M.Guida, S.Rolando, 4 Integrali doppi / Esercizi svolti L asterisco contrassegna gli esercizi più dicili. ESERCIZIO. Sia (x, y) R : x + y, x y<. Calcolare l integrale ydy e l area di. Svolgimento. L insieme (rappresentato in figura) è l intersezione dei due insiemi individuati dalle seguenti disequazioni: x + y cerchio di raggio e centro l origine, circonferenza inclusa; x y< regione y>x dei punti al di sopra della parabola y x, parabola esclusa. Il calcolo dell integrale può essere eettuato comodamente per verticali, in quanto è verticalmente convesso e le sue frontiere in ingresso ed uscita sono rappresentabili mediante un unica espressione ciascuna: y x e y x rispettivamente, con x [, ]. Siottiene ydy x ydy x x x 4 x y x5 5 y x yx x x 5. x x L area di èdatadaarea () dy. Integrando per verticali su tutto, siottiene x area () dy dy x x + x dove l ultimo integrale non è di immediata risoluzione per via del termine x. Spezziamo allora nei due sottoinsiemi ed dati rispettivamente dalla parte con y (semicerchio di raggio, con area ) e da quella con y< e calcoliamo separatamente: area () area( )+area( ) + dy + + x x x + x x + 4. dy x come d uso, si sottintende il passaggio alla chiusura di, inquanto ydy ydy e area () area
M.Guida, S.Rolando, 4 ESERCIZIO. Calcolare l integrale xe y dy dove (x, y) R : y, x y. Svolgimento. L insieme è l intersezione dei due insiemi rappresentati dalle seguenti disequazioni: y striscia orizzontale delimitata dalle rette y e y, rette comprese; x y striscia obliqua delimitata dalle rette x y e x y, rette comprese. Come si vede bene dalla figura, può essere riscritto come (x, y) R : y, y x y + (lo stesso risultato si ottiene per via algebrica, osservando che la disequazione x y equivale a y x y +), il che ne evidenzia la convessità orizzontale, rendendo facile il calcolo dell integrale. Integrando per orizzontali, si ottiene allora xe y dy y+ y xe y dy e y y+ e y (y +) y y + dy e y dy ye y dy + [ey ] ye y dy + (e ). y x dy ye y dy + x e y xy+ xy e y dy dy Calcolando per parti l integrale ye y dy ye y e y dy e y (y ) + c, si conclude xe y dy [e y (y )] + (e ) + (e ) e +. è anche verticalmente convesso, ma il calcolo dell integrale per verticali richiede di distinguere i due sottoinsiemi su cui le frontiere superiore e inferiore hanno espressione unica: (x, y) R :x, y x (x, y) R :x, x y.
M.Guida, S.Rolando, 4 ESERCIZIO. Calcolare il momento d inerzia rispetto all origine della lamina piana omogenea di densità unitaria rappresentata dall insieme (x, y) R : x + y, x +4y. Svolgimento. Per definizione di momento d inerzia rispetto all origine, si tratta di calcolare l integrale doppio I O x + y dy. L insieme è l intersezione dei due insiemi rappresentati dalle seguenti disequazioni: x + y cerchio di centro l origine e raggio, circonferenza inclusa; x +4y esterno dell ellisse x +4y, ellisse inclusa. Si tratta dunque della regione di piano compresa tra l ellisse x +4y (di centro l origine e semiassi a e b /) e la circonferenza x + y. Il calcolo di I O può essere allora eseguito tramite passaggio a coordinate polari ed ellittiche, oppure spezzando l insieme nei due insiemi y-semplici (x, y) :x [, ], x y x e (x, y) :x [, ], x y x e riducendo l integrale su ciascuno a due integrazioni semplici successive. Seguiamo la prima via, che risulta molto più agevole. Introdotti gli insiemi (x, y) R : x + y (cerchio chiuso) (x, y) R : x +4y < (interno dell ellisse), risulta ovviamente, da cui segue (essendo ) x + y dy x + y dy x + y dy. Si tratta dunque di calcolare i due integrali a secondo membro. Passando a coordinate polari : x cos y sin ( >, < ) si ha x + y cos + sin cos +sin ; dy det J (, ) dd dd;
