MATEMATICA FINANZIARIA

MATEMATICA FINANZIARIA Introduzione Definizione. La matematica finanziaria studia le operazioni finanziarie. Definizione. Una operazione finanziaria è un contratto che prevede scambi di danaro (tra i contraenti) in epoche diverse. Esempi. 1. Tizio presta a Caio la somma di 3.000 e Caio si impegna a restituire, tra 2 anni, la somma di 3.500. 2. Tizio dovrà restituire a Caio, fra 6 mesi, la somma di 4.500. Tizio chiede a Caio di anticipare il pagamento del debito pagando oggi la somma di 4.300. Osservazione. I due esempi sopra ripropongono due situazioni tipiche: una operazione di prestito e una operazione di sconto. Le operazioni finanziarie si dividono in operazioni di prestito o capitalizzazione e in operazioni di sconto o attualizzazione. Definizione. Si chiama operazione di prestito (o di capitalizzazione) una operazione finanziaria nella quale un debitore riceve una somma (capitale) che si impegna di restituire al creditore in un epoca futura, aumentata di una somma (interesse). La somma restituita (capitale + interesse) si chiama montante. Osservazione. Il prestito di un capitale C all epoca t 1, in cambio di un montante M all epoca t 2 (t 2 >t 1 ), può essere immaginata come una trasformazione della coppia (C; t 1 ) nella coppia (M; t 2 ). L operazione di prestito trasferisce il capitale dall epoca t 1 all epoca futura t 2 trasformandolo nel montante. C t M Definizione. Si chiama operazione di sconto (o di attualizzazione) una operazione finanziaria nella quale un debitore anticipa il pagamento di un debito futuro usufruendo di una riduzione, detto sconto. Il debito futuro si chiama valore nominale, la somma pagata anticipatamente si chiama valore attuale (o somma scontata), la riduzione del debito si chiama sconto (sconto = valore nominale valore attuale). Osservazione. Il pagamento anticipato di un debito V n esigibile all epoca t 2 con una somma Va ad un epoca antecedente t 1, può essere immaginato come una trasformazione della coppia (V n ; t 2 ) nella coppia (V a ; t 1 ). L operazione di sconto trasferisce il capitale Vn dall epoca t 2 all epoca antecedente t 1. Spostare indietro nel tempo il capitale Vn provoca una sua diminuzione (lo sconto) e lo trasforma nel valore attuale. V a t 1 t 2 t V n t 1 t 2 Definizione. Si chiama legge di capitalizzazione l insieme delle regole attraverso le quali si esegue il calcolo dell interesse (o del montante) in un operazione di prestito. Definizione. Si chiama legge di attualizzazione l insieme delle regole attraverso le quali si esegue il calcolo dello sconto (o del valore attuale) in un operazione di sconto. 1

Osservazione. Le leggi di capitalizzazione utilizzate sono due: semplice, composta. Le leggi di attualizzazione utilizzate sono tre: commerciale, razionale, composta. Capitalizzazione semplice Definizione. In una operazione di prestito si applica la capitalizzazione semplice se gli interessi I maturati sono direttamente proporzionali 1 al capitale C e alla durata del prestito t. Nota. La capitalizzazione semplice, di norma, viene utilizzata in operazioni di prestito di breve durata (in genere non superiore all anno). Osservazione. Se l interesse I è direttamente proporzionale a C e a t, allora I è direttamente proporzionale I al prodotto C t. In altre parole il rapporto è costante. La costante di proporzionalità rappresentata C t da questo rapporto si indica con i (anziché k) e viene chiamata tasso di interesse unitario. Definizione. In una operazione di capitalizzazione semplice si chiama tasso di interesse unitario il rapporto I (costante) tra l interesse maturato e il prodotto C t. La formula è i = C t Osservazione. Il tasso di interesse unitario i rappresenta l interesse maturato su un capitale di 1, prestato per una unità di tempo (infatti se nella formula sopra sostituisci 1 sia al capitale che al tempo, ottieni i=i). Definizione. Il tasso di interesse unitario i si chiama annuale se l unità di tempo necessaria a maturare un interesse i su un capitale unitario è l anno; se l unità di tempo è un periodo inferiore all anno (ad esempio un semestre) allora il tasso si dice periodale. I tassi periodali generalmente utilizzati sono: mensile, bimestrale, trimestrale, quadrimestrale, semestrale. Osservazione. Il tasso unitario: mensile si indica con i 12 (perché i mesi in un anno sono 12), quello bimestrale con i 6 (perché ), quello trimestrale con (perché ), quello quadrimestrale con (perché ), quello semestrale con (perché ). Osservazione. Le formule più importanti per affrontare i problemi di capitalizzazione semplice sono due: quella dell interesse: I = C i t e quella del montante: M = C + I = C( 1+ i t). NB. Quando si applicano queste formule il tempo deve sempre essere espresso nell unità indicata dal tasso unitario. Ad esempio, se il tasso è annuo il tempo sarà misurato in anni, se il tasso è semestrale il tempo sarà in semestri, se il tasso è quadrimestrale il tempo sarà in quadrimestri, ecc. Nelle trasformazioni del tempo consideriamo sempre l anno commerciale (360 giorni = 12 mesi, ciascuno da 30 giorni). Esempi. 1. 2 anni, 3 mesi e 20 giorni quanti anni sono? Anni=2+3/12+20/360=2+1/4+1/18=83/36 2,3 anni. 1 Due grandezze x e y si dicono direttamente proporzionali se sono in corrispondenza biunivoca e il rapporto dei valori corrispondenti sono costanti (y/x=k). Il legame di proporzionalità diretta è espresso dalla funzione y=kx. 2

