FACOLTA D GEGERA Corso d Laurea Specalsca n ngegnera nformaca Applcazon d nellgenza Arfcale L-S CERTEZZA DELLA DOMADA ELLE CATEE D SUPPORTO: TECCHE D RDUZOE DAMCA DELLO SPAZO D RCERCA PER U MODELLO CP Tes d laurea d: Robero Ross Relaore: Prof. Mchela Mlano Correlaor: Armagan Tarm Brahm Hnch 4C, Cork - rlanda 4C, Cork - rlanda
La eora delle score l problema del loo economco (Ford W. Harrs 95) blancare cos d acquso e d soccaggo n presenza d una domanda cosane nel empo e d un deermnao coso fsso per ogn acquso. cos Overall cos Order cos nvenory cos = 2k dh me k = coso fsso d produzone d = domanda h = coso d soccaggo unaro
La eora delle score l problema del loo economco (Ford W. Harrs 95) blancare cos d acquso e d soccaggo n presenza d una domanda cosane nel empo e d un deermnao coso fsso per ogn acquso. ems q 2 3 me Quanà oma per ordne: q = 2dk h
Movazon Davs (993): l 6% degl nvesmen mpegna nel ssema d produzone e dsrbuzone della Hewle-Packard sono arbubl ad ncerezza della domanda da pare del mercao Come far frone all ncerezza della domanda? gesone delle score gesone oma de cos d produzone/acquso e soccaggo cos 2k dh = Loo Economco! me
La soluzone presenaa perodo omo d rordno: quanà oma d rordno: q polca oma: domanda esaamene soddsfaa n ogn cclo d rfornmeno 2dk algormo d rsoluzone: h q = = 2k dh ems q 2 3 me
Loo economco domanda socasca domanda deermnsca Scarf (96) (s,s) polca oma domanda saca EOQ domanda dnamca Wagner - Whn domanda saca domanda dnamca soluzone eursca soluzone oma Tarm & Kngsman (23) modello MP, polca (R,S), sac-dynamc uncerany Bookbnder & Tan (988): sraega eursca a due fas sac-dynamc uncerany, polca (R,S) Tarm & Smh (25) modello CP, polca (R,S), sac-dynamc uncerany
Loo economco domanda socasca domanda deermnsca Scarf (96) (s,s) polca oma domanda saca EOQ domanda dnamca Wagner - Whn domanda saca domanda dnamca soluzone eursca soluzone oma Tarm & Kngsman (23) modello MP, polca (R,S), sac-dynamc uncerany Bookbnder & Tan (988): sraega eursca a due fas sac-dynamc uncerany, polca (R,S) Tarm & Smh (25) modello CP, polca (R,S), sac-dynamc uncerany
Domanda deermnsca e dnamca: Wagner & Whn (958) mns + + = hd k F( ) F( ) mn < h= k = h+ s + F( ) δ = = F( ) = F ( ) = s (mese) coso ord. domanda s d 85 69 2 2 29 3 2 36 4 6 5 98 6 6 4 26 7 5 34 8 86 67 9 9 45 67 98 79 2 4 56 85 87 4 26 223 86 287 277 375 348 462 4 4 55 496 469 52 555 572 674 6 7 74 734 88 789 93 864 9 mn cos. polca o. [] 85 4 2 86 23 277 34 384 45 4 456 469 567 555 8 6 89 7 789, 864, 2 Complessà: (+)/2 nel caso peggore d [] Vene mosrao solo l ulmo perodo d ordnazone; 567 ndca che la polca oma per perod da a 7 consse nell ordnare nel perodo 5 per soddsfare 5 d 6,, d 7, adoando una polca oma per perod da a 4 consdera separaamene (plannng horzon heorem).
