DIMENSIONAMENTO E VERIFICA DI UN RIDUTTORE MECCANICO

Corso di laurea in Ingegneria Meccanica DIMENSIONAMENTO E VERIFICA DI UN RIDUTTORE MECCANICO Data: 1 Luglio 2009 A.A. 2008-2009 Prof. Ing. V. Vullo Ing. L. Cantone Ing. F. Vivio Membri: Fabrizio Di Cicco Hyeon Wook Kang Fabio Quaranta Valerio Rossi

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INDICE SCELTA DELLA MACCHINA UTILIZZATRICE... 4 SCELTA DELLA MACCHINA OPERATRICE... 5 SCELTA DEL GIUNTO... 7 SCELTA DEI MATERIALI... 9 DIMENSIONAMENTO GEOMETRICO/CINEMATICO... 10 Primo stadio di riduzione... 10 Secondo stadio di riduzione... 22 VERIFICA A RISONANZA DELLE COPPIE DENTATE... 31 VERIFICHE DI RESISTENZA DEL DENTE... 32 Flessione... 32 Pitting... 37 Grippaggio... 40 Usura a marcia lenta... 43 DIMENSIONAMENTO DEGLI ALBERI E SCELTA DEI CUSCINETTI... 45 Albero in ingresso... 45 Albero intermedio... 50 Albero in uscita... 54 VERIFICA A RISONANZA DEGLI ALBERI... 58 Flessione... 58 Torsione... 61 VERIFICA DELL INFLESSIONE DEGLI ALBERI... 64 VERIFICA DEGLI ORGANI DI CALETTAMENTO...67 Linguetta albero intermedio... 67 Linguetta albero in uscita... 68 REALIZZAZIONE DELLA CASSA... 69 BIBLIOGRAFIA... 70 p. 3/70

SCELTA DELLA MACCHINA UTILIZZATRICE La scelta della macchina utilizzatrice è dettata dai vincoli di potenza e velocità angolare imposti dal problema. Compatibilmente con tali specifiche si è optato per un agitatore industriale VMI Rayneri Supermix. Tale macchina infatti viene prodotta in varie configurazioni di potenza e velocità di funzionamento che comprendono tra le tante anche quelle richieste dal problema. Perciò ci si riferirà al modello con tali specifiche: SPECIFICHE TECNICHE UTILIZZATORE POTENZA [KW] 10 VELOCITA ANGOLARE [rpm] 145 CAPIENZA [m 3 ] 724 MATERIALE ACCIAIO DENSITA MATERIALE [Kg/m 3 ] 7870 ALTEZZA CESTELLO [m] 1 RAGGIO CESTELLO [m] 0.48 RAGGIO FRUSTA [m] 0.47 SPESSORE MEDIO FRUSTA [m] 0.02 MOMENTO DI INERZIA [Kg*m 2 ] 12.07 p. 4/70

SCELTA DELLA MACCHINA OPERATRICE La scelta della macchina operatrice deve essere svolta in modo da soddisfare le specifiche di potenza richiesta dall utilizzatore (10 KW), tenendo conto delle perdite dovute al rendimento non unitario del riduttore. Pertanto sarà necessario effettuare una stima delle perdite del suddetto, valutando i singoli rendimenti dei suoi componenti: COMPONENTE VALORE DEL RENDIMENTO Ingranaggi 0.98*0.98 Effetto ventilante 0.98 Cuscinetti volventi 0.99 Totale 0.932 Pertanto la potenza minima del motore dovrà essere: P m = P u η tot = 10, 73 KW dove: P u = potenza riciesta dall utilizzatore η tot = rendimento totale, prodotto dei singoli rendimenti p. 5/70

Si è dunque optato per un motore elettrico Bonfiglioli BN160L a 6 poli operante a 960 rpm con potenza pari a 11 kw. p. 6/70

SCELTA DEL GIUNTO Considerando le caratteristiche del motore, in particolare la coppia nominale e quella di spunto, si sceglie un giunto Stromag Periflex PTT 136X in grado di sopportare la coppia di spunto del suddetto motore pari a 272.5 Nm. p. 7/70

Il giunto scelto infatti è in grado di sopportare una coppia massima di 300 Nm. p. 8/70

SCELTA DEI MATERIALI Gli alberi (e di conseguenza le ruote di pezzo) sono in Acciaio 20CrNiMo2 Cementato. Le ruote calettate sono in Acciaio 40CrNiMo2 Bonificato. Per i suddetti materiali si definiscono le seguenti caratteristiche meccaniche: CARATTERISTICHE Acciaio 20CrNiMo2 Acciaio 40CrNiMo2 MATERIALI Cementato Bonificato Trattamento Tempra Bonifica Carico di rottura [MPa] 1250 1030 Carico di snervamento 930 540 [MPa] Durezza Rockwell [HRC] 62 55 Durezza Brinnell [HB] 688 560 Carico di sicurezza [MPa] 250 206 ζ H limite [MPa] 1650 1370 ζ F limite [MPa] 900 415 Tensione limite a fatica [MPa] 525 415 Modulo elastico E [GPa] 206 Coefficiente di Poisson 0.3 Densità [kg/m 3 ] 7870 I valori del carico di rottura, del carico di snervamento e della durezza sono riferiti specificamente ai materiali scelti e sono stati individuati su siti specializzati del settore. Gli altri valori sono generici per acciai cementati e bonificati e sono stati ricavati dalle norme UNI e da letteratura scientifica. p. 9/70

DIMENSIONAMENTO GEOMETRICO/CINEMATICO Il rapporto totale di trasmissione è: τ = 0, 1510 Si è deciso di suddividere il rapporto di trasmissione tra le due coppie di ruote dentate nel seguente modo: τ 1 = 0, 266 τ 2 = 0, 569 Scegliamo per entrambe le coppie i seguenti angoli caratteristici: angolo d elica α = 20 angolo di pressione θ = 20 Primo stadio di riduzione Con gli angoli scelti il numero di denti minimo teorico intagliabile senza interferenza (riferito alla ruota fittizia, taglio tramite creatore) è: n = 2k (sin θ) 2 = n = 17, 0973 (cos α) 3 Per il calcolo del numero di denti effettivo ci si affida alla formula pratica: n pratico = 5 6 n teorico = 14,2477 Pertanto si avrà un numero reale di denti pari a: n = 11,8223 p. 10/70

Si sceglie un numero di denti pari a 14 1. Il numero di denti della ruota condotta risulta quindi pari a: n = 52,632 approssimato a 53. Con tale approssimazione il rapporto di trasmissione nel primo stadio si modificherà: sarà pertanto necessario cambiare il rapporto di trasmissione nel secondo stadio al fine di mantenere inalterato il τ tot. I nuovi rapporti di trasmissione saranno dunque: τ 1 = 0, 2642 τ 2 = 0, 5715 τ tot = 0, 1510 Per la prima coppia di ruote dentate si ha: Pignone Ruota Numero di denti reale 14 53 Numero di denti fittizio 16.8722 63.8732 Per quanto riguarda i due alberi invece: Albero in ingresso Albero intermedio Velocità angolare [rad/s] 100.5309 26.5553 Momento torcente [Nm] 109.4190 414.2292 1 Con tale numero di denti si andrà a realizzare la ruota con una leggera interferenza di taglio, essendo il numero minimo intagliabile con la tecnologia scelta pari a 14,187. Sarà pertanto necessario in seguito calcolare il segmento di contatto perso a causa di tale interferenza. p. 11/70

Per il calcolo del modulo frontale si utilizzano le relazioni di Lewis: m f = k 3 M λ σ amm k = 3 2 n y dove: λ = larg ezza di fascia = b modulo m M = momento torcente y = fattore di Lewis Si sceglie un rapporto λ pari a 12. I fattori di Lewis si ricavano dal seguente grafico: p. 12/70