2. 3,45 anni quanti anni, mesi, giorni sono? Anni=3, mesi=0,45*12=5,4. Ma mesi 5,4 sono mesi=5 e giorni=0,4*30=12. Quindi anni=3,45 sono 3anni, 5 mesi e 12 giorni. Esercizi sulla capitalizzazione semplice Primo livello 1. Calcola l interesse e il montante nei seguenti casi (nelle formula il tasso da utilizzare è sempre unitario, quindi il tasso del 5,32% diventerà, nella formula, 0,0532): a) C= 3.000; i=8%; t=2 anni. I = 3.000 0,08 2 = 480; M = 3. 480 6 b) C= 6.500; i=6,3%; t=1 anno, 6 mesi. I = 6.5000 0,063 1 + = 614,25; M = 7114, 25 12 5 13 c) C= 8.000; i=5,35%; t=2 anni, 5 mesi, 13 giorni. I = 8.000 0,0535 2 + + = 1.049,79; M = 9049, 79 12 360 8 d) C= 4.500; i 2 =3%; t=8 mesi. I = 4.500 0,03.2 = 180; M = 4. 680 12 Tasso periodale semestrale= 2 periodi in un anno e) C= 2.750; i 3 =2,7%; t=5 mesi e 10 giorni. 5 10 I = 2.750 0,027 + 3 = 99; M = 2. 849 12 360 f) C= 3.750; i 4 =2,7%; t=9 mesi e 25 giorni. 9 25 I = 3.750 0,027 + 4 = 331,88; M = 4.081, 88 12 360 2. Un capitale è stato impiegato al tasso di interesse annuo del 6% per 2 anni, 5 mesi, 16 giorni. Determina il capitale sapendo che l interesse semplice maturato è di 1.200. [C=8.126,41] 3. Un capitale è stato impiegato al tasso di interesse annuo del 4,25% per 1 anno, 7 mesi, 20 giorni. Determina il capitale sapendo che il montante è di 8.100. [C=7.572,55] 4. Il capitale di 5.000, in capitalizzazione semplice, dopo 8 mesi ha maturato un interesse di 150. Determina il tasso annuo applicato. [i=4,5%] 5. Il capitale di 5.000, in capitalizzazione semplice, dopo 7 mesi e 22 giorni ha maturato un montante di 5.161,11. Determina il tasso annuo applicato. [i=5%] 6. Il capitale di 6.500, in capitalizzazione semplice, dopo 9 mesi e 18 giorni ha maturato un montante di 6.812. Determina il tasso trimestrale applicato. [i 4 =1,5%] 7. Determina dopo quanto tempo il capitale di 7.000, impiegato al tasso di interesse semplice del 6,55%, ha maturato un interesse di 300. [t=0,6543=7m+26 g] 8. Determina dopo quanto tempo il capitale di 8.500, impiegato al tasso di interesse semplice del 4,5%, ha maturato un montante di 8.720. [t=0,5752=6 mesi+27g] 9. Rappresenta sul piano cartesiano il grafico dell interesse maturato su di un capitale di 4.000, al tasso annuo del 3%, al variare del tempo. Suggerimento: l interesse è direttamente proporzionale al tempo d impiego del capitale quindi il grafico è. 10. In riferimento all esercizio precedente rappresenta il montante al variare del tempo. Cosa noti di comune tra i due grafici? Secondo livello 1. Gli interessi semplici maturati in 9 mesi su un capitale di 1.200 ammontano ad oggi a 46. Sapendo che inizialmente il tasso di interesse semplice corrisposto ammontava al 4% annuo e che 4 mesi fa è stato aumentato, determinare il tasso di interesse applicato negli ultimi 4 mesi. [i=6,5%] 3

2. Tempo fa ho versato un capitale di 3200 al tasso del 7% annuo in capitalizzazione semplice presso un istituto di credito. Sei mesi fa ho versato altri 1500 e 4 mesi fa ho prelevato 2000. Determinare quando è stato effettuato il primo versamento, sapendo che oggi dispongo di 2855. [t=0,666 8 mesi fa] 3. Il capitale di 5.000 è stato depositato presso un istituto di credito. Il tasso di interesse semplice corrisposto, inizialmente del 2,5% annuo, dopo 3 mesi è stato portato allo 0,7% quadrimestrale. Calcolare gli interessi maturati e il montante dopo 9 mesi dalla data del deposito effettuato. [83,75; 5083,75] 4. Il capitale di 5.000 è stato impiegato per 4 mesi al tasso di interesse semplice del 4% annuo. Il montante ottenuto è stato poi reinvestito per 6 mesi al tasso del 5% annuo. Calcolare il montante finale e il tasso costante al quale si sarebbe dovuto impiegare lo stesso capitale per avere lo stesso montante. [5193,33; 4,64%] 5. Una persona ha versato in banca le seguenti somme: 3.000 8 mesi e 10 giorni fa, 5.000 6 mesi e 20 giorni fa, 2.500 4 mesi e 15 giorni fa. Quale montante ritira oggi se la banca corrisponde l interesse semplice al tasso del 3% annuo? [ 10.673,96 ] 6. Dieci mesi fa abbiamo versato, su un libretto al risparmio, un certo capitale al tasso annuo del 2% quadrimestrale; dopo 2 mesi abbiamo versato un capitale doppio del primo. Oggi ritiriamo il montante di 4.825. Calcolare l importo dei due versamenti. [1.541,54; 3.083,08] 7. Una parte di un capitale di 10.000 è stata impiegata al tasso di interesse semplice del 5% annuo, mentre la parte rimanente al tasso del 7%. Determinare l importo delle due parti di capitale, sapendo che dopo 8 mesi il montante complessivo risulta di 10.413,33. [ 4000; 6000 ] 8. Un certo capitale è stato impiegato ad interesse semplice per 4 mesi ad un certo tasso annuo e si è ricavato il montante di 1.648. Se fosse stato impiegato ad un tasso del 2% superiore al precedente e per un tempo di 6 mesi, il montante sarebbe stato di 1.688. Determinare il capitale e il tasso di interesse. [ 1600; 9% ] 9. Un anno fa ho impiegato 10.000 a interesse semplice al tasso annuo del 3,6%. Dopo un certo tempo il tasso è stato portato al 4% annuo. Sapendo che oggi dispongo di 10.385, trovare dopo quanto tempo è stato cambiato il tasso. [4 mesi e 15 giorni] 10. Nove mesi fa ho depositato in banca, al tasso di interesse semplice del 3,6% annuo, un capitale di 3.000. Dopo due mesi ho prelevato 2000 e dopo altri 3 mesi ho effettuato un nuovo versamento. Sapendo che gli interessi complessivamente maturati fino ad oggi ammontano a 68,40, determinare l importo del versamento effettuato quattro mesi fa. [2.450] 11. Dieci mesi fa ho depositato in banca, al tasso di interesse semplice del 4,5% annuo, la somma di 4.000. Dopo un certo tempo ho prelevato 2.600 e oggi dispongo del capitale di 1.517. Determinare quanti mesi fa ho effettuato il prelievo. [3 mesi e 12 giorni] 12. Nove mesi fa ho depositato 8.000 al tasso dello 0,75% trimestrale e alcuni mesi dopo ho prelevato la somma di 5.000. Sapendo che oggi dispongo di 3.126, determinare quando è stato effettuato il prelievo. [4 mesi e 10 giorni fa] 13. Undici mesi fa ho depositato in banca, al tasso annuo del 3%, un capitale di 6.000. Dopo 2 mesi ho prelevato 2500 e dopo altri 3 mesi ho effettuato un ulteriore versamento. Infine, 3 mesi fa ho prelevato 4.000. Determinare l importo del versamento effettuato sei mesi fa, sapendo che oggi gli interessi maturati ammontano a 116,25. [ 2.500] 4

