Pag. /5 Sessione ordinaria 7 Seconda prova scritta Ministero dell Istruzione, dell Università e della Ricerca I4 ESAME DI STATO DI ISTRUZIONE SECONDARIA SUPERIORE Indirizzi: LI, EA SCIENTIFICO LI - SCIENTIFICO - OPZIONE SCIENZE APPLICATE (Testo valevole anche per la corrispondente sperimentazione quadriennale) Tema di: MATEMATICA Il candidato risolva uno dei due problemi e risponda a 5 quesiti del questionario. PROBLEMA Si può pedalare agevolmente su una bicicletta a ruote quadrate? A New York, al MoMath-Museum of Mathematics si può fare, in uno dei padiglioni dedicati al divertimento matematico (figura ). È però necessario che il profilo della pedana su cui il lato della ruota può scorrere soddisfi alcuni requisiti. In figura è riportata una rappresentazione della situazione nel piano cartesiano Oxy: il quadrato di lato DE = (in opportune unità di misura) e di centro C rappresenta la ruota della bicicletta, il grafico della funzione f(x) rappresenta il profilo della pedana. Figura Figura ) Sulla base delle informazioni ricavabili dal grafico in figura, mostra, con le opportune argomentazioni, che la funzione: f(x) = ex + e x x R rappresenta adeguatamente il profilo della pedana per x [ a ; a]; determina inoltre il valore degli estremi a e a dell intervallo.
Pag. /5 Sessione ordinaria 7 Seconda prova scritta Ministero dell Istruzione, dell Università e della Ricerca Per visualizzare il profilo completo della pedana sulla quale la bicicletta potrà muoversi, si affiancano varie copie del grafico della funzione f(x) relativo all intervallo [ a ; a], come mostrato in figura. ) Perché la bicicletta possa procedere agevolmente sulla pedana è necessario che: a sinistra e a destra dei punti di non derivabilità i tratti del grafico siano ortogonali; la lunghezza del lato della ruota quadrata risulti pari alla lunghezza di una gobba, cioè dell arco di curva di equazione y = f(x) per x [ a; a]. Stabilisci se tali condizioni sono verificate. ) Considerando la similitudine dei triangoli rettangoli ACL e ALM in figura 4, e ricordando il significato geometrico della derivata, verifica che il valore dell ordinata d del centro della ruota si mantiene costante durante il moto. Pertanto, al ciclista sembra di muoversi su una superficie piana. In generale, la lunghezza dell arco di curva avente equazione y = φ(x) compreso tra le ascisse x e x è data da x + (φ (x)) dx. x
Pag. /5 Sessione ordinaria 7 Seconda prova scritta Ministero dell Istruzione, dell Università e della Ricerca Anche il grafico della funzione: f(x) = ex + e x ln () ln (), per x [ ; ] se replicato varie volte, può rappresentare il profilo di una pedana adatta a essere percorsa da una bicicletta con ruote molto particolari, aventi la forma di un poligono regolare. 4) Individua tale poligono regolare, motivando la risposta. PROBLEMA Consideriamo la funzione f: R R, periodica di periodo T = 4 il cui grafico, nell'intervallo [; 4], è il seguente: Come si evince dalla figura, i tratti OB, BD, DE del grafico sono segmenti i cui estremi hanno coordinate: O(, ), B(, ), D(, ), E(4, ). ) Stabilisci in quali punti del suo insieme di definizione la funzione f è continua e in quali è derivabile e verifica l esistenza dei limiti: x lim f e x lim x f x x Rappresenta inoltre, per x [; 4], i grafici delle funzioni: ; qualora esistano, determinane il valore. ) Considera la funzione: g(x) = f (x) x h(x) = f(t)dt. s(x) = sen(bx) con b costante reale positiva; determina b in modo che s(x) abbia lo stesso periodo di f(x).