Pertanto si ottiene per le due ruote, tenendo conto delle caratteristiche dei materiali scelti: Momento torcente [Nm] Fattore di Lewis Tensione ammissibile [MPa] Modulo [mm] Pignone fittizio 109.4190 0.276 250 2.6627 Ruota fittizia 414.2292 0.412 206 2.4851 Viene assunto il modulo unificato più prossimo in base alla UNI S 3521 (cfr. Giovannozzi Costruzione di macchine Vol. II ). Pertanto si avranno un modulo normale e uno frontale pari a: m n = 3, 0000 mm m f = 3, 1925 mm Si riportano di seguito le principali caratteristiche geometriche delle due ruote dentate REALI: Pignone Ruota Numero di denti 14 53 Raggio della primitiva [mm] 22.3477 84.6021 θ n 20 θ f 21.1728 Modulo normale [mm] 3 Modulo frontale [mm] 3.1925 Raggio fondamentale [mm] 20.8392 78.8911 Raggio di testa [mm] 21.1231 73.0018 Passo frontale [mm] 10.0296 Passo normale [mm] 9.4248 Passo assiale [mm] 27.5562 Addendum [mm] 3 Dedendum [mm] 3,75 Larghezza di fascia [mm] 36 Angolo d elica fondamentale 18.7472 Interasse [mm] 106.9499 p. 13/70

Si definiscono inoltre le caratteristiche della coppia di ruote FITTIZIE a denti dritti associate alle ruote reali in esame, di cui ci si servirà in seguito per alcuni calcoli: Pignone Ruota Numero di denti 16.8722 63.8732 Modulo [mm] 3 θ 20 Raggio primitivo [mm] 25.3082 95.8097 Addendum [mm] 3 Dedendum [mm] 3.75 Raggio di testa [mm] 28.3082 98.8097 Interasse [mm] 127.1179 Mediante un programma di calcolo compilato in Matlab si verifica l interferenza primaria (o di evolvente) e si diagrammano gli strisciamenti specifici. Per quanto riguarda la prima condizione, è necessario che il segmento effettivo dei contatti (riferito alla coppia di ruote fittizie nel piano normale) sia compreso tra i punti di interferenza. I segmenti teorici in accesso ed in recesso (riferiti al pignone) si ricavano dalle relazioni: δ P t = R sin θ n = 9,6820 mm δ R t = R sin θ n = 33,7949 mm Per quanto riguarda i segmenti effettivi dei contatti, ricordando che vale la relazione R testa cos θ testa = R cos θ è possibile ricavarli dalle seguenti formule: δ P = R 2 testa + R 2 2 cos θ testa θ R testa R = 7,9455 mm δ R = R testa 2 + R 2 2 cos θ testa θ R testa R = 6,6990 mm p. 14/70

strisciamenti specifici Università degli studi di Roma Tor Vergata Confrontando i rispettivi valori si conclude che non c è interferenza primaria in condizioni di funzionamento. La seconda caratteristica che si va a verificare è che siano bilanciati gli strisciamenti specifici. Di seguito si riporta il diagramma ottenuto mediante il suddetto programma di calcolo: 2 x=0 x p =0 0 Ks2 = 0.93184 Ks = 0.55067-2 Ks2 = -1.2256-4 -6-8 -10-12 Ks Ks p Ks = -13.671-14 -8-6 -4-2 0 2 4 6 8 segmento dei contatti Come si può notare gli strisciamenti specifici non sono bilanciati: pertanto si procederà con la correzione dei denti. Per determinare i fattori di correzione x ed x si utilizza nuovamente il programma in Matlab sopracitato, nel quale è stato implementato il metodo di correzione Henriot diretto (fattori di correzione imposti) 2. Il programma è strutturato in modo tale da ricavare in automatico tutte le grandezze geometriche e cinematiche delle due ruote con i fattori di correzione che si vanno di volta in volta ad inserire. Il programma inoltre diagramma gli strisciamenti specifici, calcola i segmenti (teorici ed effettivi) dei contatti, il fattore di ricoprimento e gli spessori dei denti. In questo modo si è potuto effettuare una serie di tentativi al fine di trovare i fattori di correzione tali da garantire strisciamenti bilanciati, evitare l interferenza primaria e di raccordo ed ottenere valori accettabili degli spessori dei denti. 2 Nel programma è stato implementato un comando di interpolazione per il grafico B-B V e per l angolo λ-φ per il calcolo del segmento perso per interferenza, in modo che tali grandezze venissero calcolate automaticamente anziché per via grafica. p. 15/70

Per ottenere dei valori di primo tentativo dei fattori di correzione ci si è serviti dei seguenti grafici presi dal Niemann: In seguito tramite iterazioni si è giunti alla scelta dei seguenti fattori di correzione: x = 0, 47 x = 0, 37 p. 16/70

strisciamenti specifici Università degli studi di Roma Tor Vergata A seguito della correzione le caratteristiche delle ruote FITTIZIE saranno: Pignone Ruota Numero di denti 16.8722 63.8732 Modulo [mm] 3.0085 θ 20.3952 Passo [mm] 9.4515 Raggio primitivo [mm] 25.3799 96.0812 Addendum [mm] 4,4393 1.9193 Dedendum [mm] 2.3400 4.8600 Raggio di testa [mm] 29.8192 98.0005 Larghezza di fascia [mm] 36 Interasse [mm] 121.4611 Di seguito si riportano i diagrammi degli strisciamenti dopo la correzione: 1 x=0.47 x p =-0.37 0.5 Ks2 = 0.63948 Ks = 0.64196 0-0.5-1 -1.5 Ks Ks = -1.7738 Ks p Ks2 = -1.793-2 -6-4 -2 0 2 4 6 8 10 segmento dei contatti Gli strisciamenti risultano ben bilanciati (lo scarto percentuale massimo tra i due valori di K s è dello 1,11%) e i loro valori massimi e minimi si attestano intorno a 0,64 e -1,78 rispettivamente. p. 17/70

Le ruote REALI corrette avranno di conseguenza le seguenti caratteristiche: Pignone Ruota Numero di denti 14 53 Modulo normale [mm] 3.0085 Modulo frontale [mm] 3.2016 Raggio della primitiva di funzionamento [mm] 22.4110 84.8418 θ f 21.5868 θ n 20.3952 Raggio fondamentale [mm] 20.8392 78.8911 Passo frontale [mm] 10.0581 Passo normale [mm] 9.4515 Addendum [mm] 4.4393 1.9193 Dedendum [mm] 2.3400 4.8600 Raggio di testa [mm] 26.7870 86.5214 Larghezza di fascia [mm] 36 Angolo d elica 20 Interasse [mm] 107.2792 Angolo d elica fondamentale 18.6980 Con le nuove caratteristiche delle due ruote si va ora a verificare che non ci sia interferenza in condizioni di funzionamento. Per quanto riguarda l interferenza primaria, sempre riferendosi ai risultati ottenuti tramite il programma di calcolo, si ha per i segmenti teorici ed effettivi dei contatti: δ P th = 8, 8447 δ P = 5, 1642 δ R th = 33, 4836 δ R = 9, 1351 Confrontando i valori dei segmenti teorici ed effettivi si conclude che non si ha interferenza primaria in condizioni di funzionamento. p. 18/70

Si determina ora il fattore di ricoprimento. Esso è somma di due aliquote: una fa riferimento alla coppia come se fosse a denti dritti (ε d ), l altra tiene conto dell elicoidalità del dente (ε e ): ε d = δ P + δ R p f cos θ f = 1, 5289 ε e = b tan α funz p f = 1, 3064 Pertanto il fattore di ricoprimento totale è pari a: ε = 2, 8353 Con tale valore è garantita la del continuità del moto e la silenziosità dell ingranaggio. Per l interferenza secondaria (o di raccordo) dovrà verificarsi la condizione: R A R inv dove: R A = raggio di azione al piede R inv = raggio di scarico massimo Per tale verifica ci si servirà dei seguenti due diagrammi, presi dall Henriot: p. 19/70

