Equazioni di secondo grado parametriche Data un equazione parametrica di secondo grado, determinare per quali valori di k:. l equazione ha due soluzioni reali; Porre 0. da ora in poi, nei punti seguenti, ogni volta che otterremo un valore di k per cui le soluzioni dell equazione soddisfano ad una certa proprietà richiesta, andrà controllato che quel valore soddisfi 0, condizione necessaria affinchè le soluzioni esistano) 2. l equazione ha due soluzioni reali distinte; 3. l equazione ha due soluzioni reali coincidenti; 4. l equazione non ha soluzioni reali; 5. l equazione ha un unica soluzione; In tal modo l equazione diventa di primo grado. 6. una soluzione dell equazione è x ; Porre > 0. Porre = 0. Porre < 0. Porre a = 0. Sostituire x a x. In tal modo si impone che x sia soluzione. 7. la somma delle soluzioni è n; Porre b a = n. x + x 2 = n b a = n 8. il prodotto delle soluzioni è n; Porre c a = n. x x 2 = n c a = n 9. le soluzioni sono opposte; Porre b a = 0. x = x 2 x + x 2 = 0 b a = 0 0. le soluzioni sono reciproche; Porre c a =. x = x 2 x x 2 = c a =. la somma dei reciproci delle soluzioni è n; Porre b c = n. x + x 2 = n x + x2 x x 2 = n b a c a = n b c = n 2. la somma dei quadrati delle soluzioni è n; Porre x 2 + x 2 2 = n x + x 2) 2 2x x 2 = n b ) 2 c 2 a a = n 3. la somma dei cubi delle soluzioni è n; Porre x 3 + x 3 2 = n x + x 2) 3 3x 2 x 2 3x x 2 2 = n x + x 2) 3 3x x 2x + x 2) = n b ) 3 c 3 b ) = n a a a b ) 2 c 2 a a = n. b ) 3 c 3 b ) = n. a a a Per determinare quali siano gli effettivi valori delle soluzioni che soddisfino la proprietà richiesta, si può sostituire a k il valore trovato e risolvere l equazione che si ottiene.
Esempio. k 2 x 2 2k + )x + = 0 a = k 2 b = 2k c =. Per quali valori di k l equazione ha soluzioni reali? 0 2k ) 2 4 k 2 0 4k 2 + 4k + 4k 2 0 k 4. 2. Per quali valori di k l equazione ha soluzioni reali distinte? > 0 2k ) 2 4 k 2 > 0 4k 2 + 4k + 4k 2 > 0 k > 4. 3. Per quali valori di k l equazione ha soluzioni reali coincidenti? = 0 2k ) 2 4 k 2 = 0 4k 2 + 4k + 4k 2 = 0 k = 4. 4. Per quali valori di k l equazione non ha soluzioni reali? < 0 2k ) 2 4 k 2 < 0 4k 2 + 4k + 4k 2 < 0 k < 4. 5. Per quali valori di k l equazione ha una sola soluzione reale? a = 0 k 2 = 0 k = 0. 6. Per quali valori di k una soluzione è x = +? Verifica il risultato che ottieni. k 2 +) 2 2k + )+) + = 0 kk 2) = 0 k = 0 acc.) Se k = 0 l equazione diventa: k 2 = 2 x + = 0, un equazione di primo grado che effettivamente ha soluzione x =. Se k = 2, l equazione diventa: che ha soluzioni 4x 2 5x + = 0, x,2 = 5) ± 5 2 4 4 2 4 = 5 ± 3 8 acc.) = x = x 2 = 4 7. Per quali valori di k la somma delle soluzioni è 3? b a = 3 2k k 2 = 3 3k 2 2k = 0 k = 3 k 2 = non acc.) acc.) 8. Per quali valori di k il prodotto delle soluzioni è 4? c a = 4 k 2 = 4 k 2 = 4 k = 2 non acc.) k 2 = +2 acc.) 9. Per quali valori di k le soluzioni dell equazione sono opposte? b a = 0 2k k 2 = 0 k = non acc.) 2 0. Per quali valori di k le soluzioni dell equazione sono reciproche? c a = k 2 = k2 = k = non acc.) k 2 = + acc.). Per quali valori di k la somma dei reciproci è 5? b c = 5 2k = 5 k = 2 acc.) 2
