Esercizio -Esempio 1 (anova 2 vie con blocchi) I tassi respiratori (ispirazioni al minuto) sono stati misurati in otto animali usati per un esperimento, con tre livelli di esposizione al monossido di carbonio. I risultati sono riportati nella tabella sottostante. Il livello di esposizione ha effetti diversi sul tasso respiratorio? Alfa = 0.05 Livello di esposizione animale Basso Moderato Alto 1 36 43 45 2 33 38 39 3 35 41 33 4 39 34 39 5 41 28 33 6 41 44 26 7 44 30 39 8 45 31 29 var risposta= ispirazioni al minuto var trattamento= esposizione bassa media alta a monossido di carbonio (colonne) blocchi= singoli animali per le tre misurazioni (righe) unità sperimentale= singole misurazioni per ogni animale e trattamento (cella) H0: τ 1 = τ 2 = τ 3 = 0 gli effetti del trattamento sono uguali e nulli HA: non tutti le τ j sono uguali, almeno un trattamento da una risposta media diversa Viene inoltre valutato anche l effetto dei blocchi ovvero delle righe che corrispondono ad individui diversi Alfa = 0.05 ----------------------------------------------------------- Gradi di libertà totali =n-1= 24-1= 23 Gradi di libertà tra trattamenti-colonne = k-1 = 3-1= 2 Gradi di libertà tra i blocchi-righe = j-1 = 8-1 = 7 Gradi di libertà della variazione residua-errore =( k-1) (j-1)= 2*7 = 14 ------------------------------------------------------------- F critico per RV trattamenti: alfa= 0.05, 2 gdl al numeratore / 14 gdl al denominatore = 3.74 F critico per RV blocchi-righe: alfa= 0.05, 7 gdl al numeratore / 14 gdl al denominatore = 2.76
Analisi varianza: a due fattori senza replica Analisi Dati Excel RIEPILOGO Conteggio Somma Media Varianza Riga 1 3 124 41.33333 22.33333 Riga 2 3 110 36.66667 10.33333 Riga 3 3 109 36.33333 17.33333 Riga 4 3 112 37.33333 8.333333 Riga 5 3 102 34 43 Riga 6 3 111 37 93 Riga 7 3 113 37.66667 50.33333 Riga 8 3 105 35 76 Colonna 1 8 314 39.25 18.5 Colonna 2 8 289 36.125 38.69643 Colonna 3 8 283 35.375 38.83929 ANALISI VARIANZA Origine della variazione SQ gdl MQ F Valore di significatività F crit Righe 98.5 7 14.07143 0.343355 0.920103 2.764196 Colonne 67.58333 2 33.79167 0.824546 0.45864 3.73889 Errore 573.75 14 40.98214 Totale 739.8333 23 F colonne non significativo, non rifiuto H0, rifiuto HA. Quindi nessun trattamento da una risposta media diversa, ovvero i tre metodi per alleviare lo stress danno risultati uguali, controllando- eliminando la variabilità dovuta alla componente individuale dei soggetti. Anche l effetto dovuto al singolo individuo (riga-blocco) risulta non significativo
Esercizio-Esempio 2 Quattro individui hanno partecipato ad un esperimento per confrontare tre metodi per alleviare lo stress. Ogni individuo veniva posto in una situazione stressante in tre diverse occasioni ed ogni volta veniva applicato un metodo differente per alleviare lo stress. La variabile risposta è data dalla differenza tra livello stress prima e dopo il trattamento. I risultati sono riportati nella tabella sottostante; i tre metodi differiscono significativamente? Alfa = 0.05 TRATTAMENTO INDIVIDUO A B C 1 16 26 22 2 16 20 23 3 17 21 22 4 28 29 36 ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- var risposta= differenza livello di stress var trattamento= metodo diverso per ridurre stress blocchi= singoli individui per le tre misurazioni unità sperimentale= singole misurazioni per ogni individuo e trattamento H0: τ 1 = τ 2 = τ 3 = 0 gli effetti del trattamento sono uguali e nulli HA: non tutti le τ j sono uguali, almeno un trattamento da una risposta media diversa Viene inoltre valutato anche l effetto dei blocchi ovvero delle righe che corrispondono ad individui diversi Alfa = 0.05 ----------------------------------------------------------- Gradi di libertà totali =n-1= 12-1= 11 Gradi di libertà tra trattamenti-colonne = k-1 = 3-1= 2 Gradi di libertà tra i blocchi-righe = j-1 = 4-1 = 3 Gradi di libertà della variazione residua-errore =( k-1) (j-1)= 2*3 = 6 ------------------------------------------------------------- F critico per RV trattamenti: alfa= 0.05, 2 gdl al numeratore / 6 gdl al denominatore = 5.14 F critico per RV blocchi-righe: alfa= 0.05, 3 gdl al numeratore / 6 gdl al denominatore = 4.76
