Geometria Lingotto. LeLing7: Indipendenza lineare, basi e dimensione. Ārgomenti svolti: Indipendenza lineare e scrittura unica. Basi e dimensione. Coordinate. Ēsercizi consigliati: Geoling. Indipendenza lineare e scrittura unica Dato un vettore v L(w, w,, w n ) sappiamo che (per definizione) v e una combinazione lineare di w, w,, w n, cioe v = c w + c w + + c n w n. Quello che non possiamo dire e se la combinazione lineare e unica, cioe diversi coefficienti c, c,, c n possono eventualmente produrre lo stesso vettore v. Esempio.. La colonna C = B = appartiene a L(A, B) dove A = e. Infatti C e una combinazione lineare di A e B e.g. C =.A + ( ).B. Ma la combinazione lineare C =.A + ( ).B non e l unico modo di esprimere C come combinazione lineare di A e B. Ecco un altro modo C = ( )A + B. Definizione.. I vettori w, w,, w n si dicono linearmente indipendenti (in breve: L.I.) se i vettori di L(w, w,, w n ) si scrivono in modo unico come combinazione lineare di w, w,, w n. Altrimenti, i vettori w, w,, w n si dicono linearmente dipendenti (in breve: L.D.): cioe, se esiste un vettore che si scrive come due combinazioni lineari dei w, w,, w n con coefficienti diversi. Ingegneria dell Autoveicolo, LeLing7 Geometria
Geometria Lingotto. Per quanto appena definito, le colonne A, B dell esempio precedente sono linearmente dipendenti. E interessante guardare la definizione precedente dal punto di vista di un sistema lineare non-omogeneo. Ricordiamo che un sistema lineare non omogeneo si puo scrivere come: x w + x w + + x n w n = v, () dove v e il termine noto, x, x,, x n sono le incognite, etc. Cioe un sistema non-omogeneo pone il problema di determinare se un vettore v (il termine noto) appartiene al sottospazio L(w,, w n ). Ora, se prendiamo da un v L(w,, w n ) siamo sicuri che il sistema non omogeneo () e compatible. Cio di cui non siamo sicuri e se la soluzione e unica. La definizione (.) ci aiuta a rispondere a tale problema: la soluzione del sistema non-omogeneo () e unica se e solo se i vettori w, w,, w n sono linearmente indipendenti. Teorema.. I vettori w, w,, w n sistema omogeneo associato sono linearmente indipendenti se e solo se il x w + x w + + x n w n = ha soltanto la soluzione banale x =, x =, x =,, x n =. In altre parole, i vettori w, w,, w n sono linearmente indipendenti se e solo se l unica combinazione lineare di w, w,, w n che produce lo zero e quella banale, cioe quella in cui tutti i coefficienti sono zero. Il teorema e molto interessante perche ci dice che basta verificare che lo zero si scrive in modo unico come combinazione lineare di w, w,, w n per essere sicuri che qualsiasi vettore v L(w, w,, w n ) si scrive in modo unico come combinazione lineare di w, w,, w n. Dimostrazione del Teorema.. Se i vettori sono L.I. allora lo zero si scrive in modo unico come combinazione lineare di w, w,, w n per definizione, cioe soltanto con tutti i coefficienti uguali a zero. Dunque assumiamo che lo zero si scriva in modo unico, mentre un vettore v si scriva eventualmente in due modi diversi: Ingegneria dell Autoveicolo, LeLing7 Geometria
Geometria Lingotto. Facendo la differenza otteniamo { v = c w + c w + c w + + c n w n, v = d w + d w + d w + + d n w n v v = = (c d )w + (c d )w + (c d )w + + (c n d n )w n. Dunque la differenza v v esprime lo zero come combinazione lineare di w, w,, w n. Poiche per ipotesi lo zero si scrive in modo unico, risulta c d =, c d =, c d =, etc. Cioe, anche v si scrive in modo unico come combinazione lineare di w, w,, w n e questo termina la dimostrazione. Osservazione Importante: Se i vettori w, w,, w n sono vettori colonna, allora essi sono L.I. se e soltanto se l unica soluzione del sistema omogeneo x w + x w + + x n w n = e quella banale, cioe x =, x =, x =, etc. Esempio.4. Le colonne A = omogeneo: x x =, x = + x = Esempio.5. Le colonne A = omogeneo: x + x banale x = x = =, cioe e B =, cioe e B = x + x = x + x = x + x = sono L.D. Infatti il sistema x + x = x = x + x = ha soluzioni non banali: sono L.I. Infatti il sistema ha soltanto la soluzione Osserviamo che se i vettori w, w,, w n sono L.I. allora, in particolare, w, w, w, etc. Infatti se, diciamo, w i = allora si potrebbe scrivere = w + w + +.w i + +.w v, cioe lo zero come combinazione lineare non banale di w, w,, w n ; e questo contraddice l ipotesi di L.I. Ingegneria dell Autoveicolo, LeLing7 Geometria