Esempio 2. x 2 k + )x + k = 0 a = b = k c = k. Per quali valori di k l equazione ha soluzioni reali? 0 k ) 2 4k 0 k 2 2k + 0 k ) 2 0 k R infatti k ) 2, essendo quadrato, è sempre positivo o nullo). 2. Per quali valori di k la somma delle soluzioni è 2? b a = 2 k = 2 k + = 2 k = 2 Esempio 3. x 2 2k )x + k = 0 a = b = 2k + 2 c = k. Per quali valori di k l equazione ha soluzioni reali? 0 2k + 2) 2 4k ) 0 4k 2 8k + 4 4k + 4 0 4k 2 2k + 8 0 k 2 3k + 2 0 k )k 2) 0 POS N : k > 0 k > POS N2 : k 2 > 0 k > 2 2 N N 2 Z Z N N 2 Z Z S S : k k 2 2. Per quali valori di k l equazione ha soluzioni reali distinte? > 0 2k + 2) 2 4k ) > 0... k < k > 2 i passaggi intermedi si possono ricavare dai calcoli al punto ). 3. Per quali valori di k l equazione ha soluzioni reali coincidenti? = 0 2k + 2) 2 4k ) = 0... k = k = 2 i passaggi intermedi si possono ricavare dai calcoli al punto ). 4. Per quali valori di k l equazione non ha soluzioni reali? < 0 2k + 2) 2 4k ) < 0... < k < 2 i passaggi intermedi si possono ricavare dai calcoli al punto ). 3
Equazioni di grado superiore al secondo Equazioni binomie Un equazione binomia è un equazione che si può ricondurre alla forma x n = k. - se n è dispari, l equazione ha una soluzione dello stesso segno di k: x = n k; - se n è pari: se k 0, l equazione ha due soluzioni opposte: x,2 = ± n k; se k < 0, l equazione è impossibile. 27x 3 8 = 0 x 3 = 8 27 S : x = 3 8 27 = 2 3 Caso n dispari si può estrarre la radice a entrambi i membri. 27x 3 + 8 = 0 x 3 = 8 27 S : x = 3 8 27 = 2 3 Caso n dispari si può estrarre la radice a entrambi i membri. 6x 4 = 0 x 4 = 6 Caso n pari e k 0 due soluzioni opposte. S : x,2 = ± 4 6 = ± 2 6x 4 + = 0 x 4 = 6 Caso n pari e k < 0 eq. impossibile. S = Si noti che se n = 2 ci si riconduce al caso particolare delle equazioni pure di secondo grado. 4
Equazioni trinomie Un equazione trinomia è un equazione che si può ricondurre alla forma 2 ax 2n + bx n + c = 0. Si risolve riconducendola ad un equazione di secondo grado, tramite l artificio t = x n. x 4 4x 2 + 3 = 0 Artificio: porre t = x 2. t 2 4t + 3 = 0 4 = 2)2 3 = t,2 = 2) ± S : x,2 = ± 3 x 3,4 = ± = 2 ± = t = 3 x 2 = 3 x,2 = ± 3 t 2 = x 2 = x 3,4 = ± x 4 + 4x 2 5 = 0 Artificio: porre t = x 2. t 2 + 4t 5 = 0 4 = 2)2 5) = 9 t,2 = 2 ± 9 S : x,2 = ± = 2 ± 3 = t = x 2 = x,2 = ± t 2 = 5 x 2 = 5 S 2 = x 6 + 4x 3 5 = 0 Artificio: porre t = x 3. t 2 + 4t 5 = 0 4 = 2)2 5) = 9 t,2 = 2 ± 9 S : x = x 2 = 3 5 = 2 ± 3 = t = x 3 = x = t 2 = 5 x 3 = 5 x 2 = 3 5 2 Se n = 2 l equazione si dice biquadratica. 5
Equazioni riconducibili al primo o secondo grado Un equazione riconducibile al secondo grado è un equazione che si può ricondurre alla forma A x) A 2 x)... A n x) = 0, dove A x), A 2 x),... A n x) sono espressioni polinomiali di primo o di secondo grado nell incognita x. x 3 x = 0 xx + )x ) = 0 Scomporre il polinomio fino ad ottenere fattori di primo grado. Legge di annullamento del prodotto: un prodotto è nullo se e solo se almeno uno dei suoi fattori è nullo. x = 0 x + = 0 x = 0 S : x = 0 x 2 = x 3 = + x 3 + 2x 2 5x 6 Mediante Teorema di Ruffini: p) = ) 3 + 2 ) 2 5 ) 6 0 p ) = ) 3 + 2 ) 2 5 ) 6 = 0 c = + +2-5 -6 - - - +6 + + -6 0 x + )x 2 + x 6) = 0 Mediante Trinomio Particolare: { s = p = 6 { n = 3 n 2 = 2 x + )x + 3)x 2) = 0 x + = 0 x + 3 = 0 x 2 = 0 S : x = x 2 = 3 x 3 = +2 x 4 + x 3 3x 2 4x 4 = 0 Scomporre il polinomio fino ad ottenere fattori di primo o secondo grado. Mediante Teorema di Ruffini: p) = ) 4 + ) 3 3 ) 2 4 ) 4 0 p ) = ) 4 + ) 3 3 ) 2 4 ) 4 0 p2) = 2) 4 + 2) 3 3 2) 2 4 2) 4 = 0 c = 2 + + -3-4 -4 2 +2 +6 +6 +4 + +3 +3 +2 0 6
x 2)x 3 + 3x 2 + 3x + 2) = 0 Mediante Teorema di Ruffini: p2) = 2) 3 + 3 2) 2 + 3 2) + 2 0 p 2) = 2) 3 + 3 2) 2 + 3 2) + 2 0 c = 2 + +3 +3 +2-2 -2-2 -2 + + + 0 x 2)x + 2)x 2 + x + ) = 0 Legge di annullamento del prodotto: un prodotto è nullo se e solo se almeno uno dei suoi fattori è nullo. x 2 = 0 x + 2 = 0 x 2 + x + = 0 x = 2 x 2 = 2 S 3 = S : x,2 = ±2 7