M.Guida, S.Rolando, 4 4 (x, y) \{(, )} (, ) (, ] [, ), cioè \{(, )} ( ) con (, ] [, ); si noti che ciò può essere dedotto sia geometricamente, tramite la rappresentazione grafica di ed il significato geometrico delle coordinate polari, sia algebricamente, tramite la definizione di e le equazioni del cambio di coordinate: (x, y) R \{(, )} x + y >, < cos + sin >, < < <. unque si ottiene x + y dy [,] [,] dd d 4 d 4. Tramite coordinate ellittiche di parametri a e b / (suggeriti dall equazione dell ellisse che delimita ) x t cos : y (t>, < ) t sin si ha x + y t cos + 4 t sin t cos + 4 sin ; dy det J (t, ) dtd tdtd; (x, y) \{(, )} (t, ) (, ] [, ), cioè \{(, )} ( ) con (, ) [, ); si noti che ciò può essere dedotto sia geometricamente, tramite la rappresentazione grafica di ed il significato geometrico delle coordinate ellittiche, sia algebricamente, tramite la definizione di e le equazioni del cambio di coordinate: (x, y) R \{(, )} x +4y < t>, < t>, < t cos +4 4 t sin < t < <t< <. unque si ottiene x + y dy [,] [,] t 4 4 8 t cos + t 4 sin dtd t dt cos + 4 sin d sin + 4 sin 4 [,] [,] d 8 sin d sin 8 4 4 t cos + 4 sin dtd 4 sin d 4 8 5. come d uso, si sono sottintesi i passaggi che sfruttano l invarianza dell integrale per insiemi trascurabili: x + y dy x + y dy dd dd \{(,)} (,] [,) [,] [,]
M.Guida, S.Rolando, 4 5 In definitiva risulta I O x + y dy 5. ESERCIZIO. Calcolare l integrale 4x +y 6xy dy con (x, y) R :y + x, y x. Svolgimento. L insieme è l intersezione dei due insiemi rappresentati dalle seguenti disequazioni: x y x striscia compresa tra le rette y x e y x, rette incluse; x y +x striscia compresa tra le rette y x e y +x, rette incluse. Si tratta dunque del parallelogramma rappresentato in figura. Il calcolo dell integrale può essere eettuato sia per riduzione che per cambiamento di variabili. Vediamo entrambi i procedimenti, di cui il secondo è notevolmente più comodo. metodo) Per ridurre l integrale doppio a due integrazioni successive occorre suddividere in sottoinsiemi le cui frontiere in ingresso ed uscita possano essere ambedue rappresentate tramite un espressione unica. Poiché le intersezioni tra i lati di y x y x, y x y +x, y x y x, y x y +x sono rispettivamente P (, ),P (, ),P (/, /),P 4 (/, 5/), sihaadesempio con (x, y) R : x, x y +x (x, y) R :<x<,xy+x (x, y) R : x,xyx e quindi (essendo i j per i j) 4x +y 6xy dy i i 4x +y 6xy dy.
M.Guida, S.Rolando, 4 6 Calcoliamo separatamente i tre integrali: risulta 4x +y 6xy +x dy x 4x y + y 7 x4 x + 6 x 4x +y 6xy dy xy x x y+x yx 5, 8 x 4x + 6 e / +x 4x +y 6xy dy 4x +y 6xy dy x / 4x y + y xy x + 6 x/ x 6 4x +y 6xy dy x / x / / / / x y+x yx / 4x +y 6xy dy yx 4x y + y xy yx 8 / x +6x 45x +8 7 x4 +x 45 x +8x x/ x/ 4x + 6. In definitiva si ottiene 4x +y 6xy dy 5+ 6 + 5. metodo) alla definizione dell insieme, sivedesubitoche si trasforma in un rettangolo (su cui è facile integrare) tramite il cambiamento di variabili y + x u y x v; (.) in tal modo risulta infatti (x, y) (u, v) [, ] [, ] :. Ciò significa ( ) dove (x, y) (u, v) è l inverso del cambiamento di coordinate di equazioni
M.Guida, S.Rolando, 4 7 (.), ossia (risolvendo le (.) rispetto a u e v) : x u v y u + v. Tramite il cambio, sihapoi: u v u + v 4x +y 6xy 4 + 6 u v u + v v uv; dy det J (u, v) dtd dudv, essendo x x det J (u, v) u v y y 4 + 4. u v unque si ottiene 4x +y 6xy dy [,] [,] v u u v v 94 v v v uv dudv v u u dv 5. v uv dudv 9v 9 v dv ESERCIZIO. Calcolare il momento d inerzia rispetto all origine della lamina piana omogenea di densità unitaria rappresentata dall insieme (x, y) R : x + y, y x. Calcolare poi massa e baricentro della lamina. Svolgimento. doppio Per definizione di momento d inerzia rispetto all origine, si tratta di calcolare l integrale I O x + y dy. L insieme (rappresentato in figura) è l intersezione dei due insiemi individuati dalle seguenti disequazioni: x + y cerchio con centro nell origine e raggio, circonferenza inclusa; y x angolo al di sotto del grafico y x (simmetrico rispetto all asse x del grafico y x ), grafico incluso.