Analisi varianza: a due fattori senza replica Analisi Dati Excel RIEPILOGO Conteggio Somma Media Varianza Riga 1 3 64 21.33333 25.33333 Riga 2 3 59 19.66667 12.33333 Riga 3 3 60 20 7 Riga 4 3 93 31 19 Colonna 1 4 77 19.25 34.25 Colonna 2 4 96 24 18 Colonna 3 4 103 25.75 46.91667 ANALISI VARIANZA Origine della variazione SQ gdl MQ F Valore di significatività F crit Righe 260.6667 3 86.88889 14.15385 0.003953762 4.757055 Colonne 90.5 2 45.25 7.371041 0.024204535 5.143249 Errore 36.83333 6 6.138889 Totale 388 11 F colonne significativo, rifiuto H0, accetto HA. Quindi almeno un trattamento da una risposta media diversa, ovvero i tre metodi per alleviare lo stress non danno risultati uguali, controllando- eliminando la variabilità dovuta alla componente individuale dei soggetti. Se avessi fatto l analisi della varianza ad una via F sarebbe risultato non significativo Anche l effetto dovuto al singolo individuo (riga-blocco) risulta significativo e di maggiore entità rispetto a quello del trattamento (colonna-metodo).
Esercizio-Esempio 3 E stato condotto un esempio per saggiare gli effetti di quattro farmaci diversi sul tempo di coagulazione del sangue (in minuti). Campioni di sangue presi da 10 soggetti sono stati suddivisi egualmente in quattro parti, che sono state assegnate a caso a quattro farmaci. I risultati sono mostrati nella tabella sotto riportata. I farmaci hanno effetti differenti? Alfa = 0.05 Soggetto Farmaco W X Y Z A 1.5 1.8 1.7 1.9 B 1.4 1.4 1.3 1.5 C 1.8 1.6 1.5 1.9 D 1.3 1.2 1.2 1.4 E 2 2.1 2.2 2.3 F 1.1 1 1 1.2 G 1.5 1.6 1.5 1.7 H 1.5 1.5 1.5 1.7 I 1.2 1 1.3 1.5 J 1.5 1.6 1.6 1.9 var risposta= tempo in minuti di coagulazione del sangue var trattamento= quattro farmaci diversi (colonne) blocchi= singoli individui che hanno fornito il campione di sangue (righe) unità sperimentale= singole misurazioni per ogni individuo e trattamento (celle) H0: τ W = τ X = τ Y = τ z =0 gli effetti del trattamento sono uguali e nulli HA: non tutti le τ j sono uguali, almeno un trattamento da una risposta media diversa Viene inoltre valutato anche l effetto dei blocchi ovvero delle righe che corrispondono ad individui diversi Alfa = 0.05 ----------------------------------------------------------- Gradi di libertà totali =n-1= 40-1= 39 Gradi di libertà tra trattamenti-colonne = k-1 = 4-1= 3 Gradi di libertà tra i blocchi-righe = j-1 = 10-1 = 9 Gradi di libertà della variazione residua-errore =( k-1) (j-1)= 3*9 = 27 ------------------------------------------------------------- F critico per RV trattamenti: alfa= 0.05, 3 gdl al numeratore / 27 gdl al denominatore = 2.96 F critico per RV blocchi-righe: alfa= 0.05, 9 gdl al numeratore / 27 gdl al denominatore = 2.25
Analisi varianza: a due fattori senza replica RIEPILOGO Conteggio Somma Media Varianza Riga 1 4 6.9 1.725 0.029167 Riga 2 4 5.6 1.4 0.006667 Riga 3 4 6.8 1.7 0.033333 Riga 4 4 5.1 1.275 0.009167 Riga 5 4 8.6 2.15 0.016667 Riga 6 4 4.3 1.075 0.009167 Riga 7 4 6.3 1.575 0.009167 Riga 8 4 6.2 1.55 0.01 Riga 9 4 5 1.25 0.043333 Riga 10 4 6.6 1.65 0.03 Colonna 1 10 14.8 1.48 0.070667 Colonna 2 10 14.8 1.48 0.119556 Colonna 3 10 14.8 1.48 0.106222 Colonna 4 10 17 1.7 0.1 ANALISI VARIANZA Origine della variazione SQ gdl MQ F Valore di significatività F crit Righe 3.341 9 0.371222 44.15419 7.55E-14 2.250133 Colonne 0.363 3 0.121 14.39207 8.57E-06 2.960348 Errore 0.227 27 0.008407 Totale 3.931 39 F colonne significativo, rifiuto H0, accetto HA. Quindi almeno un trattamento da una risposta media diversa, ovvero i quattro farmaci hanno effetti diversi sulla coagulazione del sangue (le medie mi suggeriscono che sia il farmaco Z ad avere valori più alti), controllando- eliminando la variabilità dovuta alla componente individuale dei soggetti. Se avessi fatto l analisi della varianza ad una via F sarebbe risultato non significativo Inoltre l effetto dovuto al singolo individuo (riga-blocco) risulta significativo e di maggiore entità rispetto a quello del trattamento (colonna-metodo).
