facilmente ricaare. Si entra nel diagramma tramite xm l f = 0.584 e tramite il alore di l S f f s = 1.187 h h 1 = 1.3 h w f = 1 otteniamo infine 3 N = 1.7 10 K (7)

Per alutare il alore di K R ci seriamo della figura 4 l Figura 4 Diagramma per la stima di K R l Quindi alutato Re f l f = ν 0 6 = 140.7 10 possiamo stimare il alore di K Rl K =.06 (8) R l

Siamo in grado tramite la (6), (7) e la (8) di alutare ].13139 [1/ 0 rad C f n = β (9) Per rendere più compatte le nostre formule possiamo scriere tramite la (5) e la (9) ].13139 [1/ 0 rad C C C C f w f wb n n n n = = + = β β β β (10) e quindi la (4) dienta wb n n n C C C β β β + = (11) Ci resta da alutare solo il contributo dato dal piano erticale di coda. Questo ultimo lo possiamo stimare tramite Calcara Elementi di Dinamica del olo (pag. 156) ( ) ( ) WBH L n C R C α β β σ η = 1 (1) Per alutare i termini della (11) utilizziamo + + Λ + + = w g w w c AR d z S S w 0.009 0.4 cos 1 3.06 0.74 1 4 / β σ η (13) e da John D. Anderson, Jr. - Aircraft Performance and Design ( pag. 9) c l c l c c l L AR C AR C M C C Λ + Λ + Λ Λ = π π α α α α / / / / cos cos cos 1 cos (14)

e infine R S l = ct = (15) S b w chiamato rapporto olumetrico del piano erticale di coda, esso rappresenta un importante parametro geometrico come edremo aanti. Utilizzando la (11), con la (6), (1), (13), (14) e (15) otteniamo Cnβ S f l f s 3.06 S z w S l = 57.3 K N K R + 0.74 + + 0.4 + 0.009 ARw l S b 1+ cos Λc / 4 Sw d g Sw b w Cl cos Λ α c / Cl cos Λc C l Λ c M Λ α / cos α / 1 cos c / + + AR π π AR Come si nota osserando la (16), abbiamo un espressione con le seguenti incognite: S l c / oppure Λ c / 4 Λ (utilizzare la 9 per la conersione) A R w d g z (dipende dalla posizione dell ala rispetto all asse di fusoliera) C α (dipende dal profilo utilizzato) l λ ( non appare nella 16 ma è utile per la forma del piano erticale) Gestire sette incognite risulta problematico quindi dobbiamo fare delle scelte e delle ipotesi per diminuire tale numero e gestire meglio il problema. Per il dobbiamo Cl α scegliere il profilo da utilizzare per il piano erticale di coda, noi consideriamo il profilo NACA 001, scelta che si allinea a quella comunemente adottata per elioli di linea ed indicata anche da John D. Anderson, Jr. - Aircraft Performance and Design ( pag. 438), quindi (16) l = 0.109 [1/ gradi] = 6.454 [1/ rad] C α (17)

Per la scelta della posizione dell ala rispetto all asse della fusoliera ci lasciamo guidare dalla configurazione di altri elioli della stessa categoria e utilizziamo la configurazione ad ala bassa, ma daremo una alida motiazione più aanti, in tal modo otteniamo zw d g = 0.386 (18) Nella (18) abbiamo considerato che lo spessore percentuale del profilo dell ala alla radice sia τ r = 0. 14. Nella scelta di λ, John D. Anderson, Jr. ci suggerisce di adottare lo stesso alore dell ala, quindi λ = 0.39 (19) L ultimo parametro da scegliere è l allungamento alare del paino erticale di coda, ancora una olta John D. Anderson, Jr. ci guida in tale scelta che resta molto arbitraria ma ristretta ad un interallo di alori che a da 1.3 a.0 per eliolo di linea generali A R = 1.5 (0) Osseriamo che se si ogliono adottare dei alori diersi da quelli scelti adesso possiamo utilizzare la tabella 1 tratta da Raymer - Aircraft Design - A Conceptual Approach (pag. 76) al quale fa continuo riferimento anche il testo John D. Anderson, Jr. - Aircraft Performance and Design Tabella 1 Range di alori per AR e λ Come si può notare dalla tabella 1, i alori da noi scelti rientrano nel range indicato.

Tabella Parametri di progetto per la forma in pianta del piano erticale di coda La tabella tratta da Roskam - (Part II) - Preliminary Configuration Design and Integration of the Propulsion System (pag. 07) riassume in modo completo, per arie categorie di elioli, i parametri di progetto del piano erticale di coda. Abbiamo così scelto e fissato quattro delle sette incognite, in tal modo la (16) dienta un espressione facilmente gestibile. Considerando un incognita come un parametro ariabile, le altre due incognite saranno legate tra loro tramite la già citata (16). Quindi otteniamo (,Λ ) l = f S c / La scelta dell angolo di freccia riferito al bordo d attacco, come afferma Raymer - Aircraft Design - A Conceptual Approach (pag. 76), aria tra i 35 e i 55 gradi. In particolare, per un eliolo low-speed non i sono ragioni di andare oltre i 0 gradi per l angolo di freccia se non per motii estetici. Per un eliolo high-speed l angolo di freccia del piano erticale di coda è usato principalmente per rendere il numero di Mach critico maggiore di quello dell ala per assicurare una potenza di controllo al eliolo anche quando l ala entra in stallo d urto. Noi prendiamo un angolo di freccia pari a

Λc / = 0 (1) A questo punto la (16) dienta un equazione che lega due sole incognite e quindi ( ) l = f S che per la (16) dienta l = 3.06 0.74 + 1+ cos Λc / 4 w S f l s f Cn + 57.3 K N K β Rl S b S zw S + 0.4 + 0.009 ARw CL Sw d g Sw b α ( Cl, AR, Λc / ) α () Con C α dato dalla (14). L Per ottenere l scegliamo una S imponendo la condizione (puramente geometrica ed estetica) che il piano erticale di coda termini con la coda della fusoliera. In figura 5 è rappresentato il piano erticale di coda con le ipotesi e le scelte fatte in precedenza. Piano erticale di coda per ala bassa 6 m.a.c. =,188 [m] S = 6,343 [m²] λ = 0,390 ym.a.c. = 1,317 [m] l = 4,15 [m] Λc/4_ = 9,10 a.c. (1,15 ;,917) ct = 0,08 AR = 1,5 5 4 z [m] 3 1 0 c.g. l -1-0 4 6 8 10 1 14 16 x [m] Figura 5 Piano erticale di coda

