I numeri interi Teorema 1 (divisione in Z) Siano a, b Z, b 0 Allora esistono e sono unici q, r Z tali che (1) a = bq + r () 0 r < b Si dice che q è il quoziente e r è il resto della divisione di a per b Inotre, si ha: r = 0 b a Proposizione 1 Per ogni a, b, c Z, a 0 si ha: 1 a b (a ( b) a b a ( b)) (a b a c) a (b + c) a (b c) 3 se b 0 (a b b c) a c 4 se b 0 (a b b a) b = ±a 5 a b a bc Dimostrazione 1 Siano a, b Z con a 0 e a b Allora esiste q Z tale che b = qa Quindi (1) b = ( q)a a ( b) Inoltre b = ( q)( a) e pertanto a b da cui, usando (1), a ( b) Siano a, b, c Z con a 0, a b e a c Allora esistono p, q Z tali che b = pa e c = qa Quindi b ± c = pa ± qa = (p ± q)a e pertanto a (b ± c) 3 Siano a, b, c Z con a 0, b 0, a b e b c Allora esistono r, s Z tali che b = ra e c = sb Segue che c = sb = s(ra) = (sr)a, da cui certamente a c 4 Siano a, b Z con a b e b a Allora esistono h, k Z tali che b = ha e a = kb Segue che b = ha = h(kb) = (hk)b e quindi h e k sono due interi il cui prodotto è 1 e pertanto h = k = 1 oppure h = k = 1, ovvero b = ±a 5 Siano Siano a, b Z con a 0 e a b Allora esiste q Z tale che b = qa Allora bc = (qa)c = (qc)a e dunque a bc Definizione 1 Siano a, b Z, a, b non entrambi nulli Si dice massimo comun divisore tra a e b un intero d Z tale che d a d b d Z tale che d a d b si ha d d Osservazione 1 Dalla Proposizione 1 segue subito che se d è un massimo comun divisore tra a e b lo è anche tra a e b, tra a e b, tra a e b Inoltre, nella Definizione 1 si richiede che almeno uno tra a e b sia non nullo: se uno dei due è nullo, per esempio a = 0, allora b è massimo comun divisore tra a e b Infatti: b 0 b b se d Z è tale che d 0 e d b, allora d b Teorema Siano a, b Z Allora sicuramente esiste un massimo comun divisore d tra a e b Inoltre esistono due numeri interi x 0 e y 0 tali che () d = ax 0 + by 0 Infine, l unico altro massimo comun divisore è d L equazione () si chiama identità di Bézout 1
Nella dimostrazione del Teorema si usa l algoritmo delle divisioni successive: a = bq 1 + r 1 0 r 1 b b = r 1 q + r 0 r r 1 r 1 = r q 3 + r 3 0 r 3 r r n 3 = r n q n 1 + r n 1 0 r n r n 1 r n = r n 1 q n r n = 0 Si prova che l ultimo resto non nullo r n 1 è massimo comun divisore tra a e b Osservazione Siano a, b Z, a, b non entrambi nulli Allora esiste un unico massimo comun divisore positivo tra a e b che si indica con MCD(a, b) Definizione Siano a, b Z Si dice minimo comune multiplo tra a e b un intero m Z tale che a m b m m Z tale che a m b m si ha m m Teorema 3 Siano a, b Z Se d è un massimo comun divisore tra a e b, allora ab d è un minimo comune multiplo tra a e b Inoltre se m è un altro minimo comune multiplo tra a e b, allora m = m Osservazione 3 Nelle stesse condizioni del Teorema 3, esiste un unico minimo comune multiplo positivo tra a e b che si indica con mcm(a, b) Principio d induzione completa (1 a forma) Fissato n 0 Z, si pone Z(n 0 ) := x Z x n 0 } Si supponga che P (n) sia una proprietà che ha senso x Z(n 0 ) Se sono soddisfatte le seguenti due condizioni: (1) P (n 0 ) è vera () ( n > n 0, P (n) vera) = P (n + 1) vera allora P (x) è vera x Z(n 0 ) Principio d induzione completa ( a forma) Si supponga che P (n) sia una proprietà che ha senso x Z(n 0 ) Se sono soddisfatte le seguenti due condizioni: (1) P (n 0 ) è vera () ( m Z(n 0 ), n 0 m < n, P (m) vera) = P (n) vera allora P (x) è vera x Z(n 0 ) Definizione 3 Sia (A, ) un insieme ordinato Si dice che (A, ) verifica la proprietà del buon ordinamento di oppure che è ben ordinato se ogni sottoinsieme non vuoto di A che ammette minoranti ammette il minimo Osservazione 4 L insieme Z con il suo ordinamento naturale è ben ordinato Si dimostra che questa proprietà è equivalente al Principio di induzione completa Definizione 4 Sia p Z, p ±1 Si dice che p è primo se ( a, b Z) (p ab = (p a p b) Definizione 5 Sia p Z, p ±1 Si dice che p è irriducibile se ( a, b Z) (a p = (a = ±1 a = ±p)) Teorema 4 Sia p Z, p ±1 Allora p è primo se e solo se p è irriducibile (dimostrato a lezione)
