Appunti di Geometria e Algebra L-A Seconda Facoltà di Ingegneria - Cesena. Marco Alessandrini

Appunti di Geometria e Algebra L-A Seconda Facoltà di Ingegneria - Cesena Marco Alessandrini Ottobre 2006

Indice 1 Informazioni del corso 3 1.1 Programma............................ 3 1.2 Docenti.............................. 3 1.2.1 Prof. Michele Mulazzani................. 3 1.2.2 Dott.ssa Alessia Cattabriga............... 4 1.3 Testo................................ 4 1.4 Prerequisiti............................ 4 2 Relazioni su un insieme 6 2.1 Relazioni di equivalenza..................... 6 2.2 Classi di equivalenza....................... 6 2.3 Insieme quoziente......................... 6 2.4 Classe dei resti.......................... 7 3 Strutture algebriche 8 3.1 Strutture algebriche con una operazione definita....... 8 3.1.1 Gruppi.......................... 9 3.1.2 Esempi di gruppi..................... 9 3.2 Strutture algebriche con due operazioni definite........ 9 3.2.1 Anelli........................... 9 3.2.2 Campi........................... 10 3.2.3 Esempi di campi..................... 10 3.2.4 Zero divisore....................... 11 3.2.5 Caratteristica....................... 11 3.2.6 N-uple........................... 12 4 Combinazioni lineari 13 5 Polinomi 14 5.1 Coefficienti............................ 14 5.1.1 Esempi di polinomi con K Z n............. 14 5.2 Proprietà dei polinomi...................... 14 5.3 Grado di un polinomio...................... 15 5.3.1 Classificazione dei polinomi per grado......... 15 1

6 Matrici 16 6.1 Introduzione............................ 16 6.2 Matrice trasposta......................... 16 6.3 Matrice simmetrica........................ 17 6.4 Operazioni tra matrici...................... 17 6.4.1 Somma tra matrici.................... 17 6.4.2 Prodotto per scalare................... 18 6.4.3 Prodotto tra matrici................... 18 6.4.4 Proprietà delle operazioni................ 19 6.5 Matrici quadrate......................... 19 6.5.1 Diagonale principale................... 19 6.5.2 Prodotto tra matrici quadrate.............. 19 6.5.3 Matrici diagonali..................... 20 6.5.4 Matrici identità...................... 20 6.5.5 Matrici triangolari.................... 20 6.6 Matrici ridotte (per righe).................... 20 6.6.1 Trasformazioni per ottenere la riduzione........ 21 6.6.2 Metodo generale di riduzione.............. 21 6.7 Determinante........................... 21 6.7.1 Calcolo del determinante in matrici con n piccolo... 21 6.7.2 Proprietà del determinante............... 22 6.7.3 Sottomatrici....................... 22 6.7.4 Minore complementare.................. 22 6.7.5 Complemento algebrico................. 23 6.7.6 Teorema di Laplace................... 23 6.8 Matrice inversa di una matrice quadrata............ 23 6.8.1 Terminologia....................... 24 6.8.2 Proprietà delle matrici inverse............. 24 6.8.3 Calcolo della matrice inversa.............. 24 6.8.4 Caso particolare: inversa della matrice 2 2...... 24 2

Capitolo 1 Informazioni del corso 1.1 Programma matrici; sistemi lineari; spazi vettoriali; trasformazioni lineari; autovalori; forme quadratiche. 1.2 Docenti 1.2.1 Prof. Michele Mulazzani Professore straordinario. Orario di ricevimento Su appuntamento, via e-mail. Sito web www.dm.unibo\ mulazza E-mail mulazza@dm.unibo.it 3

