ESERCITAZIONE 9 : FUNZIONI QUADRATICHE e-mail: tommei@dm.unipi.it web: www.dm.unipi.it/ tommei Ricevimento: Martedi 16-18 Dipartimento di Matematica, piano terra, studio 126 4 Dicembre 2012
L espressione generale di una funzione quadratica f : R R è f(x) = a x 2 + b x + c a R 0 b, c R (1) Il grafico di una funzione quadratica è una curva chiamata parabola: non tutte le parabole, però, sono grafici di funzioni quadratiche, solo quelle con asse di simmetria parallelo all asse delle ordinate. Se il coefficiente a è positivo la parabola ha la concavità rivolta verso l alto, altrimenti, se a è negativo ha la concavità rivolta verso il basso.
f(x) è definita per ogni x reale. Se a > 0 la funzione f(x) assume il valore minimo per x = x = b/(2 a) (si intende che f(x) f(x) per ogni x reale). Se a < 0 per lo stesso valore x = x = b/(2 a) la funzione f(x) assume il valore massimo (si intende che f(x) f(x) per ogni x reale). Il grafico di f(x) interseca l asse delle ordinate nel punto (0, c). Il grafico di f(x) è simmetrico rispetto alla retta verticale di equazione x = b/(2 a). Se a > 0 la funzione f(x) è strettamente crescente per x [ b/(2 a), + ) e strettamente descrescente per x (, b/(2 a)]. Se a < 0 la funzione f(x) è strettamente crescente per x (, b/(2 a)] e strettamente descrescente per x [ b/(2 a), + ).
Per a > 0, l equazione f(x) = y 0 ha due soluzioni distinte se y 0 > y, due soluzioni coincidenti se y 0 = y, nessuna soluzione se y 0 < y, dove y = c b 2 /(4 a): nota che il valore y rappresenta il valore minimo della funzione, y = f(x). Per a < 0, l equazione f(x) = y 0 ha due soluzioni distinte se y 0 < y, due soluzioni coincidenti se y 0 = y, nessuna soluzione se y 0 > y, dove y = c b 2 /(4 a): il valore y rappresenta il valore massimo della funzione. Per trovare gli zeri della funzione f dobbiamo risolvere l equazione di secondo grado a x 2 + b x + c = 0 (Paragrafo??). Se c = 0 allora f(x) = a x 2 + b x e gli zeri della funzione sono x 1 = 0 e x 2 = b/a; il grafico della funzione passa per l origine. Se b = 0 allora f(x) = a x 2 + c: la funzione è pari e quindi ha il grafico simmetrico rispetto all asse delle ordinate. L ordinata c del punto di intersezione del grafico con l asse y rappresenta il valore minimo della funzione se a > 0, il valore massimo se a < 0. La funzione interseca l asse delle ascisse se e solo se c/a 0. Se b = c = 0 si ottiene la funzione pari f(x) = a x 2 che ha 0 come valore minimo se a è positivo e come valore massimo se a è negativo.
Esercizio 1 Disegna il grafico delle funzioni f(x) = x 2 6 x + 8 e g(x) = x 2 2 x 2.
Esercizio 2 A partire dal grafico della funzione f(x) precedente disegna il grafico di h(x) = f(x) e k(x) = f( x ).
Parabola nel piano cartesiano Si dice parabola il luogo geometrico dei punti P del piano equidistanti da un punto dato F, detto fuoco, e da una retta assegnata d, detta direttrice, che non passa per il fuoco F. Parabola con asse parallelo all asse y: Posto = b 2 4 a c la parabola ha y = a x 2 + b x + c a R 0 b, c R il vertice nel punto ( b 2 a, ) 4 a l asse di simmetria parallelo all asse delle ordinate e di equazione x = b 2 a il fuoco F nel punto ( b 2 a, 1 ) 4 a la direttrice parallela all asse delle ascisse e di equazione y = 1 4 a
Esercizio 2 Determina l equazione della parabola che passa per il punto A( 1, 6) e ha vertice in V (1, 2); calcola poi i punti di intersezione della parabola con l asse delle ascisse. Determinare l equazione della parabola significa trovare i tre coefficienti a, b e c. Se la parabola passa per A( 1, 6), allora le coordinate di tale punto soddisfano l equazione della parabola, quindi a b + c = 6 Abbiamo così trovato una prima condizione che lega tra loro i coefficienti; ne mancano ancora due in modo da poter impostare un sistema di tre equazioni in tre incognite. L informazione sull ascissa del vertice ci dice che Inoltre deve valere b 2 a = 1 2 a + b = 0 a + b + c = 2 Per quest ultima equazione abbiamo sfruttato il fatto che il vertice è un punto della parabola e quindi le coordinate del vertice soddisfano la sua equazione; avremmo potuto utilizzare l informazione sull ordinata del vertice (che è uguale a /(4 a)), ma avremmo complicato la risoluzione introducendo un termine quadratico b 2. Abbiamo così tre equazioni lineari e tre incognite, non resta altro che risolvere il sistema: a b + c = 6 2 a + b = 0 a + b + c = 2 Sottraendo dalla prima equazione la terza si ottiene 2 b = 8, da cui b = 4; sostituendo il valore trovato per b nella seconda equazione si ha 2 a + 4 = 0, da cui a = 2 (concavità verso il basso). Il coefficiente c si ottiene dalla prima equazione (potevamo usare anche la terza): c = 6 a + b = 6 + 2 + 4 = 0.
