Rappresentazioni analitiche delle distribuzioni

Rappresetazo aaltche delle dstrbuzo Massmo Alfoso Russo Dpartmeto d Sceze Ecoomche, Matematche e Statstche Uverstà d Fogga STATISTICA I - 9 - Fogga

Cocetto d rappreset esetazoe aaltca Problema: terpretare, valutare e gestre dat rcavat da rlevazo statstche o da espermet rguardat u feomeo S parla d RAPPRESENTAZIONE ANALITICA o INTERPOLAZIONE delle v.s. quado: ote alcue coppe ordate d valor (, ), terpretabl come put d u pao, s vuole determare ua fuzoe matematca o terpolate che possa rappresetare el modo mglore la dstrbuzoe d u feomeo osservato STATISTICA I - 9 - Fogga

L terpolazoe: ua precsazoe Dstguamo due tp d terpolazoe: ) INTERPOLAZIONE MATEMATICA S rcerca ua fuzoe terpolate che passa per put d coordate (, ). I tal caso, la fuzoe assume esattamete valor rlevat P P P P P P STATISTICA I - 9 - Fogga 3

) INTERPOLAZIONE STATISTICA S rcerca ua fuzoe terpolate che passa fra put d coordate (, ). I tal caso, la fuzoe assume valor vc a quell rlevat N.B. Quado l seme de put a dsposzoe è umeroso, come s verfca geeralmete statstca, è poco probable che ess sao dspost lugo ua curva, metre soo frequetemete dspers dado luogo a quella che s chama ua ube d put (dagramma a dspersoe) STATISTICA I - 9 - Fogga 4

STATISTICA I - 9 - Fogga 5 I dat d parteza s cofgurao sotto ua delle seguet forme caratterstche della v.s.: Dstrbuzoe per sgol valor: s Dstrbuzoe dvsa tervall: 3 + + s s s + h ( ) h + s....

f( ) Grafcamete: occorre sostture ad ua curva emprca (dagramma o stogramma rappresetatvo della dstrbuzoe osservata) ua curva teorca che rspode ad ua fuzoe matematca: Fgura A f ( ) f( ) Fgura B + f ( ) d + La fuzoe rappresetatrce della dstrbuzoe s dca geercamete col smbolo: f ( ; c, c,..., c h dove c, c,, c h soo parametr essezal che servoo a caratterzzare, ell tero della famgla d curve d equazoe f ( ), quella che s adatta a valor cocret dat ) STATISTICA I - 9 - Fogga 6

Se la dstrbuzoe è data per sgol valor dscret, f ( ) rappreseta la frequeza teorca del feomeo corrspodeza della modaltà (Fgura A) Se la dstrbuzoe è dvsa class la frequeza è rferta ad ua classe e o ad u puto. I questo caso, + f ( ) d ossa l area al d sotto della curva tra e + ascssa, rappreseta la frequeza teorca della classe + (Fgura B) STATISTICA I - 9 - Fogga 7

Scart o resdu della rappresetazoe aaltca Le dffereze tra frequeze emprche e frequeze teorche:,,, s s chamao scart o resdu della rappresetazoe aaltca; la loro dstrbuzoe è mportate per gudcare l adeguatezza della rappresetazoe aaltca STATISTICA I - 9 - Fogga 8

Scop della rappresetazoe aaltca INTERPOLATIVI E DESCRITTIVI FUNZIONE INTERPOLATRICE O PEREQUATRICE INVESTIGATIVI FUNZIONE RAPPRESENTATRICE DELLA V.S. Per l suo carattere vestgatvo rchede, per essere dvduata, ua approfodta aals della struttura del feomeo, cotraramete a cò che avvee el caso della fuzoe terpolatrce che, per suo scop pratc, è meo mpegatva e può lmtars a teer coto de sol dat cocret d osservazoe. STATISTICA I - 9 - Fogga 9

Scop terpolatv e descrttv. Perequare la dstrbuzoe delle frequeze corrspodet alle allo scopo d elmare evetual error; valor perequat dao ua dstrbuzoe che s può presumere meo errata d quella osservata. Dare cotutà al feomeo sosttuedo dat osservat co ua fuzoe f() cotua, quado l feomeo è essezalmete dscotuo (come el caso del umero d fgl per famgla) 3. Rcercare u espressoe matematca grado d esprmere l legame delle frequeze alle modaltà del carattere co maggore evdeza e precsoe della dstrbuzoe osservata. I tal caso l vataggo è coesso co la possbltà d essere assoggettata a procedmet dell aals matematca (dervazoe, tegrazoe, ecc.) per f partcolar (ad es., determazoe de massm, mm, put d flesso, ecc., che, el campo statstco possoo servre a trovare valor d saturazoe d u mercato, valor d massma frequeza, e sml) STATISTICA I - 9 - Fogga