Osseriamo che per la geometria da noi adottata, l angolo Λ = 36. 84 l. e. Λ c / scelto equiale a Λ = 9. 10 c / 4 alori, questi, che rientrano nel range dato dalla tabella e da Raymer. Riassumiamo i parametri che ci hanno condotto alla scelta del nostro piano erticale di coda: Profilo NACA 001 = 0.109 [1/ gradi] 6.454 [1/ rad] zw d g Ala bassa = 0. 386 λ = 0. 39 A R = 1. 5 Λc / = 0 S = 6.343 [ m ] l = 4.15 [ m] Cl = α Un parametro molto importante per il dimensionamento del piano erticale di coda è il rapporto olumetrico R o (testi di Roskam) o c t (testi di Raymer). Dai nostri dati otteniamo dalla (15) R = c t = 0.08 (3) alore che rientra in quello dato dalla tabella 3 tratta da Raymer, per elioli general aiation - twin engine e jet transport. Tabella 3 Rapporto olumetrico del piano di coda

In tabella 4, tratta da Roskam - (Part II) - Preliminary Configuration Design and Integration of the Propulsion System (pag. 195), i sono riportati i alori di alcuni elioli della categoria business jet. Tabella 4 Parametri di alcuni business jet Come si può notare dalla tabella 4 il alore da noi calcolato è molto prossimo a quello reale del Cessna Citation 500. Se manteniamo tutti i parametri bloccati e ariamo solo la posizione dell ala rispetto all asse di fusoliera otteniamo arie posizioni del piano erticale di coda ma solo la configurazione ad ala bassa risulta essere la preferibile e ciò è mostrato in figura 6.

z [m] 6 5 4 3 1 0 Piano erticale di coda Ala bassa ct = 0,08 Ala alta ct = 0,106 Ala media ct = 0,09 c.g. -1-0 4 6 8 10 1 14 16 x [m] Figura 6 Piano erticale di coda per arie posizioni dell ala Come si nota dalla legenda della figura 6 i alori di c t per la configurazione ad ala alta e ad ala media risultano troppo diersi da quello effettio dell ala bassa. In tabella 5 riportiamo i alori utilizzati per la figura 6. Tabella 5 Parametri utilizzati per la figura 6 S [m ] z w /d g Λ c/ [ ] Λ c/4 [ ] AR l [m] b [m] λ c t Ala bassa 6,343 0,386 0,00 9,10 1,500 4,15 3,085 0,390 0,08 Ala media 6,343 0,000 0,00 9,10 1,500 4,690 3,085 0,390 0,09 Ala alta 6,343-0,386 0,00 9,10 1,500 5,388 3,085 0,390 0,106 In figura 7 confrontiamo il piano erticale di coda per arie configurazioni dell ala assumendo che esso termini alla fine della fusoliera. z [m] 6 5 4 3 1 0 Piano erticale di coda Ala bassa ct = 0,08 ; S = 6,343 [m²] Ala alta ct = 0,097 ; S = 7,864 [m²] Ala media ct = 0,089 ; S = 7,048 [m²] c.g. -1-0 4 6 8 10 1 14 16 x [m] Figura 7 Confronto del piano erticale di coda per arie configurazioni dell ala

Anche in questo caso il parametro c t, per una configurazione ad ala alta o ad ala media risulta molto dierso dalla configurazione del eliolo ad ala bassa. In tabella 6 sono riportati i alori necessari per la figura 7. Tabella 6 Parametri e alori utilizzati per la figura 7 S [m ] z w /d g Λ c/ [ ] Λ c/4 [ ] AR l [m] b [m] λ c t Ala bassa 6,343 0,386 0,00 9,10 1,5 4,15 3,085 0,39 0,08 Ala media 7,048 0,000 0,00 9,55 1,5 4,069 3,51 0,39 0,089 Ala alta 7,864-0,386 0,00 30,05 1,5 3,977 3,435 0,39 0,097 Il parametro c t è così importante che esiste è un metodo per il dimensionamento del piano erticale di coda nelle fasi preliminari di progetto che si basa su esso. Tale metodo è detto tail olume coefficient method introdotto da Raymer - Aircraft Design - A Conceptual Approach (pag. 110) e approfondito da John D. Anderson, Jr. - Aircraft Performance and Design ( pag. 435). In alternatia si può consultare anche Roskam - (Part II) - Preliminary Configuration Design and Integration of the Propulsion System (pag. 07) oe tale metodo prende il nome di method (cambia solo il nome ma il concetto di base è lo stesso). Illustriamo ed utilizziamo il metodo per osserarne l utilità. Si sceglie il parametro c t dalla tabella 3 in base al tipo di eliolo considerato, in tal modo otteniamo l S ct = Sw b (4) poi si scelgono i alori di AR, Λ c /, λ tramite le osserazioni fatte in precedenza e si piazza il piano di coda erticale nel modo in cui sembra buono (come affermato da Raymer). Prendendo come alori quelli usati da noi in precedenza AR = 1.5 λ = 0.39 Λc = 0 Λc 4 = 9. 1 / c t = 0.08 / e scegliendo un alore di S tale che la distanza l ci dia un piano erticale di coda che termina alla fine della fusoliera otteniamo figura 8

6 5 4 Piano erticale di coda ct = 0,08 l = 4,4 [m] S = 6,58 [m²] AR = 1,5 λ = 0,39 Λ_c/4 = 9,10 z [m] 3 1 0-1 - 0 4 6 8 10 1 14 16 x [m] Figura 8 Piano erticale di coda con il metodo del coefficiente olumetrico Il piano erticale di coda del eliolo in figura 8 ha i seguenti alori: S = 6.58 [m ] l = 4.4 [m] Come si può notare il metodo del coefficiente olumetrico di coda porta a un risultato molto prossimo a quello riportato nella figura 5. In figura 9 i è un confronto grafico tra i due metodi. z [m] 6 5 4 3 1 0 Confronto tra i due metodi Metodo del ct Metodo del Cnβ S = 6,58 [m²] S = 6,343 [m²] l = 4,4 [m] l = 4,15 [m] m.a.c. =,174 [m] m.a.c. =,188 [m] -1-0 4 6 8 10 1 14 16 x [m] Figura 9 Confronto tra il metodo del c t e il metodo del C nβ Come si nota dalla figura 9 i due metodi danno risultati molti prossimi tra di loro, a differenza è molto esigua e la figura lo mostra molto bene. Da notare, anche se è stato

già detto, che il confronto è stato fatto a parità di tutti gli altri parametri (AR, λ, Λ, c t ). c / Passiamo ora ad analizzare come aria S in funzione di altre incognite. Per iniziare ediamo come aria S in funzione di l e parametrato in AR. Le ipotesi e le assunzioni che facciamo sono le seguenti Profilo NACA 001 = 0.109 [1/ gradi] 6.454 [1/ rad] zw d g Ala bassa = 0. 386 λ = 0. 39 Λc = 0 / Cl = α Quindi applicando la (16) otteniamo il diagramma di figura 10 70 60 Diagramma di S in funzione di l e parametrato in AR AR = 0,80 AR = 1,00 AR = 1,50 50 S [m ] 40 30 0 10 0 0 1 3 4 5 l [m] Figura 10 Diagramma di S in funzione di l e parametrato in AR In figura 11 è riportato la ariazione del piano erticale di coda per un fissato alore di AR (nel nostro caso uguale a 1.5). In pratica ci stiamo muoendo lungo la cura riportata in figura 10 (cura per AR = 1.5).

