AFFIDABILITA DEI SISTEMI STOCASTICI (complessi)
Esercizio: Si assuma che i collegamenti tra una centrale elettrica e una città siano costituite da tre linee collegate in serie i cui tempi di funzionamento sono descritti da variabili aleatorie esponenziali identicamente distribuite. Quanto è affidabile la centrale elettrica? Quindi, se i componenti hanno tasso di guasto costante n n n R( t) = exp λ t λ = λ MTTF = 1/ λ i i i i= 1 i= 1 i= 1 Nel caso generale n MTTF = R ( t)dt integrazione numerica R i= 1 i
La affidabilità di un sistema in serie è sempre minore o uguale al minimo delle affidabilità dei componenti. ( ) min ( ) ( ) ( ) Rs t R1 t R2 t Rn t Spesso il problema viene posto al seguente modo: si fissa un funzionamento target (100 ore ad esempio) in corrispondenza del quale si desidera che il sistema in serie abbia una certa affidabilità, e si cerca di studiare come progettare i componenti (e quindi le loro affidabilità) affinché venga raggiunto quel target. Esempio: si consideri un computer dotato di CPU, video e stampante posti in serie. Le affidabilità ad un prefissato tempo t (=1 anno) sono rispettivamente 0.7, 0.9, 0.8. La affidabilità del computer al tempo t risulta Supponiamo di voler raggiungere una affidabilità pari a 0.85. Come possiamo raggiungere questo obbiettivo? Una prima risposta banale è ( ) 0.7 0.9 0.8 0.504 R t = = s 3 0.85 = 0.948 Possiamo provare a variare la affidabilità di un componente, lasciando inalterate le altre
0.75 0.7 Affidabilità di sistema vs affidabilità di componente CPU video stampante Affidabilità di sistema 0.65 0.6 0.55 0.5 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1 Affidabilità di componente Variare la affidabilità di un componente alla volta non basta.
Esempio: Un circuito elettronico consiste di 4 resistori, 2 diodi e 4 transistors. Calcolare il tasso di guasto, la affidabilità a 100 ore e il tempo medio di guasto. Componente Tasso di guasto(/10^6 ore) Quantità Tasso di guasto totale Resistori 0.04 4 0.16 39% Diodi 0.01 2 0.02 5% % contributo Transistor 0.05 4 0.20 48.7% Interconnessioni 0.03 1 0.03 7.3 Totale 0.41
Altra interpretazione: nei sistemi di servizio formati da una sola fila di attesa ed n addetti al servizio, come illustrato in figura: T i tempo di espletamento del servizio dello sportello i-esimo T i min tempo di permanenza in fila di un utente che al suo arrivo trova la fila vuota e tutti gli adetti occupati
Qual è la probabilità che P T > T? ( ) 1 2 ( ) ( ) { } P T, T D = ft (, )d d dove, : 1 T t t t t D = t t t < t 2 1 2, 1 2 1 2 1 2 2 1 D 1 ( ) ( ) = f ( t, t )dt dt = λ λ exp λ t + λ t dt dt = D T1, T2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 0 0 λ2 λ + λ 1 2 t
Affidabilità condizionata Esempio: Supponiamo che un sistema sia formato da 3 blocchi A,B,C connessi in serie. Il tempo di vita del blocco A è descritto da una legge di Weibull con parametro scala 100 ore e parametro forma 3.2. Il tempo di vita del blocco B è descritto da una legge gaussiana di parametri 400 e deviazione 32. Il tempo di vita del blocco C è descritto da una legge esponenziale di parametro 0.00015 per ora. Supponiamo che il sistema sia sopravvissuto per un tempo pari a 50 ore. Qual è la probabilità che sopravviva per altre 50 ore? ( ) P T > s + t T > s = R( s + t s) = R( s + t) R( s) ( > + > ) = P ( TA > s + t TA > s) P ( TB > s + t TB > s) ( > + > ) P T s t T s P T s t T s C C Scrivere la funzione affidabilità condizionata ed effettuarne un grafico
Life Exchange Rate Matrix Non tutte le componenti di un sistema hanno la medesima utilizzazione in termini di tempo di vita unitario. Ad esempio se una macchina procede per tore, frizione e freno operano su diverse unità di misura e dipendono dalle condizioni della strada. La vita di una ruota dipende dai chilometri percorsi. La vita di una frizione dal numero di cambi di marcia. La vita di un freno dal numero di volte che vengono usati. La vita di uno starter dal numero di accensioni. Per trovare la affidabilità di un sistema che ha componenti con diverse unità di misura, è necessario normalizzarle. n numero di componenti r ii = 1 LERM r r r r r r r r r 11 12 1n 21 22 2n = n1 n2 nn
1 unità di misura del componente i = r 1 unità di misura del componente j ij Ore Chilom etri Giri 1 ora = 10 chilometri 1 ora = 5 giri 1 2 3 1 10 5 LERM = 1 1 r ji 1 10 5 1 = LERM = 1/10 1 r ij 1/ 5 1 1 1 unità di misura del componente i 1 unità di misura del componente r = ij j 1 unità di misura del componente j = r 1 unità di misura del componente i ji