Risoluzione esercizio con il software R (v2.15.1) #Importazione dati data_coagulazione<-read.csv2(file.choose(), header= TRUE, sep= ";", dec=",", na.strings=" ") #importa dataset "anova2_4.csv" #Visualizzo un estratto del dataset head(data_coagulazione) > head(data_coagulazione) blocco risposta trattamento 1 1.5 1 2 1.4 1 3 1.8 1 4 1.3 1 5 2.0 1 6 1.1 1 #Uso il comando colnames che permette di visualizzare il nome delle variabili colnames(data_coagulazione) > colnames(data_coagulazione) [1] "blocco" "risposta" "trattamento" #Utilizzo il comando attach per gestire le variabili con il loro nome attach(data_coagulazione) #Comunico al software la natura nominale categorica delle variabili blocchi blocco<-as.factor(blocco) trattamento<-as.factor(trattamento) #Calcolo le statistiche di sintesi della variabile risposta, della variabile trattamento e della variabile blocco summary(trattamento) > summary(trattamento) 1 2 3 4 10 10 10 10 summary(blocco) > summary(blocco) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 summary(risposta) > summary(risposta) Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max. 1.000 1.300 1.500 1.535 1.700 2.300
#Applico l analisi della varianza (ANOVA) a 1 via con blocchi anova(lm(risposta~trattamento+blocco)) > anova(lm(risposta~trattamento+blocco)) Analysis of Variance Table Response: risposta Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) trattamento 3 0.363 0.12100 14.392 8.568e-06 *** blocco 9 3.341 0.37122 44.154 7.547e-14 *** Residuals 27 0.227 0.00841 --- Signif. codes: 0 *** 0.001 ** 0.01 * 0.05. 0.1 1
Esercizio-Esempio 4 La tavola seguente riporta le concentrazioni plasmatiche di epinefrina (enanogrammi per millilitro ) trovati in 10 laboratori per lo stesso tipo di animale durante tre tipi di anestesia. Possiamo concludere che i tre tipi di anestesia hanno in media effetti differenti? Alfa = 0.05 Trattamento anestesia Laboratorio A B C 1 0.28 0.2 1.23 2 0.5 0.38 1.34 3 0.68 0.5 0.55 4 0.27 0.29 1.06 5 0.31 0.38 0.48 6 0.99 0.62 0.68 7 0.26 0.42 1.12 8 0.35 0.87 1.52 9 0.38 0.37 0.27 10 0.34 0.43 0.35 var risposta= concentrazione di epinefrina var trattamento= tre tipi di anestesia (colonne) blocchi= singoli laboratori che hanno analizzato i campioni di sangue (righe) unità sperimentale= singole misurazioni per ogni laboratorio e trattamento (celle) H0: τ A = τ B = τ C = =0 gli effetti del trattamento sono uguali e nulli HA: non tutti le τ j sono uguali, almeno un trattamento da una risposta media diversa Viene inoltre valutato anche l effetto dei blocchi ovvero delle righe che corrispondono a laboratori diversi Alfa = 0.05 ----------------------------------------------------------- Gradi di libertà totali =n-1= 30-1= 29 Gradi di libertà tra trattamenti-colonne = k-1 = 3-1= 2 Gradi di libertà tra i blocchi-righe = j-1 = 10-1 = 9 Gradi di libertà della variazione residua-errore =( k-1) (j-1)= 2*9 = 18 ------------------------------------------------------------- F critico per RV trattamenti: alfa= 0.05, 2 gdl al numeratore / 18 gdl al denominatore = 3.55 F critico per RV blocchi-righe: alfa= 0.05, 9 gdl al numeratore / 18 gdl al denominatore = 2.46
