ESERCITAZIONE 9: INTEGRALI DEFINITI. CALCOLO DELLE AREE E ALTRE APPLICAZIONI Tiziana Raparelli 5/5/9 CONOSCENZE PRELIMINARI Vogliamo calcolare f ( x, ax + bx + c ) dx. Se a =, allora basta porre bx + c = t e risolvere l integrale indefinito in t con il metodo degli integrali fratti. Se a, allora distinguiamo tre casi: ) Se a > possiamo porre ax + bx + c = ± ax + t (cioè potendo scegliere per il termine ax sia il segno + sa il segno indifferentemente). ) Se c > possiamo porre ax + bx + c = ± c + tx. 3) Se a < e > e x, sono le due radici di g(x), x < x, possiamo porre a x x x x = t Con ognuna di queste sostituzioni ci si riconduce all integrale di una funzione razionale. Definizione.. La ), la ) e la 3) sono dette rispettivamente prima, seconda e terza sostituzione di Eulero. Calcolo delle aree () L area di una regione di piano delimitata dal grafico di una funzione continua f(x) e l asse delle x in un certo intervallo [a, b] è data da b a f(x) dx
Osservazione.. Se f(x) > in [a, b], Area(T ) = b a f(x)dx. () L area di una regione di piano compresa tra il grafico delle funzioni f(x) e g(x), entrambe integrabili, è data da b a f(x) g(x) dx dove a, b sono i punti di intersezione delle funzioni. In generale, date due funzioni integrabili f, g con g(x) f(x) x [a, b], la regione piana T delimitata dai loro grafici e dalle rette di equazione x = a, x = b è la seguente: T = {(x, y) [a, b] R : g(x) y f(x)} e in tal caso si ha ESERCIZI A(T ) = b a [f(x) g(x)]dx ESERCIZIO Sia Γ(f) la regione di piano compresa tra la funzione f(x) =, x x+3 l asse delle x e le rette verticali di equazione x = e x =. Calcolare l area di Γ(F ). ESERCIZIO Calcolare l area della regione piana compresa tra i grafici delle funzioni f(x) = cos x e g(x) = +sin cos x nell intervallo [ π x, π ]. ESERCIZIO 3 (a) Calcolare log x + x + dx. (b) Dire se rappresenta l area della regione S compresa tra f(x) = log x+ x+ e l asse delle x nell intervallo [, ]. ESERCIZIO 4 Fra tutte le primitive di f(x) = e x determinare quella passante per il punto P = (log, π ).
ESERCIZIO 5 (a) Per ogni numero reale α calcolare il seguente integrale dx αx log x. (b) Determinare α R tale che l integrale dato sia uguale a. ESERCIZIO 6 Sia f(x) la funzione di Dirichlet nell intervallo [, ] { se x Q [, ] f(x) = se x R\Q [, ] Consideriamo g(x) = f(x). Dimostrare che g(x) non è integrabile in [, ], mentre g(x) lo è. ESERCIZIO 7 (a) Calcolare f(x)dx, con f(x) = x3 x x 4 + x (b) Dire se si tratta dell area della regione compresa fra f(x) e l asse delle ascisse nell intervallo dato, altrimenti calcolarla. ESERCIZIO 8 Sia F n (x, α) = x n e αx dx, con α. (a) Dimostrare che vale la seguente formula ricorsiva { F (x, α) = α eαx + c F n (x, α) = α xn e αx n α F n (x, α) (b) Posto c =, usare la formula per calcolare l area di T, dove T è la regione delimitata da F 3 (x, ) e l asse delle x nell intervallo [, ]. 3
