Luigi Lecci\Liceo Scientifico G. Stapacchia - Tricase (LE) 08-54400 Maturità scientifica P.N.I. 99 Q. In un piano cartesiano ortogonale Oxy si considerino le parabole C e C di equazione rispettivaente: y - x 0 e y + 8x - 6y 0. ) Si verifichi che C e C sono tangenti in A(;) e che hanno in coune un ulteriore punto B. ) Detto P un punto della retta AB, sia QQ la corda intercettata da C sulla parallela per P all asse delle ascisse, RR la corda intercettata da C sulla parallela per P all asse delle ordinate ed S la proiezione di P sulla retta y + 0 8PS Si studi coe varia il rapporto al variare di P, deterinando in particolare il suo QQ ' RR ' valore inio. Si calcoli l area della regione finita di piano deliitata dalle parabole C e C. ) Detta Σ la regione finita di piano deliitata dalle due parabole, si conduca per A una retta u che incontra l asse delle y in D ed il contorno di Σ, oltre che nel punto A, nell ulteriore AE punto E. Si consideri la funzione : f ( ), essendo il coefficiente angolare della retta u, e la si studi deterinandone in particolare il assio relativo ed il inio assoluto. Soluzione ) Curve tangenti La curve C, C sono due parabole. C : y x 0 ha asse di sietria coincidente con l asse delle ordinate, vertice nell origine degli assi e concavità rivolta verso l alto. C ': y + 8x 6y 0 ha asse di sietria parallelo all asse delle ascisse, vertice nel punto V ; e concavità rivolta nel verso negativo dell asse x. Per verificare che le curve sono tangenti nel punto A(;) ci sono due possibilità. a) Scrivere l equazione della retta tangente a ciascuna curva nel punto A e verificare che rappresentano la stessa retta. b) Risolvere il sistea forato dalle equazioni delle curve e verificare che la soluzione x, y è aleno doppia. Seguendo il prio procediento si verifica che la retta t:yx- è effettivaente tangente coune alle due curve. Seguendo il secondo procediento, una volta ipostato il sistea di equazioni
Luigi Lecci\Liceo Scientifico G. Stapacchia - Tricase (LE) 08-54400 y x 0 si ricava l equazione risolvente di quarto grado y + 8x 6y 0 4 x 6x + 8x 0. 4 Applicando la regola di Ruffini, si esegue la divisione ( x 6x + 8x ) : ( x ) ottenendo il quoziente Q( x) ( x + x 5x + ) ; si può ancora eseguire la divisione ( x + x 5x + ) : ( x ) ottenendo coe quoziente Q( x) x + x. In definitiva il l equazione in esae si può scrivere nella seguente fora: ( x ) ( x + x ) 0 dalla quale eerge che x è soluzione doppia e ciò è sufficiente per concludere che le due curve sono tangenti nel punto A(;). In realtà, il polinoio al prio ebro dell equazione è divisibile per ( x ) e quindi l equazione si può scrivere nella seguente fora ( x ) ( x + ) 0 x è radice con olteplicità tre e quindi il punto A(;) raccoglie tre intersezioni delle quattro tra le due curve. L ulteriore punto coune è B(-;9). Il tutto è rappresentato in Fig.. ) L equazione della retta [A;B] è: x xa y ya [ A; B]: y x + xb xa yb ya Il generico punto P della retta [A;B] ha coordinate (α;-α). Dal contesto del problea si evince che il punto P deve essere tale che le due rette passanti per esso e parallele agli assi coordinati devono intersecare le due parabole C, C in oggetto e dunque devono essere verificate le due seguenti disuguaglianze y y α 0 P V affinché la retta per P parallela all asse delle ascisse intersechi la parabola C; xp xv α affinché la retta per P parallela all asse delle ordinate intersechi C. Le due condizioni geoetriche forniscono la stessa condizione algebrica. Coordinate dei punti Q, Q Indicando con s la retta per P parallela all asse delle ascisse si ha: s : y α. Per trovare le coordinate dei punti Q, Q si deve ettere a sistea l equazione di questa retta con l equazione della parabola C. s : y α x α Q( α ; α ) ; Q '( α ; α ) QQ ' α C : y x 0
Luigi Lecci\Liceo Scientifico G. Stapacchia - Tricase (LE) 08-54400 Indichiao con r la retta per P parallela all asse delle ordinate. Risulta r : x α. Risolvendo il sistea forato dall equazione di questa retta con quella della curva C si trovano le coordinate dei punti R. R. r : x α C ': y + 8x 6y 0 y 6y + 8α 0 R( α; + α ) ; R '( α; α ) RR ' 4 α Per quanto concerne il punto S, osservato che dalla condizione algebrica α 0 y P 0 deduciao che l ordinata del punto P è aggiore dell ordinata del punto S e quindi PS y y α ( ) 5 α. P S 8PS Fora analitica della funzione rappresentativa del rapporto QQ ' RR ' A questo punto possiao espriere la fora analitica della funzione rappresentativa del. Poniao 8PS 8 (5 α) (5 α) f ( α) QQ ' RR ' α 4 α α Perché abbia senso quest espressione deve essere verificata la condizione α 0 e, per il significato del problea, in definitiva,dovrà risultare α <. Studio della funzione La funzione f(α) è razionale fratta ed il suo studio non presenta particolari difficoltà. Riportiao veloceente gli eleenti caratteristici. 