Dai precedenti diagrammi si ricava: Pignone Ruota Raggio di scarico dell evolvente [mm] Raggio di azione al piede [mm] 23.8404 91.7857 23.9922 92.7438 La condizione prima illustrata è verificata per entrambe le ruote: pertanto non si avrà interferenza di raccordo in condizioni di funzionamento. Per la verifica dello spessore di testa del dente quest ultimo deve essere maggiore di 0,2 volte il modulo. Lo spessore di testa, per il pignone e per la ruota, vale rispettivamente: P S testa = 1, 5753 = 0, 492 m R S testa = 2, 7363 = 0, 855 m Pertanto è verificato sia per il pignone che per la ruota un adeguato spessore di testa dei denti. Per permettere un adeguata lubrificazione è necessario definire un certo gioco tra le dentature per fare posto al lubrificante. In base alle formule riportate di seguito si procederà con il calcolo delle nuove caratteristiche geometriche a seguito dell introduzione del lubrificante. p. 20/70

d = s 2 sin(θ oil ) d oil = d + d = R P oil + R R oil i = R b,r R b,p R P oil = R b,p cos(θ oil ) = doil 1 + i R P oil = R b,p i doil cos(θ oil = ) 1 + i θ oil = cos 1 ( R b,p (1 + i) d oil ) Tramite il solito programma in Matlab si calcola iterativamente il valore di θ oil (assumendo un valore dello spessore dell olio pari a 0,05 volte il modulo), da cui poi si ricavano le altre grandezze che verranno poi assunte come nuovi parametri di funzionamento. Pertanto avremo: NUOVE GRANDEZZE GEOMETRICHE DI FUNZIONAMENTO Δd [mm] 0.2145 d oil [mm] 107.4937 Rp oil [mm] 22.4614 Rg oil [mm] 85.0323 θ oil 21.9090 Come detto in precedenza, il pignone viene realizzato con interferenza di taglio: pertanto è opportuno calcolare la parte di segmento dei contatti persa per tale interferenza e vedere se essa va a diminuire il segmento effettivo. p. 21/70

Mediante il sopra menzionato programma di calcolo si ricava il segmento perso a partire dal punto di interferenza T: δ interf = 1, 0435 Come si può notare tale segmento non va a ridurre il segmento effettivo, ma solo quello teorico: pertanto il taglio con interferenza non penalizza l ingranaggio in termini di fattore di ricoprimento. Infine si riportano le forze trasmesse dall ingranaggio all albero in ingresso e a quello intermedio: Forze Albero ingresso Albero intermedio N [N] 5587.6 5587.6 Q [N] 4871.4 4871.4 A [N] 1773.1 1773.1 R [N] 1959.2 1959.2 Mt [Nm] 109.4190 414.2292 dove: N = Forza totale scambiata dai profili dei denti Q = Forza utile alla trasmissione di potenza A = componente della forza totale parallela all asse dell albero R = componente radiale della forza totale M t = momento torcente Secondo stadio di riduzione Per il dimensionamento del secondo stadio di riduzione si procederà in maniera del tutto analoga a quanto fatto per il primo. Si è deciso di realizzare le ruote dell ingranaggio con i seguenti numeri di denti: n = 20 n = 35 p. 22/70

I rapporti di trasmissione nel secondo stadio e totale sono pertanto: τ 2 = 0, 5714 τ tot = 0, 1509 Tale soluzione risulta accettabile dato che il rapporto di trasmissione totale differisce da quello effettivamente richiesto solamente dello 0,066%: pertanto si procede con la progettazione. Per la seconda coppia di ruote dentate si ha: Pignone Ruota Numero di denti reale 20 35 Numero di denti fittizio 24.1031 42.1804 Per quanto riguarda i due alberi invece: Albero intermedio Albero in uscita Velocità angolare [rad/s] 26.5553 26,5553 Momento torcente [Nm] 414.2292 724.9010 Supponendo anche in questo caso una larghezza di fascia pari a 12 volte il modulo, tramite le formule di Lewis si ricava proprio quest ultimo, che verrà poi approssimato al valore unificato immediatamente superiore. Momento torcente [Nm] Fattore di Lewis Tensione ammissibile [MPa] Modulo [mm] Pignone fittizio 414.2292 0.320 250 3.5074 Ruota fittizia 724.9010 0.374 206 3.5517 p. 23/70

Pertanto si avranno i seguenti valori dei moduli: m n = 4, 0000 mm m f = 4, 2567 mm Si riportano di seguito le principali caratteristiche geometriche delle due ruote dentate REALI: Pignone Ruota Numero di denti 20 35 Raggio della primitiva [mm] 42.5671 74.4924 θ n 20 θ f 21.1728 Modulo normale [mm] 4 Modulo frontale [mm] 4.2567 Raggio fondamentale [mm] 39.6936 69.4638 Raggio di testa [mm] 49.5671 78.4924 Passo frontale [mm] 13.3728 Passo normale [mm] 12.5664 Passo assiale [mm] 36.7416 Addendum [mm] 4 Dedendum [mm] 5 Larghezza di fascia [mm] 48 Angolo d elica fondamentale 18.7472 Interasse [mm] 117.0596 p. 24/70

Si definiscono inoltre le caratteristiche della coppia di ruote FITTIZIE a denti dritti associate alle ruote reali in esame, di cui ci si servirà in seguito per alcuni calcoli: Pignone Ruota Numero di denti 24.1031 42.1804 Modulo [mm] 4 θ 20 Raggio primitivo [mm] 48.2062 84.3608 Addendum [mm] 4 Dedendum [mm] 5 Raggio di testa [mm] 52.2062 88.3608 Interasse [mm] 132.5670 Come per il primo stadio di riduzione si verifica l interferenza primaria (o di evolvente) e si diagrammano gli strisciamenti specifici utilizzando il solito programma in Matlab. I segmenti teorici in accesso ed in recesso (riferiti al pignone) risultano essere: δ P t = R sin θ n = 17,8556 mm δ R t = R sin θ n = 30,2212 mm mentre i segmenti effettivi dei contatti valgono: δ P = R 2 testa + R 2 2 cos θ testa θ R testa R = 10,1775 mm δ R = R testa 2 + R 2 2 cos θ testa θ R testa R = 9.4641 mm Confrontando i rispettivi valori si conclude che non c è interferenza primaria in condizioni di funzionamento. p. 25/70

strisciamenti specifici Università degli studi di Roma Tor Vergata La seconda caratteristica che si va a verificare è che siano bilanciati gli strisciamenti specifici. Di seguito si riporta il diagramma ottenuto: 1 x=0 x p =0 0.5 Ks2 = 0.71584 Ks = 0.57208 0-0.5-1 -1.5 Ks2 = -1.3369-2 -2.5 Ks = -2.5191 Ks Ks p -3-15 -10-5 0 5 10 segmento dei contatti Gli strisciamenti non sono bilanciati, pertanto si procederà anche in questo caso con la correzione della dentatura. I fattori di correzione scelti sono: x = 0, 31 x = 0, 10 p. 26/70

strisciamenti specifici Università degli studi di Roma Tor Vergata A seguito della correzione le caratteristiche delle ruote FITTIZIE saranno: Pignone Ruota Numero di denti 24.1031 42.1804 Modulo [mm] 4.0283 θ 20.9698 Passo [mm] 12.6552 Raggio primitivo [mm] 48.5471 84.9574 Addendum [mm] 5.2958 3.6558 Dedendum [mm] 3.7600 5.4000 Raggio di testa [mm] 53.8428 88.6131 Larghezza di fascia [mm] 48 Interasse [mm] 133.5045 Come si può notare dal seguente diagramma, a seguito della correzione effettuata sulla dentatura gli strisciamenti specifici risultano ben bilanciati: 1 x=0.31 x p =-0.1 0.5 Ks2 = 0.63237 Ks = 0.63143 0-0.5-1 -1.5 Ks Ks = -1.7201 Ks p Ks2 = -1.7132-2 -10-5 0 5 10 15 segmento dei contatti Si può notare come i due grafici siano perfettamente bilanciati, essendo lo scarto percentuale massimo tra i due dello 0,37%. p. 27/70