Sconto commerciale Definizione. In un operazione di attualizzazione si applica lo sconto commerciale quando lo sconto Sc è direttamente proporzionale al valore nominale Vn del debito e al tempo t di anticipazione. Nota. Lo sconto commerciale, di norma, viene utilizzato in operazioni di sconto di breve durata (in genere non superiore all anno). Osservazione. Riproponendo il ragionamento fatto per la capitalizzazione semplice, possiamo dire: se lo sconto Sc è direttamente proporzionale al valore nominale Vn e al tempo t, allora Sc è direttamente Sc proporzionale al prodotto Vn t. In altre parole il rapporto è costante. La costante di proporzionalità V t rappresentata da questo rapporto si indica con d (anziché k) e viene chiamata tasso di sconto unitario. Definizione. In una operazione di sconto commerciale si chiama tasso di sconto unitario il rapporto Sc (costante) tra lo sconto applicato e il prodotto V n t. La formula è d = V t Osservazione. Il tasso di sconto unitario d rappresenta lo sconto applicato su un valore nominale di 1, pagato anticipatamente di una unità di tempo (infatti se nella formula sopra sostituisci 1 sia al valore nominale che al tempo, ottieni d=sc). Osservazione. Le formule più importanti per affrontare i problemi sullo sconto commerciale sono due: Sc = Vn d t e Sc = Vn Va. Da queste si ricava una terza formula, spesso utilizzata per risolvere i problemi: V V ( d t) a = 1. n Esercizi sullo sconto commerciale 1. Oggi saldo anticipatamente un debito di 4.500 con scadenza tra 8 mesi, scontato al tasso di sconto commerciale del 4,5% annuo. Determina lo sconto ottenuto e il valore attuale. [135] 2. Oggi, pagando 5.300, saldo anticipatamente un debito con scadenza tra 10 mesi. Sapendo che è stato applicato lo sconto commerciale al tasso di sconto del 4%, determina il valore nominale del debito. [5482,76] 3. Oggi, pagando 5.390, saldo anticipatamente un debito di 5.500 con scadenza tra 4 mesi. Sapendo che è stato applicato lo sconto commerciale, determina il tasso di sconto applicato. [6%] 4. Oggi, pagando 6.205, saldo anticipatamente un debito di 6.500. Sapendo che è stato applicato lo sconto commerciale al tasso di sconto del 5%, determina la scadenza futura del debito. [10m+28gg] 5. Con 9.941 pago anticipatamente tre debiti: il primo di 2.500 con scadenza tra 4 mesi, il secondo di 3.200 con scadenza tra 7 mesi e il terzo di 4.600 con scadenza tra 10 mesi. Determina lo sconto complessivo applicato e il tasso di sconto commerciale applicato ai tre debiti. [359; 5,5%] 6. Oggi ritiro il montante semplice di 3.000 depositati 10 mesi fa al tasso del 3,5% annuo e lo utilizzo per anticipare il pagamento di due debiti, il primo di 1.400 con scadenza fra 5 mesi e il secondo con scadenza fra 8 mesi. Sapendo che è stato applicato lo sconto commerciale al tasso di sconto del 3,5% annuo. Determina l importo del secondo debito. [1748,20] 7. Si hanno due debiti di 3.000 ciascuno, il primo scadente fra 2 mesi e il secondo fra 7 mesi. Si può saldare tutto oggi pagando 5.820. Determina il tasso annuo di sconto commerciale applicato. [8%] 8. Con 4.640 ho pagato anticipatamente due cambiali, una di importo 3.000 con scadenza fra un certo tempo e l'altra di 2.000 con scadenza 3 mesi dopo la prima. Determina le due scadenze supponendo che sia praticato uno sconto commerciale al tasso di sconto del 11% annuo. [6m+20gg; 9m+20gg] n n 5

Sconto razionale Lo sconto commerciale ha il vantaggio di essere facilmente calcolabile, noto il valore nominale del debito, ma manca di coerenza logica. Infatti per tempi sufficientemente lunghi potrebbe diventare uguale ( o superiore) al valore nominale e si arriverebbe all assurdo che il debitore non dovrebbe pagare nulla (o addirittura diventare creditore). Ad esempio, se si anticipasse un debito di 3.000 con scadenza fra 10 anni, al tasso di sconto del 10%, si avrebbe diritto ad uno sconto commerciale S = 3.000 0,1 10, il cui valore sarebbe esattamente di 3.000. In questo caso il debitore, anticipando il debito, non pagherebbe assolutamente nulla. Se il tempo di anticipazione fosse stato superiore il debitore avrebbe avuto diritto ad uno sconto addirittura superiore al valore del debito. Lo sconto razionale che si definisce ora, non presenta questa contraddizione. Definizione. In un operazione di sconto si applica lo sconto razionale se, fissato un tasso di interesse i, il valore nominale coincide con il montante semplice del valore attuale. La definizione scritta, tradotta in formula, diventa: V V ( + i t) n = 1. La formula appena scritta, assieme all altra del valore nominale: V = V + S, sono sufficienti per risolvere i problemi sullo sconto razionale, ma un altra formula molto utile che si ricava dalle precedenti è quella del V valore attuale: V = n a 1 + i t. Nota. Lo sconto razionale può essere pensato come l operazione inversa della capitalizzazione semplice: infatti il valore attuale del montante semplice (allo stesso tasso e per lo stesso tempo) mi restituisce il capitale. Infatti se un capitale C è dato in prestito, al tasso i per un tempo t, il suo montante semplice diventa C(1+it). Se questo montante viene attualizzato per lo stesso tempo e allo stesso tasso, con sconto M C(1 + it) razionale, allora si ottiene V a = = = C. Cioè il valore attuale del montante di C è ancora C. 1+ it 1+ it ( ) Questo ragionamento può essere schematizzato nel seguente modo: a n a c c C capitalizzazione attualizzazione M Esercizi sconto razionale 1. Oggi saldo anticipatamente un debito di 4.500 con scadenza tra 8 mesi, scontato razionalmente al tasso di interesse del 4,5% annuo. Determina il valore attuale e lo sconto ottenuto. [4368.93; 131,07] 2. Oggi, pagando 5.300, saldo anticipatamente un debito con scadenza tra 10 mesi. Sapendo che è stato applicato lo sconto razionale al tasso di interesse del 4%, determina il valore nominale del debito. [5476,67] 3. Oggi, pagando 5.390, saldo anticipatamente un debito di 5.500 con scadenza tra 4 mesi. Sapendo che è stato applicato lo sconto razionale, determina il tasso di interesse applicato. [6,12%] 4. Oggi, pagando 6.205, saldo anticipatamente un debito di 6.500. Sapendo che è stato applicato lo sconto razionale al tasso di interesse del 5%, determina la scadenza futura del debito. 6