z [m] 6 5 4 3 1 0-1 Piano erticale di coda al ariare di l con AR fissato AR = 1,5 S = 8,107 [m²], l = 3,000 [m], ct =0,075 S = 7,6 [m²], l = 3,500 [m], ct =0,078 S = 6,343 [m²], l = 4,15 [m], ct =0,08 S = 5,488 [m²], l = 5,000 [m], ct =0,085 0 4 6 8 10 1 14 16 x [m] Figura 11 Piano erticale di coda al ariare di l per AR fissato c.g. In figura 1 rendiamo un dettaglio della figura 11, riportiamo i piani erticali di coda con le relatie m.a.c. 5,6 Piano erticale di coda al ariare di l con AR fissato 5, 4,8 4,4 4,0 z [m] 3,6 3,,8,4,0 1,6 9 10 11 1 13 14 15 16 x [m] Figura 1 Dettaglio di figura 11 In tabella 7 riportiamo i alori utilizzati per la figure 11 e la figura 1. Tabella 7 Parametri e alori utilizzati per la figure 10 e la figura 11 S [m ] Λ c/ [gradi] Λ c/4 [gradi] AR l [m] b [m] λ c r [m] c t [m] c t 1 8,107 0,00 30,19 1,5 3,000 3,487 0,39 3,345 1,305 0,075

7,6 0,00 9,66 1,5 3,500 3,9 0,39 3,158 1,3 0,078 3 6,343 0,00 9,10 1,5 4,15 3,085 0,39,959 1,154 0,08 4 5,488 0,00 8,51 1,5 5,000,869 0,39,75 1,073 0,085 Per essere più completi passiamo ora ad analizzare come aria S in funzione di altre incognite. ediamo adesso come aria S in funzione di AR e parametrato in Le ipotesi e le assunzioni che facciamo sono le seguenti Profilo NACA 001 = 0.109 [1/ gradi] 6.454 [1/ rad] zw d g Ala bassa = 0. 386 λ = 0. 39 l = 4.15 [ m] Cl = α Applicando la (16) otteniamo il diagramma di figura 13 Λ. c / 18 Diagramma di S in funzione di AR e parametrato in Λ c/_ 16 14 Λc/_ = 0 Λc/_ = 35 Λc/_ = 50 1 S [m ] 10 8 6 4 0 0 1 3 4 5 AR Figura 13 Diagramma di S in funzione di AR e parametrato in Λ c / In figura 14 è riportato la ariazione del piano erticale di coda per un fissato alore di Λ (nel nostro caso uguale a 0 ). In pratica ci stiamo muoendo lungo la c / cura riportata in figura 13 (cura con Λ = 0 ). In appendice i sono i alori usati per la figura 14 e 15. c /

z [m] 6 5 4 3 1 0-1 Piano erticale di coda al ariare di AR per un dato alore di Λ c/ Λc/_ = 0,00 AR = 0,8, S = 9,566 [m], ct =0,13 AR = 1,5, S = 6,343 [m], ct =0,08 AR =,0, S = 5,343 [m], ct =0,069 AR = 5,0, S = 3,554 [m], ct =0,046 0 4 6 8 10 1 14 16 x [m] c.g. Figura 14 Piano erticale di coda al ariare di AR per Λc / fissato In figura 15 rendiamo un dettaglio della figura 14, riportiamo i piani erticali di coda con le relatie m.a.c. z [m] 6,4 6,0 5,6 5, 4,8 4,4 4,0 3,6 3,,8,4,0 1,6 Piano erticale di coda al ariare di AR 9 10 11 1 13 14 15 16 x [m] Figura 15 Dettaglio della figura 14 In figura 16 è riportato la ariazione del piano erticale di coda per un fissato alore

di AR (nel nostro caso uguale a 1.5). In appendice sono riportati i alori utilizzati per le figure 16 e 17. z [m] 6 5 4 3 1 0 Piano erticale di coda al ariare di Λ per un dato alore di AR AR = 1,50 Λc/_ = 0,0, S = 6,343 [m], ct =0,08 Λc/_ = 30,0, S = 6,44 [m], ct =0,083 Λc/_ = 40,0, S = 6,613 [m], ct =0,085 Λc/_ = 50,0, S = 6,914 [m], ct =0,089 c.g. -1 0 4 6 8 10 1 14 16 x [m] Figura 16 Piano erticale di coda al ariare di Λ c / per AR fissato In figura 17 rendiamo un dettaglio della figura 16, oero riportiamo i piani erticali di coda con le relatie m.a.c. e il relatio a.c. posto al 5% della m.a.c. 5, Piano erticale di coda al ariare di Λ z [m] 4,8 4,4 4,0 3,6 3,,8,4,0 1,6 9 10 11 1 13 14 15 16 x [m] Figura 17 Dettaglio della figura 16 In figura 18 è riportato la ariazione del piano erticale di coda per un fissato alore

di Λc = 0. In appendice sono riportati i alori utilizzati per le figure 18 e 19. / z [m] 6 5 4 3 1 0 Piano erticale di coda al ariare di AR per un dato alore di S S = 6,343 [m] AR = 1,500, Λc/_ = 0,0, ct =0,08 AR = 1,540, Λc/_ = 30,0, ct =0,08 AR = 1,618, Λc/_ = 40,0, ct =0,08 AR = 1,794, Λc/_ = 50,0, ct =0,08 c.g. -1 0 4 6 8 10 1 14 16 x [m] Figura 18 Piano erticale di coda al ariare di AR per Λc / fissato In figura 19 rendiamo un dettaglio della figura 18, oero riportiamo i piani erticali di coda con le relatie m.a.c. e il relatio a.c. posto al 5% della m.a.c. 5, Piano erticale di coda al ariare di AR z [m] 4,8 4,4 4,0 3,6 3,,8,4,0 1,6 9 10 11 1 13 14 15 16 x [m] Figura 19 Dettaglio della figura 18 Infine ogliamo mostrare l influenza che ha l escursione del baricentro sul