Le ruote REALI corrette avranno di conseguenza le seguenti caratteristiche: Pignone Ruota Numero di denti 20 35 Modulo normale [mm] 4.0283 Modulo frontale [mm] 4.2868 Raggio della primitiva di funzionamento [mm] 42.8681 75.0192 θ f 22.1884 θ n 20.9698 Raggio fondamentale [mm] 39.6936 69.4638 Passo frontale [mm] 13.4674 Passo normale [mm] 12.6552 Addendum [mm] 5.2958 3.6558 Dedendum [mm] 3.7600 5.4000 Raggio di testa [mm] 44.9894 78.6750 Larghezza di fascia [mm] 48 Angolo d elica 20 Interasse [mm] 117.9553 Angolo d elica fondamentale 18.6247 Si procede quindi con le verifiche di interferenza. Per l interferenza primaria abbiamo: δ P th = 17, 3738 δ P = 9, 0793 δ R th = 30, 4042 δ R = 11, 6793 Confrontando i valori dei segmenti teorici ed effettivi si conclude che non si ha interferenza primaria in condizioni di funzionamento. p. 28/70

Per la verifica dell interferenza di raccordo si riportano i valori di R A e R inv : Pignone Ruota Raggio di scarico dell evolvente [mm] Raggio di azione al piede [mm] 45.6030 80.3115 45.9887 80.6489 Per entrambe le ruote è verificata la condizione per cui il raggio di azione al piede sia maggiore del raggio di scarico dell evolvente: pertanto non si avrà interferenza di raccordo. Per quanto riguarda il fattore d ricoprimento avremo: ε d = δ P + δ R p f cos θ f = 1. 6647 ε e = b tan α funz p f = 1, 3064 ε = 2. 9711 Anche in questo caso si ha un valore tale da garantire un corretto funzionamento dell ingranaggio. Lo spessore di testa, per il pignone e per la ruota, vale rispettivamente: P S testa = 2, 9591 = 0, 739 m R S testa = 3. 6933 = 0, 923 m Anche per il secondo stadio è verificata la condizione per cui lo spessore di testa è maggiore di 0,2 volte il modulo. Come fatto nel paragrafo precedente, per permettere un adeguata lubrificazione, è necessario definire un certo gioco tra le dentature per fare posto al lubrificante. Tramite il solito programma in Matlab si calcola iterativamente il valore di θ oil (assumendo anche qui un valore dello spessore dell olio pari a 0,05 volte il modulo), da cui poi si ricavano le altre grandezze che verranno poi assunte come nuovi parametri di funzionamento. p. 29/70

Pertanto avremo: NUOVE GRANDEZZE GEOMETRICHE DI FUNZIONAMENTO Δd [mm] 0.2789 d oil [mm] 118.2342 Rp oil [mm] 42.9943 Rg oil [mm] 75.2400 θ oil 22.5970 Infine si riportano le forze trasmesse dall ingranaggio all albero in ingresso e a quello intermedio: FORZE Albero ingresso Albero intermedio N [N] 11105 11105 Q [N] 9634.5 9634.5 A [N] 3506.7 3506.7 R [N] 4009.9 4009.9 Mt [Nm] 414.2292 724.9010 dove: N = Forza totale scambiata dai profili dei denti Q = Forza utile alla trasmissione di potenza A = componente della forza totale parallela all asse dell albero R = componente radiale della forza totale M t = momento torcente p. 30/70

VERIFICA A RISONANZA DELLE COPPIE DENTATE Per tale verifica si fa riferimento alla procedura indicata nel Niemann, nel quale si riducono le masse presenti nell ingranaggio ad un'unica massa ridotta, schematizzando così il problema come un sistema vibrante ad un grado di libertà. Il rapporto di frequenza N è definito come il rapporto tra la frequenza di eccitazione, ovvero quella di contatto, e quella propria del sistema. La formula utilizzata per la determinazione del rapporto di frequenza è la seguente: N = 1.19 F c z 1 v t 1000 10 u 2 c γ (u 2 + 1) dove: z 1 è il numero di denti del pignone della coppia, v t è la velocità periferica mentre u è definito come: u = z 2 z 1 (z 2 è il numero di denti della ruota della coppia in questione) c γ è il fattore che tiene conto della rigidezza media di contatto, calcolata in N mm μm F c è un fattore che indica il fattore di massa del corpo ruota. Per entrambe le coppie si pone tale valore pari a 1: nel secondo ingranaggio infatti si considera per la ruota un fattore Hr/d pari a 0.083 ed un Fc pari a 0.9, ma poiché il pignone è di pezzo il valore di F c maggiore che grava di più sul valore di N è F c =1 Per il calcolo di c γ confrontare il capitolo riguardante la flessione. Il calcolo del rapporto di frequenza è necessario, oltre che per la verifica di risonanza, per determinare il fattore di amplificazione dinamica K V (cfr. resistenza a flessione). Mediante programmi di calcolo realizzati in Matlab si determinano i rapporti di frequenza; per i due stadi si ottiene: Primo stadio Secondo stadio Rapporto di frequenza 0.151 0.049 Con tali valori del rapporto di frequenza ci si pone nel campo sub-critico (N<0.85), pertanto il pericolo della risonanza è scongiurato. p. 31/70

VERIFICHE DI RESISTENZA DEL DENTE Flessione Per la verifica a flessione si confronta la tensione di lavoro con quella ammissibile. La tensione di lavoro a flessione vale: σ F = F t b m n Y Fa Y Sa Y ε Y β (K A K V K Fβ F Fα ) mentre la tensione ammissibile a flessione è pari a: σ Fp = σ Flim Y ST Y NT S Fmin Y δrelt Y RrelT Y x Tale verifica viene eseguita sia in condizioni dinamiche che in condizioni statiche. I fattori necessari per la verifica vengono ricavati seguendo la norma UNI 8862, fatta eccezione per la determinazione dei coefficienti c γ e Kv, ricavati da relazioni fornite dal Niemann (cfr. Elementi di macchine Vol. 2), in quanto per tali fattori la normativa risulta poco attendibile. Nel caso in esame si considera uniforme il funzionamento dell utilizzatore e il motore soggetto a leggeri sovraccarichi: quindi, per entrambi gli stadi, si ottiene un valore di K A pari a: K A = 1, 25 Per la determinazione del fattore K V è necessario definire il grado di qualità degli ingranaggi, come previsto dalla norma UNI 7880 che individua 12 classi di qualità. Nel caso in esame si sceglie, arbitrariamente, un grado pari a 6. Come detto in precedenza, il fattore Kv è funzione del rapporto di frequenza (calcolato nel capitolo precedente). Noto il grado di qualità, la velocità tangenziale e il numero di denti del pignone è stato possibile calcolare K v attraverso i grafici e le tabelle riportati dal Niemann. p. 32/70