[11m+12gg] 5. Oggi ritiro il montante semplice di 3.000 depositati 10 mesi fa al tasso del 3,5% annuo e lo utilizzo per anticipare il pagamento di due debiti, il primo di 1.400 con scadenza fra 5 mesi e il secondo con scadenza fra 8 mesi. Sapendo che è stato applicato lo sconto razionale al tasso di interesse del 3,5% annuo. Determina l importo del secondo debito. [1747,47] 6. Con la somma di 5.519 saldo anticipatamente due debiti, scontati razionalmente: il primo di 2.700 scadente tra 6 mesi al tasso del 5% annuo e il secondo di 3.000 scadente fra 8 mesi. Determina il tasso di interesse utilizzato per scontare il secondo debito. [6%] 7. Oggi anticipo il pagamento di due debiti, il primo con scadenza tra 1 anno e il secondo, di importo doppio del primo, con scadenza fra 1 anno e 6 mesi, ottenendo complessivamente uno sconto di 826. Determinare l importo dei due debiti sapendo che è stato applicato lo sconto razionale al tasso di interesse del 7,6%. [3.000] Capitalizzazione composta Definizione. In un operazione di prestito si applica la capitalizzazione composta, ad un tasso di interesse i, se gli interessi semplici maturati su ogni periodo (unità di tempo) si aggiungeranno al capitale e produrranno nuovi interessi nei periodi successivi. Cioè il montante semplice calcolato su un periodo diventerà il capitale su cui calcolare il montante semplice del periodo successivo. Definizione. La capitalizzazione composta si dice annua quando il periodo di capitalizzazione e il tasso di interesse sono annui. Se il tasso di riferimento è periodale allora la capitalizzazione si dice frazionata. Osservazione. Nella capitalizzazione composta la formula più importante è quella del montante. La sua formula si ottiene applicando la definizione. Vediamo un esempio. Supponiamo di investire un capitale C= 4.000, al tasso annuo del 5%, per 3 anni. Il tasso è annuo, quindi dovendo calcolare il montante semplice sul primo periodo (1 anno) si ha M 1 = C( 1+ i 1) = C( 1+ i). Alla fine del secondo anno il montante sarà ( 1+ i 1) = M ( ) ( ( )) ( ) 2 1 1+ i = C 1+ i) 1+ i = C i ( 1+ i 1) = M ( 1+ i) = C 1+ i) 2 ( 1+ i) = C i M = +. Alla fine del terzo anno il montante sarà: 2 M 1 1 ( ) ( ) 3 M = +. Eccetera. 3 M 2 2 1 Si intuisce che dopo un tempo t il montante sarà: La formula scritta contiene 4 variabili: M, C, i, t. ( i) t M = C 1 +. Come si ricava C?. Come si ricava i?. Come si ricava t?. Nota. Nel caso in cui l esercizio proposto faccia riferimento ad un tasso periodale i k si procederà come nella capitalizzazione semplice moltiplicando il tempo, espresso in anni, per. Quindi la formula della capitalizzazione composta frazionata (con tassi periodali) sarà: M = C 1 ( ) k + t i k 7

Esercizi capitalizzazione composta 1. Rappresenta, sul piano cartesiano, il grafico del montante in funzione del tempo, utilizzando un capitale di 2.000 e un tasso di interesse annuo del 5%. (Suggerimento: predisponi una tabella con due righe (o colonne); assegni al tempo alcuni valori e calcoli il montante corrispondente: tempo 0 1 2 3 4 5 montante Il grafico che ottieni non è una retta, infatti la formula che esprime il montante composto in funzione del tempo è una funzione. Il grafico allora è una curva. 2. Determina il montante composto nei seguenti casi: Capitale tempo tasso M 3.000 4 anni i=3,4% 5.000 6a+5m i=4,3% 6.500 3a+8m+20g i=3,8% 3.000 4 anni I 2 =3% 5.000 6a+5m i 3 =2,5% 6.500 3a+8m+20g i 4 =2% 3. Determina il capitale nei seguenti casi: Capitale tempo tasso M 4 anni i=3,4% 3.000 6a+5m i=4,3% 5.000 3a+8m+20g i=3,8% 6.500 4 anni I 2 =3% 3.000 6a+5m i 3 =2,5% 5.000 3a+8m+20g i 4 =2% 6.500 4. Determina il tasso di interesse nei seguenti casi: Capitale tempo tasso M 3.000 4 anni i= 3.646,52 5.000 6a+5m i= 6.631,82 6.500 3a+8m+20g i= 8.217,03 3.000 4 anni I 2 = 3.800,31 5.000 6a+5m i 3 = 8.042,75 6.500 3a+8m+20g i 4 = 9.009,00 5. Determina la durata del prestito nei seguenti casi: Capitale tempo tasso M 3.000 i=3,4% 3.500 5.000 i=4,3% 6.200 6.500 i=3,8% 8.500 3.000 I 2 =3% 3.500 5.000 i 3 =2,5% 8.200 6.500 i 4 =2% 8.900 6. Nove anni fa ho versato 8.000, dopo due anni ho versato altri 2.500 e tre anni fa ho prelevato una certa somma. Sapendo che il tasso applicato è stato del 3,5% composto e che oggi dispongo di 9.095, determinare l ammontare del prelievo effettuato tre anni fa. [4.499,68] 8

7. Sei anni fa ho versato 3.500 al tasso di interesse composto del 5,5% annuo, dopo un certo tempo il tasso è stato ridotto al 5% annuo. Determinare quando è avvenuto il cambiamento di tasso, sapendo che oggi dispongo di 4.800. [1a+1m+24g] 8. Cinque anni fa sono stati fatti i seguenti versamenti: 6.000 al tasso di interesse trimestrale del 2,42%; 3.500 al tasso di interesse annuo del 3,5%; 4.000 al tasso di interesse semestrale dell 1,7%. A quale tasso annuo si sarebbe dovuto investire il capitale complessivo per avere oggi lo stesso montante? [6,6%] 9. Monica ha registrato negli ultimi 10 anni i seguenti movimenti: un versamento iniziale di 3.100; un secondo versamento di 4.200 dopo 3 anni ed infine, dopo altri 3 anni un terzo versamento di 3.700. Il tasso di interesse composto inizialmente applicato dalla banca è stato modificato, dopo 4 anni dalla data del primo versamento, dal 3,5% annuale al 4% annuale. Calcolare il montante composto che Monica ha a disposizione oggi, al termine dei 10 anni. [14.329,97] 10. Otto anni e sei mesi fa ho depositato presso un istituto di credito che applica la capitalizzazione composta al tasso 3,5% annuale un capitale di 3.500. Dopo 1 anno e 3 mesi ho depositato un secondo capitale di importo triplo del primo e successivamente ho prelevato un terzo capitale pari alla metà del secondo. Sapendo che oggi dispongo di 12.140, determinare quanti anni fa è avvenuto il prelievo. [4 anni] 11. Su un libretto al risparmio, 10 anni fa ho versato 5.000; dopo 3 anni ho prelevato 3.000 ed infine, dopo altri 3 anni ho versato 4.000. Il tasso di interesse composto inizialmente applicato dalla banca è stato modificato, dopo 5 anni dalla data del primo versamento, dal 5% annuale al 4% annuale. Calcolare il montante composto che ho a disposizione oggi. [8.419,31] 12. Sette anni fa ho depositato in banca, al tasso composto del 4% annuo, un capitale di 30.000. Dopo 3 anni ho prelevato una somma che superava di 2.000 il versamento precedente. L anno successivo la banca ha ridotto il tasso sul deposito. Sapendo che oggi posso disporre di 2.013,16, determinare il nuovo tasso annuo applicato dalla banca. [3,5%] 13. Dieci anni fa ho depositato una certa somma di denaro. Dopo 3 anni ho depositato una seconda somma, pari alla precedente aumentata di 1.000. Dopo altri 3 anni verso una terza somma pari a 4.500. Calcolare l'importo del primo versamento sapendo che oggi dispongo di una somma complessiva di 50.436 e che tutte le operazioni sono state fatte al tasso composto del 8%. [11.000] 14. Su un deposito bancario sono state effettuate le seguenti operazioni: cinque anni fa un versamento di 8.000 ; tre anni fa un prelievo di 4.500. Sapendo che oggi dispongo del montante di 5.245,36 e che il tasso di interesse composto annuo applicato, inizialmente del 6%, è poi stato ridotto un anno fa, determinare il nuovo tasso di interesse applicato. [4%] 15. Dieci anni fa ho investito presso un istituto di credito la somma di 13.000 a interesse composto, al tasso annuo del 12%. Dopo 5 anni la banca ha diminuito il tasso al 10% annuo e dopo un certo tempo lo ha diminuito ancora portandolo all 8% annuo. Sapendo che oggi dispongo della somma di 34.920, determinare quando è stata effettuata l ultima riduzione del tasso. [3 anni fa] 16. Ho deciso di impiegare la somma di 2.300 per 2 anni e 8 mesi ad un certo tasso in regime di capitalizzazione composta. Alla scadenza ho reinvestito il montante ottenuto per un tempo di 3 9