dimensionamento del piano erticale di coda. In figura 0 è rappresentato il piano erticale di coda al ariare del baricentro (x m ). z [m] 6 5 4 3 1 0 Piano erticale di coda al ariare di x m xm/lf = 0,4745, l = 5,847 m, S =4,845 m², ct =0,088 xm/lf = 0,5109, l = 5,93 m, S =5,46 m², ct =0,086 xm/lf = 0,5839, l = 4,15 m, S =6,343 m², ct =0,08 xm/lf = 0,6569, l =,937 m, S =8,35 m², ct =0,075-1 - 0 4 6 8 10 1 14 16 x [m] Figura 0 Piano erticale di coda al ariare di x m Alla base della figura 0 ci sono alcune ipotesi che qui riassumiamo: C nβ = 0.1 [1/rad] Profilo NACA 001 = 0.109 [1/ gradi] 6.454 [1/ rad] zw d g Ala bassa = 0. 386 AR = 1.5 λ = 0.39 Λ = 0 c / Cl = α Come si nota dalla figura 0 più il baricentro arretra maggiore è la superficie necessaria per assicurare il alore di C nβ dato dal problema, ciò è douto al fatto che diminuisce la distanza l che rappresenta il braccio della forza siluppata dal piano erticale di coda che genera il momento di imbardata douto all angolo di sideslip. Deriata del coefficiente di momento di rollio Analizziamo, adesso, il secondo punto del problema, oero il calcolo di (potenza di controllo di rollio). Partiamo facendo una premessa. Poiché la deflessione degli alettoni in modo antisimmetrico (se l alettone destro è deflesso di quello sinistro iene deflesso di - ) comporta un indesiderato momento d imbardata douto alla curatura dei profili dell ala (infatti per un profilo Cl δ a

curo la portanza che si genera per un angolo d attacco positio riferito alla r.p.n. è maggiore in alore assoluto di quella generata per lo stesso angolo d attacco ma negatio) di solito si attiano gli alettoni in modo differenziale oero un alettone è deflesso più dell altro. Noi ipotizziamo un azionamento antisimmetrico degli alettoni. Dai dati iniziali sul nostro eliolo abbiamo che η i = 0.55 η 0 = 0.94 cη = 0.3 c 0.556 [ m] i w = ηi cη = 0.30 c 0.335 [ m] 0 w = η0 cη λ a = 0 = 0. 60 cη i con questi dati possiamo ricaarci la m.a.c. dell alettone e la distanza dalla corda di radice tramite la () e la (3) oe al posto di λ utilizziamo λ a e al posto di c r usiamo e al posto di b sostituiamo la lunghezza dell alettone η0 ηi (opportunamente reso dimensionale ed espresso in m), m. a. c. a = 0.454 [ m] ym. a. c. = 4.854 [ m] a Tramite questi dati possiamo disegnare il nostro alettone. In figura 0 è rappresentato la forma in pianta dell ala con l alettone. c η i 3,5 Ala linea a c/4 m.a.c.=1,933 [m] a.c. (approx.) m.a.c. alettone [m] 1,5 1 0,5 0 0 0, 0,4 0,6 0,8 1 η [adimensionale] Figura 1 Forma in pianta dell ala con alettone

Per ottenere ciò che ci siamo prefissi utilizziamo la procedura che è riportata in Perkins Airplane Performance, Stability and Control (pag. 354) la quale si basa sul metodo delle strisce elementari. Figura Striscia dell ala Come mostra la figura abbiamo che dc l c c l S y dy = (5) w b doe c è la corda locale e c l è il coefficiente di portanza di profilo dato da c = τ δ (6) l c l α a con τ fattore di efficienza degli alettoni. Sostituendo la (6) nella (5) e integrando tra i limiti dell alettone otteniamo il coefficiente di momento di rollio per l ala completa. Cl = τ δ α (7) CL a η0 b c y dy Sw b ηi b Deriando la (7) otteniamo la deriata del coefficiente di momento di rollio detta potenza di controllo di rollio Cl a CL τ η0 = b α c y dy Sw b ηi b δ (8)

Nella (8) per alutare CL usiamo la (14), mentre per τ utilizziamo la figura 3 α Figura 3 Fattore di efficienza degli alettoni o in alternatia possiamo utilizzare la figura 4, tratta da Roskam - Airplane Flight Dynamics and Automatic Flight Controls (I), pag. 61, se conosciamo la corda media aerodinamica dell alettone e la corrispondente corda alare della sezione che stiamo considerando. Figura 4 - Fattore di efficienza dell alettone Per una migliore stima di τ, per superfici di controllo tridimensionali e per un angolo di freccia molto basso, usiamo (ref. 4, pag. 61)

1 b τ = τ S b ( y) c( y) dy Quindi nel nostro caso per Sa Sw a = 0.31 abbiamo un alore di τ pari a τ = 0.55 (9) Nell applicare la (14) dobbiamo utilizzare il alore dell angolo di freccia alutato a metà corda, e poiché la maggior parte delle olte si ha a disposizione il alore di Λ c / 4 possiamo utilizzare la (30) per conertirlo in Λ c / Λ ( ) ( 1 λ) ( ) c / = arctan tan Λc / 4 (30) AR 1+ λ nella (30) dobbiamo esprimere gli angoli in radianti. Per ipotesi Λ = 0, quindi otteniamo c / 4 Λ (31) c / = 0.05979 [ rad] = 3.43 [ gradi] Inoltre sappiamo che il profilo di radice è Profilo NACA 3014 C l = 0.107 [1/ gradi] = 6.131[1/ rad] Mentre per il profilo d estremità abbiamo α Profilo NACA 301 C l = 0.107 [1/ gradi] = 6.131[1/ rad] α In appendice, nella tabella E, sono riportati i dati sperimentali di ari profili NACA.

Dai dati dei due profili si periene al C l del profilo medio da utilizzare nella (14) α C l = 0.107 [1/ gradi ] = 6.131[1/ rad] α (3) otteniamo, quindi, inserendo nella (14) la (3), la (31) e i dati necessari riportati nelle apposite sezioni CL = 0.089 [1/ gradi] = 5.091[1/ rad] α (33) w Considerando una ariazione lineare delle corde dalla radice all estremità c y b = c ( c c ) (34) r in definitia abbiamo, sostituendo nella (8) la (34), la (33), la (9) e i dati necessari riportati nelle apposite sezioni r t C δ a l = 0.0055 [1/ gradi] = 0.3134 [1/ rad] alore che rientra nel range (da 0 a 0.4 rad -1 ) della maggior parte dei elioli. In figura 5 è riportato il diagramma di C δ in funzione del numero di Mach M, del l rapporto di rastremazione λ, del parametro di efficienza degli alettoni τ e dell angolo di freccia Λ c/4. Da notare che il alore di Λ c/4 è scalato di un fattore pari a 50 (ad esempio, se oglio ricaare il alore di quando il mio angolo di freccia ha un a Cl δ a alore Λ c/4 =30, diido l angolo per 50, ottengo così il alore 0.6 che utilizzo per entrare nel diagramma e troare il alore di C δ ). l a