Scop vestgatv S vuole trovare u modello teorco che spegh la mafestazoe delle vare modaltà, d cu quelle osservate rguardao geeralmete u campoe: determare u espressoe matematca che stetzza la legge statstca che rappreseta l feomeo prescdedo da rsultat cocret delle osservazo (a dffereza d quato succede co la fuzoe terpolatrce) STATISTICA I - 9 - Fogga

Perequazoe grafca Co tale procedmeto, la curva teorca cotua che meglo sembra rappresetare la dstrbuzoe vee traccata ad occho, facedo modo che: le dffereze postve tra frequeze emprche e perequate compeso quelle egatve; le dffereze postve e egatve sao possblmete alterate Nel caso d stogramm: l area racchusa dalla curva terpolatrce deve rsultare uguale, almeo approssmatvamete, all area racchusa dall stogramma sa ell tero tervallo de dat, sa elle sgole class o grupp d class Vatagg: -) è eseguble co suffcete rapdtà Svatagg: -) può portare a rsultat dfferet se effettuata da operator dvers -) o s ottee ua curva co suffcete regolartà d adameto STATISTICA I - 9 - Fogga

Nella fgura sottostate c è u esempo d perequazoe grafca d stogramm. La curva a tratteggo è traccata ad occho metre, co tratto cotuo, è dcata la curva teorca da cu soo stat rcavat gl stogramm 9 8 7 6 5 4 3 - -4 4-6 6-8 8 - La dffereza tra la curva perequata e quella teorca mostra come l operatore, spesso, segua da vco l cotoro dell stogramma dsegado curve dstorte rspetto all adameto della curva aaltca STATISTICA I - 9 - Fogga 3

Perequazoe meccaca o a mede mobl Talvolta le successve frequeze emprche presetao delle devazo a carattere accdetale (ad es., per l lmtato umero d cas che s rferscoo a cascua modaltà) I tal caso, voledo perequare dette devazo, s può procedere co la perequazoe meccaca o per mede mobl La perequazoe meccaca o per mede mobl cosste el sostture alle frequeze osservate le frequeze corrette * otteute effettuado la meda d cascua frequeza co le frequeze cotgue Esempo d perequazoe co 3 term; frequeze corrette: Esempo d perequazoe co 5 term; frequeze corrette: + + + 3, 3,, s - + + + + + + 5 3, 4,, s - STATISTICA I - 9 - Fogga 4

Fas della rappresetazoe aaltca Per gugere alla * f (; c, c,, c h ) v soo tre fas: ) SCELTA DEL TIPO DI FUNZIONE (che pù s adatta alle caratterstche della dstrbuzoe data) ) DETERMINAZIONE NUMERICA DEI PARAMETRI c (che compaoo el tpo d fuzoe assuta ella prma fase) 3) CALCOLO DEL GRADO DI ACCOSTAMENTO (delle frequeze osservate a quelle teorche) STATISTICA I - 9 - Fogga 5

Scelta del tpo d fuzoe ) Fuzo deducbl da potes sulla struttura del feomeo a) Se dspoamo de rsultat d ua sere d osservazo (ad es., che rguardo l redmeto per ettaro d ua data coltvazoe) fatte su u gruppo d azede, allora, se s rtegoo valde le potes a base della curva ormale, sceglamo la fuzoe: * N e σ π ( μ ) σ b) Per le dstrbuzo de reddt, de patrmo, de captal socetar e d umerose altre gradezze ecoomche, Gbrat ha suggerto la curva logormale: [ λ+ log( θ )] * Nδ π ( θ ) e Altr tp d dstrbuzo teorche: d Pareto, espoezale, gamma, d Webull STATISTICA I - 9 - Fogga 6

Curva teorca d Pareto α Nαθ ( α +) STATISTICA I - 9 - Fogga 7

Dstrbuzoe teorca espoezale N ep σ θ σ STATISTICA I - 9 - Fogga 8

Dstrbuzoe teorca gamma N( θ ) α ep α σ Γ( α) [ ( θ ) / σ ] STATISTICA I - 9 - Fogga 9

N Dstrbuzoe d Webull { [( ) ] } α θ σ α α ( θ ) ep / σ α N.B. Spesso, soprattutto el caso cu occorre rappresetare ua parte d ua dstrbuzoe, come fuzo terpolatrc s possoo sceglere la retta (leare) o la parabola d º grado: a + b a + b + c STATISTICA I - 9 - Fogga

>θ rappreseta la durata Nelle dstrbuzo vste: N θ λ δ σ α soo parametr STATISTICA I - 9 - Fogga