Esercizio 2 Determina l equazione della parabola che passa per il punto A( 1, 6) e ha vertice in V (1, 2); calcola poi i punti di intersezione della parabola con l asse delle ascisse. Determinare l equazione della parabola significa trovare i tre coefficienti a, b e c. Se la parabola passa per A( 1, 6), allora le coordinate di tale punto soddisfano l equazione della parabola, quindi a b + c = 6 Abbiamo così trovato una prima condizione che lega tra loro i coefficienti; ne mancano ancora due in modo da poter impostare un sistema di tre equazioni in tre incognite. L informazione sull ascissa del vertice ci dice che Inoltre deve valere b 2 a = 1 2 a + b = 0 a + b + c = 2 Per quest ultima equazione abbiamo sfruttato il fatto che il vertice è un punto della parabola e quindi le coordinate del vertice soddisfano la sua equazione; avremmo potuto utilizzare l informazione sull ordinata del vertice (che è uguale a /(4 a)), ma avremmo complicato la risoluzione introducendo un termine quadratico b 2. Abbiamo così tre equazioni lineari e tre incognite, non resta altro che risolvere il sistema: a b + c = 6 2 a + b = 0 a + b + c = 2 Sottraendo dalla prima equazione la terza si ottiene 2 b = 8, da cui b = 4; sostituendo il valore trovato per b nella seconda equazione si ha 2 a + 4 = 0, da cui a = 2 (concavità verso il basso). Il coefficiente c si ottiene dalla prima equazione (potevamo usare anche la terza): c = 6 a + b = 6 + 2 + 4 = 0.
Esercizio 2 L equazione della parabola è quindi y = 2 x 2 + 4 x 2 x 2 + 4 x = 0 2 x (x 2) = 0 x = 0 x = 2
Esercizi 3) Determina la posizione di una retta di equazione y = (k + 1) x 3 (k 2) rispetto alla parabola di equazione y = x 2 2 x + 1 al variare del parametro reale k. 4) Determina k R in modo che la retta y = x + k 2 sia tangente alla parabola di equazione y = 3 x 2 5 x + 2. 5) Risolvi le seguenti disequazioni di secondo grado: a) b) c) d) k < 0 9 (3 x 2 + 2) 16 (x 3) (3 x 2) 2 + 3 5 x (2 x 1) 2 ( 2 x 1 ) 3 + 5 ( 2 3 x 2 x 2 x + 1 ) 2 1 2 12 x 2 4 k x + k 2 > 0
Esercizi 5) Risolvi le seguenti disequazioni di secondo grado: e) k > 0 f) g) x2 k 2 k 2 + x + k k (x + 1) 3 2 (x + 2) 3 4 x 3 a (x 2)3 3 2 x 2 (x 2 + 3 x) + x 2 3 4 6) Risolvi le seguenti disequazioni al variare del parametro reale k: a) b) c) k x 2 + k x 5 < 0 x 2 2 x + k 0 (1 k) x 2 3 x k 1 > 0
Esercizi 7) Risolvi il seguente sistema: { x 2 4 0 x 2 4 x + 3 0 8) Disegna la porzione di piano definita dalle seguenti disequazioni: x < 3 y > 2 y x 2 4 9) Disegna la porzione di piano definita dalle seguenti disequazioni: { y x 2 3 x + 2 y (1/3) x + 1 10) Tra le parabole di equazione y = a x 2 (a 1) x + 2, trova quella il cui vertice ha l ascissa doppia dell ordinata.