5 La funzione si annulla solo per α ed è positiva 5 per gli altri valori del doinio. Il valore α non rientra nel doinio della funzione. Deterinando la derivata pria si ha: (5 α)( )( α) + (5 α) f '( α) ( α) (5 α )(α ). ( α ) 5 f '( α ) > 0 α ;, e quindi, relativaente al doinio, per α ;. In quest intervallo la funzione è strettaente crescente; è strettaente decrescente per α <. Nel punto α la funzione assue il suo inio assoluto; il valore del inio è Facciao notare che la retta avente equazione diagraa della funzione. In Fig. è riportata una parte del diagraa della funzione. f 8. α è asintoto verticale ( a sinistra) per il
Luigi Lecci\Liceo Scientifico G. Stapacchia - Tricase (LE) 08-54400 Calcolo della regione finita di piano deliitata dalla due parabole Prio etodo () Il calcolo dell area richiesta si può ottenere a livello eleentare con il teorea di Archiede ediante il quale si deterina l area di un segento parabolico Ricordiao che per segento parabolico si intende la parte di piano deliitata da un arco di parabola e dal segento che passa per i due estrei dell arco. Il valore dell area di un segento parabolico è pari ai due terzi dell area del rettangolo circoscritto al segento parabolico stesso. Se si segue questa strada per il calcolo dell area è necessario deterinare le equazioni delle rette tangenti alle due parabole parallele alla corda AB in quanto occorrono le altezze dei due rettangoli in cui sono inscritti i due segenti parabolici (la corda AB funge da base per i rettangoli). Procediao secondo questo etodo Scritta l equazione del fascio iproprio di rette deterinato dalla retta [A;B] F : y x + k la si ette successivaente a sistea con ciascuna delle equazioni delle due parabole per deterinare i valori del paraetro k corrispondenti alle tangenti richieste. F : y x + k x + x k 0 si deve iporre che quest equazione ( equazione risolvente) C : y x abbia le radici coincidenti, dunque 0 + k 0k -. 4 L equazione della retta tangente alla parabola C è t : y x ed il punto di contatto con la curva è T (-;). Per la parabola C si ha: F : y x + k C ': y + 8x 6y 0 k y y + 8 6y 0 y 0y + 4k 0 ed iponendo che le radici siano coincidenti si ricava 0 8 4 k 0 k7 4 L equazione della retta tangente richiesta alla parabola C è t : y x + 7 ed il punto di contatto con la curva è T (;5). A questo punto si devono deterinare: la isura della corda AB; la distanza d(t ; [A;B]) della retta t dalla retta [A;B]; la distanza d(t ; [A;B]) della retta t dalla retta [A;B]. Ciò fatto si può applicare la forula di Archiede: S AB d( t;[ A; B]) ; S AB d( t;[ A; B]) () Questo procediento può essere seguito da uno studente del terzo liceo scientifico. 4
Luigi Lecci\Liceo Scientifico G. Stapacchia - Tricase (LE) 08-54400 S S + S AB d t A B + d t A B Misura della corda AB. [ ( ;[ ; ]) ( ;[ ; ])] AB ( xb xa) + ( yb ya) 4 + 8 4 5 ; Applichiaola forula della distanza di un punto da una retta () ( ) + 4 d( t;[ A; B ]) d( T ;[ A; B]) ; + 5 + 5 4 d( t;[ A; B ]) d( T;[ A; B]) + 5 L area della regione piana richiesta è 4 64 S S + S 4 5 5 Secondo etodo Calcolo dell area della regione con gli integrali definiti. Traite la corda AB si divide la regione piana nei due segenti parabolici: il prio deliitato dalla parabola C e dalla corda AB, il secondo deliitato dall arco della parabola C e sepre dalla corda AB. Area del prio segento parabolico. S ( x ) x dx x + x + x + ( 9 9 + 9) Area del secondo segento parabolico Per questo calcolo conviene considerare il segento coe doinio norale rispetto all asse delle ordinate. In questo odo è sufficiente una sola operazione d integrazione. E necessario espriere le equazioni della retta [A;B] e dell arco di parabola esplicitando la variabile x rispetto alla variabile y. Si ha: y [ A; B]: x y C ': x + y + 8 4 8 9 y y y 5 9 S + y + dy + y y 8 4 8 4 8 8 9 5 9 9 5 9 + + 4 8 8 4 8 8 Effettuando ora la soa delle due aree si perviene allo stesso risultato trovato con il prio etodo 64 S + S +. ) Detta Σ la regione finita di piano deliitata dalle due parabole, si conduca per A una retta u che incontra l asse delle y in D ed il contorno di Σ, oltre che nel punto A, nell ulteriore AE punto E. Si consideri la funzione : f ( ), essendo il coefficiente angolare della 9 () Ricordo che la distanza del punto P(x 0 ;y 0 ) dalla retta s:ax+by+c0 è data dalla forula d ax + by + c 0 0 a + b 5