Per i due stadi di riduzione risulta quindi: Rapporto di frequenza N Prima coppia Seconda coppia 0.151 0.049 K V 1.089 1.017 Il valore di c γ si determina mediante la procedura riportata dal Niemann: si calcola il C th, mediato per le due ruote, e con tale valore si ricava il c' e infine il c γ mediante le seguenti formule: c = 0. 8 c R C th cos α c γ = c (0, 75 ε d + 0, 25) con C R pari a 0.94 (essendo bs/b = 0.5). Primo stadio Secondo stadio C th 18.000 17.400 c' [N/(μm mm)] 12.720 12.296 c γ [N/(μm mm)] 17.765 18.425 Per entrambe le coppie si prevede una spoglia di testa: di conseguenza se ne terrà conto nel calcolo dei valori a e b presi dalla norma; per quanto riguarda la finitura superficiale, si prevede in entrambi gli ingranaggi una rugosità di 0.8 micron, corrispondente al grado di precisione scelto. Inoltre si ricorda che non essendo noto il legame di K Fα con K Hα, si assumono questi due coefficienti uguali tra loro. Per la verifica statica si deve considerare l azione di un momento torcente massimo pari alla coppia di spunto del motore (273 Nm), mentre i fattori dinamici sono tutti unitari. p. 33/70

Si riportano i fattori necessari alla verifica: DATI PER IL CALCOLO DELLA TENSIONE DI LAVORO Coefficienti Primo Stadio Secondo Stadio Pignone Ruota Pignone Ruota γ 0.778 0.046 0.400 0.104 a 27 27 27 27 b 13 13 13 13 k 0.4 0.5 0.5-0.4 f sh0 0.034 0.014 0.024 0.016 [μm mm/n] φp 4.682 6.265 6.343 7.029 F pt [μm] 10.949 11.947 11.996 12.428 F pb [μm] 10.182 11.109 11.155 11.557 f sh [μm] 6.301 2.639 6.043 4.016 f ma [μm] 11.008 11.008 11.953 11.953 F βx [μm] 4.707 8.369 5.909 7.937 y β [μm] 0.706 1.955 0.886 1.854 F βy [μm] 3.377 7.039 4.539 6.566 K hβ 1.166 1.341 1.165 1.239 b/h 5.325 5.325 5.338 5.338 K fβ 1.134 1.271 1.133 1.192 y α 0.764 1.189 0.837 1.303 K Fα 1.256 1.222 1.176 1.197 K Hα 1.256 1.222 1.176 1.197 Y ε 0.741 0.741 0.700 0.700 Y β 0.833 0.833 0.833 0.833 Y fa 3.000 2.480 2.350 2.500 Y sa 1.87 1.67 1.85 1.72 p. 34/70

DATI PER IL CALCOLO DELLA TENSIONE AMMISSIBILE (Fatica) Coefficiente Primo Stadio Secondo Stadio Pignone Ruota Pignone Ruota Y NT 1 1 1 1 Y δrelt 1.013 0.9711 1.010 0.982 Y RrelT 1.07 1.10 1.07 1.10 Y x 1 1 1 1 DATI PER IL CALCOLO DELLA TENSIONE AMMISSIBILE (Statica) Coefficiente Primo Stadio Secondo Stadio Pignone Ruota Pignone Ruota Y NT 2.500 1.577 2.500 1.577 Y δrelt 0.924 0.829 0.915 0.849 Y RrelT 1 1 1 1 Y x 1 1 1 1 p. 35/70

Di seguito si riportano i risultati delle verifiche effettuate: VERIFICA A FATICA (s=1.5) Coefficiente Primo Stadio Secondo Stadio Pignone Ruota Pignone Ruota ζ f [MPa] 231.1628 239.5599 214.1461 206.7914 ζ f amm [MPa] 379.3685 295.5077 378.2450 298.8553 VERIFICA OK OK OK OK VERIFICA STATICA (s=1.8) Coefficiente Primo Stadio Secondo Stadio Pignone Ruota Pignone Ruota ζ f [MPa] 298.5319 283.9905 316.2924 312.8366 ζ f amm [MPa] 1193.6 392.4894 1182.5 401.9127 VERIFICA OK OK OK OK p. 36/70

Pitting Per il calcolo della tensione di lavoro da pitting si utilizza la seguente formula: σ H = Z H Z E Z ε Z β F t (u ± 1) d 1 b u K A K V K Hβ K Hα (si noti che per dentature esterne si utilizza il segno positivo). La tensione ammissibile si determina invece tramite la seguente relazione: σ Hp = σ H lim S Hmin Z N Z L Z R Z V Z W Z X Si sceglie un olio lubrificante EP API DT 100 per ruote e cuscinetti con gradazione ISO VG 100. Si riportano di seguito le caratteristiche di tale olio: p. 37/70

Con tale olio si effettua il calcolo dei coefficienti necessari alla verifica: tali parametrii sono ricavati seguendo i procedimenti illustrati nella norma UNI 8862. Avendo previsto una spoglia di testa è necessario calcolare la larghezza di fascia ridotta b red mediante il calcolo di F βxv (virtuale, riferito alla ruota senza spoglia) che verrà poi inserito nelle formule suggerite dalla normativa. Anche nel caso della vaiolatura per la verifica statica i coefficienti dinamici sono unitari. Si riportano nella presente tabella i coefficienti calcolati: Coefficiente Primo Stadio Secondo Stadio Pignone Ruota Pignone Ruota F βxv 3.522 8.250 3.765 7.633 b red 31.157 31.788 41.502 42.203 Z h 2.327 2.327 2.288 2.288 Z e [ 2 N/mm ] 189.812 189.812 189.812 189.812 Z ε 0.809 0.809 0.775 0.775 Z β 0.969 0.969 0.969 0.969 Z l 0.966 0.966 0.966 0.966 Z v 0.966 0.966 0.956 0.956 Z r 1.114 1.114 1.116 1.116 Z w 0.872 0.947 0.872 0.947 Z x 1 1 1 1 N cicli 1.152*10 9 3.043*10 8 3.043*10 8 1.739*10 8 Z n (fatica) 1 1.070 1.070 1.105 Z n (statica) 1.6 1.6 1.6 1.6 p. 38/70

Nelle successive tabelle vengono riportati i risultati delle verifiche effettuate: VERIFICA A FATICA (s=1.1) Primo Stadio Secondo Stadio Pignone Ruota Pignone Ruota ζ H [MPa] 1.0264*10 3 551.9742 886.0719 685.8266 ζ H amm [MPa] 1.3589*10 3 1.3117*10 3 1.4426*10 3 1.3434*10 3 VERIFICA OK OK OK OK VERIFICA STATICA (s=1.3) Primo Stadio Secondo Stadio Pignone Ruota Pignone Ruota ζ H [MPa] 727.2963 370.0717 673.1770 504.6341 ζ H amm [MPa] 1.7704*10 3 1.5969*10 3 1.7704*10 3 1.5969*10 3 VERIFICA OK OK OK OK p. 39/70

Grippaggio Per questa verifica si applica la teoria di Blok, la quale prevede che al raggiungimento di una data temperatura (detta temperatura di flash), dipendente da ogni singolo materiale, il film chimico di lubrificante si interrompe bruscamente, creando un contatto asciutto tra i profili che causa il grippaggio. La temperatura totale T c (temperatura di contatto) delle dentature nella zona di contatto può essere espressa come somma della temperatura del corpo T b e della temperatura di flash T f, cioè dell innalzamento istantaneo della temperatura nella zona di contatto. Tc deve essere più piccola del valore limite Ts, caratteristica del lubrificante scelto. Si ha quindi: T C = T b + T f T f = 1,11 f b F nu v r1 v r2 2a T S > T C f = coefficiente d attrito b = coefficiente di contatto termico (12 16 dan/cm s ½ C) F nu = forza di contatto per unità di larghezza di fascia (dan/cm) v r1 e v r2 = velocità di rotolamento in cm/s (cfr. Henriot, Ingranaggi ) 2a = dimensione dell impronta di contatto (cm). La dimensione di impronta può essere espressa come: 2a = 0,02 F nu ρ r dove con r si è indicata la curvatura relativa dei profili: 1 ρ r = 1 ρ 1 + 1 ρ 2 p. 40/70