1.2.2 Dott.ssa Alessia Cattabriga Assegnista. Orario di ricevimento (da definire) Sito web www.dm.unibo\ cattabri E-mail cattabri@dm.unibo.it 1.3 Testo Geometria Casali-Gagliardi-Grasselli Progetti Leonardo Bologna, Ed. Esculapio 1.4 Prerequisiti 1. logica elementare! : esiste unico 2. teoria elementare degli insiemi : sottoinsieme (generico) : sottoinsieme proprio P (X) : insieme potenza o insieme delle parti di un insieme es. X = {a, b, c} P (X) = {, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, X} #X = card(x) : cardinalità (numero di elementi) di X card (P (X)) = 2 card(x) A B : prodotto cartesiano ( A cartesiano B ) A B = {(a, b) a A, b B} card(a B) = card(a) card(b) A B B A A A = A 2 4

3. insiemi numerici N Z Q R C Numeri naturali Permettono di dare una cardinalità a qualunque insieme finito. N = {0, 1, 2,..., n,...} Numeri interi Numeri razionali Z = {0, ±1, ±2,..., ±n,...} Q = { } b a, b Z, a 0 a Numeri reali R Proprietà 1 Ogni numero reale è il quadrato di un altro numero reale. Numeri complessi C = { a + ib a, b R, i 2 = 1 } 4. Teorema fondamentale dell algebra Qualunque polinomio a coefficienti complessi (e, a maggior ragione, reali) ammette radici (soluzioni) in C. 5

Capitolo 2 Relazioni su un insieme Sia A un insieme, non vuoto. Una coppia (a, b) A, la quale soddisfa una certa relazione (R) in A, si esprime come arb. In caso non soddisfi tale relazione, si indica allo stesso modo, ma con R barrata. Nell insieme A 2 = A A = {(a, b) a, b A} si selezionano le coppie che soddisfano R. R A 2. Una coppia (a, b) appartiene a R se arb. 2.1 Relazioni di equivalenza Una relazione R su A si dice di equivalenza se gode delle seguenti proprietà: 1. proprietà riflessiva: a A, ara 2. proprietà simmetrica: a, b A, arb bra 3. proprietà transitiva: a, b, c A, arb, brc arc 2.2 Classi di equivalenza Consideriamo ora, all interno di un generico insieme A, un sottoinsieme [a] = {a, b, c} di elementi tutti in relazione con l elemento a. Si dice classe di equivalenza di a rispetto alla relazione di equivalenza R l insieme [a] R = {x a xra} ( classe di a rispetto a R ). Proposizione 1 Siano a, b A. Se arb, allora [a] R = [b] R (classi congiunte), altrimenti [a] R [b] R = (classi disgiunte). 2.3 Insieme quoziente È l insieme di tutte le classi di equivalenza. A/R ( quoziente di A rispetto a R ) = {[a] R a A} P (A) [a] R = {x A xra} 6

[a] R è un sottoinsieme dell insieme, a è l elemento rappresentante. A/R è l insieme dei sottinsiemi. 2.4 Classe dei resti Definiamo la relazione R: Siano x e y tali che x y modn se y x = kn (k Z). È vero (e si può dimostrare) che la relazione modn (congruenza modulo n) è di equivalenza. y = x modn x e y danno lo stesso resto se divisi per n CASO: n = 2. Avviene una divisione tra i pari (P) e i dispari (D). La classe di 0 è: P = 0 = [0] 2 = {0, ±2, ±4,...} La classe di 1 è: D = 1 = [1] 2 = {±1, ±3, ±5...} Z 2 = {P, D} = Z 2 CASO: n = 3. Z 3 = {[0] 3, [1] 3, [2] 3 } = {0, 1, 2} La classe dei numeri che, divisi per 3, danno come resto 0, è: [0] 3 = {0, ±3, ±6, ±9...} Seguono: [1] 3 = {1, 4, 7, 10...} { 2, 5, 8, 11...} [2] 3 = {2, 5, 8, 11...} { 1, 4, 7, 10...} I possibili resti sono compresi tra 0 e (n 1), quindi sono n. C è una classe per ogni possibile resto: Z n = Z = {[0] n, [1] n,..., [n 1] n } n }{{} n elementi Z n è l insieme delle classi resto modulo n: ogni classe contiene tutti e soli gli interi il cui resto della divisione per n è il valore della classe. card(z n ) = n [0] n = {kn k Z} [1] n = {1 + kn k Z} [2] n = {2 + kn k Z} [n 1] n = {n 1 + kn k Z} = {kn 1 k Z} 7