Pag. 4/5 Sessione ordinaria 7 Seconda prova scritta Ministero dell Istruzione, dell Università e della Ricerca Dimostra che la porzione quadrata di piano OABC in figura viene suddivisa dai grafici di f(x) e s(x) in parti distinte e determina le probabilità che un punto preso a caso all interno del quadrato OABC ricada in ciascuna delle parti individuate. ) Considerando ora le funzioni: f(x) e s(x) discuti, anche con argomentazioni qualitative, le variazioni (in aumento o in diminuzione) dei valori di probabilità determinati al punto precedente. 4) Determina infine il volume del solido generato dalla rotazione attorno all asse y della porzione di piano compresa tra il grafico della funzione h per x [; ] e l'asse delle x. QUESTIONARIO. Definito il numero E come: dimostrare che risulta: ed esprimere in termini di e ed E. E = xe x dx, x e x dx = e E, x e x dx. Una torta di forma cilindrica è collocata sotto una cupola di plastica di forma semisferica. Dimostrare che la torta occupa meno dei /5 del volume della semisfera.. Sapendo che: determinare i valori di a e b. ax + b 6 lim = x x 4. Per sorteggiare numeri reali nell intervallo [, ] viene realizzato un generatore di numeri casuali che fornisce numeri distribuiti, in tale intervallo, con densità di probabilità data dalla funzione: f(x) = x 4 x Quale sarà il valore medio dei numeri generati? Qual è la probabilità che il primo numero estratto sia 4/? Qual è la probabilità che il secondo numero estratto sia minore di?
Pag. 5/5 Sessione ordinaria 7 Seconda prova scritta Ministero dell Istruzione, dell Università e della Ricerca 5. Dati i punti A(,, ), B(,, ), C(,, ), determinare l equazione della retta r passante per A e per B e l'equazione del piano π perpendicolare ad r e passante per C. 6. Determinare il numero reale a in modo che il valore di sia un numero reale non nullo. sen(x) x lim x x a 7. Determinare le coordinate dei centri delle sfere di raggio 6 tangenti al piano π di equazione: nel suo punto P di coordinate (,, ). x + y z + = 8. Un dado ha la forma di un dodecaedro regolare con le facce numerate da a. Il dado è truccato in modo che la faccia contrassegnata dal numero si presenti con una probabilità p doppia rispetto a ciascun altra faccia. Determinare il valore di p in percentuale e calcolare la probabilità che in 5 lanci del dado la faccia numero esca almeno volte. 9. Dimostrare che l'equazione: ha una e una sola soluzione reale. arctg(x) + x + e x =. Data la funzione: f(x) = 4 x verificare che essa non soddisfa tutte le ipotesi del teorema di Rolle nell'intervallo [ ; ] e che comunque esiste almeno un punto dell'intervallo [ ; ] in cui la derivata prima di f(x) si annulla. Questo esempio contraddice il teorema di Rolle? Motivare la risposta in maniera esauriente. Durata massima della prova: 6 ore. È consentito l uso di calcolatrici scientifiche e/o grafiche purché non siano dotate di capacità di calcolo simbolico (O.M. n. 57 Art. 8 comma 8). È consentito l uso del dizionario bilingue (italiano-lingua del paese di provenienza) per i candidati di madrelingua non italiana. Non è consentito lasciare l Istituto prima che siano trascorse ore dalla dettatura del tema.