) Aals della forma grafca assuta da dat osservat: Dalla poszoe de put (dagramma) o dalla forma dell stogramma, medate aals grafca, è possble stablre se alla v.s. data s adatta ua curva ormale, ua curva d Pareto, ua dstrbuzoe logormale, ua dstrbuzoe gamma, ecc., o, pù semplcemete, ua fuzoe leare, ua parabola, u espoezale, ecc. Perequazoe grafca Per facltare l problema della scelta della fuzoe, a volte s esegue prma: Aamorfos [trasformazoe della varable o (o etrambe) modo da rdurre l grafco ad ua curva pù semplce, geeralmete ad ua retta] STATISTICA I - 9 - Fogga

Nel procedmeto d aamorfos retra la trasformazoe d varable scala logartmca semplce o doppa Esempo Dstrbuzoe espoezale: αβ Trasformazoe logartmca: log v a + b logα + log β STATISTICA I - 9 - Fogga 3

Codzo geeral per l calcolo de parametr ) Imporre alla fuzoe * f() che v sa uguaglaza tra coveet ed opportue operazo fatte sulle e le stesse operazo rpetute sulle * modo che s abba: ( ) (, O ) O, Scegledo opportuamete l tpo d operatore O, s possoo scrvere tate uguaglaze quat soo parametr, dado luogo ad u sstema la cu soluzoe dà parametr cogt c, c,, c h ) Mmzzare gl scart tra frequeze emprche e frequeze teorche *, coè: cercare tra le fte fuzo teorche del tpo scelto quella che pù s avvca alla dstrbuzoe emprca STATISTICA I - 9 - Fogga 4

Metodo delle ordate fsse Suppoamo d avere s coppe d valor o affette da error e d rappresetarle sul pao cartesao: s ottee ua sere d s put per qual dovrà passare (tra le fte possbl) la fuzoe che s cerca. Affchè l problema sa determato occorre: a) fssare l tpo d fuzoe b) fssare tate codzo dstte (ogua o è combazoe delle altre) e compatbl (o cotrasto tra loro) quat soo parametr Suppoamo che s codzo sao dpedet e che la fuzoe scelta abba altrettat parametr: f ( ; c, c,..., cs ) Il passaggo per s put s ottee poedo le s uguaglaze tra le frequeze emprche e le corrspodet frequeze teorche:... s s ossa f ( ; c, c,..., cs ) f ( ; c, c,..., cs )... f ( c, c,..., c ) s s; s STATISTICA I - 9 - Fogga 5

N.B. Per evtare fuzo co molt parametr, e qud complesse, è possble sceglere solo alcu put per qual far passare la curva, facedo attezoe, tale scelta, che la curva s dscost l meo possble dagl altr put. SVANTAGGI DEL METODO: No sempre l sstema è rsolvble aaltcamete (rcorso a metod d rsoluzoe umerca o all elaboratore) Soggettvtà ella scelta de put per qual far passare la fuzoe valda STATISTICA I - 9 - Fogga 6

STATISTICA I - 9 - Fogga 7 Metodo delle somme Metodo delle somme m m... ossa... Applcazoe codzoe geerale Applcazoe codzoe geerale: l operatore O SOMMA DELLE FREQUENZE Se ella fuzoe scelta compaoo h + parametr s dvdoo le s frequeze emprche h + grupp (ugualmete umeros) s eguaglao le frequeze emprche total d cascu gruppo co quelle teorche corrspodet: + + m m m m + + s m s m h h ( ),...,, ; m h m c c c f ( ) + +,...,, ; m m h m m c c c f ( ) + + s m h s m h h c c c f,...,, ;

Metodo delle somme segue Il metodo delle somme è largamete utlzzato:. quado c è l sospetto che le frequeze sao mprecse. quado gl error s compesao all tero de grupp cosderat 3. perché è semplce, partcolare quado la fuzoe scelta è leare STATISTICA I - 9 - Fogga 8

STATISTICA I - 9 - Fogga 9 Metodo delle aree o d Metodo delle aree o d Catell Catell Quado le frequeze o s rferscoo a valor sgol, ma ad tervall d modaltà, la rappresetazoe grafca vee fatta co gl stogramm e l metodo delle somme prede l ome d metodo delle aree d Catell. N.B. occorre che s sappa tegrare la f() L uguaglaza delle somme dveta co questo metodo l uguaglaza fra aree: le frequeze emprche soo le aree de rettagol dell stogramma, le frequeze teorche soo par alle aree sotto la curva teorca, che soo aaltcamete ugual agl tegral deft da lmt delle successve class. Il sstema è così defto: ( ) ( ) ( ) + + + + + + +,...,, ;...,...,, ;,...,, ; s m h h m m m h s m h m m h m d c c c f d c c c f d c c c f