Capitolo 3 Strutture algebriche Note le varie operazioni elementari, esse si definiscono per le classi: x + y = x + y Es. n = 12 x y = xy [7] 12 + [8] 12 = [15] 12 = [3] 12 [7] 12 [8] 12 = [56] 12 = [8] 12 3.1 Strutture algebriche con una operazione definita Si definisce una generica operazione (binaria in X) : X X X. È associativa se (x y) z = x (y z). È commutativa se x y = y x. Possiede elemento neutro u se x u = u x = x. Esistendo u, x è invertibile se esiste un x tale che x x = x x = u. Proprietà 2 Se una struttura algebrica ammette elemento neutro, esso è unico. Proprietà 3 Se una struttura algebrica ammette elemento neutro ed è associativa, se il suo elemento x è invertibile x è nullo. Proprietà 4 Se x e y sono invertibili, allora (x y) è invertibile: (x y) = y x 8

3.1.1 Gruppi Un gruppo (G, + 1 ) gode delle tre proprietà: 1. l operazione + è associativa 2. esiste elemento neutro (indicato con 0) 3. esistono elementi opposti (o inversi) Qualora valesse anche (4.) commutativo o abeliano. la proprietà commutativa, il gruppo è detto 3.1.2 Esempi di gruppi (N, +) non è un gruppo, perché non è invertibile rispetto alla somma. (Z, +) è un gruppo commutativo. (Q, +) è un gruppo commutativo. (R, +) è un gruppo commutativo. (C, +) è un gruppo commutativo. Tutti i gruppi citati non sono mai gruppi rispetto al prodotto, perché 0 non è mai invertibile. (Z n, +) è un gruppo commutativo. Il suo elemento neutro è 0 (a + 0 = a + 0 = a). L inverso rispetto alla somma di [a] n sarà [n a] n, perché: [a] n + [n a] n = [a + n a] n = [n] n = [0] n 3.2 Strutture algebriche con due operazioni definite 3.2.1 Anelli Un anello (A, +, ) è un insieme A con due operazioni (+ e ) tale che: 1. (A, +) è un gruppo commutativo (cioè gode delle 4 proprietà); 2. (A, ) gode del minimo possibile di proprietà (cioè la sola associativa); 3. valgono le proprietà distributive del prodotto rispetto alla somma: a, b, c A, a (b + c) = ab + ac (b + c) a = ba + ca Ad esempio, (Z, +, ) è un anello. 1 Con + si intende una generica operazione, non necessariamente la somma. 9

Se (A, ) possiede elemento neutro (indicato con 1), allora (A, +, ) è detto anello unitario. Se (A, ) gode della proprietà commutativa, allora (A, +, ) è detto anello commutativo. 3.2.2 Campi (K, +, ) è un insieme K con 2 operazioni (+ e ) tali che: 1. (K,+) è un gruppo commutativo; 2. K = K {0 + } 2 (K, ) è un gruppo commutativo; 3. gode della proprietà distributiva; 4. l elemento neutro rispetto a è unico e l inverso di un elemento, se esiste, è unico. Un campo è un anello unitario commutativo in cui tutti gli elementi diversi da 0 (elemento neutro della prima operazione) sono invertibili: (cioè b = a 1 ). 3.2.3 Esempi di campi (Z, +, ) non è un campo. a K, a 0, b K, b 0 : a b = 1 (Q, +, ) è un campo (è il più piccolo campo che contiene Z). (R, +, ) è (C, +, ) sono campi. (Z n, +, ) Z n = {0, 1,...n 1} + : a + b = a + b : a b = a b (Z n, +, ) è un anello unitario (unità: 1) commutativo. Per verificare se è un campo, supponiamo il caso di Z 5. Abbiamo Z 5 = {1, 2, 3, 4}. 1 è invertibile: 1 1 = 1. 2 è invertibile: 2 3 3 = 6 1. 2 Elemento neutro rispetto alla somma 3 Da cui anche 3 è invertibile. 10