1 unità di misura del componente 2 = r 1 unità di misura del componente 3 23 = r r 1 unità di misura del componente 1 23 31 LERM 1 10 5 = 1/10 1 1/ 2 1/ 5 2 1 r 21 = r 21 r23 = r31 r = r r ij ik kj Usi della matrice LERM
Esempio: Supponiamo che un sistema sia formato da 3 blocchi A,B,C connessi in serie. Il tempo di vita del blocco A è descritto da una legge di Weibull con parametro scala 100 ore e parametro forma 3.2. Il tempo di vita del blocco B è descritto da una legge gaussiana di parametri 400 cicli e deviazione 32 cicli. Il tempo di vita del blocco C è descritto da una legge esponenziale di parametro 0.00015 per chilometro Si sa che per un ora di funzionamento, il modulo B effettua 12 cicli e il modulo C effettua 72 chilometri. Costruire la matrice LERM. Trovare la affidabilità del sistema dopo 240 cicli del modulo B. 3.2 RA ( t) = exp( ( t /100) ) 1 12 72 t 400 LERM = 1/12 1 6 RB ( t) = 1 Φ 32 1/ 72 1/ 6 1 R ( t) = exp 0.00015t c ( ) R(240) = R (240 r ) R (240 r ) R (240 r ) A 21 B 22 C 23
Esempio: Supponiamo che il sistema di cui al lucido precedente abbia già operato per complessive 25 ore. Qual è la probabilità che operi per altri 240 cicli? R( s + t s) = R( s + t) R( s) R (20 + 25 25) perchè abbiamo già visto che 20 ore corrispondono A a 240 cicli 25 ore corrispondono a 25 r cicli =25 12 cicli = 300 cicli R B 12 (240 + 300 300) perchè devono passare altri 240 cicli 25 ore corrispondono a 25 r chilometri =25 72 km = 1800 km R C 13 (1440 + 1800 1800) perchè 1440 km corrispondono a 240 cicli
La affidabilità di un sistema in parallelo è sempre maggiore o uguale al massimo delle affidabilità dei componenti. ( ) max ( ) ( ) ( ) Rs t R1 t R2 t Rn t
NB: Cosa accade nel caso di sottosistemi con vita esponenziale? Esercizio: il componente di un sistema ha una affidabilità pari al 70% per un prefissato periodo di tempo t. Trovare quante componenti andrebbero connesse in parallelo per raggiungere una affidabilità del 95%. Esercizio: determinare il tasso di guasto di un sistema complesso for- mato da n sottosistemi in parallelo, ciascuno dei quali ha un tempo di vita esponenziale, non necessariamente con lo stesso parametro. Aggiungere componenti in serie diminuisce la affidabilità, aggiungere componenti in parallelo aumenta la affidabilità.
Aff. Comp. n Aff. totale Prob. Guasto Fattore riduzione prob di guasto 0.7 1 0.7 0.3 2 0.91 0.09 3.33 3 0.973 0.027 3.33 4 0.9919 0.0081 3.33 5 0.99757 0.00243 3.33 6 0.99927 0.000729 3.33 0.8 1 0.8 0.2 2 0.96 0.04 5 3 0.992 0.008 5 4 0.9984 0.0016 5 5 0.99968 0.00032 5 6 0.999936 6.4E-05 5 0.9 1 0.9 0.1 2 0.99 0.01 10 3 0.999 0.001 10 4 0.9999 1E-04 10 5 0.99999 1E-05 10
NB: Cosa accade nel caso di sottosistemi con vita esponenziale? Esercizio: il componente di un sistema ha una affidabilità pari al 70% per un prefissato periodo di tempo t. Trovare quante componenti andrebbero connesse in parallelo per raggiungere una affidabilità del 95%. Esercizio: determinare il tasso di guasto di un sistema complesso formato da n sottosistemi in parallelo, ciascuno dei quali ha un tempo di vita esponenziale, non necessariamente con lo stesso parametro. Aggiungere componenti in serie diminuisce la affidabilità, aggiungere componenti in parallelo aumenta la affidabilità. Teorema : Nel caso di un sistema complesso formato da n sottosistemi in parallelo, ciascuno con tasso di guasto costante pari a λ, si ha n 1 1 MTTF= λ = k k 1 Confronto caso in serie
In molte situazioni pratiche non basta che ci sia almeno un componente, degli nmessi in parallelo, che lavori correttamente, ma si chiede che almeno k componenti lavorino correttamente perché non si verifichi lo shutdown del sistema complesso. k-out-of-n system Esponenziale n n r La affidabilità di un k - out - of - n system è R( t, k, n) = p 1 p r= k r dove p rappresenta la affidabilità di un componente fino all'istante t ( ) n r Esercizio: Un generatore di potenza in una azienda ha 6 generatori identici, ogni generatore ha un tasso di guasto costante pari a 1.5 su 1000 ore di funzionamento. Perché il generatore funzioni alla potenza richiesta devono essere in funzione almeno 4 generatori. Trovare la affidabilità del generatore a 100 ore e la MTTF.