Proposizione Esistono infiniti numeri primi Proof Si supponga per assurdo che esistano soltanto h numeri primi p 1, p,, p h N (non è lesivo della generalità considerali positivi) Allora q = p 1 p p h non è un numero primo e non lo è neppure q + 1, perché q + 1 non può essere un divisore di q ed è pertanto diverso da ogni p i, i = 1,, h Quindi esiste j = 1,, h tale che p j (q + 1) Però risulta anche p j q e quindi p j (q + 1 q), ovvero p j 1, e quindi p j = 1, il che non può succedere, poichè i numeri primi sono diversi da 1 Teorema 5 (Teorema fondamentale dell Aritmetica) Sia n Z, n ±1 Allora esistono s numeri primi p 1,, p s e s interi naturali h 1,, h s tali che n = p h1 1 phs s Questa decomposizione è essenzialmente unica, nel senso che se q 1,, q r sono numeri primi e k 1,, k r sono interi positivi tali che n = q k1 1 qkr r allora s = r ed inoltre si può cambiare l ordine dei fattori in modo che q 1 = ±p 1,, q s = ±p s, h 1 = k 1,, h s = k s Osservazione 5 Siano n, m Z 0, ±1} Allora esistono p 1,, p s numeri primi, h 1,, h s, k 1,, k s N tali che n = p h1 1 phs s, m = p k1 1 pks s ; cioè i due numeri possono essere fattorizzati usando gli stessi fattori primi, eventualmente elevati a potenza 0 Per esempio, Si può provare che Nell esempio considerato: 945 = 0 3 3 5 7 11 0 17 0, 3366 = 3 5 0 7 0 11 17 MCD(n, m) = p min(h1,k1) 1 ps min(hs,ks), mcm(n, m) = p max(h1,k1) 1 ps max(hs,ks) MCD(945, 3366) = min(0,1) 3 min(3,) 5 min(1,0) 7 min(1,0) 11 min(0,1) 17 min(0,1), quindi MCD(945, 3366) = 3 = 18 Inoltre mcm(945, 3366) = max(0,1) 3 max(3,) 5 max(1,0) 7 max(1,0) 11 max(0,1) 17 max(0,1), per cui mcm(945, 3366) = 3 3 5 7 11 17 = 353430 3
4 Definizione 6 Sia A un insieme Si dice successione di elementi di A un applicazione f : N A In generale si userà la notazione a n = f(n), n N Delle volte può essere conveniente definire ricorsivamente una succesione: 1 si definisce il primo (o i primi) elementi della successione definito l elemento (n 1)-mo, si definisce l elemento n-mo, (oppure, definiti tutti gli elementi precedenti si definisce l n-mo) Esempi (1) le potenze: per ogni a R, n N a 0 = 1 si pone: a n = a n 1 a 0! = 1 () il fattoriale: per ogni n N si pone: n! = (n 1)!n (3) la progressione aritmetica: per ogni a, d R, d 0, n N si pone: a 0 = a a n = a n 1 + d si osservi che n N la differenza tra a n e a n 1 è sempre d (4) la progressione geometrica: per ogni a, d R, n N si pone: a 0 = a a n = a n 1 d si osservi che n N il rapporto tra a n e a n 1 è sempre d (5) le torri di Hanoi: Su una di tre aste sono posti n dischi di diametro crescente dal basso verso l alto e bisogna spostare gli n dischi su un altra asta, in modo che assumano la stessa disposizione secondo le seguenti regole: 1) i dischi vanno spostati uno per volta ) un disco di diametro minore non va mai posto sotto un disco di diametro maggiore Il problema è quello di capire qual è il numero minimo di mosse da fare per spostare i dischi da un asta ad un altra Si ottiene così la formula ricorsiva: a 1 = 1 a n = a n 1 + 1 (6) i numeri di Fibonacci: a 0 = 0 a 1 = 1 a n = a n 1 + a n Questa successione venne introdotta dal mercante italiano Fibonacci (Leonardo Pisano, 1180 circa - 150) nel suo Liber Abaci come soluzione del problema delle coppie di conigli Esercizio 1 Utilizzando la a forma del principio di induzione completa si dimostra la seguente proprietà dei numeri di Fibonacci: k N, n N a n+k = a k a n+1 + a k 1 a n Esercizio Utilizzando la 1 a forma del principio di induzione completa si prova che due numeri di Fibonacci successivi sono coprimi, ossia hanno massimo comun divisore 1 Per le successioni definite per ricorrenza è sempre possibile individuare una formula chiusa, ovvero una formula che descriva direttamente l n-mo termine della successione È ben noto che Inoltre, il fattoriale è stato definito come: a n = a } a } n volte n! = n (n 1) (n ) 1
Si verifica facilmente che le due formule precedenti corrispondono alle formule chiuse delle corrispondenti successioni definite per ricorrenza e inoltre che la formula chiusa per la progressione aritmetica è: a n = a + nd e per la progressione geometrica: a n = a d n Per quanto riguarda le torri di Hanoi, si può ricavare la formula chiusa osservando che: a n = a n 1 + 1 = (a n + 1) + 1 = 4a n + + 1 = 4(a n 3 + 1) + + 1 = 8a n 3 + 4 + + 1 = 8(a n 4 + 1) + 4 + + 1 = 16a n 4 + 3 + + 1 + 0 n = i 1 i=1 Esercizio 3 Provare per induzione completa che n i 1 = n 1 i=1 In conclusione la formula chiusa per la succesione relativa al gioco delle torri di Hanoi è: a n = n 1 La formula chiusa per i numeri di Fibonacci è (senza verifica): (( ) n ( ) n ) a n = 1 5 1 + 5 1 5 Il numero Φ = 1+ 5 viene chiamato rapporto aureo o proporzione divina 5