Esempo sul metodo delle ordate fsse Cosderamo la dstrbuzoe della popolazoe (espressa mglaa) resdete talaa d 7-79 a d età all zo del 979 per class aual d età, rportata elle prme due coloe della tabella sottostate: (età) 7 7 7 (Popolazoe) 494 44 4 * 556,4-9,6 484,4 454,8 45, - * + 9,6-4,8-5, Il dagramma relatvo alla dstrbuzoe suggersce d sceglere come fuzoe terpolatrce la retta (leare): 73 74 39 366 395,6 366, -3,6 * c + c 75 33 336,4-3,4 76 77 78 79 Totale 33 83 69 8 358 36,8 77, 47,6 8, + 6, + 5,8 +,4 8, A questo puto occorrerà sceglere due put emprc per qual far passare la retta STATISTICA I - 9 - Fogga 3

6 5 4 3 Sere Put emprc coveet: (, ) (74, 366) (, ) (79, 8) 7 7 73 73 4 74 5 75 6 76 7 77 8 78 9 79 La retta passa abbastaza vca agl altr put, lascadoe alcu al d sopra e altr al d sotto Impoedo le codzo che due put soddsfo l equazoe della retta: * c + c otteamo l seguete sstema: c + c 366 c + c (74) c 556,4 c + c 8 c + c (79) c -9,6 da cu: * 556,4 9,6 STATISTICA I - 9 - Fogga 3

Esempo sul metodo delle somme Cosderamo la dstrbuzoe de prezz d u dato bee da geao a maggo (Geao, Maggo 4) Il dagramma suggersce d sceglere come fuzoe terpolatrce la retta Per calcolare due parametr, suddvdamo la dstrbuzoe due grupp ugualmete umeros: * - * 5 9,3,7 5,7 3,3 4, -4, 5 3 35 6,3 35 3,6 34 5 6,3 8,6-3,6 5 4 5 8,6-3,6 7 35 35 3 4 STATISTICA I - 9 - Fogga 3

Uguaglaza tra le somme parzal delle frequeze emprche e quelle teorche: ( c + c ) 35 3c + c 3 4 4 3 3 ( c + c ) 4 4 3 3 35 c + c 7 c 9,3 c,3 9,3 +,3 -) Le somme parzal delle emprche eguaglao le somme parzal delle teorche, così come la somma d tutte le eguagla la somma d tutte le * -) L terpolazoe effettuata è molto soddsfacete per tutt mes; per tutte le modaltà le frequeze teorche soo molto vce a quelle emprche STATISTICA I - 9 - Fogga 33

Esempo sul metodo delle aree Sa data la seguete dstrbuzoe per class da terpolare co ua parabola, fuzoe dvduata dall aals della rappresetazoe sugl ass cartesa: + Destà frequeza 6,8,4 4 4 8, 4 4 6, 5,6 6 8 5, 7,6 8 8 4, 7, 6 9,8 4,9 4 4 4-6 6,8, 3,4, 4 4 6 6 8 8 4 4-6 4 6 8 4 6 STATISTICA I - 9 - Fogga 34

Suddvdamo l gruppo degl 8 rettagol 3 sottogrupp costtut da 3, da e da 3 rettagol rspettvamete l prmo delmtato dall tervallo (,6) dell asse delle ascsse, l secodo dall tervallo (6,) e l terzo dall tervallo (,6): + + 6 ( c + c+ c ) d ( c + c+ c ) d 9, 6 6 ( c c c ) d 8,6 c + c c + c c + c + c + c + c 3 3 3 3 3 3 6 6 6, 9, 8,6 STATISTICA I - 9 - Fogga 35

6c + 8c+ 7c 4c + 3c+ 6,33c 9, 6c + 78c+ 3c 8, 6 Rsolvedo s ha c,448, c,93, c -,47 per cu l equazoe della parabola è: -,448 +,93 -,47. 8 7 6 5 4 3 - - 4 4-6 6-8 8 - - - 4 Itegrado questa equazoe tra gl estrem d cascua delle 8 class s ottegoo le corrspodet frequeze teorche (es. tra e 4 la frequeza 4 teorca è 8,, come s vede d seguto) (,448 +,93,47 ) d 8, STATISTICA I - 9 - Fogga 36

STATISTICA I - 9 - Fogga 37 Defamo mometo emprco d orde t la quattà s t t t m...,, μ m m 3 3 3 3 M m M m Coè l mometo d orde è uguale a, quello d orde è uguale alla meda artmetca, e successv soo par a radcad delle mede d poteza. Dove soo le modaltà metre soo le frequeze relatve (co le freq. assolute devo moltplcare per /). Dado a t valor,,,., s guge a: Metodo de momet Metodo de momet