M.Guida, S.Rolando, 4 8 Viste la forma dell insieme di integrazione (settore circolare) e l espressione della funzione integranda (x + y ), il calcolo dell integrale risulta molto agevole passando a coordinate polari x cos y sin ( >, < ), tramite le quali ci si riconduce all integrazione su un rettangolo, in quanto risulta \{(, )} ( cos, sin ) R :<, 5 4 7 4 (facciamo notare che l angolo può essere fatto variare equivalentemente in un qualsiasi altro intervallo del tipo 5 4 +k, 7 4 +k con k Z, adesempio 4, 4 ). unque si ottiene I O x + y dy [, cos + sin 7/4 dd ] [ 5 4, 7 4 ] 5/4 7/4 7 d d 4 5 4 9 4 4 8, 5/4 dd dove la sostituzione dy dd tiene conto del termine jacobiano. Poiché la lamina è omogenea con densità unitaria, la sua massa coincide con l area di, che può essere determinata subito per via geometrica, così come l ascissa del baricentro G (x G,y G ): risulta area () ( ) /4/4 (in quanto è un settore circolare di un cerchio di raggio ed ha ampiezza /4) ex G (in quanto è simmetrico rispetto all asse y). Infine, passando nuovamente a coordinate polari, si ottiene y G ydy area () /4 4 [ cos ]7/4 5/4 4 [, ] [ 5 4, 7 4 ] sin dd 4 7/4 sin d d 5/4 cos 5 4 cos 7 4 4 4 6. ESERCIZIO. Sia (x, y) R : x + y 4, y x, y. (i) Rappresentare l insieme nel piano cartesiano. (ii) Calcolare l area di. (iii) Calcolare le coordinate del centroide di. Svolgimento. (i) L insieme (rappresentato in figura) è l intersezione dei tre insiemi individuati dalle seguenti disequazioni: x + y 4 cerchio con centro nell origine e raggio, circonferenza inclusa; y x semipiano dei punti al di sopra della retta y x, rettainclusa; y semipiano dei punti al di sopra dell asse x.
M.Guida, S.Rolando, 4 9 Osserviamo che èladierenza tra il settore circolare (x, y) R : x + y 4, x, y ed il triangolo rettangolo B di vertici (, ), (, ) e (, ). (ii) L area di è data dalla dierenza tra le aree di edib, che sono rispettivamente (un quarto dell area del cerchio di raggio ) e (cateto cateto :). Quindi area () area () area (B). (iii) Il centroide G dell insieme ha coordinate x G e y G date da x G xdy e y G ydy. area () area () Il calcolo di questi integrali può essere eettuato sia per orizzontali che per verticali (v. più in basso), ma la strada più semplice è forse quella di integrare su e B separatamente, per poi prendere la dierenza degli integrali. Essendo ( cos, sin ) R :, e B (x, y) R :x, y x,siottiene xdy / xdy cos d B xdy d / 8 x x 8 x e, con conti del tutto analoghi, ydy ydy ydy B [cos ] / y unque x G 7 () e y G. cos dd [xy] yx y [sin] / / x x 8 7 yx y sin dd 8 xdy x x ( x) ydy ( x). Come ulteriore esercizio di integrazione, calcoliamo x G e y G anche per orizzontali e per verticali. Fig. Fig.
M.Guida, S.Rolando, 4 Integrando per orizzontali (Fig. ), si ottiene 4y x x 4y xdy x dy dy y x y y 4 y dy 7 e 4y ydy y dy [yx] x 4y 4 dy y y x y y y dy y 4 y dy y y dy 4 y y y. Integrando per verticali (Fig. ) ed omettendo i conti analoghi ad altri già svolti, si ottiene 4x 4x xdy xdy + xdy e ydy 4x ydy + x x x 4 x +x + x 4 x + x 4 x + 4 x ( x) + x (x ) + x 4 x x x 7 4x ydy 4 x. Le coordinate x G e y G si ottengono poi dividendo per area (). y x 4 x 4x x + y 4x ESERCIZIO. Rappresentare nel piano l insieme (x, y) R : x + y, x, y e calcolare l integrale y xdy. Svolgimento. L insieme (rappresentato in figura) è l intersezione dei due insiemi individuati dalle seguenti disequazioni: x + y esterno del cerchio di raggio e centro l origine, circonferenza inclusa; x y quadrato [, ] [, ], cioèdivertici (, ), (, ), (, ), (, ), latiinclusi.
