Uiversità Roma Tre L. Chierchia 65 (29//7) 2 Criteri di covergeza per serie a termii positivi I questo paragrafo cosideriamo serie a termii positivi ossia serie a co a > 0. Si ricordi che ua serie a termii positivi o coverge ad u umero positivo o diverge a + (Proposizioe.6 (v)). 2. Cofroto Proposizioe 2. (i) (Criterio del cofroto) Siao {a } e {b } due successioi di umeri positivi e c>0 tali che a c b defiitivamete. Allora, se b coverge, coverge ache a ;se a diverge, diverge ache b. (ii) (Criterio del cofroto asitotico) Siao {a } e {b } due successioi di umeri positivi tali che lim a /b (0, + ). Allora a b. Dimostrazioe (i): Sia m tale che a c b per ogi m e siao 8 s = s = a k e b k. Allora s cs e la tesi segue dal Teorema del cofroto (e dal fatto che s e k=m cs soo mootoe). (ii) Se L =lima /b (0, + ) segue che L 2 b <a < (2L) b defiitivamete e la tesi segue dal puto (i). k=m Defiizioe 2.2 La serie ζ(s) := = s (7) si chiama fuzioe zeta di Riema 9. 2 Esempio 2.3 (i) Poiché lim = dal cofroto asitotico e dalla covergeza della ( + ) serie di Megoli segue che coverge la serie ζ(2) = / 2. (ii) Dal criterio del cofroto segue che / s =+ per ogi s eche / s < + per ogi s 2. I effetti, dimostreremo i 2.4 che ζ(s) = / s coverge se e solo se s>. 8 Si ricordi il puto (iv) della Proposizioe.6. 9 Tale fuzioe riveste u ruolo cetrale i teoria aalitica dei umeri; vedi, ad esempio, https://it. wikipedia.org/wiki/fuzioe_zeta_di_riema.
66 Cap. 4 Serie umeriche 2.2 Radice Proposizioe 2.4 (Criterio della radice) Sia {a } ua successioe di umeri positivi. (i) Se a / θ defiitivamete per u qualche 0 <θ< allora a coverge. Se a / θ defiitivamete per u qualche θ allora a diverge. (ii) Sia lim a / = θ = (θ R ). Se θ<, a coverge. Se θ>, a diverge. Dimostrazioe (i): a / dal cofroto co la serie geometrica 0 θ di ragioe θ<. a / θ<per m è equivalete a θ per m e la tesi segue θ per m è equivalete a θ per m equidia o tede a zero e la serie diverge per la Proposizioe.6 (ii). (ii): Se lim a / = θ = allora, fissato u θ tra e θ, sihachea / < θ defiitivamete se θ<ea / > θ defiitivamete se θ>. La tesi segue ora da (i). Osservazioe 2.5 La relazioe lim a / = o dà iformazioi sulla covergeza o meo della serie a :sea = / s allora lim a / = maζ(2) coverge e ζ() diverge. (Esempio 2.3 (ii)). Osservazioe 2.6 Si può dimostrare che se a > 0, allora: lim a + /a = θ = lim a / = θ, (a > 0). (8) Da (8) segue il seguete criterio del rapporto : Se lim a + /a = θ< allora a coverge; se lim a + /a = θ> allora a diverge. (ii) Ma o vale il viceversa di (8): ossia può esistere il lim a / si evice dal seguete esercizio. ma o il lim a + /a come Esercizio 2. Sia a = 2 se è dispari 2 + se è pari Dimostrare che lim a / =/2 ma che o esiste lim a + /a. Esercizio 2.2 Dimostrare (8). Suggerimeti: Cosiderare prima il caso L>0. Dimostrare che esiste m tale che L ε <(a m+ ) / /(a m) / < L + ε, perogi N. Dedurechelim (a m+ ) / = L. Dedurechelim a / = L. 0 Esempio.2.