4 è invertibile: 4 4 = 16 1. (Z 5, +, ) è un campo, perché (Z 5, +, ) è un gruppo. Supponiamo ora Z 4. Abbiamo Z 4 = {1, 2, 3}. Si nota che 2 non è invertibile rispetto a : 2 1 = 2 2 2 = 4 0 2 3 = 6 2 (Z 4, +, ) non è un campo. (Z n, +, ) è un campo n è primo Più in generale, in (Z n, +, ) gli elementi invertibili rispetto a (e diversi da 0) sono a, con a primo rispetto a n. 3.2.4 Zero divisore Sia (A, +, ) un anello. a A, a 0 è detto zero divisore se esiste un b 0, b A tale che a b = 0 (talvolta a = b). Proposizione 2 Se a è zero divisore, allora a non è invertibile. (In un campo non ci sono MAI zero divisori, quindi vale la legge di annullamento del prodotto) Se a b = 0 e a 0 b = 0 Se a b = 0 almeno uno tra a e b è 0 3.2.5 Caratteristica Consideriamo l anello unitario (A, +, ). 1. Se, m N, 1 } + 1 + {{ 1 +... + 1 } m volte zero. Esempio: (Z, +, ) 0, allora (A, +, ) ha caratteristica 2. Se m N: 1 } + 1 + {{ 1 +... + 1 } = 0, allora (A, +, ) ha caratteristica M m volte dove M N ed è il più piccolo numero per cui vale questa proprietà. M = min m N 1 + 1 + 1 +... + 1 }{{} m volte 11 = 0

Esempi: (Z, +, ), (Q, +, ), (R, +, ), (C, +, ) hanno caratteristica zero; (Z n, +, ) ha caratteristica n (n N). 3.2.6 N-uple Sia K un anello commutativo unitario (campo). Si indica con K n l insieme delle n-uple di elementi di K K n = {(a 1, a 2,..., a n ) a i K, 1 i n, n N} K n = 1. + : K n K n K n K K K... K }{{} n volte il prodotto cartesiano (a 1, a 2,..., a n ) + (b 1, b 2,..., b n ) = (a 1 + b 1, a 2 + b 2,..., a n + b n ) (K n, +) è un gruppo commutativo. L elemento neutro è (0, 0,..., 0), mentre l elemento opposto di (a 1, a 2,..., a n ) è ( a 1, a 2,..., a n ). 2. prodotto per scalare α (operazione binaria non interna): K K n K n α (a 1, a 2,..., a n ) = (α a 1, α a 2,..., α a n ) 12

Capitolo 4 Combinazioni lineari Sia V uno dei seguenti insiemi: n-uple (K n ); polinomio (K[t]); matrice (M m n (K)). L operazione + è sempre interna a V, mentre : K V V. 0. (V, +) è un gruppo abeliano. 1. 1 v = v ( v V ) 2. α (β v) = (α β) v ( α, β K, v V ) 3. α (v 1 + v 2 ) = αv 1 + αv 2 ( α K, v 1, v 2 V ) 4. (α + β) v = αv + βv ( α, β K, v V ) v 1, v 2,..., v n V, mentre λ 1, λ 2,..., λ n K. La combinazione lineare degli elementi v 1,..., v s con (o tramite) gli scalari λ 1,..., λ s è: λ 1 v 1 + λ 2 v 2 +... + λ s v s 13