STATISTICA I - 9 - Fogga 38 Il mometo emprco cetrale (o dalla meda) è: s t t t m ',,... ( μ) Dado a t valor,,,., s ottee: 3 4 ' 4 3 3 ' 3 ' ' ' 3) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( σ γ μ σ γ μ σ μ μ μ + m m m m m E possble stetzzare gl aspett delle dstrbuzo base a prm quattro momet. Dove soo le modaltà metre soo le frequeze relatve ( /N)

Defamo mometo teorco d orde t la quattà m s * t * t t,,... Se la dstrbuzoe è dscreta le frequeze teorche soo: * + f ( c, c ) * f,..., ; c da cu : * t m ( ) t f ; c,..., c s Se la dstrbuzoe è cotua s ha: β ( c, c,..., c ) ; * t ( ) da cu: m f c c t ;,.., α d d α β campo d varazoe della f() STATISTICA I - 9 - Fogga 39

Tale tecca è basata sull'uguaglare momet emprc co momet teorc della corrspodete dstrbuzoe. m m * t t facedo assumere a t u orde tale che l umero delle equazo cocda co l umero de parametr da determare. STATISTICA I - 9 - Fogga 4

L uguaglaza fra momet teorc ed emprc el caso d dstrbuzoe cotua porta ad u sstema del tpo: β f ( ; c, c,..., c) d α β f ( ; c, c,..., c) d α... β f ( ; c c,..., c) d, α S tratta d u sstema a k equazo k cogte. Dalla sua rsoluzoe, se esste, otteamo la stma cercata. Per esplctare parametr occorre rsolvere gl tegral deft. STATISTICA I - 9 - Fogga 4

Esempo: metodo de momet (retta) Dstrbuzoe degl studet per class del voto coseguto (prma dell arrotodameto) all esame fale SSIS Class voto ( ) N stud ( ) Destà d frequeza - 8 4-4 45 3 4-6 8 4 6-8 56 8-5 76-8 9 Totale 597 Destà frequeza Num ero studet 9 8 7 6 5 4 3 - - 4 4-6 6-8 8 - - Class d vot STATISTICA I - 9 - Fogga 4

Esempo: metodo de momet (retta) Dstrbuzoe degl studet e valor cetral delle class Valor cetral ( ) N stud ( ) 8 3 45 5 8 7 9 5 Numero studet 8 6 4 8 6 4 8 45 8 5 8 8 Totale 597 - - 4 4-6 6-8 8 - - Class d voto Fuzoe terpolate scelta dall aals del dagramma: retta STATISTICA I - 9 - Fogga 43

Esempo: metodo de momet (retta) Calcolo de momet emprc Class voto ( ) t N stud ( ) - 8-4 45 4-6 8 6-8 8-5 - 8 Totale 597 t * m t m t * Valor cetral ( ) 8 3 35 5 4 7 784 9.368.98 Totale 4.695 N N ( a + b) d STATISTICA I - 9 - Fogga 44 597 N 4695 β N β α α β α ( a + b) d β α ( a + b) d ( a + b) d

Esempo: metodo de momet (retta) Calcolo de momet teorc 597 4695 β α β α ( a + b) d ( a + b) d 597 4695 ( a + b) d ( a + b ) d + + 597 4695 a + a b + b 3 3 597 a+ 7b 4695 7a+ 576b STATISTICA I - 9 - Fogga 45

C. Voto ( ) Esempo: metodo de momet (retta) Rsolvedo l sstema s ottee a 3,375 e b7,79, per cu la retta terpolate ha equazoe: * 3,375 + 7, 79 Il calcolo delle sgole frequeze teorche s ottee tegrado per og sgola classe la fuzoe terpolate. * Freq De De Freq * - 8, 4,, - 4 45 53,,5 6,6 4-6 8 84, 4, 4, 6-8 5, 56, 57,5 8-5 45,9 76, 7,9-8 76,8 9, 88,4 Totale 597 597 Des freq umero studet 9 8 7 6 5 4 3 Fre teorche Freq emprche Leare (Fre teorche) - - 4 4-6 6-8 8 - - Class d voto STATISTICA I - 9 - Fogga 46

Esempo : metodo de momet (curva ormale) Cosderamo la dstrbuzoe delle stature d 8.46 bares vete e rappresetamola co la curva ormale. Class d stature ( - + ) Valor cetral c 4,5-44,5 4,5 4 44,5-48,5 46,5 3 48,5-5,5 5,5 77 5,5-56,5 54,5 7 56,5-6,5 58,5 89 6,5-64,5 6,5.579 64,5-68,5 66,5.65 68,5-7,5 7,5.796 7,5-76,5 74,5. 76,5-8,5 78,5 49 8,5-84,5 8,5 46 84,5-88,5 86,5 3 88,5-9,5 9,5 7 9,5-96,5 94,5 4 STATISTICA I - 9 - Fogga 47