Domanda deermnsca e dnamca: Wagner & Whn Soluzone medane l'algormo DP d Wagner e Whn score 2 8 6 4 2 8 6 4 2 98 29 97 6 2 6 34 79 2 67 35 56 Wagner e Whn 3 5 7 9 3 perod
Domanda deermnsca e dnamca: Wagner & Whn Soluzone equvalene per BT e Regola della Radce Quadraa 2 5 5 score 8 6 4 52,5 52,5 Soluzone equvalene per BT e Regola della Radce Quadraa 2 2 3 4 5 perod
Loo economco domanda socasca domanda deermnsca Scarf (96) (s,s) polca oma domanda saca EOQ domanda dnamca Wagner - Whn domanda saca domanda dnamca soluzone eursca soluzone oma Tarm & Kngsman (23) modello MP, polca (R,S), sac-dynamc uncerany Bookbnder & Tan (988): sraega eursca a due fas sac-dynamc uncerany, polca (R,S) Tarm & Smh (25) modello CP, polca (R,S), sac-dynamc uncerany
Domanda socasca Esaurmeno score: penalzzazone nella funzone obevo: s rappresena l mancao guadagno come un coso assegnameno d un lvello d servzo n ermn percenual: dunque s assume che l eveno score esaure s verfch con una cera probablà (pcamene bassa < 5%) e lo s rascura nel modello
Domanda socasca e saca Polca oma: (s,s) Scarf 96 k = coso fsso d produzone h = coso d soccaggo unaro b = L σ L z d z σ L score d scurezza empo d arrvo delle merc devazone sandard della domanda nell nervallo L lvello d servzo val. aeso per la domanda per perodo unà ncerezza della domanda s score d scurezza b esaurmeno score empo L
Domanda socasca e saca Polca oma: (s,s) Scarf 96 k = coso fsso d produzone h = coso d soccaggo unaro ncerezza della domanda b = L σ L z d z σ L score d scurezza empo d arrvo delle merc devazone sandard della domanda nell nervallo L lvello d servzo val. aeso per la domanda per perodo unà S s = L d + b S = max[ L d, 2kd / h] + b s safey sock b sock ou empo L
Loo economco domanda socasca domanda deermnsca Scarf (96) (s,s) polca oma domanda saca EOQ domanda dnamca Wagner - Whn domanda saca domanda dnamca soluzone eursca soluzone oma Tarm & Kngsman (23) modello MP, polca (R,S), sac-dynamc uncerany Bookbnder & Tan (988): sraega eursca a due fas sac-dynamc uncerany, polca (R,S) Tarm & Smh (25) modello CP, polca (R,S), sac-dynamc uncerany
Domanda socasca e dnamca Sac uncerany Bookbnder & Tan ue le decson vengono prese all nzo dell orzzone degl even san d ordnazone quanà degl ordn vene nconro alle esgenze azendal s basa sulla cosruzone d un modello deermnsco equvalene rsolo con le ecnche noe: algormo DP Wagner & Whn
Domanda socasca e dnamca Bookbnder & Tan Dynamc uncerany Le decson sono prese man mano che le domande dvengono noe: wa-and-see perodo dopo perodo s effeuano ordn n funzone de lvell d servzo rches Scomoda n ermn d polche azendal e poco adaa per applcazon real (polca nervosa) Può ornare ule n scenar Jus n Tme
Domanda socasca e dnamca Bookbnder & Tan Sac-Dynamc Uncerany Polca (R,S) R san n cu fssare gl ordn S Lvell a cu porare le score n seguo ad un ordne unà ncerezza della domanda S emp d arrvo delle merc suppos null L = Q s safey sock b sock ou
Domanda socasca e dnamca Bookbnder & Tan Sac-Dynamc Uncerany Modello per polca (R,S) dffcle da rsolvere n modo compleo Slver 978: rovare la soluzone oma per la versone socasca e dnamca del problema del loo economco rsula probvo dal puno d vsa compuazonale Approcco eursco a due fas Deermnazone dell nseme R (Wagner & Whn) Deermnazone dell nseme S (problema LP deermnsco)
Loo economco domanda socasca domanda deermnsca Scarf (96) (s,s) polca oma domanda saca EOQ domanda dnamca Wagner - Whn domanda saca domanda dnamca soluzone eursca soluzone oma Tarm & Kngsman (23) modello MP, polca (R,S), sac-dynamc uncerany Bookbnder & Tan (988): sraega eursca a due fas sac-dynamc uncerany, polca (R,S) Tarm & Smh (25) modello CP, polca (R,S), sac-dynamc uncerany
Domanda socasca e dnamca Tarm & Kngsman Modello MP compleo l coso oale aeso per la sraega oenua con l modello d Bookbnder e Tan è 974, menre per quella d Tarm e Kngsman esso rsula essere 944 Perodo(k) 2 3 4 5 6 7 8 9 E[ d k ] 8 85 7 2 8 7 65 6 5 2 Soluzone d BT e d TK a confrono c σ / µ =.333 v = 35 3 25 a = 25 h = score 2 5 Bookbnder e Tan Tarm e Kngsman α =.95 z α = =.645) (. 95 5 3 5 7 9 perod
Loo economco domanda socasca domanda deermnsca Scarf (96) (s,s) polca oma domanda saca EOQ domanda dnamca Wagner - Whn domanda saca domanda dnamca soluzone eursca soluzone oma Tarm & Kngsman (23) modello MP, polca (R,S), sac-dynamc uncerany Bookbnder & Tan (988): sraega eursca a due fas sac-dynamc uncerany, polca (R,S) Tarm & Smh (25) modello CP, polca (R,S), sac-dynamc uncerany
Domanda socasca e dnamca Modello CP Tarm & Smh compleo meno vncol 2 vs Meno varabl decsonal vs 3 2 ( + 5) / 2 2 ( + 9) / 2 Tpcamene la rsoluzone d ale modello mplca l esplorazone d un numero d nod maggore rspeo al MP, uava emp d esecuzone sono mglor: MP rlassameno connuo su ogn nodo!