Si considera per il fattore b (che raccoglie le proprietà termofisiche del materiale) il seguente valore: b = 14 dan cm C s 0,5 Si definiscono inoltre le seguenti grandezze: GRANDEZZA Prima coppia Seconda coppia Forza di contatto [dan] 487.14 963.45 Larghezza di fascia [cm] 3,6 4,8 F nu [dan/cm] 146.5687 216.7713 Lunghezza segmento effettivo contatti [mm] Lunghezza teorica segmento contatti [mm] 14.2993 20.7586 42.3283 47.7780 Coefficiente attrito f 0.1 Velocità angolare pignone [rpm] 960 253.5849 Velocità angolare ruota [rpm] 253.5849 144.9057 Temperatura corpo ruota [ C] 80 Mediante un programma in Matlab si calcola l andamento della temperatura di flash in funzione dell ascissa sul segmento dei contatti e lo si diagramma qui di seguito. p. 41/70

Temperatura di Flash Temperatura di Flash Università degli studi di Roma Tor Vergata 140 PRIMO INGRANAGGIO 120 Tf accesso = 126.4649 Tf recesso = 127.4501 100 80 60 40 20 0-6 -4-2 0 2 4 6 8 10 Segmento dei contatti 120 SECONDO INGRANAGGIO Tf accesso = 106.8366 Tf recesso = 106.6361 100 80 60 40 20 0-10 -5 0 5 10 15 Segmento dei contatti p. 42/70

In definitiva si ha per i due stadi: GRANDEZZA Prima coppia Seconda coppia Massima temperatura di flash [ C] Massima temperatura di contatto [ C] Temperatura critica olio [ C] 127.4501 106.8366 207.4501 186.8366 224 224 VERIFICA OK OK Usura a marcia lenta Per la verifica di usura a marcia lenta si adotta come criterio di valutazione quello dello spessore massimo di usura accettabile, indicato dal Niemann. In particolare il valore massimo di usura accettabile scelto è quello pari a un terzo dell errore di passo (funzione della classe di precisione). Pertanto dovrà essere che: W amm = f pe 3 W = c 1T σ H σ HT 1,4 ρ C ρ CT ξ W ξ WT 60n W amm con: ρ C = curvatura relativa ξ W = strisciamenti specifici n = numero di giri in rpm e dove le grandezze con il pedice T sono riferite alla ruota campione. p. 43/70

Il coefficiente C 1T è funzione dello spessore minimo di lubrificante ed è ricavato graficamente dall apposito diagramma fornito dal Niemann. E pertanto necessario calcolare il valore dell altezza minima del meato mediante la seguente formula (cfr. Niemann): C = k u u + 1 0,43 a sin α wt u + 1 1,13 ν M ω 1 0,7 cos β 0,3 ω bt 0,13 dove: k = 2,65 α 0,54 ρ 0,7 1 2 1 ν 1 2 + 1 ν 2 2 E 1 u = z 2 z 1 = rapporto tra i denti a = interasse α wt = angolo di pressione frontale ν M = viscosità cinematica olio ω 1 = velocità angolare del pignone β = angolo d elica ω bt = carico lineare normale nella sezione trasversale α = viscosità a compressione ρ = densità dell olio ν 1, ν 2 = coefficienti di Poisson dei materiali costituenti le ruote E 1, E 2 = moduli di Young dei materiali costituenti le ruote E 2 0,03 Dalle formule precedenti e dai grafici menzionati si ottengono i seguenti risultati: GRANDEZZA Prima coppia Seconda coppia Pignone Ruota Pignone Ruota h c [mm] 1.23*10-4 2.21*10-4 C 1T [mm] 5*10-7 5*10-7 W[mm/h] 5.18*10-4 0.0036 0.0016 0.0031 W amm [mm/h] 0.0050 0.0050 VERIFICA OK OK OK OK p. 44/70

DIMENSIONAMENTO DEGLI ALBERI E SCELTA DEI CUSCINETTI Si riportano di seguito gli schemi statici e le verifiche di resistenza statica e a fatica per i tre alberi e per entrambi i sensi di rotazione. Nei disegni il colore dei vettori forza indica il diverso senso di rotazione, mentre il colore delle sezioni critiche verificate a fatica ricalcano i fogli di calcolo in Excel utilizzati per effettuare le verifiche. Albero in ingresso Di seguito si riportano i diagrammi del taglio e del momento flettente per entrambi i versi di rotazione. I diagrammi dello sforzo normale e del momento torcente vengono tralasciati perché speculari in tutti gli alberi per i due versi di rotazione. p. 45/70

Momento Flettente Momento Flettente 0 0-20000 -20000-40000 -40000-60000 -60000-80000 Momento Flettente -80000 Momento Flettente -100000-100000 -120000-120000 -140000-140000 -160000-160000 Taglio Taglio 3500 3500 3000 3000 2500 2500 2000 2000 Taglio Taglio 1500 1500 1000 1000 500 500 0 0 Le verifiche a fatica sono state eseguite secondo la norma 7670 considerando punti delle sezioni critiche in corrispondenza della periferia e del centro, e quindi considerando contemporaneamente la presenza di flessione e torsione in un caso e solo di taglio nell altro caso. In quasi tutte le verifiche si è utilizzato un coefficiente di sicurezza statico pari a 1.5, sovradimensionando il coefficiente consigliato dalla norma e lavorando perciò in sicurezza. Anche per le verifiche statiche si è scelto di seguire la norma 7670, considerando i fattori di intaglio e geometrici e come tensione ammissibile quella di snervamento. Si riportano i risultati delle verifiche statiche e a fatica. p. 46/70

Sezione A VERIFICA A FATICA Tensione effettiva 0.6697 Tensione ammissibile 0.7349 Taglio effettivo [MPa] 5.6562 Taglio ammissibile[mpa] 34.0567 VERIFICA STATICA ζ_eq [MPa] 41.53 ζ_amm [MPa] 250.50 VERIFICA OK Sezione B VERIFICA A FATICA Tensione effettiva 0.1474 Tensione ammissibile 0.7951 Taglio effettivo [MPa] 3.9279 Taglio ammissibile[mpa] 41.1430 VERIFICA STATICA ζ_eq [MPa] 27.37 ζ_amm [MPa] 208.38 VERIFICA OK Sezione C VERIFICA A FATICA Tensione effettiva 0.4576 Tensione ammissibile 0.7351 Taglio effettivo [MPa] 3.1816 Taglio ammissibile[mpa] 28.4060 VERIFICA STATICA ζ_eq [MPa] 27.70 ζ_amm [MPa] 187.20 VERIFICA OK p. 47/70

Sezione D VERIFICA A FATICA Tensione effettiva 0.2182 Tensione ammissibile 0.7824 Taglio effettivo [MPa] 3.9279 Taglio ammissibile[mpa] 36.3164 VERIFICA STATICA ζ_eq [MPa] 29.39 ζ_amm [MPa] 208.37 VERIFICA OK Sezione E VERIFICA A FATICA Tensione effettiva 0.0443 Tensione ammissibile 0.7210 Taglio effettivo [MPa] 4.3468 Taglio ammissibile[mpa] 26.4801 VERIFICA STATICA ζ_eq [MPa] 6.95 ζ_amm [MPa] 250.50 VERIFICA OK p. 48/70

Contemporaneamente alle verifiche a fatica sono stati scelti e verificati i cuscinetti. Per il lato cerniera si è scelto un cuscinetto SKF obliquo a doppia corona di sfere 3306 A, si riportano i dati salienti delle verifiche a fatica: Caratteristiche SKF 3306A P_eq [N] 4381.6 C 45932.3 dm 51 ν1 21 ν 42 k 2 olio ISO VG 100 ηc 0.5 Temp ( C) 60 ηc*pu/p 0.139 a1 1 a_skf 12 Lh 177011 Mentre per il lato carrello si è scelto un cuscinetto a rulli cilindrici SKF NU 206 ECP: Caratteristiche SKF NUP 206 ECP P_eq [N] 2304.4 C 19098.7 dm 46 ν1 20 ν 42 k 2.1 olio ISO VG 100 ηc 0.5 Temp ( C) 60 ηc*pu/p 0.759 a1 1 a_skf 12 Lh 3875907 p. 49/70