Problema Il grafico della funzione f, che è pari, si ottiene da quello della funzione coseno iperbolico (cosh(x) = ex + e x ) tramite una simmetria assiale rispetto all asse delle ascisse seguita da una traslazione di ampiezza nel verso positivo dell asse delle ordinate. L epigrafo della f non è convesso e si adegua al profilo della pedana, sulla quale deve scorrere il lato della ruota quadrata, se l angolo formato dalle tangenti in a e a misura π radianti e la lunghezza dell arco, diagramma della f nell intervallo [ a; a], è pari alla lunghezza del lato del quadrato. Gli estremi dell intervallo [ a; a] corrispondono agli zeri della f: e x + e x = Questa equazione, posto e x = t, può essere riscritta nella veste: t t + = Per il teorema di Cartesio, si hanno due radici reali positive, t =. La sostituzione e x = t, fornisce i valori di a e a: ( ) ( ) a = ln, a = ln + Le pendenze p e p delle tangenti in un punto di non derivabiltà si ottengono valutando la derivata prima della f, f (x) = ex e x nei punti di ascissa a e a: p = f ( a) =, p = f (a) = Esse soddisfano la condizione affinché due rette del piano siano ortogonali: pp =
L = a a Le condizioni sono entrambe soddisfatte. e x + e x dx = La similitudine dei triangoli rettangoli ACL e ALM consente di esprimere la derivata prima della f nella forma: f (x) = MA ML = LA LC = LA Applicando il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo ACL si ricava la relazione: (d f) = (LA) + = (f ) + Passando dal quadrato costruito sull ipotenusa al lato corrispondente si prova quanto richiesto: d = f + (f ) + = 4 Valutiamo la misura dell angolo formato dalle tangenti al diagramma della funzione: f(x) = ex + e x ( ) nei punti ln e ln ( ). Risulta: ) tan(ψ) = f (ln =, ψ = 6 π tan(φ) = f ( ln ) =, φ = 5 6 π L angolo interno del poligono regolare è dato dalla differenza tra φ e ψ: Si tratta di un esagono regolare. φ ψ = π Ricordiamo il significato geometrico della derivata prima: pendenza della retta tangente al diagramma di una funzione in un punto assegnato.
Problema La funzione è continua in R e derivabile in R k Z { + k} Il lim f(x) x + non esiste perché la funzione è periodica, l altro, come prodotto di una funzione limitata e una infinitesima, è uguale a zero. lim f(x) x + x Dalla figura si evince l espressione analitica della funzione f: f(x) = ( ) k (x k), k Z e x [ + k; + k] I grafici delle funzioni: h(x) = g(x) = f (x) = ( ) k, k Z e x ] + k; + k[ x sono rappresentati in figura ( ) ( f(t) dt = ( ) k x kx + ( ) k 4k ) +, k Z e x [ + k; + k]
Una funzione f, di dominio D, è definita periodica se esiste un numero reale (positivo) T tale che f(x + T ) = f(x) per ogni x D. Quindi, sin [b (x + 4)] sin (bx) = Applicando le formule di prostaferesi, si ottiene [ ] [ ] b (x + 4) + bx b (x + 4) bx cos sin = sin (b) = Il valore minimo positivo che verifica l equazione è b = π. ( π ) L epigrafo, nell intervallo [; ], della funzione limitata s(x) = sin x non è convesso; pertanto, il suo diagramma è posizionato, in detto intervallo, tutto al di sopra di quello della funzione f(x) = x. Ne consegue la suddivisione in tre parti distinte del quadrato ABCD. Le probabilità (geometriche) che un punto preso a caso all interno del quadrato ricada in ciascuna delle tre parti individuate sono: P (R) = ( π ) sin x x dx = π, P (R) = π, P (R) = Si ricordi che la funzione seno assume valori compresi tra e nell intervallo [; π].
