Esercizio 1 Dimensionare la sezione del canale terminale di una rete drenante, scavato in una piana alluvionale, che faccia defluire una portata al colmo di piena di 120 m 3 s -1 con franco di 0,5 m.. La sezione sia di forma composta con la savanella dimensionata per portate di magra e morbida fino al valore di 40 m 3 s -1. L angolo di attrito interno del terreno è 40 gradi; si ipotizzi un indice di scabrezza di Manning per la sezione scavata di 0,03. Il diametro del materiale da considerare per la stabilità della sezione è di 5 cm con peso specifico sommerso relativo di 1,65. La pendenza media del terreno lungo il tracciato del canale è 0.002. Soluzione proposta Si dimensiona la sezione di piena del canale in assenza della savanella; successivamente si dimensiona la savanella e si verifica che la sezione composta soddisfi le richieste progettuali. Dimensionamento sezione di piena Si tratta di determinare la larghezza B della base minore (cunetta), la pendenza delle sponde ed il tirante in condizioni di progetto con Q p = 120 m 3 s -1. Si ipotizza la condizione di moto uniforme e si dimensiona la sezione in modo che le sponde siano stabili e che la portata di progetto non produca erosione sul fondo e sulle sponde. La pendenza delle sponde viene assegnata tenendo conto del valore dell angolo di attrito interno del terreno in cui esso viene scavato; l angolo formato dalla sponda con l orizzontale deve essere inferiore all angolo di attrito: scegliamo un angolo a di 30. La scarpa S corrispondente è 1,732. Per la stabilità della forma utilizziamo il criterio del massimo sforzo tangenziale ammissibile. Definiamo i valori critici dell indice di Shields per il fondo e le sponde. Per il fondo, essendo la pendenza trascurabile, si assume θ crf = 0,057; per le sponde, la cui pendenza non è trascurabile, è necessario tenere conto della componente del peso attraverso il coefficiente di riduzione (1) K r 2 sen α = 1 che nel nostro caso è 0,628. sen 2 ϕ Il valore critico dell indice di mobilità per le sponde diventa θ crs = K r 0,057 = 0,036. Il valore del tirante h a cui corrisponde il valore critico di θ si calcola utilizzando le relazioni proposte da Lane e Carlson per i valori massimi dello sforzo tangenziale: fondo sponde τ mxf 1 τ mxs 2 = cγhi con = c γhi con 0,0978 B c 1 = 0, 8236 per B/h <10 ; c 1 =1 per B/h >10 h 0,0492 B c2 = 0, 707 per B/h < 4 ; c 2 =0,75 per B/h >4. h L indice di mobilità di Shields può essere scritto nella forma:
(2) τ θ = con γ d γ s γ = γ Ipotizzando, salvo verifica, che c 2 sia pari a 0,75 si può scrivere per le sponde (condizione più critica): (3) c γhi = γ d 2 θ crs da cui sostituendo i valori noti si ricava: h = 0,036 1,65 0,05/(0,75 0,002) = 1,97 m. Imponendo che il tirante trovato sia l altezza di moto uniforme per la portata di progetto si ricava il valore di B = 25,23 m: h (m) B (m) A (m 2 ) P(m) R(m) Bs(m) V(ms -1 ) Q (m 3 s -1 ) Fr teta B/h 1.97 25.23 56.42 33.11 1.70 32.05 2.13 120.0 0.512 0.037 12.81 Volendo ridurre il valore del numero di Froude riduciamo la pendenza al valore 0,0015: questo comporta, per ogni km di canale, un innalzamento del fondo di 0,5 m rispetto al terreno. Il valore di h diventa 2,627 m a cui corrisponde: h (m) B (m) A (m 2 ) P(m) R(m) Bs(m) V(ms -1 ) Q (m 3 s -1 ) Fr teta B/h 2.63 17.28 57.34 27.79 2.06 26.38 2.09 120.0 0.453 0.037 6.58 Per poter avere una savanella sufficientemente larga a questo punto imponiamo il valore di B=20 m e ricaviamo il valore di h e delle altre grandezze in condizione di moto uniforme: h (m) B (m) A (m 2 ) P(m) R(m) Bs(m) V(ms -1 ) Q (m 3 s -1 ) Fr teta B/h 2.43 20.00 58.92 29.73 1.98 28.43 2.04 120.0 0.452 0.033 8.22 Osserviamo che il valore di B/h è 8.22, per cui l ipotesi fatta sul valore del coefficiente c 2 è verificata. Per il dimensionamento della savanella imponiamo una larghezza di cunetta di 6 m, manteniamo la stessa pendenza delle sponde e lo stesso valore di scabrezza. Per una portata di 40 m 3 s -1 si ottiene, in condizione di moto uniforme la seguente situazione: h B A P R Bs V Q Fr teta B/h 2.33 6.000 23.38 15.32 1.53 14.0771 1.71 40.0 0.424 0.031 2.576 In questo caso il valore di B/h è < 4 e quindi il coefficiente c 2 calcolato in funzione di B/h è pari a 0,740. Il valore di θ sulle sponde ricavato con la (3) diventa 0,031 ed è minore del valore limite 0,036. A questo punto, per definire la dimensione corretta della sezione (la profondità della linea di scorrimento della savanella dal piano campagna) calcoliamo la scala delle portate in moto uniforme della sezione composta e verifichiamo quale sia il valore del tirante per Q p = 120 m 3 s -1. La scala delle portate viene ricavata sommando il contributo della savanella Q s, al contributo della sezione di piena Q cp. La scala è riportata nella figura sottostante; essa può essere rappresentata con una polinomiale del quarto ordine, la cui espressione è riportata nel grafico.