STATISTICA I - 9 - Fogga 48 La curva ormale ha tre parametr che la defscoo: N,. Avremo u sstema d tre equazo, dove: e σ μ ( ) ( ) ( ) + + + d e N N N d e N N N d e N N N ) ( ) ( σ μ σ μ σ μ π σ μ μ π σ π σ Esempo : metodo de momet (curva ormale) Esempo : metodo de momet (curva ormale) Freq emprca Frequeza teorca Meda emprca Meda teorca Var. emp. Var. teorca

Esempo : metodo de momet (curva ormale) Calcolato N 8.46, μ 67,375 e σ 6,486, la curva ormale terpolatrce è: f ( ) 8.46 e 6,486 π ( 67,375 ) 6,486 Ora le frequeze teorche della curva ormale possoo essere calcolate dalla formula che esprme la formula ormale + ( 67,375) * 8.46 6,486 e d 6, 486 π + 67,375 67,375 8.46 Φ Φ 6, 486 6, 486 STATISTICA I - 9 - Fogga 49

Esempo : metodo de momet (curva ormale) STATISTICA I - 9 - Fogga 5

Esempo : metodo de momet (curva ormale) STATISTICA I - 9 - Fogga 5

Metodo de mm quadrat La codzoe geerale de metod trattat fora per rcavare u sstema d equazo per l calcolo de parametr della fuzoe * f() è stata: O(, ) O( Il metodo che cosdereremo s foda su ua codzoe d accostameto delle frequeze emprche a quelle teorche per trovare parametr della fuzoe rappresetatrce che pù s avvca alla dstrbuzoe emprca., * ) Sosttuedo a valor rlevat valor * dat dalla dffereza: teorc s commettoo error d - * gl error possoo essere postv, egatv o ull. STATISTICA I - 9 - Fogga 5

d P P * P P P STATISTICA I - 9 - Fogga 53

Codzoe del metodo de mm quadrat Il metodo de mm quadrat s foda sulla codzoe d accostameto fra frequeze emprche e frequeze teorche e cosste el determare parametr del tpo d fuzoe scelta per rappresetare l feomeo tale che la somma de quadrat delle dffereze fra valor osservat ed valor teorc * sa mma. s ( ) * mmo STATISTICA I - 9 - Fogga 54

Nb: U area more sta ad dcare u grado d accostameto mglore. d P P * P P P STATISTICA I - 9 - Fogga 55

Se la fuzoe terpolatrce è: ( ;c,c,...,c ) * f h per l metodo de mm quadrat deve essere: [ ( )] f ;c,c,...,ch mmo dove valor ed soo ot, metre soo cogt parametr c, c,,c h della fuzoe. Il prmo membro è ua fuzoe d pù varabl, pertato l mmo va rcercato tra que valor che aullao le dervate prme parzal. Supposto che la fuzoe scelta sa dervable rspetto a tutt parametr cogt, s dovrà rsolvere u sstema d h+ equazo h+ cogte. STATISTICA I - 9 - Fogga 56

S rsolve l seguete sstema: [ f ( ;c,c,..., c )] f h c f [ ( )] f ;c,c,..., ch c... f [ ( )] f ;c,c,..., ch c ( ;c,c,..., c ) ( ;c,c,..., c ) ( ;c,c,..., c ) Il metodo de mm quadrat è u metodo aaltco che permette d trovare la fuzoe che meglo rappreseta la dstrbuzoe del feomeo statstco tra quelle della stessa famgla. Se, ad esempo, dal grafco rsulta che l mglore accostameto s ottee co ua retta, questa sarà la mglore retta d adattameto. Questo metodo s basa su codzo tecco-matematche che o soo arbtrare e soggettve. Ecco perché è usato preseza d dat esatt. h h h h STATISTICA I - 9 - Fogga 57

Fuzoe leare Fuzo terpolatrc Nel caso cu la fuzoe scelta sa ua retta: * a + b ( ) s deve redere mma la fuzoe: a b Dervado rspetto a parametr a e b ed uguaglado a zero le dervate parzal s ottee l seguete sstema leare: ( a b) ( ) ( a b) ( ) + a + b a b + + STATISTICA I - 9 - Fogga 58

Da cu s ottee l seguete sstema: NB: trattas d u sstema d due Na + b equazo due cogte che può essere rsolto var mod, la cu formula rsolutva è la seguete: a + b a N N Nella pratca, tuttava, è pù coveete mpostare l sstema sopra dcato co dat d u determato eserczo. b N STATISTICA I - 9 - Fogga 59