Capitolo 5 Polinomi L insieme dei polinomi è: K[t] = {a 0 + a 1 t + a 2 t 2 +... + a n t n a 0, a 1,..., a n K} 5.1 Coefficienti I coefficienti devono appartenere tutti a un medesimo campo (Q, R, C, Z n con n primo). D ora in poi imporremo che i coefficienti appartengano a un generico campo (K, +, ). 5.1.1 Esempi di polinomi con K Z n K = Z 2 (1 + t)(1 + t + t 2 ) = 1 + t + t 2 + t + t 2 + t 3 = 1 + 2t + 2t 2 + t 3 = 1 + t 3 Si noti che 2t = 2t 2 = 0 perché 1 + 1 = 2 = 0 (in Z 2 ). K = Z 3 (1 + 2t)(1 + 2t + t 2 ) = 1 + 2t + t 2 + 2t + 4t 2 + 2t 3 = 1 + 4t + 5t 2 + 2t 3 = = 1 + t + 2t 2 + 2t 3 = 1 + 4t + 5t 2 + 2t 3 = 1 + t + 2t2 + 2t 3 Si noti che 2t = 2t 2 = 0 perché 1 + 1 = 2 = 0. 5.2 Proprietà dei polinomi Rispetto a + e, i polinomi costituiscono un anello commutativo unitario. K[t] non è un campo, ma un anello di polinomi, perché non esistono gli inversi dei polinomi (eccetto quelli costanti). 14

5.3 Grado di un polinomio Il grado di un polinomio è definibile come l esponente dell indeterminata di grado massimo presente nel polinomio, con coefficiente non nullo. Quando il coefficiente del termine di grado massimo è 1, il polinomio è detto monico. Il grado della somma di due polinomi è minore o uguale del grado massimo dei gradi dei polinomi sommati. Il grado del prodotto per scalare si conserva. 5.3.1 Classificazione dei polinomi per grado K 0 [t]: polinomi costanti K 1 [t]: polinomi di I grado K 2 [t]: polinomi di II grado K 3 [t]: polinomi di III grado K r [t]: polinomi di grado r Generalizzando: K 0 [t] K 1 [t] K 2 [t]... K r [t]...k[t] 15

Capitolo 6 Matrici 6.1 Introduzione Una matrice M m n è composta da m righe (n-uple di indice i) e da n colonne (m-uple di indice j). L elemento generico della matrice è a ij, altrimenti indicato come a i j. I coefficienti (che costituiscono gli elementi della matrice) appartengono tutti a un certo campo K scelto. Avendo una matrice generica si può scrivere: A = (a ij ) 1 i m 1 j n (con m e n fissati) M m n (K) è l insieme delle matrici con m righe e n colonne, aventi coefficienti in K. Se la matrice è quadrata di ordine n (dunque m = n), si usa indicare l insieme come M n (K). 6.2 Matrice trasposta Si ottiene sostituendo le righe con le colonne e viceversa. A A t : M m n (K) M n m (K) (è considerabile come una funzione) Generalmente A = A t, mentre A = A t se la matrice è simmetrica. t(a ij ) 1 i m 1 j n = (a ji ) 1 j n 1 i m Proprietà 5 La trasposta di una matrice trasposta è la matrice iniziale. Il processo di trasposizione è involutorio. (A t ) t = A 16

Proprietà 6 La trasposizione di una somma di matrici è uguale alla somma delle singole trasposizioni. (A + B) t = A t + B t Proprietà 7 La trasposizione di prodotto per scalare è uguale al prodotto della trasposizione per lo scalare. (α A) t = α A t Proprietà 8 La trasposizione di un prodotto di matrici è uguale al prodotto delle singole trasposizioni, però a fattori invertiti 1. 6.3 Matrice simmetrica (A B) t = B t A t Se A = A t, la matrice è simmetrica. A è sicuramente e necessariamente quadrata. Condizione per cui sia simmetrica è: a ij = a ji S n (K) è l insieme delle matrici simmetriche di ordine n su K. S n (K) M n (K) 6.4 Operazioni tra matrici Le matrici sono estensioni bidimensionali delle n-uple: quindi le operazioni riprendono concettualmente quelle delle n-uple. 6.4.1 Somma tra matrici È una operazione interna, fattibile solo tra matrici dello stesso tipo, sommando tra loro i coefficienti corrispondenti. M m n (K) M m n (K) M m n (K) La somma tra matrici gode delle seguenti proprietà: 1. commutativa 2. associativa 1 Si ricordi che il prodotto tra matrici non gode della proprietà commutativa. 17