0,7 0,6 Diagramma del C lδa M λ τ Λc/4 0,5 Clδa [1/rad] 0,4 0,3 0, 0,1 0,0 0 0, 0,4 0,6 0,8 1 M, λ, τ, Λ c/4 Figura 5 Diagramma di C δ in funzione di M, λ, τ, Λ c/4 l a La figura 5 ci dice che la potenza di controllo di rollio aumenta all aumentare del numero di Mach M perché la portanza siluppata dalla deflessione dell alettone è proporzionale alla pressione dinamica e quindi alla elocità (dipendenza quadratica). Aumenta all aumentare del rapporto di rastremazione λ perché aumentano le dimensioni delle corde e quindi aumenta la superficie disponibile dell alettone (a parità di geometria dell alettone) e la portanza siluppata dalla deflessione dell alettone è proporzionale alla superficie dell alettone stesso. Aumenta all aumentare del fattore di efficienza τ perché esso è proporzionale alla superficie dell alettone e quindi ale il discorso fatto in precedenza. Interessante, inece, è la diminuzione di all aumentare di Λ c/4. Fisicamente ciò può essere spiegato con il Cl δ a fatto che all aumentare dell angolo di freccia il flusso lungo l ala tende a dientare parallelo alla linea di cerniera dell alettone a causa della elocità di scorrimento che dienta sempre più eleata e ciò comporta una perdita di efficacia dell alettone stesso. Tale fenomeno si esalta ad angoli di freccia superiori a 55 (ref. 3 pag. 104). Effetto diedro Per quanto riguarda il momento di rollio douto all angolo di sideslip β, tale momento è detto anche effetto diedro, seguiamo il procedimento fatto da Raymer (ref. 8 pag. 439). L effetto diedro risulta essere proporzionale sia all angolo diedro che all effetto dell angolo di freccia e della posizione dell ala rispetto alla fusoliera. Quindi, il contributo douto all angolo diedro è dato dalla (35)

Cl ( ) Γ α ( 1+ λ) = C l β Γ 4 3 ( 1 + λ) (35) con Г espresso in radianti. Il contributo dato dalla posizione dell ala rispetto alla fusoliera è dato dalla (36) ARw zwb ( db + wb ) ( C ) = 1. l wb b β (36) con d b e w b l altezza e la larghezza della fusoliera mentre z b è la distanza erticale dell ala dell asse di fusoliera, positia se al di sopra (ala alta). Infine il contributo dato dall angolo di freccia è alutato tramite la figura 6. Quindi l effetto diedro lo possiamo alutare come la somma di tre contributi C lβ w Cl = C βw L C L + ( Cl ) + ( C ) β lβ Γ wb (37) tramite la (37) possiamo alutare l angolo diedro necessario per ottenere un alore di pari a -0.1 [1/rad]. Si osseri che tutti i termini dorebbero essere negatii per Cl β w garantire la stabilità tranne quello douto alla posizione dell ala che è positio (e quindi destabilizzante) per la configurazione del eliolo ad ala bassa.

Figura 6 Effetto diedro douto all angolo di freccia Nella (37) per il alore di C L può essere utilizzato,in prima approssimazione, il alore del coefficiente di portanza di crociera C (ref. 7 pag. 149) Lcr C ( WTO 0.4 WF ) L cr = = 0.14 (38) q S i alori W TO e W F possono essere ricaati dalla tabella F. Applicando la (37) ed risolendola in Г otteniamo Γ = 0.118853 = [ rad] 6. 81 [ gradi] Nella figura 7 è rappresentato l andamento dell angolo diedro necessario per una configurazione ad ala bassa al ariare di C e parametrato in C β. Il diedro alare ha lo scopo di conferire automaticamente un carattere di stabilità trasersale al eliolo, proocando ogni qualolta esso derapi, oero trasli rispetto all aria con elocità nella direzione dell asse Y un momento di rollio l atto a sbandarlo lateralmente di un angolo tale che la portanza enga ad aere una componente sufficiente ad annullare la derapata. Un eliolo ha un effetto diedro L cr l w

stabile se nasce un momento di rollio negatio in conseguenza di una derapata positia, e iceersa (ref. 3 pag. 190). In figura 7 si nota che all aumentare del coefficiente di momento di rollio necessario al eliolo (ala bassa) douto all angolo di sideslip aumenta (a parità di C L ) il alore di Г necessario per aere la stabilità trasersale. 10 8 Angolo diedro per configurazione ad ala bassa Clβ = 0,0 [1/rad] Clβ = -0,1 [1/rad] Clβ = -0,15 [1/rad] 6 Г [gradi] 4 0-0 0,1 0, 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 C L Figura 7 Andamento di Г al ariare di C L e parametrato in C lβ Fissato l effetto diedro richiesto, Г diminuisce all aumentare del coefficiente di portanza di crociera in quanto maggiore è il C L e minore risulta essere l effetto del flusso indotto sull ala dalla presenza dell angolo di sideslip β, flusso che tende a far ruotare il eliolo attorno all asse X in senso antiorario (e quindi positio). In figura 8 è rappresentato l andamento dell angolo diedro necessario per un fissato alore di C per le tre configurazioni tipo dell ala. Come già accennato la lβ configurazione ad ala bassa è destabilizzante e quindi richiede un angolo diedro maggiore di quello necessario per la altre due configurazioni. Si nota anche che la maggior parte dei elioli che utilizzano una configurazione ad ala alta presentano un angolo diedro negatio per assicurare la stabilità trasersale. La configurazione ad ala alta ha un effetto diedro negatio intrinseco, per un angolo di sideslip positio, e poiché tale effetto non dee essere eleato (eccesso di stabilità e mancanza di manorabilità) né basso (eccesso di manorabilità e mancanza di

Angolo diedro per arie configurazioni dell'ala 8 7 6 Clβ = -0,1 [1/rad] ala bassa ala media ala alta Г [gradi] 5 4 3 1 0 0 0,1 0, 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 Figura 8 Andamento di Г al ariare di C L per arie configurazioni dell ala C L stabilità) è necessario un Г negatio per ridurlo. I alori utilizzati per la figura 7 e la figura 8 sono riportati in appendice nella tabella G. In figura 9 è riportato il diagramma di Г in funzione del numero di Mach M, del 9 Diagramma di Г per C lβ = -0.1 [1/rad] (ala bassa) M λ CLcr Λc/4 8 7 Г [gradi] 6 5 4 3 0 0, 0,4 0,6 0,8 1 M, λ, C L, Λ c/4 Figura 9 - Diagramma di Cl β in funzione di M, λ, C L, Λ c/4 (ala bassa) rapporto di rastremazione λ, del coefficiente di portanza di crociera C L e dell angolo

di freccia Λ c/4. Da notare che il alore di Λ c/4 è scalato di un fattore pari a 50 (ad esempio, se oglio ricaare il alore di Г quando il mio angolo di freccia ha un alore Λ c/4 =30, diido l angolo per 50, ottengo così il alore 0.6 che utilizzo per entrare nel diagramma e troare il alore di Г).