A t 987 988 989 99 99 Tot. t -987 3 4 Procedure 4 8 4 557 Esempo Iterpolamo co ua fuzoe rettlea e co l metodo de mm quadrat la seguete sere storca lqudazo coatte e ammstrazo straordare delle grad mprese crs dal 987 al 99. 4 9 6 3 4 4 4 56 38 * 6,6 9,4 3,8 6, 557 Na + b a + b * 5a + b 557 a + 3b 38 a 6,6 b,4,4 + 6,6 STATISTICA I - 9 - Fogga 6

Per l calcolo de parametr s possoo utlzzare delle ascsse d lavoro tal che la loro somma da zero. Quado l umero de term è dspar basta porre l tempo cetrale uguale a zero. Quado l umero de term è par, l orge (arbtrara) cade el mezzo de due term cetral. I questo modo el sstema rsolutvo vsto precedeza s aullao tutt term che cotegoo la somma delle. Na + b a + b Esempo segue a b N STATISTICA I - 9 - Fogga 6

A t 987 988 989 99 99 Tot. t -989 - - Esempo segue Rprededo l esempo precedete e utlzzado opportue ascsse d lavoro s ha: *,4 +, 4 Procedure 4 8 4 557 4 4 - -4 8 8 4 * 6,6 9,4 3,8 6, 557 a b I partcolare a rappreseta la meda artmetca aua del feomeo, b la varazoe assoluta teorca meda aua del feomeo e b/a la varazoe meda aua relatva. STATISTICA I - 9 - Fogga 6 N 557 5 4,4,4

Importat cocluso Dal sstema d seguto: Na + b a + b dvdedo la prma equazoe per N, rcavamo a: a N b e rcordado le formule delle mede s ha: a b N STATISTICA I - 9 - Fogga 63

STATISTICA I - 9 - Fogga 64 * ( ) b Sosttuedo l valore d a ella fuzoe della retta * a+b s ottee: Tale retta passa per l puto che prede l ome d barcetro della dstrbuzoe. Dopo ua sere d calcol s verfca che: ), ( b a b ) ( ) ( ) (

Esempo Iterpolamo co ua fuzoe rettlea e co l metodo de mm quadrat la seguete sere storca dstrbuzoe de lbr vedut da ua casa edtrce dal 995 al. A t t -994 lbr ( ) ( ) ( ) 995 8 8 -,5 6,5-335 837,5 996 98 4 96 -,5,5-55 3,5 997 3 4 9 3 -,5,5-95 47,5 998 4 6 48,5,5 65 3,5 999 5 4 5 6,5,5 5 57,5 6 55 36 93,5 6,5 45 37,5 Tot. 68 9 68 7,5 345 STATISTICA I - 9 - Fogga 65

6 8 4 995 996 997 998 999 STATISTICA I - 9 - Fogga 66

Applcado drettamete la formula rsolutva s ha: oppure ( 6.8 9) ( 6.8 ) ( 69 ) ( ) a 666 b 34 ( 6 6.8) ( 6.8) ( 69 ) ( ) b a ( b ) ( ( ) ).345 7,5.35 34 3,5 34 666 STATISTICA I - 9 - Fogga 67

L equazoe della retta è: * 34 +666 A t lbr * 995 8 8 996 98 934 6 997 3 4 68 998 4 999 5 4 336 8 6 55 47 4 Tot. 68 68 995 996 997 998 999 STATISTICA I - 9 - Fogga 68

Esempo co Ecel STATISTICA I - 9 - Fogga 69

STATISTICA I - 9 - Fogga 7

STATISTICA I - 9 - Fogga 7

Fuzoe quadratca Nel caso cu la fuzoe scelta sa ua parabola: * a + b+c s deve redere mma la fuzoe: ( ) a b c Dervado rspetto a parametr a, b e c ed uguaglado a zero le dervate parzal s ottee l seguete sstema: N a + b + c a + b + c a + b + c 3 3 4 NB: trattas d u sstema d tre equazo tre cogte ( parametr a, b e c) STATISTICA I - 9 - Fogga 7

Esempo 3 Iterpolamo co ua fuzoe quadratca e co l metodo de mm quadrat la seguete sere storca dstrbuzoe de computer vedut da u egozo dal 995 al. A t t -994 computer 3 4 * 995,89 996 4 4 84 8 6,4 997 3 9 36 8 7 8 4,49 998 4 53 6 848 64 56 48,9 999 5 86 5 43 5 5 65 83, 6 8 36 768 468 6 96 9,9 Tot. 3 9 498 788 44 75 3 STATISTICA I - 9 - Fogga 73