M.Guida, S.Rolando, 4 Il calcolo dell integrale può essere eettuato comodamente per verticali (o anche per orizzontali), in quanto è verticalmente convesso e le sue frontiere in ingresso ed uscita sono rappresentabili mediante un unica espressione ciascuna, cioè y x e y rispettivamente, con x [, ]. Siottiene y xdy x y xdy xx x x x x 5 ydy x x x 5 + 5 + x 7. x y y y x lternativamente, ma con diversi conti in più, si sarebbe potuto procedere per dierenza: y xdy y xdy y xdy Q dove Q [, ] [, ] e ( cos, sin ) R :, (cioè è la parte del cerchio x + y che giace nel I quadrante). llora, da un lato, si ottiene subito Q y xdy y xdy x ydy x + + x x y y y, mentre dall altro, tramite il cambio di variabili (x, y) (cos, sin ), dy dd, siha y / xdy sin / cos dd sin cos dd / 5 d sin cos d 4 / sin cos d. 7 L ultimo integrale può essere calcolato con la sostituizione t cos, dt sin d, che fornisce / sin cos(/) t cos d tdt t t + dt. cos + t unque e quindi y xdy 4 7 8 y xdy 8 7. ESERCIZIO. Rappresentare nel piano l insieme (x, y) R : x y e calcolare l integrale e y dy. Svolgimento. L insieme (rappresentato in figura) è l intersezione dei due insiemi individuati dalle seguenti disequazioni:
M.Guida, S.Rolando, 4 x y punti al di sopra del grafico y x della funzione valore assoluto, grafico incluso; y semipiano dei punti al di sotto della retta y,rettainclusa. L insieme è evidentemente convesso sia verticalmente che orizzontalmente, ma l integrazione per segmenti verticali non solo richiederebbe di spezzare l integrale nella somma di due integrali: e y dy e y dy x e y dy x + x e y dy, ma anzi risulta addirittura impossibile, in quanto l integrale indefinito e y dy non è esprimibile elementarmente. Procediamo allora per orizzontali. Come è evidente dalla figura, si ha (x, y) R :y, y x y e quindi risulta y e y dy e y dy y e y y e, y e y y y dy e y [x] xy xy dy ye y dy dove si usato il fatto che ye y dy f (y) e f(y) dy e f(y) + c e y + c. ESERCIZIO*. Calcolare 6xy (x + y )(x + y +) dy con (x, y) R : x + y, x y, y x. Svolgimento. L insieme è l intersezione dei tre insiemi rappresentati dalle seguenti disequazioni:
M.Guida, S.Rolando, 4 x + y esterno della circonferenza x + y, frontiera inclusa; x y regione connessa delimitata dall iperbole x y, frontiera inclusa; y x angolo del I quadrante con lati dati dalle rette y e y x, rette incluse. Come si vede dalla figura, è semplice rispetto ad entrambi gli assi, ma la riduzione dell integrale doppio a due integrazioni successive non è agevole, in quanto le frontiere in ingresso ed uscita di non hanno rappresentazione analitica unica. Vista l espressione dell integrando (che presenta il binomio x + y due volte) e vista la forma di (parte di angolo con vertice nell origine, delimitata, almeno da un lato, da una circonferenza), potrebbe risultare più comodo passare a coordinate polari : x cos y sin ( >, < ). Ricaviamo la descrizione di in coordinate polari sia geometricamente che algebricamente. L angolo che contiene ha chiaramente ampiezza 6 (in quanto il coeciente angolare del suo lato superiore è tan 6 ). Fissato un qualunque, 6, i punti di con coordinata angolare sono i punti del segmento x cos,y sin descritto dal raggio checresceda (punto sulla circonferenza) fino al raggio del punto in cui il segmento incontra l iperbole x y ; tale intersezione è individuata dalla soluzione > dell equazione cos sin, cos sin, cos (), ossia cos(). unque risulta ( cos, sin ) R :,, 6 cos (). (.) Sostituendo le equazioni del cambio di coordinate nella definizione di, siottiene (x, y) R \{(, )} >, < < x + y x y cos sin 6 cos () y x sin cos tan cos()
M.Guida, S.Rolando, 4 4 6 cos() e perciò si ritrova la rappresentazione (.). unque ( ) con (, ) :, 6, cos() equindi 6xy (x + y )(x + y +) dy 6 cos sin sin () ( dd 8 +) ( +) dd, dove ad integrando si è operata la sostituzione dy det J (, ) dd dd, come prescritto dal teorema sul cambiamento di variabili. Integrando ora per segmenti paralleli all asse (sinotiche è -semplice),siottiene sin () ( +) dd /6 cos() sin () ( +) d d dove la sostituzione t +, dt d fornisce ( +) d ( +) d e quindi sin () ( +) dd 6 /6 /6 ( +) sin () d 4 cos() /6 Calcolando separatamente i due integrali, si ha e /6 /6 sin () d cos () cos(/6) +cos() sin () d cos /6 cos() ( +) d sin () d, t dt t + c ( +) + c sin () d /6 cos () sin () d. +cos() 6 cos () u +u du [u log ( + u)] / 4 6 sin () d cos() + log +u du +log dove si è operata la sostituzione u cos(), du sin() d. Indefinitiva, si conclude 6xy (x + y )(x + y dy 8 +) 4 +log, sin () ( +) dd 4 4 4 +log 6 log 4.