Analisi varianza: a due fattori senza replica RIEPILOGO Conteggio Somma Media Varianza Riga 1 3 1.71 0.57 0.3283 Riga 2 3 2.22 0.74 0.2736 Riga 3 3 1.73 0.576667 0.008633 Riga 4 3 1.62 0.54 0.2029 Riga 5 3 1.17 0.39 0.0073 Riga 6 3 2.29 0.763333 0.039433 Riga 7 3 1.8 0.6 0.2092 Riga 8 3 2.74 0.913333 0.343633 Riga 9 3 1.02 0.34 0.0037 Riga 10 3 1.12 0.373333 0.002433 Colonna 1 10 4.36 0.436 0.054338 Colonna 2 10 4.46 0.446 0.034804 Colonna 3 10 8.6 0.86 0.199067 ANALISI VARIANZA Origine della variazione SQ gdl MQ F Valore di significatività F crit Righe 0.92652 9 0.102947 1.111362 0.403151 2.456282 Colonne 1.170907 2 0.585453 6.320267 0.008333 3.554561 Errore 1.66736 18 0.092631 Totale 3.764787 29 F colonne significativo, rifiuto H0, accetto HA. Quindi almeno un trattamento da una risposta media diversa, ovvero i tretipi di anestesia hanno effetti diversi sulla concentrazione di epinefrina nel sangue (le medie mi suggeriscono che sia il farmaco C ad avere valori più alti), controllandoeliminando la variabilità dovuta alla componente individuale dei soggetti. Inoltre l effetto dovuto al singolo laboratorio (riga-blocco) risulta non significativo.
Esempio esercizio 5 La tavola seguente riporta dei punteggi di aggressività di 30 animali allevati secondo tre condizioni diverse. Un animale da ognuna delle 10 cucciolate era stato assegnato a caso a ognuna delle tre condizioni di allevamento. I dati forniscono prove sufficienti per concludere che il livello di affollamento ha un effetto sull aggressività? Alfa 0 0.05 Condizione di allevamento Cucciolata molto affollata mediamente affolata poco affollata 1 30 20 10 2 30 10 20 3 30 20 10 4 25 15 10 5 35 25 20 6 30 20 10 7 20 20 10 8 30 30 10 9 25 25 10 10 30 20 20 var risposta= livello di aggressività misurato in indice var trattamento= condizione di allevamento molto-mediamente-poco affollato blocchi= singole cucciolate unità sperimentale= singole misurazioni per ogni cucciolata e trattamento (singoli cuccioli) H0: τ A = τ B = τ C = =0 gli effetti del trattamento sono uguali e nulli HA: non tutti le τ j sono uguali, almeno un trattamento da una risposta media diversa Viene inoltre valutato anche l effetto dei blocchi ovvero delle righe che corrispondono a cucciolate diverse Alfa = 0.05 ----------------------------------------------------------- Gradi di libertà totali =n-1= 30-1= 29 Gradi di libertà tra trattamenti-colonne = k-1 = 3-1= 2 Gradi di libertà tra i blocchi-righe = j-1 = 10-1 = 9 Gradi di libertà della variazione residua-errore =( k-1) (j-1)= 2*9 = 18 ------------------------------------------------------------- F critico per RV trattamenti: alfa= 0.05, 2 gdl al numeratore / 18 gdl al denominatore = 3.55 F critico per RV blocchi-righe: alfa= 0.05, 9 gdl al numeratore / 18 gdl al denominatore = 2.46
Analisi varianza: a due fattori senza replica RIEPILOGO Conteggio Somma Media Varianza Riga 1 3 60 20 100 Riga 2 3 60 20 100 Riga 3 3 60 20 100 Riga 4 3 50 16.66667 58.33333 Riga 5 3 80 26.66667 58.33333 Riga 6 3 60 20 100 Riga 7 3 50 16.66667 33.33333 Riga 8 3 70 23.33333 133.3333 Riga 9 3 60 20 75 Riga 10 3 70 23.33333 33.33333 Colonna 1 10 285 28.5 16.94444 Colonna 2 10 205 20.5 30.27778 Colonna 3 10 130 13 23.33333 ANALISI VARIANZA Origine della variazione SQ gdl MQ F Valore di significatività F crit Righe 253.3333 9 28.14815 1.327511 0.290146 2.456282 Colonne 1201.667 2 600.8333 28.33624 2.75E-06 3.554561 Errore 381.6667 18 21.2037 Totale 1836.667 29 F colonne significativo, rifiuto H0, accetto HA. Quindi almeno un trattamento da una risposta media diversa, ovvero i tre tipi condizione di allevamento hanno effetti diversi sulla aggressività, controllandoeliminando la variabilità dovuta alla componente di variabilità delle diverse cucciolate, che risulta non significativo.