3. elemento neutro: matrice nulla (tutti i suoi elementi sono 0, si indica con 0 m n ) 4. elemento opposto: matrice con elementi di segno opposto a quelli della matrice data Per queste proprietà, (M m n (K), +) è un gruppo abeliano. 6.4.2 Prodotto per scalare È una operazione esterna, effettuata moltiplicando ogni coefficiente per lo scalare. K M m n (K) M m n (K) 6.4.3 Prodotto tra matrici Rispetto a quanto possibile con le n-uple, è possibile moltiplicare tra loro due matrici. Premessa Il prodotto scalare (o naturale) tra due n-uple a e b è pari alla somma dei prodotti dei termini corrispondenti: Matrici conformabili a, b = n a k b k K k=1 Due matrici A e B sono conformabili se il numero di colonne di A è uguale al numero di righe di B. } A M m n (K) A B B M n p (K) N.B.: Non si può fare B A, visto che non è detto che m = p. N.B.: Anche qualora m = p, e quindi fosse ammesso B A, generalmente A B B A. Osservazione. A B M m p (K) Proprietà 9 Se A M m n (K) e B M n p (K), con α (K), allora α (A B) = A (α B) = (α A) B. Proprietà 10 Se A M m n (K) e B M n m (K), si può fare A B M m (K) e B A M n (K). Se m n, A B B A. Proprietà 11 Se A, B M n (K), si possono fare A B e B A, entrambi M n (K). Generalmente A B B A. 18

Prodotto righe per colonne Il prodotto tra due matrici conformabili avviene calcolando ogni singolo elemento della matrice C = A B. Il generico elemento c i j è il prodotto scalare tra la riga i (n-upla i-esima) e la colonna j (m-upla j-esima): c i j = a i, b j con a i, b j K n. Non casualmente il prodotto tra matrici si chiama prodotto righe per colonne, e diventa evidente il motivo che obbliga ad avere il numero di colonne di A uguale al numero di colonne di B. 6.4.4 Proprietà delle operazioni Valgono: 1. la proprietà associativa; 2. la proprietà distributiva del prodotto tra matrici ( ) rispetto alla somma (+); 3. la somma è un operazione interna a M m n (K); 4. il prodotto tra matrici non è un operazione interna, salvo che in M n (K). 6.5 Matrici quadrate Si tratta di matrici formate da un numero uguale di righe e di colonne (n). 6.5.1 Diagonale principale La diagonale principale 2 è formata da n elementi, cioè quelli aventi indici uguali (i = j). 6.5.2 Prodotto tra matrici quadrate Considerando le matrici quadrate di ordine n, il prodotto tra matrici è un operazione binaria interna. + : M n (K) M n (K) M n (K) : M n (K) M n (K) M n (K) Si nota che (M n (K), +, ) è una struttura, per la quale:! elemento neutro ( è un anello unitario); 2 Il concetto di diagonale non esiste nelle matrici non quadrate. 19

proprietà commutativa ( non è un anello commutativo). Per quanto visto, (M n (K), +, ) è un anello unitario non commutativo (delle matrici quadrate di ordine n), e soprattutto non è un campo. 6.5.3 Matrici diagonali Nelle matrici diagonali solo la diagonale principale è formata da elementi non nulli. A = (a ij ) è diagonale se a ij = 0, i j 6.5.4 Matrici identità Una matrice diagonale I n è definita come identità se la diagonale principale è composta di soli valori 1. I n = (δ ij ) 1 i,j n δ i j = { 0 se i j 1 se i = j δ è definito come simbolo di Kronecker. I n funge da elemento neutro rispetto al prodotto: se A M m n (K), allora A I n = A. Si noti che tale operazione non gode di proprietà commutativa. Solo se n = m, allora A I n = I n A = A. 6.5.5 Matrici triangolari Una matrice è triangolare se una sua parte (sopra o sotto la diagonale principale) ha tutti gli elementi pari a 0. La matrice è detta: alta o superiore se la parte inferiore è nulla (e cioè a ij = 0 se i > j); bassa o inferiore se la parte superiore è nulla (e cioè a ij = 0 se i < j). Osservazione. alta e bassa. Le matrici diagonali sono contemporaneamente triangolare 6.6 Matrici ridotte (per righe) (La riduzione per colonne non si utilizza quasi mai.) 20