9 6 3 995 996 997 998 999 STATISTICA I - 9 - Fogga 74

N a + b + c 3 a + b + c a + b + c 3 4 Iseredo questo sstema dat della tabella precedete s ottee: 6a + b + 9c 3 a + 9b + 44c 498 9a + 44b + 75c 788 le cu soluzo soo: a,9 b 6,775 c 5,768 STATISTICA I - 9 - Fogga 75

L equazoe della parabola è: *,9-6,775 +5,768 A t 995 996 computer *,89,4 997 3 4,49 998 4 53 48,9 9 999 5 6 86 8 83, 9,9 6 Tot. 3 3 3 995 996 997 998 999 STATISTICA I - 9 - Fogga 76

Determazoe del grado d accostameto E l ultma fase della rappresetazoe aaltca de feome collettv ed ha lo scopo d calcolare l grado d approssmazoe che s è avuto tra le frequeze teorche e le frequeze emprche. Qualora dat osservat sao stat terpolat usado fuzo dfferet oppure usado procedmet d calcolo de parametr soddsfacet a codzo dverse, l grado d accostameto può servre a stablre qual delle dstrbuzo teorche debba essere preferta. Se l accostameto è buoo, vuol dre che ulla s oppoe a rappresetare la dstrbuzoe rlevata co la fuzoe scelta. Se l accostameto o è buoo, vuol dre che occorrerà cercare u altra fuzoe rappresetatva. STATISTICA I - 9 - Fogga 77

Idc d accostameto Ua msura d accostameto deve soddsfare le seguet codzo: attrbure la stessa mportaza a due scart ugual, ma d sego opposto crescere al crescere degl scart Assolut Idc d accostameto Relatv STATISTICA I - 9 - Fogga 78

Idc d accostameto assolut. meda artmetca de valor assolut degl scart: ε. meda quadratca degl scart: ε * ( * ) Tal dc dpedoo dalla gradezza delle, pertato per elmare l flueza d tale crcostaza covee rcorrere agl dc relatv. STATISTICA I - 9 - Fogga 79

STATISTICA I - 9 - Fogga 8 Idc d accostameto relatv * * δ Soo otteut rapportado precedet dc alla meda artmetca delle frequeze emprche.. ( ) * δ. Usado vece la meda quadratca delle al deomatore s ha δ che esprme u dce quadratco d accostameto pù omogeeo de precedet. * ) ( δ

Uso degl dc d accostameto ) Gl dc relatv d accostameto vegoo usualmete moltplcat per allo scopo d esprmere l rsultato umerco percetuale della corrspodete meda. Tato pù pccol soo valor degl dc tato mglore è l accostameto. ) Usado l metodo de mm quadrat l dce da preferre è quello quadratco. 3) Se l terpolazoe ha lo scopo d elmare l flueza degl error accdetal, le dffereze - * devoo presetare ua successoe d seg alter. U crtero per gudcare l carattere accdetale degl scart s ha verfcado che gl stess s dstrbuscoo secodo ua curva ormale. STATISTICA I - 9 - Fogga 8

Esempo 4 S vuole determare l grado d accostameto delle fuzoe usate per rappresetare la seguete sere storca dstrbuzoe de computer vedut da u egozo dal 995 al, sapedo che s è usato l metodo de mm quadrat co ua fuzoe quadratca e co ua fuzoe leare, determare quella pù approprata A t computer L equazoe della parabola è: * p,9-6,775 +5,768 L equazoe della retta è: * r 3,6-3,93 995 996 997 998 999 Tot. 53 86 8 3 STATISTICA I - 9 - Fogga 8

A t computer * (parabola) * (retta) - * (parabola) - * (retta) ( - * ) (parabola) ( - * ) (retta) 995,89-7.33,89 7,33 3,57 3,33 996,4 6,7 8,58 4,73 73,6,37 997 3 4,49 39,87,49 7,87 56 776,74 998 53 4 48,9 63,46 4,9,46 4, 9,4 999 86 5 83, 87,6,79,6 7,78, 8 6 9,9,67,9 7,33 3,6 3,33 Tot. 3 3 3 3,56 78,78 68,69 5,3 * * ( ) ( ) 68,69 5,3 6 δ p,95 6 3 δ r, 37 3 6 6 STATISTICA I - 9 - Fogga 83

I base agl dc d accostameto la fuzoe da preferre è la parabola. A t 995 * (parabola),89 * (retta) -7.33 996,4 6,7 997 4,49 39,87 9 998 999 53 86 48,9 83, 63,46 87,6 6 8 9,9,67 3 Tot. 3 3 3 995 996 997 998 999 STATISTICA I - 9 - Fogga 84