. Dimensione Geometria Lingotto. Esempio.6. Le colonne quattro colonne Infatti la terza colonna e quella banale.,, e sono L.D. Due vettori v e v sono L.I. se uno non e un multiplo dell altro. Tre vettori v, v e v sono linearmente independenti se nessuno di essi si puo scrivere come una combinazione lineare degli altri due. Piu in generale: Proposizione.7. I vettori v, v,, v n sono L.I. se e solo se L(v, v,, v i,, v n ) L(v, v,, v i,, v n ), dove v i significa togliere dalla lista il vettore v i.. Dimensione Sia W = L(w, w,, w n ) un sottospazio generato da n vettori. Dal Teorema di Steinitz segue che se m > n e v, v,, v n, v n+,, v m W allora v, v,, v n, v n+,, v m sono linearmente dipendenti. In parole povere, in L(w, w,, w n ) piu di n vettori sono sempre L.D. Infatti, se cerchiamo un eventuale combinazione lineare nulla x v + x v + + x m v m = risulta (usando il fatto che v i = n j= a ijw j ): n n n x ( a j w j ) + x ( a j w j ) + + x m ( a mj w j ) = j= j= e mettendo in evidenza il sottoindice j risulta: i= i= j= m m m ( x i a i )w + ( x i a i )w + + ( x i a in )w n =. Cerchiamo allora una soluzione non banale x, x,, x m del sistema omogeneo: i= Ingegneria dell Autoveicolo, LeLing7 4 Geometria
. Basi e coordinate Geometria Lingotto. m i= x ia i = m i= x ia i =. m i= x ia in = e siccome m > n questo sistema ha una soluzione non banale per il Teorema di Steinitz. Questo dimostra la seguente proposizione. Proposizione.8. Se m > n e se v, v,, v m L(w, w,, w n ) allora i vettori v, v,, v m sono L.D. Puo capitare che un sottospazio W sia generato in due modi diversi, cioe W = L(w, w,, w n ) e W = L(v, v,, v m ). Ma se i vettori w, w,, w n sono L.I. e anche i vettori v, v,, v m lo sono, allora m = n necessariamente, cioe il numero di generatori L.I. di W non cambia, come risulta applicando la proposizione precedente. Questo giustifica la definizione di dimensione. Definizione.9. Il sottospazio W = L(w, w,, w n ) ha dimensione n se i vettori w, w,, w n sono L.I. In simboli, si scrive dim(w) = n. Il sottospazio banale W = {} ha dimensione. Ha anche senso parlare della dimensione dim(v) di uno spazio vettoriale (essendo V un particolare sottospazio di se stesso): cioe, dim(v) = n se e solo se esistono n vettori L.I. w, w,, w n tali che V = L(w, w,, w n ).. Basi e coordinate Se lo spazio vettoriale V ha dimensione n allora esistono n vettori w, w,, w n L.I. che generano V. Detto in parole piu semplici: tutti i vettori v V si scrivono di modo unico come combinazioni lineari di w, w,, w n, cioe v = c w + c w + + c n w n. Questo si puo interpretare come un corrispondenza tra i vettori v V e le colonne C n : c c v. c n Ingegneria dell Autoveicolo, LeLing7 5 Geometria
. Basi e coordinate Geometria Lingotto. Cioe, data una colonna c c. c n si ricava un vettore v tramite i vettori w, w,, w n come la combinazione lineare v = c w + c w + + c n w n. Notare l importanza che gioca l ordine dei vettori w, w,, w n inquesto ultimo passaggio. Poniamo n = per esempio, e prendiamo la colonna che rappresenta il vettore v =.w + w + w. Questo vettore e ovviamente diverso dal vettore.w + w + w ; dunque e importantissimo usare la componente i-esima della colonna come coefficiente del vettore i-esimo w i. Da questa spiegazione discende la prossima definizione. Definizione.. Sia V uno spazio vettoriale. Una base B di V e una n-upla, (in cui cioe conta l ordine) (w, w,, w n ) di n vettori tale che: (i) i vettori w, w,, w n sono L.I., (ii) V = L(w, w,, w n ). In simboli, si scrive B = (w, w,, w n ). Osserviamo che il numero di vettori di una base e la dimensione dello spazio vettoriale. Esempio.. Ecco una base dello spazio C : B = (,, Scambiando l ordine dei vettori della base precedente si ottiene una base diversa: D = (,, Data una base B = (w, w,, w n ) di uno spazio vettoriale la corrispondenza ) ) Ingegneria dell Autoveicolo, LeLing7 6 Geometria