Albero intermedio Di seguito si riportano di seguito i diagrammi del taglio e del momento flettente per entrambi i versi di rotazione. Momento Flettente Momento Flettente 0-50000 -100000-150000 -200000-250000 -300000-350000 -400000-450000 -500000 50000 0-50000 -100000-150000 -200000-250000 -300000-350000 -400000-450000 -500000 p. 50/70

Taglio Taglio 10000 9000 8000 7000 6000 5000 4000 3000 2000 1000 0 10000 9000 8000 7000 6000 5000 4000 3000 2000 1000 0 Verifiche a fatica e statiche secondo la norma 7670: Sezione E VERIFICA A FATICA Tensione effettiva 0.3659 Tensione ammissibile 0.7336 Taglio effettivo [MPa] 9.0423 Taglio ammissibile[mpa] 38.8947 VERIFICA STATICA ζ_eq [MPa] 28.929 ζ_amm [MPa] 186.3877 VERIFICA OK Sezione B VERIFICA A FATICA Tensione effettiva 0.6700 Tensione ammissibile 0.7181 Taglio effettivo [MPa] 5.0144 Taglio ammissibile[mpa] 37.3297 VERIFICA STATICA ζ_eq [MPa] 46.4050 ζ_amm [MPa] 180.3636 VERIFICA OK p. 51/70

Sezione F VERIFICA A FATICA Tensione effettiva 0.4792 Tensione ammissibile 0.7317 Taglio effettivo [MPa] 2.4640 Taglio ammissibile[mpa] 46.9843 VERIFICA STATICA ζ_eq [MPa] 46.9492 ζ_amm [MPa] 180.3636 VERIFICA OK Sezione G VERIFICA A FATICA Tensione effettiva 0.3415 Tensione ammissibile 0.7691 Taglio effettivo [MPa] 2.0130 Taglio ammissibile[mpa] 40.5215 VERIFICA STATICA ζ_eq [MPa] 40.0991 ζ_amm [MPa] 134.9968 VERIFICA OK Sezione C VERIFICA A FATICA Tensione effettiva 0.0652 Tensione ammissibile 0.7321 Taglio effettivo [MPa] 2.5739 Taglio ammissibile[mpa] 34.7072 VERIFICA STATICA ζ_eq [MPa] 12.9230 ζ_amm [MPa] 179.7101 VERIFICA OK p. 52/70

Sezione H VERIFICA A FATICA Tensione effettiva 0.2117 Tensione ammissibile 0.7658 Taglio effettivo [MPa] 5.8233 Taglio ammissibile[mpa] 39.2798 VERIFICA STATICA ζ_eq [MPa] 30.9438 ζ_amm [MPa] 158.4745 VERIFICA OK Sezione I VERIFICA A FATICA Tensione effettiva 0.3245 Tensione ammissibile 0.7265 Taglio effettivo [MPa] 12.8542 Taglio ammissibile[mpa] 36.1821 VERIFICA STATICA ζ_eq [MPa] 25.3411 ζ_amm [MPa] 186.3877 VERIFICA OK p. 53/70

Per l albero intermedio sono stati scelti cuscinetti dello stesso tipo dell albero in ingresso, e quindi avremo: Caratteristiche SKF 3307A (cerniera) SKF NUP 2207ECP P [N] 7877.0 9275.4 C 52985.2 51564.0 dm 57.5 53.5 ν1 55 57 ν 42 42 k 0.76 0.74 olio ISO VG 100 ISO VG 100 ηc 0.5 0.5 Temp ( C) 60 60 ηc*pu/p 0.095 0.439 a1 1 1 a_skf 1.4 0.8 Lh 26467 22115 Albero in uscita p. 54/70

Di seguito si riportano di seguito i diagrammi del taglio e del momento flettente per entrambi i versi di rotazione. Momento Flettente Momento Flettente 0-50000 -100000-150000 -200000-250000 -300000-350000 0-50000 -100000-150000 -200000-250000 -300000-350000 8000 Taglio 8000 Taglio 6000 6000 4000 4000 2000 2000 0 0 Verifiche a fatica e statiche secondo la norma 7670: Sezione D VERIFICA A FATICA Tensione effettiva 0.0355 Tensione ammissibile 0.7126 Taglio effettivo [MPa] 4.4443 Taglio ammissibile[mpa] 36.5926 VERIFICA STATICA ζ_eq [MPa] 8.0711 ζ_amm [MPa] 168.2497 VERIFICA OK p. 55/70

Sezione E VERIFICA A FATICA Tensione effettiva 0.5745 Tensione ammissibile 0.7126 Taglio effettivo [MPa] 3.3283 Taglio ammissibile[mpa] 36.5926 VERIFICA STATICA ζ_eq [MPa] 46.6655 ζ_amm [MPa] 281.82 VERIFICA OK Sezione B VERIFICA A FATICA Tensione effettiva 0.44812 Tensione ammissibile 0.7246 Taglio effettivo [MPa] 3.3283 Taglio ammissibile[mpa] 44.3459 VERIFICA STATICA ζ_eq [MPa] 49.0428 ζ_amm [MPa] 180.36 VERIFICA OK Sezione F VERIFICA A FATICA Tensione effettiva 0.4575 Tensione ammissibile 0.7340 Taglio effettivo [MPa] 4.2810 Taglio ammissibile[mpa] 45.3054 VERIFICA STATICA ζ_eq [MPa] 52.0389 ζ_amm [MPa] 225.4545 VERIFICA OK p. 56/70

Anche per l albero in uscita il tipo di cuscinetti coincide con quelli sugli alberi precedenti, e quindi si avrà: Caratteristiche SKF 3210 A (cerniera) SKF NUP 209 ECP P [N] 8306,7 5301.3 C 50450,1 24912.7 dm 70 65 ν1 75 85 ν 49 42 k 0,65 0.49 olio ISO VG 100 ISO VG 100 ηc 0.5 0.5 Temp ( C) 60 60 ηc*pu/p 0,09 0.769 a1 1 1 a_skf 1,1 0.6 Lh 22727 209483 p. 57/70

VERIFICA A RISONANZA DEGLI ALBERI In questo capitolo si effettuerà la verifica a risonanza degli alberi precedentemente dimensionati. Tale verifica verrà eseguita effettuando il calcolo delle pulsazioni critiche flessionali e torsionali e controllando che le velocità di rotazione a regime degli alberi sia al di fuori della fascia critica 0,8 ω C 1,2 ω C. Nel caso le velocità di rotazione a regime siano superiori alle velocità critiche, sarà necessario prevedere un transitorio durante l accensione il più breve possibile, al fine di superare velocemente la zona di risonanza e portare il sistema alle condizioni stabili di funzionamento. Flessione Per il calcolo delle velocità critiche flessionali è stato utilizzato il metodo dell Equazione delle Frequenze (cfr. E. Pennestrì, Dinamica tecnica e computazionale Vol. 1 ). Tale metodo si avvale delle seguenti ipotesi: massa dell albero trascurabile materiale isotropo elastico lineare campo di tensioni in regime elastico Il suddetto metodo si avvale delle equazioni della linea elastica per determinare la rigidezza dell albero: dopodiché approssima la frequenza di risonanza del rotore in esame a quella propria di un sistema massa-molla, con massa pari a quella dell organo calettato (o di pezzo nel caso dei pignoni) sull albero e rigidezza pari a quella dell albero stesso. Avremo dunque per il primo ed il terzo albero un sistema ad un solo grado di libertà, per i quali varranno le seguenti relazioni: K = X EI l 3 ω C = K m con X = coefficiente derivato dalla risoluzione della linea elastica dell albero p. 58/70