MIX di sottosistemi in serie e in parallelo Teorema di Drenick(1960) Dato un numero di componenti aventi qualsiasi distribuzione della densità di guasto, al crescere del tempo di funzionamento, la densità di guasto del sistema tende ad assumere un andamento esponenziale (serie).
SISTEMI IN STAND BY Sistemi in parallelo Ridondanza attiva Sistemi in stand-by Ridondanza passiva (o ridondanza stand by) Si parla di sistemi in stand byquando si hanno dei dispositivi ausiliari capaci di riconoscere il guasto di uno o più componenti del sistema ed entrare automaticamente in funzione in modo da mantenere inalterate le prestazioni globali del sistema. 1 SWITCH Ex: Due trasformatori in parallelo, di cui solo uno sempre attivo. In caso di rottura di uno, il secondo viene collegato con uno switch che commuta il passaggio dell energia elettrica. 2 3
SISTEMA IN STAND BY CON SWITCHING PERFETTO C1 C2 Il componente C2 si attiva solo quando il componente C1 cessa di funzionare, con uno switching affidabile al 100% S ( ) ( "C1 sopravvive fino al tempo " ) τ ( t) R t = P t + "C1 muoia in un tempo 0, e C2 sopravvive nel successivo intervallo temporale t τ P " Se il tasso di guasto è costante ( ) = (1 + λ )exp( λ ) R t t t S ( ) t RS t = R( t) + f ( τ ) R( t τ )dτ Paragonare la situazione con un sistema parallelo. 0
Calcolare MTTF. ( ) 1 1 2 Per sottocomponenti diversi si ha RS t = R ( t) + f ( τ ) R ( t τ )dτ che nel caso esponenziale diventa... Calcolare MTTF. t 0 Generalizzeremo queste osservazioni al caso n>2, quando avremo introdotto i processi di Poisson. SISTEMA IN STAND BY CON SWITCHING IMPERFETTO ( ) ( ) τ ( t) R t = P "C1 sopravviva fino al tempo t " + P("C1 muoia in S un tempo 0,, C2 sopravviva nel successivo intervallo temporale t τ e lo switch funziona")
( ) t RS t = R( t) + f ( τ ) R( t τ ) psdτ 0 dove p rappresenta la probabilità che lo switching funzioni ( T t) s un modello più preciso > = "componente principale 1 funziona"e"switch funziona" ( t) "componente principale non funziona ad un istante τ 0, " "switch funziona" e "unità secondaria funzioni fino per un tempo t τ avendo cominciato a funzionare al tempo di rottura ( ) τ del componente principale 1 per τ 0,t t R( t) R ( t) R ( t) f τ R ( τ )? dτ = + 1 SW 1 0 ( ) SW ( t) affibadilità dell'unità secondaria in quiescienza fino τ 0, e affidabilità dell'unità secondaria in attivo per un tempo t τ
Cosa si può dire se tutti i componenti hanno tasso di guasto costante? Cosa si può dire se lo switchha affidabilità 1, il II componente in quiescenza ha affidabilità 1 e tutti gli altri componenti hanno tasso di guasto costante e uguale? Applicazioni del Teorema di bayes Il teorema di Bayespostula che l affidabilità di un sistema complesso può essere ricavata da una somma di affidabilità condizionale. P( T > t) = P T > t A P( T > t) + P T > t A P( T < t) ( ) ( ) F A R A Affidabilità del sistema Il componente A funziona sempre Il componente A è sempre rotto
A C D D B E B E P( T > t) = P T > t C P( T > t) + P T > t C P( T < t) ( ) ( ) F C R C = 1 0.3*0.3? 0,7*(1-0,4*0,4) 0.60 0.40