Al valore di portata di 120 m 3 s -1 corrisponde un tirante di circa 3,70 m. Se a questo valore aggiungiamo il franco di 0,5 m si ottiene la profondità della sezione che è di 4,2 m, di cui 2,35 occupati dalla savanella.
Esercizio 2 Si consideri un torrente che raccoglie l acqua scolante da un piccolo bacino collinare. Il torrente attraversa il paese con un tratto tombinato, in cui la portata massima ammissibile Q max è 10 m 3 s -1 ; per portate superiori il torrente esonda allagando il paese. Determinare il volume da assegnare ad una vasca di laminazione, posta a monte del tratto tombinato, perché la portata a valle sia limitata a 10 m 3 s -1. Il calcolo sia fatto per tempi di ritorno di 10, 20, 50 e 100 anni. Le caratteristiche del bacino scolante in corrispondenza dell inizio del tratto tombinato sono le seguenti: _ Area scolante: A=196 ha _ Lunghezza dell asta principale del reticolo: L = 2.3 km _ Rilievo (zmax-zmin): 155 m _ Altezza media sulla sezione di chiusura: Hm= 63 m Si suggerisce l uso della formula di Kirpich per il calcolo del tempo di corrivazione: (1) t c = 0.0662 L m 0.77 p 0,385 con p = 10 3 L m /(zmax-zmin) La curva di possibilità climatica puntuale è data dalla espressione: (2) h ( t, T) = H( T)* µ [ h( )] p t p in cui t p è la durata di pioggia in ore, T il tempo di ritorno in anni, h l altezza di pioggia in mm e µ la media dell altezza di pioggia di durata t p e tempo di ritorno T, ricavata dai campioni omogenei di massimi annuali di durata t p. La dipendenza della media µ dalla durata t p è espressa dalla relazione a tre parametri: (3) µ [ h( t )] p = 30,75 t ( t + 0,21) 0, 51 p p H(T) è il fattore di crescita la cui dipendenza dal tempo di ritorno è definita mediante la distribuzione lognormale a due parametri. Per tempi di ritorno di 10, 20, 50 e 100 anni assume rispettivamente i valori 1,445, 1,863, 2,038 e 2,213 90. Per il calcolo delle perdite idrologiche si assuma un valore del numero di curva (CN) pari a Soluzione proposta Calcoliamo la portata al colmo di piena con la formula razionale. E necessario calcolare il tempo di corrivazione t c del bacino. Usando la formula di Kirpich si ricava p = 14,839 e t c = 0,355 ore. Dalle curve di possibilità climatica si ricavano, per i tempi di ritorno di 10, 20, 50 e 100 anni i valori di 21, 27, 29,5 e 32 mm di pioggia. Dalla tabella di Columbo, per interpolazione, si ottiene il coefficiente di ragguaglio all area (A = 1,96 km 2, t p = 0,355 ore) C r = 0,94.