3 SOLUZIONI ESERCIZIO Poiché f(x), dove è definita, è positiva, bisogna calcolare Possiamo riscrivere f(x) come dunque porre f(x)dx ( x)(x + 3) = t = (terza sostituzione di Eulero), da cui x x + 3 (x + 3) x x+3 x = 3t t +, dx = 8t (t + ) e t =, t =. Invertendo gli estremi di integrazione (e dunque cambiando di segno all integrale) e svolgendo i calcoli, l integrale dato risulta essere uguale a + t dt = π..6..8 T.4 -.5 - -.5.5.5 -.4 -.8 -. -.6 Figura : Il grafico di f(x) = in [, ] ( x)(x+3) 4
ESERCIZIO Poiché cos x cos x +sin x, bisogna calcolare π π ( cos x cos x + sin x π ) dx = ( cos x cos x + sin x) dx, dove l ultima uguaglianza segue poiché sono entrambe funzioni pari. Poniamo t = sin x, da cui cos xdx = dt, t =, t = e l integrale dato diventa ( )dt = t dt, + t + t e quest ultimo lo risolviamo ponendo u + t = + t (prima sostituzione di Eulero), cioè t = u u dt = u + u u = u = Perciò l area della regione considerata è pari a ( )dt = + t u du = + log( )..6..8.4 -.75 -.5 -.5 - -.75 -.5 -.5.5.5.75.5.5.75 -.4 -.8 -. -.6 - Figura : I grafici di f(x) = cos x e g(x) = cos x +sin x 5
ESERCIZIO 3 (a) Per parti, f =, g = log x+ x+, log x + x + dx = x log x x + x + (x + )(x + ) dx = log 3 + x + dx dx ) (x + ) = log 3 + log(x + ) log(x + ) = log 3 + log 3 7 log = log. 6 (b) Sì, perché f(x) è maggiore di nell intervallo dato..4.6.8.5 -.5.5.5.75.5. -.8 -.6 -.4 ESERCIZIO 4 Ponendo t = e x, dx = e x dx = Figura 3: La regione S t t +, t t t + dt = + t + dt = e x arctan e x + c. t + dt Per determinare c, richiedo che F (log ) = π da cui c =. arctan + c = π 6
ESERCIZIO 5 (a) Con la sosituzione t = log x, F α (t) = α log dt = log t α arcsin t = arcsin(log ). α (b) F α (x) = α = arcsin(log ). ESERCIZIO 6 g(x) = { se x Q [, ] se x R\Q [, ] Sia = x < x <... < x n < x n = una qualsiasi suddivisione di [, ]. Per ogni k < n nell intervallo [x k, x k ] cadono sia numeri razionali, sia irrazionali, dunque si ha inf x [x k,x k ] g(x) = sup x [x k,x k ] g(x) = cioè ogni somma integrale inferiore è pari a ed ogni somma integrale superiore è pari a. Invece g(x) = per ogni x [, ], dunque g è integrabile e g(x) dx =. ESERCIZIO 7 (a) Si osserva che f(x) è dispari, dunque il suo integrale in ogni intervallo del tipo [ a, a] è nullo, perciò non può essere l area richiesta. (b) Sia T la regione di cui vogliamo calcolare l area. A(T ) = f(x) dx = f(x)dx + f(x)dx = l ultima uguaglianza essendo vera poiché f è dispari. Dato che x 4 + x = (x + )(x ) f(x)dx 7
- -.75 -.5 -.5.5.5.75.5.5 -.5 -.5 Figura 4: Il grafico di f(x) = x3 x x 4 +x 6 allora e ESERCIZIO 8 (a) A(T ) = f(x) = x x + x x + = log(x + ) log = 3 F (x, α) = α eαx + c,. per parti, con f(x) = e αx, g(x) = x n, si ottiene F n (x, α) = α xn e αx n α x n e αx dx = α xn e αx n α F n (x, α). (b) F (x, ) = (x x + )e x + c F 3 (x, ) = (x 3 3x + 6x 6)e x + c Ora, ponendo c =, F 3 ( ) = 6 e F 3 () =. Inoltre la derivata di F 3 (x, ) è la funzione h(x) = x 3 e x e dallo studio del suo segno si evince che 8
F 3 (x, ) < in tutto l intervallo dato. Dunque A(T ) = F 3 (x, ) dx = F 3 (x, )dx = e x (x 3 6x +8x 4) = e 9 e 5.5 4-3.5-3 -.5 - -.5 - -.5.5.5.5 3 3.5 4 -.5-5 Figura 5: La regione T 9