Introduzione al Calcolo delle Probabilità In tutti quei casi in cui le manifestazioni di un fenomeno (EVENTI) non possono essere determinate a priori in modo univoco, e i risultati possono essere oggetto di discussione e di valutazioni diverse, la Probabilità è strumento fondamentale. La Probabilità consiste in una valutazione numerica associata alla previsione del risultato di un esperimento o di una prova, che può dar luogo a diversi risultati (Esperimento Aleatorio) 1
Definizione CLASSICA Laplace (1812) Si definisce PROBABILITÀ di un evento il rapporto tra il numero dei casi favorevoli e il numero di casi possibili, purché questi siano tutti ugualmente probabili. P(.) = Numero di Casi Favorevoli Numero di Casi Possibili Esempio: Lancio di un dado Qual è la probabilità che nel lancio di un dado esca? Numero di Casi Favorevoli 1 P(Esce ) = = = 0.17 = 1,7% Numero Casi Possibili Qual è la probabilità che nel lancio di un dado esca il o il 5? Numero di Casi Favorevoli 2 P(Esce o 5) = = = 0.333 = 33,3% Numero Casi Possibili 2
Limiti È tautologica: casi possibili = casi probabili È un metodo aprioristico basato su proprietà fisiche geometriche ecc. evidenti (si applica non a caso ai giochi, come nell esempio dei dadi) Non è estendibile a situazioni in cui il numero di eventi (favorevoli o no) sia infinito Definizione FREQUENTISTA Von Mises (1919) La probabilità è la frequenza limite di un evento favorevole in un insieme di prove (poiché ad ogni prova corrisponde un evento si vede la corrispondenza con la defnizione di Laplace). Deriva dalla cosiddetta legge dei grandi numeri: in una ripetizione abbastanza prolungata di prove la frequenza di un evento deve tendere alla sua probabilità. m P(A) = n In una successione di prove ripetute nelle stesse condizioni n, la frequenza relativa m/n con la quale si verifica un evento A si avvicina alla probabilità dell evento stesso, e l approssimazione tende a migliorare con l aumentare delle prove (Legge empirica del caso). n è il numero di prove ripetute nelle stesse condizioni; m è il numero di volte in cui si verifica l evento A. 3
Limiti Questa definizione implica il concetto di sequenza di prove empiriche (ad esempio i risultati di un esperimento, una serie di osservazioni pianificate e così via) tali che: sia possibile usare solo le prime n senza che si abbiano distorsioni e che, se invece di usare tutte le prove se ne usi un sottoinsieme qualsiasi, si ottenga sempre lo stesso risultato la legge dei grandi numeri e' valida solo per la parte che afferma che lo scarto tra probabilità e frequenza relativa di un evento tende, in una serie tendente ad infinito di prove, a zero. Non e' valido affermare che la frequenza relativa tende ad un limite e che questo e' la probabilità dell'evento. Una serie empirica non e' una serie matematica e quindi non ha senso parlare di passaggio al limite. il requisito che un sottoinsieme delle prove porti a risultati identici e' incoerente (basta selezionare un sottoinsieme che non contiene alcun evento favorevole) Definizione SOGGETTIVA De Finetti (1931) Nella definizione soggettiva la probabilità misura il grado di fiducia che un soggetto ha nel verificarsi dell evento P(A)= grado di fiducia accordato al verificarsi dell evento evento A Nella realtà scientifica sono inclusi fenomeni che non possono essere ricondotti a condizioni di ripetibilità e equiprobabilità, perché considerati eventi unici o irripetibili. Per questi fenomeni, sia l approccio classico che quello frequentista falliscono. Per quantificare la probabilità dal punto di vista soggettivo bisogna far riferimento alle scommesse. La probabilità che un evento si verifichi è pari al prezzo che il soggetto è disposto a pagare per ricevere 1 se l evento si verifica e 0 se l evento non si verifica. 4
Limiti È basata su probabilita' a priori È basata su probabilita' soggettive Soluzione: Reichenbach (1935) Rinunciando a definizioni di contenuto si definisca la probabilità come un tipo speciale di relazione tra due classi di proposizioni. Possiamo così fruttare le conoscenze sulla teoria degli insiemi e sul calcolo logico. 5
La probabilità P(.) è una misura che associa ad ogni Evento A un valore numerico P(A) che esprime l incertezza relativa al verificarsi dell Evento s P(.) P(s) Eventi ed Insiemi L EVENTO E L ELEMENTO DI BASE AL QUALE PUO ESSERE APPLICATA UNA PROBABILITA, ESSO E IL RISULTATO DI UN OSSERVAZIONE O DI UN ESPERIMENTO