anni e 9 mesi, al tasso composto del 7,15% e ho ritirato la somma di 3.580. Calcolare il tasso annuo applicato nel primo periodo di investimento. [7%] Tassi equivalenti e tassi convertibili Hai già studiato (e anche svolto degli esercizi) con tassi periodali (semestrali, trimestrali, ecc.). La domanda ora è la seguente: investo un capitale di 5.000 per 3 anni al tasso composto annuo del 6%; otterrei lo stesso montante se il tasso applicato fosse del 3% semestrale composto? Prova a svolgere i calcoli e a dare una risposta: Calcola il montante di 3.000 al tasso composto del 6% annuo per una durata di 3 anni e ottieni: M=. Calcola ora il montante in capitalizzazione composta frazionata (il tasso è del 3% semestrale e il tempo è espresso in. La formula da applicare diventa M=. I due montanti sono uguali?. Quindi un tasso del 6% non produce lo stesso montante di un tasso semestrale del 3%, se la capitalizzazione è composta. Diciamo allora che i due tassi in questione non sono equivalenti (perché producono montanti diversi). Possiamo allora, ragionevolmente, dare la seguente definizione. Definizione. Fissato un regime finanziario, due tassi di interesse periodali si dicono equivalenti se, applicati allo stesso capitale e per lo stesso tempo, producono montanti uguali. In particolare ci interessa scoprire il legame tra due tassi periodali equivalenti, in regime di capitalizzazione composta. Nel caso di tassi equivalenti, in base alla definizione data, il montante in capitalizzazione annua = C( 1 i) t coinciderà con quello in capitalizzazione frazionata ( ) k M C + i t k t ( ) ( ) k 1 + i = C 1+ i t t. Dividendo entrambi i membri per C si ottiene: ( ) ( ) k + i = 1+ i t M + C entrambi i membri ad 1/t si ottiene k ( + ) = ( 1 ) k 1 i + i k. Quest ultima formula rappresenta la relazione tra i tassi equivalenti. = 1, cioè 1, elevando poi È possibile, a seconda delle necessità, ricavare il tasso annuo i (noto il tasso frazionato o viceversa). Applicando il primo principio di equivalenza (sottraendo 1 ad entrambi i membri), otteniamo k ( 1+ ) 1 i =. Invece per ottenere il tasso frazionato si dovrà (dalla formula iniziale) elevare ad 1/k, poi sottrarre 1: i k k 1 = k k ( 1 + i) 1 i. Nota. Tutti gli esercizi sulla capitalizzazione composta frazionata possono essere trasformati in capitalizzazione composta annua, infatti con la formula i = ( 1+ ) 1 i k k è possibile trasformare un tasso frazionato in uno annuo equivalente. A volte, negli esercizi, viene fornito un tasso nominale J k che deve essere convertito in tasso effettivo 10

Definizione. Si chiama tasso nominale convertibile k volte all anno, che si indica con J k, il prodotto k ik. La definizione, espressa in formula è: j k = k i. k Negli esercizi si deve comunque utilizzare il tasso i k (detto effettivo), quindi il tasso nominale J k deve sempre j essere trasformato in effettivo con la formula (inversa): i = k k k. Esempio. Il tasso nominale j 3 del 6% è equivalente al tasso effettivo i 3 del 2%. 3 0,06 Infatti i 3 = j = = 0,02 = 2%. 3 3 Esercizi sui tassi equivalenti Completa la seguente tabella: i i 2 i 3 i 4 I 6 i 12 7% 5% 4% 3% 2% 1% Sconto composto Definizione. In una operazione di attualizzazione si applica lo sconto composto se, fissato un tasso di interesse, il valore nominale coincide col montante composto del valore attuale. V = V 1 + i. Traducendo la definizione in una formula otteniamo: ( ) t n a La formula più usata è quella inversa: V a V n = = Vn 1 t ( 1+ i) ( + i) t. Esercizi sconto composto 1. Oggi saldo anticipatamente un debito di 4.500 con scadenza tra 1 anno e 8 mesi, scontato al tasso di interesse composto del 4,5% annuo. Determina il valore attuale e lo sconto ottenuto. [4.181,69] 2. Oggi, pagando 5.300, saldo anticipatamente un debito con scadenza tra 2 anni e 10 mesi. Sapendo che è stato applicato lo sconto composto al tasso di interesse del 4%, determina il valore nominale del debito. [5.922,94] 3. Oggi, pagando 5.090, saldo anticipatamente un debito di 5.500 con scadenza tra 3 anni e 4 mesi e 12 giorni. Sapendo che è stato applicato lo sconto composto, determina il tasso di interesse annuo applicato. [2,3%] 4. Oggi, pagando 6.105, saldo anticipatamente un debito di 6.500. Sapendo che è stato applicato lo sconto composto al tasso di interesse del 5%, determina la scadenza futura del debito. [1a+3m+13g] 11