6.6.1 Trasformazioni per ottenere la riduzione Si può: 1. scambiare tra loro due righe; 2. sommare ad una riga una seconda riga, moltiplicata per un qualunque α 0, α K; 3. moltiplicare una riga per un certo α 0, α K. 6.6.2 Metodo generale di riduzione Si sceglie, riga per riga (a partire dalla prima), il pivot 3 di tale riga. Si procede, quindi, a ridurre a zero l elemento subito inferiore al pivot designato. 6.7 Determinante Il concetto di determinante esiste solo per le matrici quadrate. Si tratta di uno scalare associato alla matrice. det(a) : M n (K) K A det(a) 6.7.1 Calcolo del determinante in matrici con n piccolo Le matrici 1 1, avendo un solo coefficiente, hanno per determinante il coefficiente stesso. Le matrici 2 2, avendo 4 oggetti, contemplano 2 possibili permutazioni: l identità e lo scambio (degli indici). det(a) = a 1 1a 2 2 a 1 2a 2 1 Si noti che il segno è necessario, essendo a 1 2 a2 1 trasposizioni. Le matrici 3 3, risolvibili sommando e sottraendo le 6 permutazioni presenti, sono comodamente risolubili col noto metodo di Sarrus. Le matrici di ordine superiore al 3 si risolvono con il teorema di Laplace (v.). 3 Si chiama pivot o elemento speciale quell elemento, su una riga, prima del quale tutti gli elementi sono 0. Poiché la riduzione avviene a gradini, al crescere dell indice della riga cresce l indice di colonna del pivot di tale riga (in altre parole, il pivot si trova sempre più a destra mano a mano che seguo le righe). 21

6.7.2 Proprietà del determinante 1. A = A t. 2. Se una riga (o colonna) ha tutti elementi 0, A = 0. 3. Se si scambiano due righe (o due colonne), A cambia di segno. 4. Se due righe (o due colonne) sono uguali, A = 0. 5. Moltiplicando una riga (o colonna) per α, il determinante della matrice viene moltiplicato per α. Per estensione di concetto, se A M n (K) e α K, αa = α n A. 6. Sia B una matrice ottenuta da A, sommando alla riga i-esima la colonna j-esima moltiplicata per α K. R i R i + αr j A = B 7. Se una riga (o colonna) è combinazione lineare di una o più altre righe (o colonne), A = 0. 8. Se, a una riga (o colonna), si somma la combinazione lineare di altre righe (o colonne), il determinante non cambia. 9. A B = A B Siccome A B = B A = B A, allora A B = B A. Inoltre A 2 = A 2. 10. Il determinante di una matrice triangolare è il prodotto degli elementi della diagonale principale. 11. I n = 1. 12. 0 n = 0. 6.7.3 Sottomatrici Avendo una matrice, selezionandone un certo numero di righe se ne ottiene un altra (sottomatrice). Se questa sottomatrice è quadrata, essa è detta minore. 6.7.4 Minore complementare Il minore complementare (M ij ) di a ij è la matrice che si ottiene eliminando da A la riga i e la colonna j. 22