Domanda socasca e dnamca Modello CP programmazone socasca mn s.. E[ TC] = δ Tarm & Smh ( a + h ) = funzone d dsrbuzone cumulava Φ [, ] = G d + d + + + d ( ) d... α k= k d + =,..., d > δ =,..., + = Φ[, max [.. ] δ ] =,..., + Ζ {} {, } δ =,...,
Domanda socasca e dnamca Modello CP programmazone socasca mn E[ TC] = δ Tarm & Smh ( a + h ) = funzone d dsrbuzone cumulava Φ [, ] = G d + d + + + d ( ) d... α k= k s.. d + =,..., d > δ =,..., + = Φ[, max [.. ] δ ] =,..., + Ζ {} {, } δ =,..., resuzone delle merc veaa!
Domanda socasca e dnamca Modello CP programmazone socasca mn s.. d + E[ TC] = δ Tarm & Smh ( a + h ) = =,..., d > δ =,..., + = Φ[, max [.. ] δ ] =,..., funzone d dsrbuzone cumulava Φ [, ] = G d + d + + + d ( ) d... α k= δ k = δ δ = = + Ζ {} {, } δ =,...,
Domanda socasca e dnamca Modello CP programmazone socasca mn E[ TC] = δ Tarm & Smh ( a + h ) = funzone d dsrbuzone cumulava Φ [, ] = G d + d + + + d ( ) d... α k= k s.. d + =,..., d > δ =,..., + = Φ[, max [.. ] δ ] =,..., + Ζ {} {, } δ =,..., lvello d servzo
Domanda socasca e dnamca Tarm & Smh Tecnche d flraggo per domn delle varabl decsonal: Prmo meodo d rduzone prma d nzare la rcerca domn delle varabl decsonal vengono opporunamene rdo a sol valor candda ad essere pare d una soluzone oma Sablsce degl UB sulla lunghezza de possbl ccl d rfornmeno candda ad essere pare della soluzone oma k {,..., } ( c (, k) + c( k +, ) > c(, ) ) ( b(, k) > R( k +, ) ) k k
Domanda socasca e dnamca Tarm & Smh Tecnche d flraggo per domn delle varabl decsonal: Prmo meodo d rduzone prma d nzare la rcerca domn delle varabl decsonal vengono opporunamene rdo a sol valor candda ad essere pare d una soluzone oma Sablsce degl UB sulla lunghezza de possbl ccl d rfornmeno candda ad essere pare della soluzone oma k {,..., } ( c (, k) + c( k +, ) > c(, ) ) ( b(, k) > R( k +, ) ) k k
Domanda socasca e dnamca Tarm & Smh Tecnche d flraggo per domn delle varabl decsonal: Prmo meodo d rduzone prma d nzare la rcerca domn delle varabl decsonal vengono opporunamene rdo a sol valor candda ad essere pare d una soluzone oma Sablsce degl UB sulla lunghezza de possbl ccl d rfornmeno candda ad essere pare della soluzone oma k {,..., } ( c (, k) + c( k +, ) > c(, ) ) ( b(, k) > R( k +, ) ) m T (, ) l = m R m R S m = { τ τ = R(, l) m = d, l = m,..., } m
Domanda socasca e dnamca Tarm & Smh Tecnche d flraggo per domn delle varabl decsonal: Prmo meodo d rduzone prma d nzare la rcerca domn delle varabl decsonal vengono opporunamene rdo a sol valor candda ad essere pare d una soluzone oma Sablsce degl UB sulla lunghezza de possbl ccl d rfornmeno candda ad essere pare della soluzone oma k {,..., } ( c (, k) + c( k +, ) > c(, ) ) ( b(, k) > R( k +, ) ) m T (, ) l = m + R m R S m = { τ τ = R(, l) m = d, l = m,..., } m l