5. Oggi ritiro il montante composto di 3.000 depositati 1 anno e 10 mesi fa al tasso del 3,5% annuo e lo utilizzo per anticipare il pagamento di due debiti, il primo di 1.400 con scadenza fra 1 anno e 5 mesi e il secondo con scadenza fra1 anno e 8 mesi. Sapendo che è stato applicato lo sconto composto al tasso di interesse del 4% annuo. Determina l importo del secondo debito. [1997,36] 6. Con la somma di 5.120 saldo anticipatamente due debiti: il primo di 2.700 scadente tra 2 anni e 6 mesi al tasso del 5% annuo e il secondo di 3.000 scadente fra1 anno e 8 mesi. Determina il tasso di interesse utilizzato per scontare il secondo debito, sapendo che è stato applicato lo sconto composto. [5,8%] 7. Oggi pagando 9533,16 anticipo il pagamento di due debiti, il primo con scadenza tra 1 anno e il secondo, di importo doppio del primo, con scadenza fra 1 anno e 6 mesi. Determina l importo dei due debiti sapendo che è stato applicato lo sconto composto al tasso di interesse del 7,6%. [3.500, 7.000] Principio di equivalenza finanziaria Abbiamo definito le operazioni finanziarie come contratti nei quali si prevedono scambi di danaro in epoche diverse. Come regolare questi scambi di danaro in modo che le controparti possano ritenere equo il contratto? In altre parole quando un capitale C 1 al epoca t 1 è equo scambiarlo con un capitale C 2 all epoca t 2? La risposta è data dal seguente principio di equivalenza finanziaria. Definizione. Fissati un regime finanziario, un tasso di interesse e un epoca di riferimento, un capitale C1 esigibile all epoca t1 e un capitale C2 esigibile all epoca t2 si dicono finanziariamente equivalenti se coincidono i loro valori finanziari all epoca fissata. Esercizio. Verifica se il capitale di 5.000 esigibile fra 3 anni e il capitale di 5230 esigibile fra 5 anni e 6 mesi sono finanziariamente equivalenti, supponendo di fissare come epoca di riferimento oggi, come regime finanziario quello composto e come tasso di interesse il 4% annuo. Leggi scindibili Altro concetto importante riferito alle leggi finanziarie è il concetto di scindibilità. Definizione. Una legge di capitalizzazione è scindibile se il montante ottenuto sull intero periodo è uguale al montante ottenuto su una parte e poi ricapitalizzato per il tempo rimanente. Definizione. Una legge di attualizzazione è scindibile se il valore attuale ottenuto sull intero periodo è uguale al valore attuale ottenuto su una parte e poi riattualizzato per il tempo rimanente. In altre parole, se un operazione di prestito (o di attualizzazione) può essere spezzata in più passaggi, ottenendo lo stesso montante (o valore attuale) allora la legge finanziaria applicata è scindibile. Quali leggi finanziarie sono scindibili? Riflettendo su quanto studiato si capisce che: sono scindibili le leggi di capitalizzazione e di sconto composto; non sono scindibili le leggi di capitalizzazione e di sconto semplice. 12

Nota. La scindibilità offre un grande vantaggio nella risoluzione dei problemi: quando si applica il principio di equivalenza finanziaria, l epoca di riferimento nella quale valutare i capitali è arbitraria solo quando le leggi finanziarie sono scindibili. Esercizi sulla equivalenza finanziaria 1. Dovrò pagare 5.000 fra 1 anno, 1.950 fra 2 anni, 1.600 fra 7 anni e 4.500 fra 9 anni. Mi accordo col creditore di pagare l intero debito con un solo versamento fra 5 anni. Calcola la somma da versare al tasso annuo composto del 5%. [13.488,31] 2. Dovrò pagare 20.000 fra 7 anni e ottengo di estinguere il debito con due versamenti, di cui il primo pari ai 2/3 del secondo, rispettivamente fra 3 e 5 anni. Calcolare l importo dei due versamenti, applicando un tasso annuo composto del 7%. [6.604,70; 9907,05] 3. Per l acquisto di un automobile che costa 79.520, si ottiene di pagare 45.000 fra 3 anni e 50.000 fra 6 anni. A quale tasso di interesse composto è stata effettuata l operazione? [4%] 4. Un capitale di 23.000 è stato impiegato a interesse composto per 6 anni al tasso annuo del 7%. Dopo un anno il tasso è stato ridotto al 6,25% e dopo altri 2 anni aumentato al 6,8%. Qual è il tasso annuo medio, se nell ultimo anno il tasso applicato è stato aumentato al 7,2% annuo? [6,7%] 5. Ho diritto a riscuotere tre crediti: 5.000 tra 1 anno e 6 mesi, 7.000 tra 1 anno e 9 mesi, 4.500 fra un certo tempo. Accetto, in sostituzione, un unico pagamento di 17.255 fra 3 anni. Calcola la scadenza del terzo credito, applicando un tasso di interesse annuo nominale convertibile trimestralmente del 4%. [fra 2 anni e 6 mesi] Esercizi riepilogativi 1. Cinque anni fa una persona ha depositato presso una banca 10.000, 3 anni fa ha poi depositato altri 5.600 e 1 anno fa ha depositato 8.000. Decide di ritirare oggi una certa somma e una somma tripla fra tre anni in modo da estinguere il deposito. Determinare l importo delle due somme sapendo che il tasso di interesse quadrimestrale corrisposto è pari all 1,2%. [7.168,67; 21.506,01] 2. Ho investito per 11 anni un determinato capitale. Il tasso di interesse, inizialmente del 9% annuo nominale convertibile quadrimestralmente, dopo 2 anni è sceso al 2,8% quadrimestrale e poi, negli ultimi 3 anni, il tasso è stato del 7,5% annuo. Sapendo che il montante finale calcolato in capitalizzazione composta è di 18.288,84, calcola il capitale iniziale. [7.500] 3. Il valore attuale, con sconto razionale al tasso annuo del 2,4%, di due prestiti, il primo di 5.600 con scadenza fra 1 anno e 8 mesi e il secondo di 3.900 con scadenza fra 4 mesi, viene investito per 2 anni ottenendo un montante di 9.821,50. Determinare il tasso di interesse al quale si è effettuato l investimento. [3% annuo] 4. Oggi vengono pagati anticipatamente due debiti, il primo di 5.000 con scadenza fra 3 anni e 2 13

mesi e il secondo di 7.200 con scadenza tra 4 anni e 8 mesi, entrambi con sconto composto al tasso annuo del 2,5%. Investo la somma realizzata al tasso annuo nominale convertibile quadrimestralmente del 4,2%. Quale montante avrò fra 2 anni? [12.000,73] 5. Impiego la somma di 5.200 per 4 anni e 4 mesi al tasso semestrale del 4,5%. Oggi ritiro il montante accumulato e lo reinvesto per 2 anni e 9 mesi al tasso trimestrale del 2,05%. Determina il montante finale e il tasso di interesse effettivo a cui è stato impiegato il capitale. [9.519,65; 8,91%] 6. Dovrò pagare 1.000 fra 6 mesi, 2.000 fra 1 anno, 3.000 fra 1 anno e 6 mesi. Concordo col creditore di pagare oggi 4.000 e il resto fra 2 anni. Quale somma dovrò versare tra 2 anni, sapendo che il tasso applicato è stato dello 0,5% trimestrale? [1.937,93] 7. Dovrei pagare 5.000 fra 1 anno e 6 mesi, e 7.000 fra 1 anno e 9 mesi, 5.500 fra un certo tempo. Posso saldare il tutto in un unico pagamento di 18.000 fra 3 anni. Sapendo che è stato applicato un tasso annuo nominale convertibile trimestralmente del 4%, calcolare la scadenza del terzo debito. [3a+9m+14g] 8. Per l acquisto di un autovettura si hanno due possibilità di pagamento: 5.000 dopo 2 mesi dalla data di acquisto, 3.000 dopo 6 mesi e 3.000 dopo 1 anno; 8.000 al momento dell acquisto e il rimanente dopo 1 anno e 6 mesi. Sapendo che il tasso di interesse applicato è del 5% annuo composto, calcola la somma da versare a saldo se si scegliesse la seconda proposta. [2.952,73] 9. Ho acquistato un terreno del valore di 80.000. Il venditore propone tre ipotesi di pagamento: Il 30% del valore del terreno alla stipula del contratto, 30.000 dopo 1 anno e 27.000 dopo 2 anni; 50.000 alla stipula del contratto, 24.000 dopo 3 mesi e 28.000 dopo 6 mesi; 20.000 alla stipula del contratto, e 30.000 dopo 6 mesi e 30.600 dopo 1 anno. Qual è l ipotesi più conveniente? [i tassi applicati sono 1,2%; 2,79%; 1,33%; la più conveniente è la prima] 14

