Potenze: alcune semplici equazioni Fissiamo ora un numero reale a ed un numero intero positivo n. Vogliamo risolvere l equazione x n = a definizione: Le eventuali soluzioni prendono il nome di radici n-esime (algebriche) di a e si indicano con il simbolo n a Per capire come funzionano le cose, cominciamo con l analizzare alcuni casi particolari.
Potenze: alcune semplici equazioni caso n = 2 : x 2 = a In questo caso parliamo di radici quadrate (algebriche) o semplicemente radici (algebriche) e scriviamo a È chiaro a tutti che: se a < 0 l eq. non ha soluzioni (non esiste a) se a = 0 l eq. ha una sola soluzione x = 0 ( 0 = 0) se a > 0 l eq. ha due soluzioni, di ugual valore assoluto ma segno opposto ( a = ±x) Si ha lo stesso comportamento per ogni valore pari di n.
Potenze: alcune semplici equazioni caso n = 3 : x 3 = a In questo caso parliamo di radici cubiche e scriviamo 3 a È chiaro a tutti che: per ogni valore di a l eq. ha una sola soluzione. 3 a > 0 se a > 0 Inoltre 3 0 = 0 3 a < 0 se a < 0 Si ha lo stesso comportamento per ogni valore dispari di n.
Potenze: alcune semplici equazioni Abbiamo visto che il simbolo n a può indicare uno, due o nessun valore a seconda dei casi. Talvolta si crea la necessità che il simbolo di radice indichi un solo risultato. definizione: Se n pari e a 0, l unica radice n-esima (algebrica) nonnegativa di a prende il nome di radice n-esima (aritmetica) di a. Se n dispari e a R, l unica radice n-esima (algebrica) di a prende anche il nome di radice n-esima (aritmetica) di a. La radice n-esima aritmetica di a si indica con i simboli n a o a 1 n attenzione: Lo stesso simbolo può indicare due cose diverse: la radice aritmetica e la radice algebrica! 25 = ±5 (radice algebrica) 25 = 5 (radice aritmetica) in generale x 2 = ±x (radice algebrica) x 2 = x (radice aritmetica) mentre 3 x 3 = x (radice algebrica = radice aritmetica)
Espressioni irrazionali definizione: Un espressione irrazionale è un espressione algebrica in cui la variabile compare sotto il simbolo di radice n-esima. Nelle espressioni irrazionali la radice si intende sempre in senso algebrico esempi: 4x 3x 2 3 3 2x + 5 x x 7 x sono espr. irraz. 7 x 3 x 7 + x 5 non sono espr. irraz. 18 definizione: L espressione che compare sotto radice prende il nome di radicando definizione: Chiamiamo dominio di esistenza di un espr. irraz. l insieme dei valori della variabile per cui l espressione risulta ben definita. Se la radice ha indice pari, il dominio di esistenza è dato dai valori di x per cui il radicando risulta nonnegativo. Dunque per determinare il dominio di esistenza di un espr. irraz. pari bisogna risolvere una disequazione (razionale) Se la radice ha indice inpari, il dominio di esistenza non ha
Equazioni irrazionali - indice dispari Consideriamo equazioni del tipo n f (x) = g(x) dove f (x) e g(x) sono espressioni nell incognita x e n è dispari 3 esempi: x 2 3 + 11x + 27 = x + 3 x x 3 + x 1 = 0 In generale Ci si riporta alla forma normale n f (x) = g(x) Non servono condizioni di esistenza, poiché n f (x) è ben definita per qualunque valore di f (x) Non servono condizioni di consistenza, poiché n f (x) può assumere qualunque valore Si sfrutta la relazione: a n = b n se, e solo se, a = b. Ne segue che l eq. assegnata è equivalente a f (x) = (g(x)) n
Equazioni irrazionali - indice pari Consideriamo equazioni del tipo n f (x) = g(x) dove f (x) e g(x) sono espressioni nell incognita x e n è pari esempi: 5 x 2 4 = x 1, x 4 3x 2 4 = x, 2 x + (x 1) 2 + 2x 1 = 0 In generale Ci si riporta alla forma normale n f (x) = g(x) Si impone la condizione di esistenza f (x) 0 poiché n f (x) è definita solo se f (x) 0 Si impone la condizione di consistenza g(x) 0 poiché n f (x) può assumere solo valori nonnegativi Si sfrutta la relazione: a n = b n se, e solo se, a = b (se a, b 0). Ne segue che l eq. assegnata è verificata se f (x) = (g(x)) n
Equazioni irrazionali - indice pari Da quanto abbiamo detto fin qui, un equazione irrazionale di indice pari è equivalente ad un sistema misto (di due disequazioni e una equazione) f (x) 0 g(x) 0 f (x) = (g(x)) n osservazione: La seconda e la terza condizione, insieme, assicurano la prima condizione, in quanto f (x) = (g(x)) n 0 se g(x) 0. Pertanto possiamo concludere che un equazione irrazionale di indice pari è equivalente ad un sistema misto (di una disequazione e una equazione) { g(x) 0 f (x) = (g(x)) n
