Lezione 3: Sistemi a più gradi di libertà: sistemi continui 3) Federico Cluni maggio 5 Oscillazioni forzate Si è visto che, nel caso di oscillazioni libere, il moto della trave è dato dalla funzione vx, t) che soddisfa l equazione differenziale alle derivate parziali seguente: La soluzione può essere scritta come: vx, t) = µ v + E I v IV = ) u k x) E k sin t + F k cos t) ) dove le u k x) si ottengono risolvendo l equazione differenziale del quarto ordine: E I u IV k x) µ u kx) = 3) Il rispetto delle condizioni al contorno consentono di determinare i valori di ωk per cui la 3) ha soluzione diversa dalla banale, mentre le condizioni iniziali per t = consentono di determinare E k e F k. Si prenda ora in considerazione il moto della trave sotto forzante generica qx, t). L equazione differenziale che governa il moto è: di cui si cerca una soluzione del tipo: µ v + E I v IV = qx, t) 4) vx, t) = u k x) ϕ k t) 5) dove le ϕ k svolgono un ruolo analogo alle coordinate normali nei sistemi discreti. Posto che: v = u k ϕ k 6) la 4) diviene: v IV = u IV k ϕ k t) 7) µ u k ϕ k + E I u IV k ϕ k t) = qx, t) [ µ uk ϕ k + E I u IV k ϕ k t) = qx, t) 8)
Moltiplicando ambo i membri per u h x) ed integrando tra ed L ed assumendo E I e µ costanti lungo x: [ ) ) µu h u k dx ϕ k + E Iu h u IV k dx ϕ k t) = qx, t) u h x)dx 9) da cui per le proprietà di ortogonalità dei modi, e normalizzando gli stessi: { se k = h µ u h u k dx = se k h ϕ h t) + ω h ϕ ht) = E I u h u IV k dx = { ω h se k = h se k h ) ) ) qx, t) u h x)dx per h =,,..., 3) Si riconoscono nel membro di destra una funzione del solo tempo, quindi: ϕ h t) + ω h ϕ ht) = F t) per h =,,..., 4) ovvero si è in presenza di infiniti oscillatori elementari non smorzati) soggetti a forzante generica. La soluzione si può ricavare con l integrale di Duhamel, per cui: che nel presente caso fornisce: ϕ h t) = t [ ϕ h t) = t F τ) sin t τ)dτ 5) qx, τ) u h x)dx sin t τ)dτ 6) Si ricordi che tale soluzione è valida nel caso di condizioni iniziali nulle, per cui va aggiunto il contributo dovuto a v x) e v x) pari a : con: ϕ h t) = ϕ,h sin t + ϕ,h cos t 7) ϕ,h = ϕ,h = µ u h x) v x)dx 8) µ u h x) v x)dx 9) Si osservi come in oscillazioni libere, per cui vi è il solo contributo della 7), si riottiene la soluzione vista in precedenza. La soluzione 5) è quindi: vx, t) = { uk x) t [ qx, τ) u h x)dx sin t τ)dτ + [ } ϕ,k +u k x) sin t + ϕ,k cos t Nel caso di condizioni iniziali nulle, v x) = e v x) = u k x) t [ vx, t) = qx, τ) u k x)dx sin t τ)dτ ) ) )
. Esempio Si consideri una trave appoggiata con E I e µ costanti soggetta ad un carico in mezzeria la cui ampiezza varia con legge armonica: Figura : Schema della trave con carico concentrato in mezzeria. Le auto-funzioni u k sono note e valgono si è assunto per semplicità µ = ): u k x) = L sin k π L x 3) Il carico distribuito può essere espresso mediante la funzione delta di Dirac: qx, t) = F sin ωt δ x L ) 4) Figura : Funzione delta di Dirac. con: L integrale in x nella ) vale quindi: qx, τ) u k x)dx = Quindi F sin ωt = F L sin ωt L sin k π L x δ x L ) dx = sin k π L x δ x L sin k π se k =, 5, 9, 3,... = se k = 3, 7,, 5,... se k =, 4, 6, 8,... ) dx = F L sin ωt sin k π 5) 6) vx, t) = k {,5,9,3,...} L sin k π L x t F sin ωt sin t τ)dτ+ L L sin k π L x t F sin ωt sin t τ)dτ 7) L k {3,7,,5,...} 3
Risolvendo l integrale t sin ωt sin t τ)dτ = sin ωt ) ω sin t ) = ω ωk ω ωk = ω ω k sin t 8) e ricordando che: vx, t) = k {,5,9,3,...} F L 3 k 4 π 4 E I ω k = E I a4 k = E I k4 π 4 ω ω k k {3,7,,5,...} Limitandoci ai primi due termini vx, t) = F L 3 π 4 E I ω ω L 4 9) sin t sin k π L x + F L 3 k 4 π 4 E I ω ω k sin ω t sin π ω L x+ 8 ω ω 3 sin t sin k π L x 3) sin ω 3 t ω 3 sin 3 π L x +... 3) Come si vede, il secondo contributo è al di là di eventuali fenomeni di risonanza/battimenti) quasi due ordini di grandezza più piccolo rispetto al primo, di conseguenza la convergenza è molto rapida. Naturalmente, se la pulsazione della forzante ω è prossima ad una pulsazione naturale allora la componente di risposta k-esima è predominante sulle altre, ovvero si è in condizioni di risonanza e la risposta tende ad aumentare indefinitamente: si noti come un sistema continuo ha infinite possibilità di risonanza. Inoltre se ω è vicina ad la risposta, dominata dalla componente k-esima, presenta una modulazione in ampiezza con pulsazione pari a ω piccola, vista la vicinanza di ω a, ovvero a lunghi periodi), e si è in presenza del fenomeno dei battimenti. Infine, si noti che i modi con k pari non danno contributo alla risposta: ciò è in accordo con quanto osservato nel caso delle travi appoggiate in cui in mezzeria lo spostamento è nullo per tutti i modi pari. Spostamenti impressi Si supponga che i carichi esterni siano nulli, qx, t) =. Siano invece assegnate delle storie di spostamento ai vincoli della trave, che, considerate in maniera statica, generano degli spostamenti 4
pari a y g x, t). Gli spostamenti totali sono dati da v t x, t) = vx, t) + y g x, t), e l equazione del moto, con N nullo, può scriversi come: e quindi: µ v t t + E I 4 v t x 4 = 3) µ v t + µ y g t + E I 4 v x 4 + E I 4 y g x 4 = 33) Tenendo conto che gli spostamenti y g sono ottenuti in assenza di carichi, si ha E I 4 y g x 4 = e quindi l equazione del moto diviene: µ v t + E I 4 v x 4 = µ y g t 34) Ad esempio, se in una trave incernierata alle estremità i vincoli sono sottoposti a spostamenti verticali) y A t) e y B t): Figura 3: Schema della trave con spostamenti agli appoggi. y g x, t) = y A t) x ) + y B t) x L L 35) 5