6.7.5 Complemento algebrico Il complemento algebrico è uno scalare così determinato: 6.7.6 Teorema di Laplace A i j = ( 1) i+j det(m ij ) Il Teorema di Laplace trasforma il calcolo del determinante di una matrice quadrata di ordine n in n determinanti di ordine n 1. A = n a i k Ai k = k=1 n a k j A k j La formula è analoga sia che si utilizzi una riga, sia che si scelga una colonna: ogni elemento della riga (colonna) scelta va moltiplicato per il proprio complemento algebrico, quindi si sommano tra loro gli n prodotti calcolati per avere il determinante. La comodità di questo metodo risiede nell utilizzo di righe (colonne) con diversi (possibilmente n 1) elementi a 0, cosicché si deve calcolare un solo determinante di ordine n 1 (e poi moltiplicarlo per il coefficiente corrispondente). 6.8 Matrice inversa di una matrice quadrata Una matrice A (rigorosamente quadrata) ammette inversa quando: k=1 A M n (K), A 1 M n (K) : A A 1 = A 1 A = I n In particolare, questo è vero quando il determinante della matrice da invertire è non nullo. La matrice nulla 0 n non è mai invertibile. I n è invertibile: I 1 n = I n. Le matrici diagonali sono generalmente invertibili. α 1 0 0 β 1 0 0 0 α 2 0 0 β 2 0............ = 0 0 α n 0 0 β n α 1 β 1 0 0 0 α 2 β 2 0...... 0 0 α n β n Se α 1,..., α n 0, allora si possono trovare tutti i valori β 1,..., β n tali che α 1 β 1,..., α n β n = 1. Allora le due matrici (α n ) e (β n ) sono una l inversa dell altra. 23

6.8.1 Terminologia Una matrice invertibile è detta regolare. Le matrici regolari appartengono all insieme GL n (K) M n (K). Le matrici non invertibili sono, invece, chiamate singolari. 6.8.2 Proprietà delle matrici inverse Proprietà 12 Se A, B GL n (K), allora A B GL n (K). Proprietà 13 Se A, B GL n (K), allora (A B) 1 = B 1 A 1. Proprietà 14 Se A GL n (K), allora A t GL n (K) e (A t ) 1 = (A 1 ) t. 6.8.3 Calcolo della matrice inversa Teorema 1 Sia A M n (K). Allora A è invertibile se e solo se det(a) 0. In tal caso: A 1 = (A# ) t det(a) La matrice A # dei complementi algebrici degli elementi di A si chiama aggiunta classica di A. Si verifica che: mentre A 1 = 1 A. A = (a i j) A # = (A i j) A (A # ) t = det(a) I n = (A # ) t A 6.8.4 Caso particolare: inversa della matrice 2 2 Consideriamo una generica matrice di ordine 2: ( ) α β A = γ δ Sappiamo che det(a) = αδ βγ e supponiamo tale determinante non nullo. Calcoliamo i complementi algebrici (che, forzatamente, sono delle matrici formate da un solo elemento): A 1 1 = δ A 1 2 = γ A 2 1 = β 24

A 2 2 = α Dunque la matrice dei complementi algebrici è: ( ) A # δ γ = β α Quindi l inversa è: ( δ β ) A 1 = γ α det(a) 25

Indice analitico Anello, 9 Anello commutativo, 10 Anello unitario, 10 Campo, 10 Caratteristica, 11 Cardinalità, 5 Classe dei resti, 7 Classe di equivalenza, 6 Combinazioni lineari, 13 Complemento algebrico, 23 Determinante, 21 Determinante, proprietà, 22 Elemento neutro, 8 Gruppo, 9 Gruppo abeliano, 9 Matrici, prodotto per scalare, 18 Matrici, prodotto riga per colonna, 18 Matrici, somma, 17 Minore complementare, 22 N-upla, 12 Polinomi, 14 Relazione di equivalenza, 6 Strutture algebriche, 8 Teorema di Laplace, 23 Teorema fondamentale dell algebra, 5 Teoria degli insiemi, 4 Zero divisore, 11 Insieme potenza, 4 Insiemi numerici, 5 Matrice dei complementi algebrici (aggiunta classica), 24 Matrice diagonale, 20 Matrice identità, 20 Matrice inversa, 23 Matrice inversa, calcolo, 24 Matrice inversa, proprietà, 24 Matrice quadrata, 19 Matrice quadrata, inversa, 23 Matrice simmetrica, 17 Matrice trasposta, 16 Matrice triangolare, 20 Matrici, 16 Matrici conformabili, 18 Matrici ridotte, 20 26