Luigi Lecci\Liceo Scientifico G. Stapacchia - Tricase (LE) 08-54400 retta u, e la si studi deterinandone in particolare il assio relativo ed il inio assoluto. Soluzione La retta u passante per A(;) che si richiede di tracciare deve intersecare l asse delle ordinate, dunque non è parallela a questo e quindi la sua equazione può essere posta in fora esplicita coe segue: u: y-(x-) u :yx-+ (.) La retta taglia l asse delle ordinate nel punto D(0;-) Al variare del paraetro la retta u ruota intorno al punto A; vediao coe si può legare la posizione della retta al valore del coefficiente angolare. Osservato che il coefficiente angolare della retta [A;B] è - e che quello della retta tangente t è, si può afferare che: per <- oppure > la retta u taglia il bordo della regione Σ, oltre che nel punto A, nel punto E appartenente all arco della parabola C ; per valori di ]-;[ il punto E in cui la retta u taglia il bordo di Σ appartiene all arco della parabola C; per il punto E coincide con A perché la retta u coincide con la retta tangente coune alle due parabole; per - il punto E coincide con B. In virtù di queste considerazioni possiao deterinare le coordinate del punto E nei due casi. Per <- oppure > Mettendo a sistea le equazioni della retta u e della parabola C si ha: y + u : y x + x (.) C ': y + 8x 6y 0 y + y + 8 6y 0 si ricava l equazione risolvente y + (4 ) y + 5 8 0 che sappiao già aettere una radice y y A ; possiao perciò deterinare il valore della seconda radice, che sarà l ordinata del punto E, utilizzando le note relazioni tra i coefficienti e la soa o il prodotto delle radici di un equazione di secondo grado. Sfruttiao il prodotto. 5 5 y y e con y y ye. L ascissa del punto E si ricava sostituendo il valore dell ordinata nella pria equazione del sistea (.). Eseguite le seplificazione si ottiene 5 + 4 8 xe +. + 4 5 8 Dunque, E ; Per << Mettiao a sistea l equazione della retta u con l equazione della parabola C. y + u : y x + x (.) C : y x x x + 0 L equazione risolvente aette una soluzione x che rappresenta l ascissa del punto A; la seconda radice è x -, che rappresenta l ascissa del punto E. Per l ordinata di E, sostituendo nella pria equazione del sistea (.) si ricava y ( ). E 6
Luigi Lecci\Liceo Scientifico G. Stapacchia - Tricase (LE) 08-54400 Dunque, E ( ;( ) ) Calcolo delle isure dei segenti, AE ( ) + ( ) ( ) ( ) x x y y D A D A 0 + + Per la isura di AE si devono distinguere i due casi: Per <- oppure > ( ) ( ) E A E A AE x x + y y 4 8 4 + Per - < < + 4 5 4 + ( ) + ( ) ( ) AE x x y y + E A E A AE Espressione analitica del rapporto f ( ) Sussistono le due seguenti espressioni + 4 + ( ) ( ) + ( ) + AE + f ( ), per -<<; (.4) + AE 4 f ( ) 8 4 8 +, per <- >. (.5) + Osservazione Per i due valori estrei, - i valori corrispondenti f( ), f( ) si possono ottenere indifferenteente dall espressione (.4) o dall espressione (.5). Risulta: f()0 perché per questo alore di la retta u coincide con la tangente t ed il punto E coincide con A, dunque AE 0 ; f(-)4 in questo caso la retta u coincide con la retta [A;B]. Considerazioni sulla funzione e sulla posizione del punto D La funzione f() trovata è abbastanza seplice da studiare. Si tratta di una funzione razionale che si presenta fratta nel sottodoinio ]- ;-] [;+ [, entre è intera nell intervallo ]-;[. Ne oettiao lo studio copleto. La funzione è liitata. Per + e per - tende a zero, quindi l asse delle ascisse è asintoto orizzontale. La funzione derivata pria è: 4( 4) f '( ), per <-, dove la funzione è strettaente crescente; f '( ), per <<, la funzione è strettaente decrescente; 4(4 ) f '( ), per >; per >4 la funzione è strettaente decrescente, entre è strettaente crescente per <<4; il punto 4 è di assio relativo proprio:f(4)/. Il punto - è di assio assoluto e risulta f(-)4. Nel punto la funzione assue il valore inio assoluto e vale zero. 7
Luigi Lecci\Liceo Scientifico G. Stapacchia - Tricase (LE) 08-54400 Per + la retta u ruota intorno al punto A tendendo ad assuere la posizione parallela all asse delle ordinate. In particolare: per + il punto D si allontana nel verso positivo delle ordinate tendendo all infinito, la isura del segento diventa infinitaente grande entre si antiene liitata la isura del segento AE. Per questo otivo il rapporto AE tende a zero; per - il punto D si allontana nel verso negativo delle ordinate tendendo all infinito, la isura del segento diventa ancora infinitaente grande, si antiene liitata ancora la isura del segento AE; il rapporto AE tende a zero. In Fig.6 è riportato parzialente il diagraa della funzione. 8