RENDITE FINANZIARIE Definizione. Una rendita è una successione di somme pagabili o esigibili a determinate scadenze. Esempi di rendite. Lo stipendio percepito da un lavoratore dipendente; l affitto di un appartamento; l acquisto di beni mediante pagamenti rateali, la pensione, ecc. Definiamo alcuni concetti che sono alla base dello studio delle rendite. Ciascuna somma che compone una rendita si chiama rata, il tempo che intercorre tra due rate è detto periodo, il numero delle rate è detto durata della rendita. Le rendite si classificano in base ad alcune caratteristiche: tipologia della rendita (finanziaria o vitalizia); rata; durata; periodo. Lo schema seguente sintetizza tutte le opzioni possibili: finanziaria o certa RENDITA: vitalizia o attuariale rata costante rata variabile temporanea illimitatata o perpetua annua frazionata poliennale immediata differita anticipata posticipata Le rendite si dicono finanziarie quando si suppone che le rate siano pagate e/o riscosse con certezza; vitalizie se il pagamento delle rate è subordinato a qualche evento legato alla vita o alla morte di una persona (assicurazioni). Le rendite sono a rata costante se tutte le rate hanno il medesimo importo. Le rendite sono temporanee se la durata (il numero delle rate) è finita (non infinita) ed è stata fissata. Le rendite sono annue se il periodo (il tempo che intercorre tra una rata e la successiva) è un anno; frazionate se il periodo è inferiore all anno (mensili, bimestrali, trimestrali, quadrimestrali, semestrali); poliennali se il periodo è formato da più anni. Gli altri concetti saranno chiariti in seguito. Osservazione. Non studieremo le rendite vitalizie, a rata variabile (tranne casi molto semplici di rate variabili), poliennali. Il primo e più importante problema che riguarda una rendita è la determinazione del suo valore finanziario ad una certa epoca determinata (all epoca della prima rata, o prima; all epoca dell ultima rata o successivamente). Tale valore lo applicheremo usando le leggi della capitalizzazione composta e dello sconto composto. Definizione. Il valore finanziario di una rendita calcolato all epoca dell ultima rata o in un epoca successiva si chiama montante. Il montante in una certa epoca si ottiene, quindi, sommando i montanti delle singole rate (in capitalizzazione composta) già pagate (o riscosse). 15

Definizione. Il valore finanziario di una rendita calcolato all epoca della prima rata o in un epoca precedente si chiama valore attuale. Il valore attuale, in una certa epoca, si ottiene, quindi, sommando i valori attuali delle singole rate (con sconto composto) ancora da pagare (o da riscuotere). CALCOLO DEL MONTANTE DI UNA RENDITA A RATA COSTANTE, ANNUA, TEMPORANEA, POSTICIPATA Definizione. Il montante di una rendita all epoca del pagamento (o riscossione) dell ultima rata viene detto posticipato. In questo caso anche la rendita viene detta posticipata. Esempio. Calcola il montante di una rendita formata da 5 rate annue, ciascuna da 800, all atto dell ultimo versamento, al tasso annuo del 4% composto. Soluzione. Rappresenta sulla linea del tempo i dati del problema: Il montante M sarà la somma dei montanti di ciascuna rata. L ultima rata, essendo pagata (o riscossa) all epoca in cui si calcola il montante, non dovrà essere capitalizzata, la penultima dovrà essere capitalizzata per 1 anno, la terzultima per 2 anni, la seconda per 3 anni e la prima per 4 anni. Quindi il montante sarà: M ( 1,04 ) 1 + R ( 1,04) 2 + R ( 1,04) 3 + ( 1, 04 ) 4 = R + R R =. Come sarebbe l impostazione nel caso in cui il numero delle rate fosse 8? M=. Come sarebbe l impostazione nel caso in cui le rate fossero 15? M=. E nel caso in cui fossero in un numero non precisato n e il tasso i non fosse precisato?. Osservazione. Si capisce immediatamente come il calcolo del montante sia lungo e noioso quando il numero delle rate è superiore a poche unità. Si rende necessaria scoprire una formula più comoda da utilizzare per calcolare il montante, qualunque sia il numero n delle rate. Teorema. Il montante posticipato di una rendita costituita da n rate costanti annue, ciascuna di importo R, valutato in regime di capitalizzazione composta, al tasso annuo i, è dato da: M = R ( + i) n 1 1 i Dimostrazione: Hai scritto prima che il montante è la somma dei montanti delle singole rate: M = R + R 1 2 3 n 2 n 1 ( 1+ i) + R ( 1+ i) + R ( 1+ i) +... + R ( 1+ i) + R ( 1+ i). Moltiplicando primo e secondo membro per (1+i) ottieni: 16

( + i) = M 1. Sottrai, membro a membro, questa uguaglianza a quella sopra e ottieni: ( + i) M = M 1. n Cioè: M + M i M = R ( 1 + i) R. Semplificando si ottiene la formula M i = R ( + i) R n 1 e infine M ( + i) 1 1 = R. i n Esempio. Calcola oggi il valore di una rendita costituita da 15 rate annue ciascuna da 900, l ultima versata oggi, al tasso annuo del 4,5% composto. M=. CALCOLO DEL MONTANTE DI UNA RENDITA A RATA COSTANTE, ANNUA, TEMPORANEA, ANTICIPATA Definizione. Il montante di una rendita (annua) un anno dopo il pagamento (o riscossione) dell ultima rata viene detto anticipato. In questo caso anche la rendita viene detta anticipata. Osservazione. Rispetto al montante posticipato, in questo caso ogni rata viene capitalizzata un anno in più, quindi il montante anticipato sarà quello posticipato ricapitalizzato di un altro anno. Teorema. Il montante anticipato di una rendita costituita da n rate costanti annue, ciascuna di importo R, valutato in regime di capitalizzazione composta, al tasso annuo i, è dato da: M ( 1+ i) 1 = R 1 i n ( + i). Esempio. Calcola oggi il valore di una rendita costituita da 25 rate annue ciascuna da 900, l ultima versata un anno fa, al tasso annuo del 3,5% composto. M=. CALCOLO DEL MONTANTE DI UNA RENDITA A RATA COSTANTE, ANNUA, TEMPORANEA, p ANNI DOPO L ULTIMA RATA Osservazione. Rispetto al montante posticipato, in questo caso ogni rata viene capitalizzata per p anni in più, quindi il montante sarà quello posticipato ricapitalizzato di altri p anni. Teorema. Il montante di una rendita costituita da n rate costanti annue, ciascuna di importo R, valutato in regime di capitalizzazione composta, al tasso annuo i, p anni dopo l ultima rata è dato da: ( 1+ i) 1 M = R 1+ i n ( i) p Esempio. Calcola oggi il valore di una rendita costituita da 10 rate annue ciascuna da 900, l ultima versata 2 anni, 10 mesi e 19 giorni fa, al tasso annuo del 4% composto. M=.. 17