Il coefficiente di piena della formula razionale si assume uguale al coefficiente di afflusso C a, calcolato con il metodo CN. Si ricava, per CN = 90, F s = 28,22 mm. Si adotta per la perdita iniziale I a il valore di default I a = 0,2 F s. Dalla formula razionale : (4) Q = I A / 360 dove: p rn - i rn = h p (T,t c) C a C r /t c è l intensità netta di pioggia ragguagliata in mm/ora, - A è l area del bacino in ettari si ricavano i valori di portata al colmo Q p presentati in tabella I. Di fianco sono riportati i rispettivi coefficienti di laminazione C l che devono essere realizzati con la vasca e il valore massimo della portata Q der che deve essere derivata. T (anni) h p (mm) h n (mm) h rn (mm) i rn (mm/ora) Q p (m 3 s -1 ) Q der (m 3 s -1 ) C l 10 21.11 5.48 5.15 14.49 7.89 - - 20 27.22 9.35 8.79 24.74 13.47 3.47 0.74 50 29.77 11.12 10.45 29.44 16.03 6.03 0.62 100 32.33 12.97 12.19 34.33 18.69 8.69 0.54 Tabella I: verifica della insufficienza della tombinatura Si osserva che per tempi di ritorno superiori a 10 anni la tombinatura è insufficiente a far defluire la portata: determiniamo dunque il volume di invaso necessario per limitare la portata proveniente dal bacino a 10 m 3 s -1. La derivazione verso l invaso, cioè la limitazione della portata verso valle, inizierà certamente prima che arrivi il colmo di piena. Una stima del tempo di picco, tra le molte presenti in letteratura derivate da osservazioni sperimentali, lo pone uguale a 0,7 volte il tempo di corrivazione. Ipotizziamo dunque la derivazione inizi dopo un tempo pari a metà del tempo di picco cioè t dev = 0,35 t c dall inizio della pioggia e che a valle della derivazione defluisca una portata costante pari alla portata limite Q max. Alla fine della piena, la cui durata è t piena = t p + T c, l intero volume di pioggia caduta sul bacino (diminuito delle perdite idrologiche) sarà defluito per la sezione di controllo, dove è collocata la derivazione. Di questo volume W aff solo una parte W def, corrispondente al prodotto della portata limite per la differenza t piena - t dev sarà trasferito a valle; la differenza sarà stata invasata. Effettuiamo il calcolo per piogge con il tempo di ritorno di 20, 50 e 100 anni di durata compresa tra 0,5 ore e 4,75 ore. Per ciascuna pioggia calcoliamo il volume defluito dal bacino in m 3, che costituisce l afflusso al sistema (W aff ), il volume W def che può essere trasferito a valle con la portata massima di 10 m 3 s -1 e la differenza tra i due, se positiva, che rappresenta il volume invasato nella vasca. Il massimo valore trovato corrisponde al volume necessario per la laminazione di eventi con i tempi di ritorno considerati. In tabella 2 si riporta il risultato del calcolo. Il risultato è riportato in tabella II Osserviamo che gli eventi critici hanno durata decisamente maggiore del tempo di corrivazione; ipotizzando un tirante medio nell invaso di 2 m si ottiene una stima dell area in ettari necessaria per realizzare la vasca. T (anni) Q (m 3 s -1 ) t pcr (or e) W aff (m 3 ) Vasca (m 3 ) Area (ha) 20 13.47 1.85 87973 13063 0.65315 50 16.03 2.655 114894 25596 1.2798 100 18.69 2.75 147114 39804 1.9902 Tabella II: volume e superficie della vasca di laminazione
Determinazione del massimo invaso per T = 20 anni 200000 180000 160000 140000 Vaf(m3) Vdef(m3) Invaso(m3) Volume (m 3 ) 120000 100000 80000 60000 40000 20000 0 0.000 1.000 2.000 3.000 4.000 5.000 6.000 Tempo da inizio pioggia (ore) Volume della vasca in funzione della durata dell'evento di piena 45000 40000 35000 T = 20 T = 50 T = 100 30000 Volume m3 25000 20000 15000 10000 5000 0 0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00 Durata (ore)
Esercizio 3 Si consideri un bacino con le seguenti caratteristiche: Area: 15,23 km 2 Lunghezza asta principale: 10,8 km Rilievo (z mx -z min ) : 106 m Quota sezione chiusura: 194 m slm La curva ipsografica è definita dalla seguente tabella: Area (km 2 ) Quota (m slm) 15.23 194 14.00 210 7.09 220 4.60 250 3.15 280 0.00 300 Calcolare l IUH della corrivazione ricavando, in prima approssimazione, la curva tempi-area dalla curva ipsografica. Si utilizzi, per il calcolo del tempo di corrivazione del bacino, la formula di Giandotti. Calcolare la portata al colmo di piena per un evento critico di cui si conosce la curva cumulata di pioggia netta, data dalla seguente tabella: t(ore) h(mm) 0 0 0.5 10 1 15 1.5 18 2 30 2.5 45 3 60 3.5 70 4 78 4.5 83 5 88 5.5 90 6 92