Disequazioni irrazionali - indice dispari Consideriamo disequazioni del tipo n f (x) < g(x) o n f (x) g(x) o n f (x) > g(x) o n f (x) g(x) dove f (x) e g(x) sono espressioni nell incognita x e n è dispari esempi: In generale 3 2x 1 < 1 3 x 3 + 1 x 1 0 n Ci si riporta alla forma normale f (x) > < g(x) Non servono condizioni di esistenza, poiché n f (x) è ben definita per qualunque valore di f (x) Non servono condizioni di consistenza, poiché n f (x) può assumere qualunque valore Si sfrutta la relazione: a n < > b n se, e solo se, a < > b. Ne segue che la diseq. assegnata è equivalente a f (x) < > (g(x)) n
Disequazioni irrazionali - indice pari Consideriamo dapprima disequazioni del tipo n f (x) < g(x) o n f (x) g(x) 1 esempi: x 1 < 4, 4 x 1 3, 4 x > 6x x 2 + 16 In generale Ci si riporta alla forma normale n f (x) = g(x) Si impone la condizione di esistenza f (x) 0 poiché n f (x) è definita solo se f (x) 0 Si impone la condizione di consistenza g(x) 0 poiché n f (x) può assumere solo valori nonnegativi Si sfrutta la relazione: a n < b n se, e solo se, a < b (se a, b 0). Ne segue che l eq. assegnata è verificata se f (x) < (g(x)) n
Disequazioni irrazionali - indice pari In conclusione, una disequazione irrazionale di indice pari del tipo n f (x) < g(x) è equivalente ad un sistema di tre disequazioni f (x) 0 g(x) 0 f (x) < (g(x)) n
Disequazioni irrazionali - indice pari Consideriamo infine disequazioni del tipo n f (x) > g(x) o n f (x) g(x) esempi: 6 7 x 3, 4x 2 + 3x 1 > 2x 3, x < 6 + x x 2 + 1 In generale n Ci si riporta alla forma normale f (x) > g(x) Si impone la condizione di esistenza f (x) 0 poiché n f (x) è definita solo se f (x) 0 se g(x) < 0 se g(x) 0 la disequazione è soddisfatta senza ulteriori condizioni la disequazione è soddisfatta se inoltre f (x) > (g(x)) n
Disequazioni irrazionali - indice pari Da quanto fin qui detto, le soluzioni della disequazione assegnata si ottengono considerando tutte le soluzioni dei due sistemi seguenti { f (x) 0 g(x) < 0 f (x) 0 g(x) 0 f (x) > (g(x)) n osservazione: La seconda e la terza condizione dell ultimo sistema, insieme, assicurano la prima condizione, in quanto f (x) > (g(x)) n 0 se g(x) 0. Pertanto possiamo concludere che le soluzioni della disequazione assegnata si ottengono considerando tutte le soluzioni dei due sistemi seguenti { f (x) 0 g(x) < 0 { g(x) 0 f (x) > (g(x)) n
Potenze Abbiamo fin qui definito le potenze del tipo con x =: n (intero positivo) n (intero negativo) 0 1 n (razionale positivo con denominatore unitario) Abbiamo anche richiamato le proprietà P1 P2 a x a y = a x+y a x b x = (a b) x a x P3 (a x ) y = a x y Proseguiamo il discorso definendo le potenze di indice razionale Se x = m n è un numero razionale, si definisce a m n = (a m ) 1 n = (a 1 n ) m
Potenze osservazione: In linea teorica, sarebbe possibile andare a distinguere se m n è positivo/negativo, e se n è pari o dispari, e precisare di volta in volta per quali valori di a sdi può calcolare a m n. Per semplicità penseremo sempre d ora in avanti che a > 0 È facile convincersi che le propietà P1, P2, P3 valgono anche per esponenti razionali. Inoltre P4 a x > 0 P5 a x = 1/a x P6 se x < y allora { a x < a y se a > 1 a x > a y se 0 < a < 1 P7 se 0 < a < b allora { a x < b x se x > 0 a x > b x se x < 0 P8 se a 1 e a x = a y allora x = y
Potenze esercizio: Semplificare le espressioni: ((1 + a) 2/3) 3/8 (3 b) 4/3 : (3 b) 1/3 2 1 6 2 esercizio: Calcolare: 6 64 6 ( 2) 6 3 40 25 ( esercizio: L espressione a 2 b 1/3) 1 è uguale a ab 1/6 1 ab 2 a 2 b 1/3 (ab) 1/3 esercizio: L espressione b ( a 6 b 3) 1/2 è uguale a 1 a 12 b 5 b 2 a a 3 b 2 a 3 b b b a 3
Potenze Per estensione, possiamo definire la potenza valore di a > 0 e x reale a x per qualunque esempio: Ci possiamo fare un idea di quanto valga 2 π mediante l approssimazione decimale di π. Sappiamo che π = 3, 147. Con approssimazione a 1 cifra decimale, π 3, 1 = 31 10 e dunque 2 π 10 2 31 Con approssimazione a 2 cifre decimali, π 3, 14 = 314 100 e dunque 2 π 100 2 314 Con approssimazione a 3 cifre decimali,... Come avevamo già detto, quando si maneggiano i numeri reali non è necessario sapere esattamente quanto valgono, bensì piuttosto conoscere le proprietà di cui godono. Nel caso delle potenze reali, valgono le proprietà P1 P8.