Uiversità Roma Tre L. Chierchia 67 2.3 Rapporto Diamo qui ua dimostrazioe diretta e più geerale del criterio del rapporto. Proposizioe 2.7 (Criterio del rapporto) Sia {a } ua successioe di umeri positivi. (i) Se a + /a θ defiitivamete per u qualche 0 <θ< allora a coverge. Se a + /a θ defiitivamete per u qualche θ allora a diverge. (ii) Sia lim a + /a = θ = (θ R ). Se θ<, a coverge. Se θ>, a diverge. Dimostrazioe (i): Se a + /a θ<per m, allora per ogi siha a m+ θa +m θ a m. Quidi, se b := a m+ si ha che b c θ co c = a m > 0 e la tesi segue dal criterio del cofroto essedo θ covergete. Aalogamete, se a + /a θ per m si ha che a m+ θ a m per ogi e quidi {a } o tede zero e la serie diverge. (ii) Se lim a + /a = θ = allora, fissato u θ tra e θ, sihachea + /a < θ defiitivamete se θ<ea + /a > θ defiitivamete se θ>. La tesi segue ora da (i). Esempio 2.8 Sia x = 0esiaa := x /! allora, lim a + /a =lim x /(+) = 0 e quidi la serie x /! coverge assolutamete per ogi x R. 2.4 Codesazioe Il prossimo criterio si basa sull idea di raggruppare ua somma di termii positivi i gruppi di termii al variare di k. Tale criterio, dovuto a Cauchy, è di uso meo frequete dei precedeti ma fuzioa i casi i cui il criterio della radice (e quidi quello del rapporto) o fuzioao. La dimostrazioe è basata su alcue osservazioi elemetari, che vegoo lasciate per esercizio. Osservazioe 2.9 (i) Se { k } è ua successioe strettamete crescete co k N, allora k k equidilim k =+. (ii) Se {x } è ua successioe crescete e { k } ua successioe strettamete crescete co k N, allora lim x = + lim x k. k + Osservazioe 2.0 Se, m Z co m, allora: = m +. (9) j=m Esercizio 2.3 Dimostrare le Osservazioi 2.9 e 2.0. Naturalmete la serie coverge ache per x =0(ecovergead).
68 Cap. 4 Serie umeriche Esercizio 2.4 Si cosideri ua serie s := N si ha 2 : a k (co a k umeri reali). Allora, per ogi k= s 2 = a + s 2 = k= j= + a j (0) = a +(a 2 )+(a 3 + a 4 )+(a 5 + a 6 + a 7 + a 8 )+ + a j () j= = (a )+(a 2 + a 3 )+(a 4 + a 5 + a 6 + a 7 )+ Proposizioe 2. (Criterio di codesazioe di Cauchy) Sia {a } ua successioe decrescete. Allora, a 2 a 2. Piú precisamete, si ha 2 a + a a k a (2) dove le disuguagliaze vao itese i R e el caso di covergeza valgoo le disuguagliaze strette. Dimostrazioe Poiché {a } è d e c r e s c e t e s i h a a ( k (9) )=a 2 = a + Duque, se s := j= a j < + j= a = a a k e S := k= + k= j= + j= (9) a, si trova: 2 (a + S ) = a + (3) < a + a k= k= j= + = j= + a < j= + a j ; (3) = a (+ )= a. (4) a j (0) = s 2 <s 2 + (essedo 2 + >2 ) () = (4) < + a = S. j= a j 2 Come al solito, l espressioe co i putii è solo suggestiva e comuque qui è ua somma fiita.
Uiversità Roma Tre L. Chierchia 69 Dall Osservazioe 2.9 segue che e, duque, (dal teorema del cofroto) la tesi. lim s =lims 2 =lims 2 + Esempio 2.2 (Covergeza della fuzioe di Riema per s R) Come già sottolieato (Osservazioe 2.6), il criterio della radice (e quidi del rapporto) o dà iformazioi sulla covergeza della fuzioe di Riema ζ(s). Ma, ricordado la somma della serie geometrica (Esempio.2), si ha che =0 2 (2 ) s = Quidi, da (2) segue che el qual caso si ha =0 2 s = + se s 2 s = 2s 2 s se s> ζ(s) < + se e solo se s > (5) 2 s 2 2 s Ad esempio el caso particolare s =2siha 3 : <ζ(s) < 2s 2 s. (6) 3 <ζ(2) < 2. (7) 2 3 Eulero, per la prima volta, ha dimostrato che ζ(2) = π 2 /2 =.644934... cfr., ad esempio, http:// mathworld.wolfram.com/riemazetafuctiozeta2.html.