Riportiamo di seguito il quadrato ABCD e ( i diagrammi delle funzioni: f (x) = x, s (x) = sin π ) x (. Da un punto di vista qualitativo, la simmetria della funzione sin π ) x rispetto al centro del quadrato, porta ad un aumento dell estensione della regione R; la convessità della funzione x induce un decremento dell estensione di R. valori di probabilità che un punto preso a caso ricada all interno del quadrato in ciascuna delle nuove regioni sono: P (R) =, P (R) = [ x π sin (πx) x sin ( π x ) x dx = ] = 6, P (R) = La variazione è positiva per R e R, negativa per R. ( cos (πx) ) x dx = I 4 Il volume del solido generato da una rotazione completa attorno all asse y della porzione di piano compresa tra il diagramma della funzione h, per x [; ], e l asse delle x si esprime in gusci sferici tramite l integrale: V = π xh(x) dx = π x dx + x + x x dx = π 4
Questionario Integrando, risulta: x e x dx = [ x e x ] xe x dx = e xe x dx = e E Il metodo di integrazione per parti riconduce l integrale x e x dx al precedente. x e x dx = [ x e x ] x e x dx = e x e x dx = (E e) La simmetria di rotazione consente di raffigurare il problema tramite una sezione piana della semisfera (cupola) e del cilindro (torta). Il volume della semisfera è πr, quello del cilindro in funzione dell altezza è π ( R h ) h. Il volume massimo di quest ultimo misura πr 9, valore inferiore ai 5 di quello della semisfera: < 5 Come si evince dall uguaglianza ax + b 6 = x ( a x ) + b 8 x
il limite per è ricondotto al limite notevole 4 lim x La funzione densità di probabilità ax + b 6 x a =, b = 8, x = z, z + lim = z z = p(x) =, x< x 4 x, x [; ], x> è continua in ogni punto x R e ha le seguenti proprietà: () p(x) ; () P (x ξ < x + dx) = p(x) dx; () + p(x) dx = Il valore medio dei numeri generati è: xp(x) dx = ( x x ) 4 x dx = 6 5
Poiché la densità di probabilità è una funzione continua, le estrazioni precedenti non influenzano quelle successive; possiamo trascurare l indicazione di primo o secondo numero estratto. Utilizziamo la proprietà () della funzione p(x) per calcolare la probabilità che il numero estratto sia 4 ; la risposta è immediata ed è zero. x La stessa proprietà, sotto forma integrale p(x) dx, consente di calcolare la probabilità che il numero estratto sia minore di : 5 ( x ) 4 x dx = 5 6 L equazione vettoriale della retta r di direzione AB = (5,, ) è OP = OA + t AB In coordinate cartesiane (parametriche) si scrive: x = + 5t, y = t, t R z = t, Il prodotto scalare consente di esprimere sotto forma vettoriale l equazione del piano π ortogonale ad r e passante per C: AB CX = dove X(x, y, z) è un punto di π. In coordinate cartesiane, π : 5x y z =. 6 Reiterando l applicazione del teorema di L Höpital, risulta: lim x sin(x) a(a )x a = 6 per a = 7 Determiniamo le equazioni parametriche della retta r passante per P ed ortogonale a π. A tal fine, ricaviamo le componenti della normale n a π
dall equazione cartesiana del piano: n = (,, ). Dall equazione vettoriale P X = tn ricaviamo le equazioni parametriche di r: x = t, y = t, z = t, t R Le coordinate dei centri delle sfere tangenti a π devono soddisfare la condizione: (x ) + (y ) + (z ) = 6 che, riscritta in funzione del parametro t ( t = ), ha per radici: t =. Le equazioni parametriche della retta r forniscono per questi valori del parametro le coordinate richieste: C = (,, ) e C = (,, ). 8 La probabilità che esca una faccia diversa dalla è p Poiché la somma delle probabilità delle singole facce è, abbiamo: Il valore di p in percentuale è 5, 8%. p + p = Il Teorema di Bernouilli delle prove ripetute e la probabilità dell evento contrario consentono di calcolare la probabilità dell evento E in 5 lanci del dado la faccia numero esca almeno due volte : P (E) = P (E i ) = i= ( )( ) 5 i ( ) i 5 = 7% i i= E i sta ad indicare l evento in 5 lanci del dado la faccia numero esce i volte con i N, i 5. 9 La funzione f(x) = arctan(x) + x + e x
definita e continua nell intervallo [ ; +], assume valori di segno opposto negli estremi. Il teorema di B.Bolzano assicura l esistenza di almeno uno zero in ] ; +[. L unicità è una conseguenza della stretta monotonia della f in R, come si evince dal segno positivo della derivata prima per ogni x reale: f (x) = + x + x + e x La funzione f(x) = 4 x è una funzione pari. La sua derivata prima, che è una funzione dispari, f (x) = x 4 x 4 x ha per dominio l insieme R {, +} e si annulla nel punto. L esempio non contraddice il teorema di Rolle che esprime una condizione sufficiente ma non necessaria perché la derivata prima di una funzione si annulli in almeno un punto di un intervallo [a; b].