Per l albero intermedio avremo invece un sistema a due gradi di libertà, rappresentato dal seguente sistema lineare: m 1 0 0 m 2 x 1 x 2 + k 11 k 12 k 21 k 22 x 1 x 2 = 0 0 dal quale con semplici passaggi si ricava: a 11 m 1 λ a 12 m 2 a 21 m 1 a 22 m 2 λ x 1 x 2 = 0 0 con: m 1, m 2 = masse volanice calettate sui rotori a 11, a 12, a 21, a 22 = fattori di influenza λ = 1 ω 2 Si riportano gli schemi cui si farà riferimento per i calcoli successivi: p. 59/70

Mediante l ausilio di un programma di calcolo appositamente realizzato si calcolano le velocità critiche flessionali di ogni albero. Per il diametro degli alberi ci si pone nella condizione più sfavorevole, considerando il suddetto costante per tutta lunghezza del rotore e pari al valore minimo. Dalla risoluzione dei precedenti sistemi si ottengono i risultati riportati nella successiva tabella: ALBERO IN INGRESSO Lunghezza [mm] 100 Diametro [mm] 25 Massa Pignone [kg] 0,4506 Rigidezza [N/m] 2.0407*10 8 Velocità di rotazione [rpm] 960 Velocità critica flessionale [rpm] 2.0322*10 5 VERIFICA OK ALBERO INTERMEDIO Lunghezza [mm] 199 Diametro [mm] 45 Massa Ruota [kg] 6.3706 Massa Pignone 2 [kg] 2.1504 a 11 [m/n] 1.8177*10-9 a 12 [m/n] 1.9771*10-9 a 21 [m/n] 1.9771*10-9 a 22 [m/n] 3.2503*10-9 Velocità di rotazione [rpm] 253.5849 Velocità critica flessionale 1 [rpm] 5.6325*10 8 Velocità critica flessionale 2 [rpm] 5.9110*10 9 VERIFICA OK p. 60/70

ALBERO IN USCITA Lunghezza [mm] 96,1 Diametro [mm] 35 Massa Ruota [kg] 6,4112 Rigidezza [N/m] 7.2423*10 8 Velocità di rotazione [rpm] 144.9057 Velocità critica flessionale [rpm] 1.0149*10 5 VERIFICA OK Torsione Il sistema in esame (comprendente riduttore, motore, utilizzatore) è schematizzato nella figura successiva. La verifica relativa alle velocità critiche torsionali è stata effettuata seguendo il calcolo delle stesse mediante il metodo delle masse ridotte (cfr. E. Pennestrì, Dinamica tecnica e computazionale Vol. 1 ), che consiste appunto nel ridurre l intero insieme ad un unico albero di diametro costante e pari a quello in ingresso, su cui sono calettate tre masse volaniche tali da non modificare l energia cinetica del sistema originale. p. 61/70

Per la riduzione di lunghezze e masse valgono le seguenti relazioni 3 : L e = L 1 + τ 1 2 L 2 d 1 d 2 4 + τ 1 2 τ 2 2 L 3 d 1 d 3 4 I u eq = I u τ 1 2 τ 2 2 I g = I C + I D + I E τ 1 2 + I F τ 1 2 τ 2 2 Una volta semplificato il modello da analizzare, si scrivono le equazioni che governano il moto del rotore equivalente e si risolve il sistema lineare da esse composto, calcolando così le 3 pulsazioni critiche torsionali. In particolare si avrà: K = k 12 k 12 0 k 12 k 12 + k 23 k 23 0 k 23 k 23 m = I m 0 0 0 I g 0 0 0 I u eq K ω 2 m = 0 3 In questo caso il rapporto di trasmissione è definito come τ = n n p. 62/70

Dalla risoluzione delle precedenti relazioni si ottengono i seguenti risultati: SISTEMA RIDOTTO L 1 [m] 0,300 L 2 [m] 0,107 L 3 [m] 0,300 d 1 (valore medio) [mm] 25 d 2 (valore medio) [mm] 57 d 3 (valore medio) [mm] 44 L e [m] 37,4403 I m [kg*m 2 ] 0.1 I u [kg*m 2 ] 12.0647 I u_eq [kg*m 2 ] 0.2749 I g [kg*m 2 ] 0.0022 k 12 [N/m] 1.0227*10 4 k 23 [N/m] 82.6046 Velocità massima di rotazione [rpm] 960 Velocità critica torsionale 1 [rpm] 0 Velocità critica torsionale 2 [rpm] 316.7031 Velocità critica torsionale 3 [rpm] 2.0690*10 4 VERIFICA OK p. 63/70

VERIFICA DELL INFLESSIONE DEGLI ALBERI Per il calcolo delle frecce e delle rotazioni sugli alberi si è deciso di procedere mediante modellazione agli elementi finiti utilizzando il software FEMAP 10.0 e il solutore NSC NASTRAN. I valori massimi accettabili della freccia e della rotazione per un riduttore meccanico con la tipologia di cuscinetti scelta sono rispettivamente (cfr. C. Brutti, Introduzione alla progettazione meccanica ): L δ MAX = 3000 φ MAX = 1 500 Le analisi (effettuate per entrambi i sensi di rotazione) sono state eseguite mediante modelli di tipo Beam nei quali non si è tenuto conto della deformata dovuta al peso proprio degli alberi e al peso delle ruote dentate poiché, alla luce di quanto riscontrato analizzando le deformate nel capitolo delle risonanze, si è ritenuto il loro effetto del tutto trascurabile. In ogni caso, come si può riscontrare più avanti, la verifica a deformazione e rotazione è largamente superata e pertanto il considerare i contributi assai modesti dei pesi trascurati non pregiudicherebbe l esito di tale verifica. p. 64/70

p. 65/70

Dalle analisi FEM effettuate si hanno i seguenti risultati: ALBERO IN INGRESSO δ max /l 6.63*10-5 φ max [rad] 4.57*10-4 VERIFICA OK ALBERO INTERMEDIO δ max /l 1.09*10-4 φ max [rad] 8.08*10-4 VERIFICA OK ALBERO IN USCITA δ max /l 4.57*10-5 φ max [rad] 7.10*10-4 VERIFICA OK p. 66/70

VERIFICA DEGLI ORGANI DI CALETTAMENTO La scelta delle linguette (e il loro dimensionamento) è stata operata in riferimento alla norma UNI 6604. L analisi per il dimensionamento di tali linguette riguarda il calettamento delle ruote condotte sull albero intermedio e su quello in uscita. Il materiale ritenuto più consono per questa applicazione, è l acciaio C40-C45. La trasmissione della potenza tra la linguetta e la cava della ruota avviene tramite le facce laterali della linguetta stessa, dove si genera una pressione p che si suppone uniformemente distribuita; le forze che si generano sulle due facce laterali sono pari a: F = 1 p l 2 e danno origine ad un momento: M = 1 p l 2 4 dove l è la lunghezza della linguetta, b la sua larghezza e h la sua altezza. La relazione utilizzata per il dimensionamento è la seguente: L = 4 M p(f) d Linguetta albero intermedio Per un diametro dell albero da 47mm la norma prescrive l impiego di una classe di linguette A con valori bxh pari a 14x9. Usando la precedente relazione per il dimensionamento si ottiene una lunghezza attiva minima della linguetta di 22,38mm. La lunghezza effettiva sarà quella immediatamente superiore a quella trovata. Tuttavia si nota che per la classe di linguette 14x9 la normativa UNI prescrive una lunghezza minima di 36mm, ovvero pari alla larghezza di fascia della ruota. Per evitare che la linguetta vada a filo con la ruota calettata, creando incertezze di accoppiamento con il distanziale e/o lo spallamento si decide di installare due linguette di classe A 12x8, che è immediatamente inferiore alla precedente. La relazione di sopra verrà modificata dividendo il momento torcente per il numero delle chiavette installate (due). p. 67/70