Appendice Tabella A Parametri e alori utilizzati per la figure 14 e la figura 15 S [m ] Λ c/ [gradi] Λ c/4 [gradi] AR l [m] b [m] λ c r [m] c t [m] c t 1 9,566 0,00 34,5 0,80 4,15,766 0,39 4,975 1,940 0,13 5,343 0,00 7,34,00 4,15 3,69 0,39,35 0,917 0,069 3 3,554 0,00 3,89 5,00 4,15 4,16 0,39 1,13 0,473 0,046 4 6,343 0,00 9,10 1,50 4,15 3,085 0,39,959 1,154 0,08 Tabella B Parametri e alori utilizzati per la figure 16 e la figura 17 S [m ] Λ c/ [gradi] Λ c/4 [gradi] AR l [m] b [m] λ c r [m] c t [m] c t 1 6,343 0,00 9,10 1,50 4,15 3,085 0,39,959 1,154 0,08 6,44 30,00 37,65 1,50 4,15 3,108 0,39,98 1,163 0,083 3 6,613 40,00 46,01 1,50 4,15 3,150 0,39 3,01 1,178 0,085 4 6,914 50,00 54,3 1,50 4,15 3,0 0,39 3,089 1,05 0,089 Tabella C Parametri e alori utilizzati per la figure 18 e la figura 19 S [m ] Λ c/ [gradi] Λ c/4 [gradi] AR l [m] b [m] λ c r [m] c t [m] c t 1 6,343 0,00 9,10 1,50 4,15 3,085 0,39,959 1,154 0,08 6,343 30,00 37,51 1,50 4,15 3,15 0,39,91 1,139 0,08 3 6,343 40,00 45,70 1,50 4,15 3,03 0,39,849 1,111 0,08 4 6,343 50,00 53,83 1,50 4,15 3,373 0,39,706 1,055 0,08 Tabella D Dati geometrici dell ala per alcuni elioli della categoria business jet (Roskam Part II - Preliminary Configuration Design and Integration of the Propulsion System )

Tabella E Dati relatii ai profili NACA

Tabella F Dati per la stima dei pesi per alcuni elioli della categoria business jet (Roskam - Part I - Preliminary Sizing of Airplanes) Tabella G alori utilizzati per la figura 7 e la figura 8 ala bassa ala alta ala media C lβ [1/rad] 0-0,1-0,15-0,1-0,1 C Lcr Г [gradi] Г [gradi] Г [gradi] Г [gradi] Г [gradi] 0 1,91 7,18 9,8 3,37 5,7 0,1 1,64 6,9 9,55 3,10 5,01 0, 1,38 6,65 9,9,84 4,75 0,3 1,1 6,39 9,0,58 4,48 0,4 0,85 6,1 8,76,31 4, 0,5 0,59 5,86 8,50,05 3,95 0,6 0,3 5,60 8,3 1,78 3,69 0,7 0,06 5,33 7,97 1,5 3,43 0,8-0,0 5,07 7,71 1,6 3,16 0,9-0,47 4,81 7,44 0,99,90 1-0,73 4,54 7,18 0,73,64 1,1-0,99 4,8 6,9 0,47,37 1, -1,6 4,0 6,65 0,0,11 Clβ = 0,0 [1/rad] Clβ = -0,1 [1/rad] Clβ = -0,15 [1/rad]

References 1. Calcara Elementi di Dinamica del olo. John D. Anderson, Jr. Aircraft Performance and Design 3. Lausetti, Filippi Elementi di Meccanica del olo 4. Perkins Airplane Performance, Stability and Control 5. Roskam Airplane Flight Dynamics and Automatic Flight Controls (I) 6. Roskam (Part I) - Preliminary Sizing of Airplanes 7. Roskam (Part II) - Preliminary Configuration Design and Integration of the Propulsion System 8. Roskam (Part I) - Preliminary Calculation of Aerodynamic, Thrust and Power Characteristics 9. Raymer Aircraft Design - A Conceptual Approach 10. Torenbeek Egbert Synthesis of Subsonic Airplane Design

Piano erticale di coda 011 Uniersità degli studi di Napoli FEDERICO II Esercizio: Dimensionamento del piano erticale di coda Dimensionare il piano erticale di coda di un eliolo di assegnate 1 caratteristiche geometriche affinché il eliolo completo abbia C 0.1 rad alla elocità di 150 m/s al liello del mare. nβ = Manore e Stabilità 1

Piano erticale di coda 011 ( ) w,, h, f cma, c b l f d x ac f, max l l ( ) H Legenda dei simboli pedici indicanti rispettiamente: ala, piano erticale ed orizzontale di coda, fusoliera corda media aerodinamica apertura alare lunghezza della fusoliera diametro massimo della fusoliera posizione del centro aerodinamico distanza del fuoco del piano di coda erticale (orizzontale) dal baricentro del eliolo AR Λ λ r c, c S f s w f Re ν L ref t L ref = ν ref allungamento angolo di freccia rapporto di rastremazione corda di radice e di estremità body side area profondità massima della fusoliera numero di Reynolds riferito alla lunghezza L ref iscosità cinematica Dati del eliolo Figura 1 Dati della fusoliera Figura Dati dell ala Manore e Stabilità

Piano erticale di coda 011 Solgimento Nell ipotesi di assetti non troppo cabrati stimo il coefficiente Fusoliera ( WBH ) n = n + n C C C β β β Cn β del eliolo totale come: Ossia si trascura l effetto douto all ala, che dienta inece significatio per alti angoli d attacco. ( 1) Contributo della fusoliera S l = Fusoliera s 1 Utilizzo la formula: C 57.3 K K rad ( ) In cui: f f n N Re β l f Sw bw K N è un fattore empirico che modella l interferenza ala-fusoliera, ottenuto dal diagramma in figura 3. [ m] [ ] x l 13.7 m h h Nel caso in analisi: l m S h w 3 quindi: = 1.53 10. K N Figura 3 Fattore empirico 8 m f 1 1.6 = = 0.584, = = 1., = = 1., = 1 f 13.7 f 15.4 m 1.07 s f e Manore e Stabilità 3

0F Piano erticale di coda 011 K Re è un fattore di correzione funzione del numero di Reynolds della fusoliera, ricaato l f dalla tabella in figura 4. Figura 4 Fattore di correzione del Nel caso in analisi: Re = 1.41 10 l f 8 i da cui: K Re l =. f In definitia alutando la (): C Fusoliera nβ 0.1 rad 1 =. = 150 m/ s, ν liello del mare = 0.00001460 m / s i [ ] Manore e Stabilità 4