Domanda socasca e dnamca Tarm & Smh Tecnche d flraggo per domn delle varabl decsonal: Prmo meodo d rduzone prma d nzare la rcerca domn delle varabl decsonal vengono opporunamene rdo a sol valor candda ad essere pare d una soluzone oma Sablsce degl UB sulla lunghezza de possbl ccl d rfornmeno candda ad essere pare della soluzone oma k {,..., } ( c (, k) + c( k +, ) > c(, ) ) ( b(, k) > R( k +, ) ) m T (, ) l = m + 2 R m R S m = { τ τ = R(, l) m = d, l = m,..., } m l
Domanda socasca e dnamca Tarm & Smh Tecnche d flraggo per domn delle varabl decsonal: Secondo meodo d rduzone S consderano u possbl scenar lega alle decson sugl ordn δ, aggungendo man mano a domn valor delle score per al scenar verosml: l lvello d chusura n è par a quello d aperura n + + + T lvell sono dfferen: lvello d chusura n < lvello d aperura n + ordne n + + T
Domanda socasca e dnamca Rduzone ulerore: Tarm & Smh nersezone de rsula de due meod: l soonseme de valor delle score candda ad essere pare della soluzone oma è ulerormene rsreo Perodo 2 3 4 5 6 7 33 347 29 63 3 2 d S S S S 2 3 4 5 6 7 {55,9} {8,22,58} {9,22} {6,6,9} {638,668,68} {6,3,68,638,65} {7,8,596,626,638} {55,9} {22,58,538,568} {9,9,22,22,858,888,9} {6,62,9,92,8,829,83,843,859,87} {638,666,668,68,696,78} {68,636,638,65,666,678} {596,624,626,638,654,666} {55,9} {22,58} {9,22} {6,9} {638,668,68} {68,638,65} {596,626,638} 9 58 22 9 68 65 638
Domanda socasca e dnamca Tarm & Smh Tarm e Smh soluzone oma score 2 8 6 4 2 8 6 4 2 92 567 9 58 843 22 9 68 65 638 Tarm e Smh 2 3 4 5 6 7 8 perod
Domanda socasca e dnamca Esenson Rduzone dnamca de domn durane la rcerca sfrua la soluzone parzale dsponble n un dao nodo dell albero decsonale per rdurre domn delle varabl decsonal elmnando valor non ammssbl rspeo ad essa re ecnche svluppae: rlassameno medane programmazone dnamca rduzone basaa sul mergng lemma esensone al caso dnamco delle ecnche d flraggo a pror presenae da Tarm e Smh
Domanda socasca e dnamca Esenson Rlassameno medane programmazone dnamca Branch and Bound 2 + Dksra per SPP n c(,) c(, ) c (, 2) c(, ) c(, ) c(, ) ( +) / 2 c( +, ) + c(, )
Domanda socasca e dnamca Esenson Rlassameno medane programmazone dnamca Branch and Bound C C C < C? x
Domanda socasca e dnamca Mergng lemma: Esenson daa una soluzone parzale, se n un cero perodo non è prevso un rfornmeno, è possble oenere una formulazone equvalene dell sanza del problema accorpando ale perodo al precedene. δ = + ( ) + esensone al caso d pù perod l valor medo della domanda nel nuovo perodo che accorpa preceden sarà µ k ' = µ = 2 La devazone sandard della domanda sarà σ k ' = σ =
Domanda socasca e dnamca Esenson Mergng lemma Perod o 2 3 4 5 6 7 8 9 2 d 73 28 6 92 8 28 64 28 6 37 57 Perod o 3 4 5 6 7 8 9 2 2 22 23 24 8 62 34 6 2 4 92 7 9 63 32 d Domn rdo sacamene valor ammssbl per lvell d chusura delle score meodo d rduzone score 4 35 3 25 2 5 5 6 6 2 perod