Eventi ed Insiemi SPAZIO DEGLI EVENTI (S): l insieme di tutti i possibili esiti di un esperimento (serie di prove con esiti non prevedibili) EVENTO (E, F, A..) : è un qualsiasi sottoinsieme (collezione di possibili esiti) dello spazio S. Si dice che un evento si verifica se l esito dell esperimento è incluso nella definizione data di evento Evento certo (S) = (E) + (Ē)( E Eventi ed Insiemi Lo spazio degli eventi (S) è composto da tutti i possibili esiti di un esperimento: - Eventi semplici - Eventi composti (combinazioni di eventi semplici) - Evento Certo (S) - Evento impossibile (Ø) 7
Eventi ed Insiemi ES: Risultati possibili nel duplice lancio di una moneta S = {(testa, testa), (testa, croce), (croce, testa), (croce, croce)} E (evento semplice) = {(testa, croce)} E (evento composto) = 1 testa = {(testa, croce), (croce, testa)} Ē = (evento complementare di E) ={(testa, testa), (croce, croce)} ES: Lancio di un dado: S 1 2 3 Eventi ed Insiemi S: Eventi Semplici (A, B, C, D, E, F): esce 1, esce 2, esce 3, esce 4, esce 5, esce 4 5 Eventi composti (X, Y): esce un numero pari, esce un numero dispari. Evento certo: esce un numero da 1 a Evento impossibile: esce 7 8
Operazioni sugli eventi: L Unione di due eventi A e B (A B), definita come l insieme degli esiti che appartengono o all evento A o all evento B o simultaneamente ad A e B. L Intersezione di due eventi A e B (A B), definita dall insieme degli esiti che verificano contemporaneamente A e l evento B Il Complemento di un evento E, indicato con Ē che rappresenta l evento non E, ed è dato da S-E S DIAGRAMMA DI VENN S Unione Intersezione A B A B S S Complemento A Femmina B Maschio AA Ā In questo caso i 2 eventi si dicono MUTUALMENTE ESCLUSIVI ovvero non possono accadere simultaneamente, gli eventi non hanno esiti in comune INTERSEZIONE = INSIEME VUOTO 9
Esempio: Lancio di 1 dado S={1,2,3,4,5,} A={ESCE 2,3,5} B={ESCE UN NUMERO PARI} (A B)=? (A B)=? Ā=? Esempio: Lancio di 1 dado S={1,2,3,4,5,} A={ESCE 2,3,5} B={ESCE UN NUMERO PARI} (A B)={2,3,4,5,} (A B)={2} Ā={1,4,} 10
Evento condizionato Un evento condizionato A B (da leggersi A dato B'), con B Ø, è: indeterminato, quando B è falso (e non interessa, una volta acquisita questa informazione, l'evento A); vero, quando B è vero ed anche A è vero; falso, quando B è vero ed A è falso. S A B Si verifica B A B B diventa il nuovo S spazio Degli eventi di A è l insieme degli esiti che appartengono ad A nello spazio degli eventi B, poiché B si è già verificato. Esempio Si lancia una coppia di dadi la somma dei risultati è, qual è la probabilità che uno dei due dadi segni 2? 1 2 1 2 3 2 3 4 3 4 5 4 5 5 7 7 8 A= SOMMA E (si è già verificato) B= UN DADO SEGNA 2 3 4 4 5 5 7 7 8 8 9 9 10 B A = 5 7 8 9 10 11 7 8 9 10 11 12 11
Esempio Si lancia una coppia di dadi la somma dei risultati è, qual è la probabilità che uno dei due dadi segni 2? A= SOMMA E (si è già verificato) B= UN DADO SEGNA 2 Soluzione: Reichenbach (1935) Rinunciando a definizioni di contenuto si definisca la probabilità come un tipo speciale di relazione tra due classi di proposizioni. Possiamo così fruttare le conoscenze sulla teoria degli insiemi e sul calcolo logico. 12
La probabilità P(.) è una misura che associa ad ogni Evento A un valore numerico P(A) che esprime l incertezza relativa al verificarsi dell Evento s P(.) P(s) Caratteristiche della misura di Probabilità 1. La probabilità di un evento è un numero compreso tra 0 e 1 0 Pr(A) 1 2. La probabilità di un evento certo è 1 P(S) = 1 3. La probabilità di un evento impossibile (o di un insieme vuoto) è 0 P(Ø) = 0 4. La probabilità dell evento complementare (Ā) di A è data dalla differenza tra la probabilità di tutto lo spazio campionario (1) meno quella dell evento P(Ā)=1-P(A) 13
Legge delle Probabilità Totali per Eventi Incompatibili Dati due eventi incompatibili, cioè A B=Ø allora la probabilità della loro unione è uguale alla somma delle probabilità degli eventi: P(A B)=P(A)+P(B) La legge delle probabilità totali per eventi incompatibili può essere generalizzata ad un insieme finito o numerabile di eventi a due a due incompatibili Legge delle Probabilità Totali In generale per calcolare la probabilità dell unione di due eventi non è sufficiente conoscere le probabilità dei due eventi. Bisogna sapere di quanto essi si sovrappongono cioè conoscere la probabilità dell intersezione dei due eventi. P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B) 14
Esempio: Lancio di 1 dado S={1,2,3,4,5,} A={ESCE 2,3,5} B={ESCE UN NUMERO PARI} P(A B)=? Esempio: Lancio di 1 dado S={1,2,3,4,5,} A={ESCE 2,3,5} B={ESCE UN NUMERO PARI} P(A)=3/ P(B)=3/ P(A B) =1/ P(A B)=3/+3/-1/=5/=0.83 15