Piano erticale di coda 011 aluto il contributo al Dimensionamento del piano di coda erticale Cn β del piano erticale mediante la relazione: C Sl dσ 1 3 ( WBH ) ( WBH ) = η n C L Sb β α w w dβ Con: dσ 3.06 S zw η 1 0.74 0.4 w dβ = + + 1+ cosλc /4 Sw dmax + 0.009 ARw 4 f ( ) ( ) in cui z w è la distanza dall asse della fusoliera del punto ad un quarto della corda di radice come illustrato nella figura seguente: Figura 5 Parametro per ala bassa ed ala alta C Assumo: z 0.5[ m] ( WBH ) L α w = (ala bassa). π AR, eff =, β = 1-M ( 5). π tan Λ c / + 4+ β AR, eff 1+ C l β α A ( ) A F ( HF) AR, eff = AR 1+ KH 1 ( 6) è l allungamento effettio che caratterizza il A A ( F) piano erticale di coda in presenza del piano orizzontale di coda e della fusoliera. I fattori che caratterizzano l interferenza sono: A ( HF ) fattore d interferenza funzione della posizione del piano orizzontale di coda A( F) rispetto al piano erticale, dedotto dal grafico in figura 6. Nel caso in analisi assumo: x H ca = 0.5 r c A H ( HF ) = h A H ( F) = 0 piano basso b ( ) 1.03. Manore e Stabilità 5

Piano erticale di coda 011 Figura 6 Fattore d interferenza piano orizzontale-erticale-fusoliera K H fattore d interferenza douto al piano orizzontale ( end plate effect ), funzione del rapporto tra le superfici di piano orizzontale e erticale come illustrato in figura 7; assumo come superficie del piano orizzontale: SH = 3.5 m 1Fi. Figura 7 Fattore d interferenza douto all end plate effect A( F) fattore d interferenza douto alla fusoliera, funzione delle dimensioni relatie di A piano erticale e fusoliera e rapporto di rastremazione del piano erticale come illustrato in figura 8. R i H H Assumendo 0.7 H S l = dal confronto con elioli simili S cw w Manore e Stabilità 6

F Piano erticale di coda 011 Figura 8 Fattore d interferenza douto alla fusoliera Parametri geometrici: incognite del dimensionamento I parametri geometrici che definiscono compiutamente il piano erticale, e che quindi sono oggetto del dimensionamento sono:,, r S b c, l, λ, AR, Λ c/. Tali parametri non sono tutti indipendenti tra loro, le semplici relazioni geometriche intercorrenti tra di essi sono: b ( I ) AR = S r b ( II ) S = c( 1+ λ) b i ( III ) tan ( 90 Λ c /) = cr ( 1 λ) r 3 3 ( I ) l 5.7 c ii = ( 1 λ) 4 8 Una quinta relazione si ottiene quindi imponendo il requisito di dimensionamento: ( ) ( WBH ) WBH 1 C = 0.1 C = 0.331 rad n n β In definitia è possibile fissare due dei sette parametri geometrici introdotti per definire il dimensionamento del piano entro i requisiti imposti. β 3F Le altre relazioni utilizzate sono le seguenti: 1 3 Λ = 90 tan tan ( 90 Λ /4) le c 4 3 Λ = 90 tan tan ( 90 Λ c /4) 1 c / ( 7). i assumendo il bordo d uscita erticale ii assumendo che il centro aerodinamico del piano erticale sia collocato al 50% dell apertura del piano ed al 5% della corda (la bontà di tale assunzione sarà alutata in seguito) e che il piano finisca doe finisce la fusoliera Manore e Stabilità 7

Piano erticale di coda 011 Tecnica di risoluzione Riesco ad esprimere il problema in termini di ricerca degli zeri di una funzione di una ariabile agendo come segue: fisso la freccia del piano ad un quarto della corda Λ c /4 (parametro della soluzione) e per ogni l (fatto ariare da 0[ m] alla grandezza definita dalla distanza del baricentro del eliolo dalla fine della fusoliera, ossia 5.7[ m ]) risolo l equazione trascendente costituita dalla relazione (): Fissando la coppia ( c /4, l ) ( ) ( WBH ) ( ) WBH f λ = C + C 0.1 = 0 8 nβ nβ Λ è possibile infatti esplicitare la () in funzione dell unica incognita λ utilizzando le relazioni già introdotte e qui di seguito opportunamente manipolate: r 5.7 l c = 3 3 ( 1 λ ) 4 8 1 3 Λ = 90 tan tan / ( 90 c /4 c Λ ) r c Λc, b = tan ( 90 Λ ) ( 1 λ ) 9 c / r b S = c( 1+ λ) b AR = S ( /4 l ) Risolo infine la (8) col metodo di bisezione (la funzione presenta due zeri di cui uno non ha significato fisico in quanto è associato ad un estensione del piano erticale fin oltre il baricentro del eliolo). ( ) elioli simili (monopropulsi ad elica tratti da: Roskam, Airplane Design) eliolo S w m [ ] w m AR w S m l [ ] m R H m R H Cessna Skywagon 07 16. 10.9 7.33 1.49 5.45 0.046 4.17 0.9 Lance 16.3 10 6.13 1.8 4.71 0.037 3.1 0.61 Manore e Stabilità 8

Piano erticale di coda 011 Risultati ottenuti Rappresento la superficie in funzione degli altri parametri geometrici per le soluzioni che si ottengono al ariare di l e per tre angoli di freccia. Figura 9 Figura 10 Manore e Stabilità 9

Piano erticale di coda 011 Gli altri parametri geometrici in funzione di l : Figura 11 Allungamento effettio e parametri da cui esso dipende: Figura 1 Manore e Stabilità 10

Piano erticale di coda 011 Gradiente della retta di portanza del piano erticale ed altre grandezze coinolte: Figura 13 Figura 14 Manore e Stabilità 11

Piano erticale di coda 011 Configurazioni analizzate nel dettaglio Ho ottenuto una doppia infinità (al ariare di freccia ed l oppure freccia ed uno qualsiasi degli altri parametri) di configurazioni del piano erticale tutte teoricamente soddisfacenti il requisito di dimensionamento. Analizzo nel dettaglio tra queste infinite configurazioni quelle ottenute fissando tre alori di allungamento nell interallo suggerito dal Roskam per i elioli monopropulsi ad elica qui di seguito riportata. Noto esplicitamente che la scelta dell allungamento del piano, e del suo rapporto olumetrico è subordinata a problemi di molteplice natura, quali ad esempio quelli di tipo aeroelastico, per adempiere agli obiettii dell esercitazione scelgo tre alori di tentatio per l allungamento: AR = 1.1, 1.7,.. Figura 15 Rappresento quindi l andamento dei parametri già disegnati in precedenza ma ora in funzione del parametro Λ c /4. Manore e Stabilità 1

Piano erticale di coda 011 Soluzioni ottenute fissando l allungamento Figura 16 Figura 17 Manore e Stabilità 13

Piano erticale di coda 011 Figura 18 Figura 19 Manore e Stabilità 14

Piano erticale di coda 011 Per ciascuno dei tre allungamenti considerati scelgo la freccia ottimale massimizzando il rapporto AR, eff e confronto la freccia così ottenuta con altre due frecce, una maggiore ed una minore. AR [ gradi] b [ ] m l [ m ] R AR, eff / AR 5.46 5.35 4.10 0.13 1.19 19.4 4.94.33 4.11 0.11 1.3 35 5.07.36 4.09 0.14 1. Λ c /4 S m Figura 0 [ gradi] b [ ] m l [ m ] R AR, eff / AR 5.46 3.58.47 4.61 0.0985 1.17 1.8 3.57.46 4.60 0.0984 1.0 35 3.76.53 4.58 0.103 1.18 Λ c /4 S m Figura 1 Manore e Stabilità 15