Domanda socasca e dnamca Esenson δ δ 99 73 39 88 86 76 36 23 6 4 23 9 3 4 5 6 7 8 9 2 2 22 23 24 4 4 7 73 8 28 9 9 88 94 37 2 3 4 5 6 7 8 9 2 Mergng lemma
Domanda socasca e dnamca Esenson 25 Mergng lemma {,2} {3} {4,5} {6,7} {8,9} {} {,2} {3} {4,5} {6} {7,8,9} {2,2} {22} {23,24} Domn rdo dnamcamene valor ammssbl per lvell d chusura delle score meodo d rduzone 2 d ( σ /.var.) coeff 73 28 28 28 92 6 94 8 96 6 52 29 9 95 5329 6384 292 3384 2768 2592 468 3276 5 2592 74 3753 36 27593 {4,29} {7,8} {8} {} {9} {88,9} {37,96} {99,23} {39,7} {88,43} {23,36,9} {6} {4} {9} 2 score 5 5 ( ) 6 6 2 perod d + = > <
Domanda socasca e dnamca Esenson Mergng lemma 2 d ( σ /.var.) coeff {,2} {3} {4,5} {6,7} {8,9} {} {,2} {3} {4,5} {6} {7,8,9} {2,2} Domn rdo dnamcamene {22} valor ammssbl per lvell d chusura delle score {23,24} meodo d rduzone 73 28 28 28 92 6 94 8 96 6 52 29 9 95 5329 6384 292 3384 2768 2592 468 3276 5 2592 74 3753 36 27593 {4,29} {7,8} {8} {} {9} {88,9} {37,96} {99,23} {39,7} {88,43} {23,36,9} {6} {4} {9} score 25 2 5 5 + + d = 6 6 2 perod d + = > <
score 25 2 5 5 Domanda socasca e dnamca Mergng lemma {,2} {3} {4,5} {6,7} {8,9} {} {,2} {3} {4,5} {6} {7,8,9} {2,2} Domn rdo dnamcamene {22} valor ammssbl per lvell d chusura delle score {23,24} meodo d rduzone 6 6 2 perod mn Esenson s.. 2 d ( /.var.) σ coeff + d =,..., 73 5329 28 6384 + d 28 > δ = =,..., 292 28 3384 92 2768 Φ[, max 6 δ ] =,..., [.. ] 2592 94 468 8 3276 + =,..., Ζ {} 96 δ {, } 5 6 2592 52 74 29 3753 9 36 95 27593 E[ TC] = δ d + + = ( a + h ) = > < {4,29} {7,8} {8} {} {9} {88,9} {37,96} {99,23} {39,7} {88,43} {23,36,9} {6} {4} {9} + d =
score 25 2 5 5 Domanda socasca e dnamca Mergng lemma {,2} {3} {4,5} {6,7} {8,9} {} {,2} {3} {4,5} {6} {7,8,9} {2,2} Domn rdo dnamcamene {22} valor ammssbl per lvell d chusura delle score {23,24} meodo d rduzone 6 6 2 perod mn Esenson s.. 2 d ( /.var.) σ coeff + d =,..., 73 5329 28 6384 + d 28 > δ = =,..., 292 28 3384 92 2768 Φ[, max 6 δ ] =,..., [.. ] 2592 94 468 8 3276 + =,..., Ζ {} 96 δ {, } 5 6 2592 52 74 29 3753 9 36 95 27593 E[ TC] = δ d + + = ( a + h ) = > < {4,29} {7,8} {8} {} {9} {88,9} {37,96} {99,23} {39,7} {88,43} {23,36,9} {6} {4} {9} + d =
Domanda socasca e dnamca Esenson Esensone dnamca al prmo meodo d rduzone: Perodo 2 3 4 5 6 7 d 33 347 29 63 3 2 S S S S 2 3 4 5 6 7 {55,9} {8,22,58} {9,22} {6,6,9} {638,668,68} {6,3,68,638,65} {7,8,596,626,638} {55,9} {22,58,538,568} {9,9,22,22,858,888,9} {6,62,9,92,8,829,83,843,859,87} {638,666,668,68,696,78} {68,636,638,65,666,678} {596,624,626,638,654,666} {55,9} {22,58} {9,22} {6,9} {638,668,68} {68,638,65} {596,626,638} 9 58 22 9 68 65 638
Domanda socasca e dnamca Esenson Esensone dnamca al prmo meodo d rduzone: S consderano le proposzon alla base del meodo d flraggo a pror de domn e le s esende pozzando che una soluzone parzale sa daa Gl UB sulla lunghezza de ccl d rfornmeno vengono rvs sulla base della soluzone parzale che s ha a dsposzone Esempo: proposzone che sablsce le condzon con cu è possble defnre un upper bound sulla lunghezza d un qualsas cclo d rfornmeno P: δ = UB