CALCOLO DEL VALORE ATTUALE DI UNA RENDITA A RATA COSTANTE, ANNUA, TEMPORANEA, POSTICIPATA Definizione. Il valore attuale di una rendita un anno prima del pagamento (o riscossione) della prima rata viene detto posticipato. In questo caso anche la rendita viene detta posticipata. Teorema. Il valore attuale posticipato di una rendita costituita da n rate costanti annue, ciascuna di importo R, valutato in regime di capitalizzazione composta, al tasso annuo i, è dato da: V a 1 = R ( 1+ i) i n. Dimostrazione. Per il calcolo del valore attuale della rendita è sufficiente attualizzare il montante posticipato (di cui conosciamo già la formula) esattamente per n anni: V a ( 1+ i) n ( 1 i) n 1 n 1 + = M ( 1 + i) = R ( 1+ i) = R. i i n Esempio. Calcola il valore di una rendita costituita da 15 rate annue ciascuna da 900, un anno prima del versamento della prima rata, al tasso annuo del 4,5% composto. V a =. CALCOLO DEL VALORE ATTUALE DI UNA RENDITA A RATA COSTANTE, ANNUA, TEMPORANEA, ANTICIPATA Definizione. Il valore attuale di una rendita all epoca del pagamento (o riscossione) della prima rata viene detto anticipato. In questo caso anche la rendita viene detta anticipata. Teorema. Il valore attuale anticipato di una rendita costituita da n rate costanti annue, ciascuna di importo R, valutato in regime di capitalizzazione composta, al tasso annuo i, è dato da: ( 1+ i) n 1 Va = R + i ( 1 i) Dimostrazione. In questo caso il valore attuale anticipato è calcolato un anno prima di quello posticipato, quindi è sufficiente capitalizzare per un anno quello posticipato. Esempio. Calcola il valore di una rendita costituita da 15 rate annue ciascuna da 900, nel momento del versamento della prima rata, al tasso annuo del 4,5% composto. V a =.. 18

CALCOLO DEL VALORE ATTUALE DI UNA RENDITA A RATA COSTANTE, ANNUA, TEMPORANEA, p ANNI PRIMA DELLA PRIMA Definizione. Il valore attuale di una rendita p anni prima del pagamento (o riscossione) della prima rata viene detto anticipato e differito. In questo caso anche la rendita viene detta anticipata e differita. Teorema. Il valore attuale anticipato e differito di p anni di una rendita costituita da n rate costanti annue, ciascuna di importo R, valutato in regime di capitalizzazione composta, al tasso annuo i, è dato da: V a ( 1+ i) n 1 = R 1 i ( 1+ i) ( + i) p. Dimostrazione. In questo caso il valore attuale anticipato è calcolato p anni prima di quello anticipato, quindi è sufficiente attualizzare per p anni quello anticipato. Esempio. Calcola il valore di una rendita costituita da 25 rate annue ciascuna da 900, 2 anni 3 mesi e 10 giorni prima del versamento della prima, al tasso annuo del 4% composto. V a =. Nota. Cosa si intenderà per valore attuale differito e posticipato? RENDITE ILLIMITATE O PERPETUE Definizione. Una rendita illimitata è costituita da un numero infinito di rate. Osservazione. Una rendita illimitata non possiede l ultima rata, quindi non è possibile calcolarne il montante. Teorema. Il valore attuale di una rendita annua posticipata, illimitata, a rata costante è dato da : R V a = i Esempio. Calcola il valore di una rendita annua perpetua, un anno prima del versamento della prima, al tasso annuo del 5% composto. V a =. Teorema. Il valore attuale di una rendita annua anticipata, illimitata, a rata costante è dato da : R V a = 1 + i ( i) Esempio. Calcola il valore di una rendita annua perpetua, nel momento del versamento della prima, al tasso annuo del 5% composto. Va=. Esercizio. Scrivi la formula del valore attuale di una rendita annua, illimitata, p anni prima della prima.. 19

RENDITE FRAZIONATE Osservazione. Quanto visto per le rendite annue è trasferibile immediatamente alle rendite frazionate con queste avvertenze: il tasso da utilizzare nelle formule non sarà quello annuale ma quello frazionato (se viene fornito quello annuo sarà necessario convertirlo in quello frazionato equivalente); nelle definizione date si dovrà sostituire la parola anno con la parola periodo (inteso a seconda dei casi: semestre, quadrimestre, trimestre, ecc.), con particolare riguardo al calcolo del valore attuale. Esercizio. Calcola il montante di una rendita costituita da 18 rate trimestrali, ciascuna di 2.000, dopo 1 anno e 6 mesi dal versamento dell ultima, al tasso annuo del 7%. Soluzione. La rendita è frazionata (trimestrale), quindi è necessario utilizzare un tasso trimestrale equivalente a quello annuo. Calcolalo:. Poi dovrai applicare la formula del montante p trimestri dopo l ultima rata. M=. Esercizio. Calcola il valore attuale di una rendita costituita da 12 rate quadrimestrali, ciascuna di 2.500, 2 anni, 5 mesi e 20 giorni prima del versamento della prima, al tasso annuo del 6%. Soluzione. La rendita è frazionata (quadrimestrale), quindi è necessario utilizzare un tasso quadrimestrale equivalente a quello annuo. Calcolalo:. Poi dovrai applicare la formula del valore attuale p quadrimestri prima della prima rata. Va=. Esercizi riepilogativi. 1. Calcola, oggi, il montante delle seguenti rendite, al tasso annuo del 5% composto: a) 10 rate annue, ciascuna da 2.500, l ultima versata oggi; b) 12 rate annue, ciascuna da 1.500, l ultima versata un anno fa; c) 20 rate annue, ciascuna da 3.500, l ultima versata 3 anni fa; d) 15 rate annue, ciascuna da 500, l ultima versata 2 anni, 5 mesi e 18 giorni fa; e) 12 rate semestrali, ciascuna da 2.500, l ultima versata oggi; f) 18 rate bimestrali, ciascuna da 500, l ultima versata 1 anno fa; g) 40 rate trimestrali, ciascuna da 1.500, l ultima versata 1 anno e 7 mesi fa; h) 24 rate quadrimestrali, ciascuna da 2.500, l ultima versata 2 anni, 8 mesi e 10 giorni fa. 2. Calcola, oggi, il valore attuale delle seguenti rendite, al tasso annuo del 5% composto: a) 10 rate annue, ciascuna da 2.500, la prima versata oggi; b) 12 rate annue, ciascuna da 1.500, la prima verrà versata fra un anno; c) 20 rate annue, ciascuna da 3.500, la prima verrà versata fra 3 anni; d) 15 rate annue, ciascuna da 500, la prima verrà versata fra 2 anni, 5 mesi e 18 giorni; e) 12 rate semestrali, ciascuna da 2.500, la prima verrà versata oggi; f) 18 rate bimestrali, ciascuna da 500, la prima verrà versata fra 1 anno; g) 40 rate trimestrali, ciascuna da 1.500, la prima verrà versata fra 1 anno e 7 mesi; h) 24 rate quadrimestrali, ciascuna da 2.500, la prima verrà versata fra 2 anni, 8 mesi e 10 giorni. 20