Piano erticale di coda 011 [ gradi] b [ ] m l [ m ] R AR, eff / AR 5.46 3.05.59 4.8 0.0877 1.15 10.38 3.06.60 4.81 0.0880 1.16 31.7 3.4.67 4.79 0.098 1.15 Λ c /4 S m Figura Confronto le soluzioni considerate ottimali per ciascuno dei tre allungamenti Figura 3 AR Λ c /4[ gradi] S m b [ ] m l [ m ] R AR, eff / AR 1.1 19.4 4.94.33 4.11 0.11 1.3 1.7 1.8 3.57.46 4.60 0.0984 1.0. 31.7 3.4.67 4.79 0.098 1.15 Manore e Stabilità 16

Piano erticale di coda 011 In definitia la soluzione scelta come ottimale è la seguente Figura 4 Parametri d'interferenza: A (f) =1.16 Determino infine: ( ) dσ A ; η(1- )=1.7 dβ K h =1.0033 cma =1.48[m] 96% cma w e sua posizione Y =1.13[m] (45.7% b ). cma Posso ora alutare l entità dell approssimazione introdotta nell impostazione del dimensionamento (edi pag.74fi ) calcolando la distanza del centro aerodinamico considerandolo collocato al 5% della corretto della cma : l = 4.58[m] =0.58% AR Λ c /4[ gradi] S m b [ ] m l [ m ] R AR, eff / AR 1.7 1.8 3.57.46 4.60 0.0984 1.0 r Λ le gradi C [1/rad] c [ m ] λ L AR, eff α 8.64 16.9.57 1.85 0.589.04 Λ c/ [ gradi ] [ ] ε r % i Ipotesi di centro aerodinamico del piano erticale collocato al 50% dell apertura del piano ed al 5% della corda per la la alutazione di l Manore e Stabilità 17

Efficacia degli alettoni ed effetto diedro alare 011 Uniersità degli studi di Napoli FEDERICO II D.P.A. Dipartimento di Progettazione Aeronautica Esercizio: Calcolo dell efficacia degli alettoni ed dell effetto diedro alare Assegnata la geometria dell ala di un eliolo di classe Business Jet, determinare: la deriata aerodinamica di controllo degli alettoni Cl δ a e l angolo diedro sufficiente per aere un effetto diedro alare C = l 0.1/ rad, si β assuma una configurazione ad ala bassa. Manore e Stabilità 1

Efficacia degli alettoni ed effetto diedro alare 011 C W Lα Cl βγ Cl βλ Cl δ a (...) exp W C L gradiente retta di portanza dell ala; effetto diedro douto all angolo diedro; effetto diedro douto all angolo di freccia; coefficiente aerodinamico degli alettoni; grandezza relatia alla parte di ala esposta; coefficiente di portanza alare; Legenda dei simboli AR Λ Γ β dα τ = dδ ^ (...) K W( B) a allungamento; angolo di freccia; angolo diedro; angolo di derapata; fattore di efficienza degli alettoni; grandezza adimensionalizzata con b /; fattore d interferenza ala-fusoliera. Dati dell ala b / = 5.35 m cr = 1.3 m ct = 0.6 m η 1 = 0.65 η = 0.9 Figura 1 Figura Fattore di efficienza degli alettoni Altri dati: diametro massimo della fusoliera dmax 1.6 [ m] corrispondenza dell ala 1.4 [ m] C α di sezione [ ] d fus wing =, L =, diametro medio della fusoliera in 0.1 1/ deg. Manore e Stabilità

Efficacia degli alettoni ed effetto diedro alare 011 Espressioni utilizzate Nell assunzione di piccoli angoli di derapata ed assetto dell ala in regime di fenomenologia aerodinamica lineare: η AR ^ ^ ^ W Cl = C τ cyd y ( 1 ) negatio per definizione δa Lα 4 η1 1 AR ^ ^ ^ W Cl = Γ C cyd y ( ) stabilizzante per > 0 βγ Lα 4 Γ 0 1 AR ^ ^ ^ W Cl = sin ( Λ) CL cyd y ( 3) βλ 4 0 Gradiente della retta di portanza dell ala Utilizzo la stessa procedura già illustrata nelle precedenti esercitazioni: C S W W, exp exp C C K L L W B α α = = S ( ) ( 4) π AR Lα π tan Λ β c / AR + 1+ + 4 C β l α In questo caso: dmax / b = 0.150 K ( ) = 1.11, Sexp / S = 0.87, ARexp = 6.68, da cui: W B C W Lα = 0Fi 0.0755 1/ [ deg]. Angolo diedro Entrambi i contributi all effetto diedro alare modellati dalle relazioni () e (3) sono di tipo stabilizzante (per angolo diedro e freccia positii). Un contributo di tipo instabilizzante è connesso all interferenza ala-fusoliera in caso di architettura ad ala bassa (l effetto è stabilizzante se l ala è alta), trascuriamo infine l interferenza con la fusoliera in termini di riduzione del sideslip in corrispondenza dell ala. Nel caso in analisi l ala presenta un angolo di freccia Λ c /4 = 8.6, l effetto diedro douto alla freccia dipende dal coefficiente di portanza alare pertanto dipende dall assetto a cui essa si troa. W Assumendo C L = 0.3 ed imponendo che l effetto diedro sia quello richiesto ricao, mediante le () e (3): C + C = Λ 0.949-0.0194 = 0.1/ rad Γ = 0.085 rad = 4.87 6 lβ l W rad rad Λ βγ C L = 0.3 ( 5) Figura 3 Definizione di angolo diedro [ ] [ 1/ ] ( ) Se trascuro l effetto douto alla freccia ottengo: Λ= 0 Γ= 6.04 ( 7) Siccome in entrambe le relazioni precedenti ho trascurato l effetto instabilizzante della configurazione ad ala bassa, ed essendo l effetto legato alla freccia di tipo stabilizzante è plausibile assumere che un angolo diedro di 6-7 sia sufficiente per ottenere la stabilità richiesta. i Assumo come numero di Mach : M = 0.44 Manore e Stabilità 3

Efficacia degli alettoni ed effetto diedro alare 011 Deriata aerodinamica di controllo degli alettoni Applicando la relazione (1), assumendo M = 0.44 ed essendo per S / S = 0.5 l indice di dα efficacia degli alettoni τ = = 0.48, ottengo: dδ a lδa = -0.159 1/ Effettuo anche il calcolo per diersi numeri di Mach C [ rad ] a wa Figura 4 Manore e Stabilità 4