Domanda socasca e dnamca Esenson Esensone dnamca al prmo meodo d rduzone: S consderano le proposzon alla base del meodo d flraggo a pror de domn e le s esende pozzando che una soluzone parzale sa daa Gl UB sulla lunghezza de ccl d rfornmeno vengono rvs sulla base della soluzone parzale che s ha a dsposzone Esempo: proposzone che sablsce le condzon con cu è possble defnre un upper bound sulla lunghezza d un qualsas cclo d rfornmeno P: δ = k UB
Domanda socasca e dnamca Esenson Esensone dnamca al prmo meodo d rduzone: S consderano le proposzon alla base del meodo d flraggo a pror de domn e le s esende pozzando che una soluzone parzale sa daa Gl UB sulla lunghezza de ccl d rfornmeno vengono rvs sulla base della soluzone parzale che s ha a dsposzone Esempo: proposzone che sablsce le condzon con cu è possble defnre un upper bound sulla lunghezza d un qualsas cclo d rfornmeno P: δ = k k > k < UB and δ k = k UB UB = mnmo d al k
Domanda socasca e dnamca Esenson Esensone dnamca al prmo meodo d rduzone: S consderano le proposzon alla base del meodo d flraggo a pror de domn e le s esende pozzando che una soluzone parzale sa daa Gl UB sulla lunghezza de ccl d rfornmeno vengono rvs sulla base della soluzone parzale che s ha a dsposzone Esempo: proposzone che sablsce le condzon con cu è possble defnre un upper bound sulla lunghezza d un qualsas cclo d rfornmeno P: δ = k k > k < UB and δ k = k UB UB = mnmo d al k
Domanda socasca e dnamca Esenson Esensone dnamca al prmo meodo d rduzone: Perodo 2 3 4 5 6 7 22 9 d 33 347 29 63 3 2 3 5 S S dnamca {,,,,,, } S S 2 3 4 5 6 7 {55,9} {8,22,58} {9,22} {6,6,9} {638,668,68} {6,3,68,638,65} {7,8,596,626,638} 2 {55, 9} 2 2 {22, 58} 3 {22} 4 {9} 5 3 {638, 668, 68} 6 3 {68, 638, 65} 7 3 {596, 626, 638} {55,9} {22,58} {9,22} {6,9} {638,668,68} {68,638,65} {596,626,638} 9 58 22 9 68 65 638
Tes Eursca Mos Consraned Domanda sagonale second, 24 26 28 3 32 34 36 38 4 42 44 46 48 5 LOG - CP model CPLEX - MP model Choco - CP model dyn red Choco - CP model,, perod Domanda sagonale nod LOG - CP model CPLEX - MP model Choco - CP model Choco - CP model dyn red 24 26 28 3 32 34 36 38 4 42 44 46 48 5 perod
Tes Eursca Mos Consraned Random runs - 5 nsances - 3 perods seconds,8,6,4,2,8,6,4,2 2 4 orderng cos mean me Random runs - 5 nsances - 3 perods nodes 4 35 3 25 2 5 5 2 4 orderng cos mean nodes number
Concluson Mglorameno dello sao dell are per la formulazone socasca e dnamca del problema del loo economco Sraega d rsoluzone n grado d raare sanze con dmenson sgnfcave d fao applcable a problem real Robusezza della sraega verso varazon ne paramer del modello Esensone della sraega per modell pù realsc vncol d capacà merc deperbl