Soluzione proposta Dalla curva ipsografica si ricava la quota media del bacino sulla sezione di chiusura che è di 43,49 m. Con la formula di Giandotti si ricava il tempo di corrivazione del bacino T c che è di 6,03 ore. Se si ipotizza che la distanza L i di un qualunque punto i della superficie del bacino dalla sezione di chiusura cresca con la quota [L i = f(z i )] è possibile ricavare dalla curva ipsografica la curva tempi area. Infatti in questo caso il rapporto tra la generica quota z i e il corrispondente tempo di corrivazione t ci è costante e uguale a z mx /T c. zi zmx Vale dunque la relazione = utilizzando la quale si ricava, dalla curva ipsografica, la tabella tci Tc I, in cui la generica quota z i, a cui corrisponde il tempo di corrivazione t ci, è riferita alla sezione di chiusura del bacino, A i è l area della parte di bacino situata a quota uguale o superiore a z i, A i * è l area della parte di bacino situata a quota inferiore a z i, a cui corrisponde un tempo di corrivazione t c t ci. Di conseguenza, per definizione, le ultime due colonne rappresentano la curva tempi-area. A (km 2 ) Quota (m ) Area* (km 2 ) t c (ore) 15.23 0 0 0.00 14.00 16 1.23 0.91 7.09 26 8.14 1.48 4.60 56 10.63 3.19 3.15 86 12.08 4.89 0.00 106 15.23 6.03 Tabella I: curva ipsografica e curva area tempi L IUH della corrivazione è rappresentato dalla curva di concentrazione del bacino normalizzata: 1 da h = A dt 1 A ( t) = a( t) Alla funzione continua a(t) si sostituisce un istogramma discretizzato nel tempo. Poiché l idrogramma di portata verrà ricavato a partire da uno istogramma di pioggia discretizzato su un intervallo t di 0,5 ore conviene discretizzare in ugual modo la curva tempi area con una semplice interpolazione lineare. E quindi possibile ricavare per ogni generico intervallo il rapporto A/ t e quindi l IUH della corrivazione discretizzato. Il risultato è riportato nella tabella II e mostrato in figura 1. t(ore) A(km 2 ) A (km 2 ) A/dt IUH = Α /A 0.0 0 0.8 1.6 0.053 0.5 0.8 1.2 2.4 0.079 1.0 2 6.14 12.28 0.403 1.5 8.14 0.76 1.52 0.050 2.0 8.9 0.7 1.4 0.046 2.5 9.6 0.8 1.6 0.053 3.0 10.4 0.5 1 0.033 3.5 10.9 0.4 0.8 0.026 4.0 11.3 0.4 0.8 0.026 4.5 11.7 0.7 1.4 0.046 5.0 12.4 1.4 2.8 0.092 5.5 13.8 1.43 2.86 0.094 6.0 15.23 Tabella II: curva di concentrazione e IUH della corrivazione
IUH della corrivazione 0.450 0.400 0.350 0.300 IUH(t) 0.250 0.200 0.150 0.100 0.050 0.000 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 tempo (ore) Figura 1: IUH della corrivazione Per effettuare il calcolo dell idrogramma di piena è necessario ricavare lo ietogramma dalla curva cumulata h c (t). Si calcola l altezza h s in mm del singolo scroscio di durata 0,5 ore e quindi l intensità media nell intervallo; il risultato è mostrato in tabella III t(ore) h c (mm) hs(mm) ii(mm/ora) 0 0 0.00 0.5 10 10 20.00 1 15 5 10.00 1.5 18 3 6.00 2 30 12 24.00 2.5 45 15 30.00 3 60 15 30.00 3.5 70 10 20.00 4 78 8 16.00 4.5 83 5 10.00 5 88 5 10.00 5.5 90 2 4.00 6 92 2 4.00 Tabella III: cumulata e istogramma di progetto L idrogramma di portata specifica q(t) è ricavato con la convoluzione discretizzata: alla relazione continua nelle funzioni i(t) e h(t): q( t) = t i( τ ) h( t τ ) dτ 0 si sostituisce la seguente sommatoria
q( n t) = i( j t) h n j= 1 ( n j+ 1) t in cui compaiono le funzioni discrete i(j t) e h(j t) con j=1,2,...,n, ove N è abbastanza grande perché al tempo N t la portata sia nulla. In Fig. 2 si mostra il grafico della portata complessiva nella sezione di chiusura e tutte le componenti corrispondenti ai vari scrosci in cui è stato diviso lo istogramma. Convoluzione dello ietogramma di progetto con l'iuh della corrivazione Portata specifica (mm/ora) 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 0 2 4 6 8 10 12 tempo (ore) E sufficiente moltiplicare ogni valore di portata specifica in mm/ora per l area del bacino e si ricava la portata in m 3 /s (tenendo ovviamente conto opportunamente delle unità di misura). Il colmo di piena è di circa 77 m 3 /s.