. Esistenza delle basi Geometria Lingotto. v si chiama sistema di coordinate; equivalentemente, i coefficienti c, c,, c n si dicono le coordinate del vettore v rispetto alla base B = (w, w,, w n ). Esempio.. Le coordinate della colonna rispetto alla base D sono,,. Le coordinate di un vettore cambiano a seconda della base. Ma c e un vettore le cui coordinate sono sempre le stesse, in qualsiasi base: lo. Infatti, al vettore nullo corrispondono sempre le coordinate,,,,. Osservare che se un vettore v e il primo vettore di una base B, allora le sue coordinate respetto a B sono,,,,...,. Se v e il secondo vettore allora le sue coordinate sono,,,,,, e così via. Gli spazi vettoriali delle colonne C n hanno una base (resp. righe R n ) chiamata base canonica che e quella fatta con le colonne (resp. righe) aventi un coefficiente uguale a e tutti gli altri uguali a zero, prese nel ordine naturale.. Esistenza delle basi Dalla definizione di dimensione e di base segue che ogni spazio di dimensione finita ha una base. Il problema dell esistenza di una base e il seguente: siano v, v,, v n V vettori di uno spazio vettoriale e sia W = L(v,, v n ) il sottospazio da essi generato; se i vettori v, v,, v n sono L.I. sappiamo per definizione che dim(w) = n e che B = (v, v,, v n ) e una base di W; ma cosa succede se i vettori v, v,, v n sono L.D.? W ha comunque dimensione finita? Ed esiste una base di W? Una cosa che dobbiamo capire e che le risposte a queste due domande non sono banali, cioe rispondere ad esse comporta una certa fatica. c c. c n Ingegneria dell Autoveicolo, LeLing7 7 Geometria
.4 Sottospazi: una desiguaglianza importante Geometria Lingotto. Ecco un metodo che risponde a tale problema, noto come il metodo degli scarti successivi. Se i vettori v, v,, v n sono L.D. allora uno di loro si esprime come combinazione lineare degli altri. Possiamo assumere per semplicita che questo vettore sia v n. Dunque possiamo generare W con n vettori scartando v n, dunque W = L(v,, v n ). Adesso ripetiamoci la domanda, chiediamoci cioe se i vettori v,, v n sono L.I. oppure no. Se la risposta e si, allora dim(w) = n e abbiamo finito. Se la risposta e no, possiamo continuare scartando ulteriori vettori. Chiaramente dopo un numero finito di scarti o li avremo scartati tutti, oppure arriveremo ad una risposta positiva, cioe dim(w) n ed esiste una base. Osserviamo che l unico caso in cui si scartano tutti e quando v = v = = v n =, cioe W e il sottospazio banale W = {} che contiene solo il vettore nullo; e, in questo caso, dim(w) =. Riassumiamo quanto spiegato nel seguente teorema. Teorema.. Se lo spazio vettoriale V e finitamente generato e non banale ( cioe V = L(v, v,, v n ) e almeno un vettore v i non e nullo) allora V ha una base e dim(v) n..4 Sottospazi: una desiguaglianza importante Intuitivamente e chiaro che la dimensione di un sottospazio W V deve essere minore o uguale alla dimensione dello spazio vettoriale V; per esserne sicuri dobbiamo pero dimostrarlo. Teorema.4. Sia W V un sottospazio dello spazio vettoriale V. Allora dim(w) dim(v). Inoltre, la ugualianza e vera se e solo se W = V. Dimostrazione. Sia n = dim(w), cioe W = L(v,, v n ) dove i v,, v n sono L.I. Allora se W V risulta dalla discusione iniziale che dim(v) > n; cioe, se esiste v / L(v,, v n ) allora i vettori v,, v n, v sono L.I. e dunque dim(v) > n. Corollario.5. Sia V uno spazio vettoriale. Se per ogni n N esiste un sottospazio W di dimensione dim(w) n allora V non ha dimensione finita. E facile vedere che molti spazi hanno dimensione infinita (cioe, non finita); ad esempio, lo spazio vettoriale di tutti i polinomi, quello di tutte le funzioni continue, etc, etc. Ingegneria dell Autoveicolo, LeLing7 8 Geometria