Associazione Italiana per l Analisi delle Sollecitazioni (AIAS) XXXI Convegno Nazionale 18-21 Settembre 2002, Parma (non scrivere in questo riquadro) (do not write inside this box) ANALISI NUMERICA DEL COMPORTAMENTO NON LINEARE DI STRUTTURE MURARIE A. Caporale e R. Luciano Dipartimento di Ingegneria Meccanica, Strutture, Ambiente e Territorio, Università di Cassino, via G. di Biasio 43 03043, Cassino, e-mail: luciano@unicas.it In questo lavoro si affronta il problema della determinazione della risposta non lineare di strutture realizzate in muratura. Tale materiale è caratterizzato da una resistenza a trazione diversa da quella a compressione, inoltre, superata la tensione critica, esso presenta un decremento graduale della resistenza meccanica che è denominato softening. Molti modelli sono stati proposti in letteratura per schematizzare il comportamento costitutivo della muratura, essi si dividono in fenomenologici e micromeccanici. I primi tengono conto delle sole prove sperimentali mentre i secondi utilizzano anche i dati geometrici e costitutivi della reale microstruttura del materiale. In questo lavoro è stato utilizzato un modello fenomenologico di danno non isotropo per schematizzare il comportamento non lineare della muratura. Nelle applicazioni numeriche, sviluppate utilizzando un codice di calcolo disponibile in commercio, sono state analizzate due strutture murarie. La prima è un arco in muratura che costituisce l elemento ripetitivo di un colonnato appartenente ad un edificio storico ad Atina (Fr). La seconda è un portale caratterizzato da due piedritti di grosse dimensioni. Per le due strutture è stato determinato l andamento carico spostamento che è caratterizzato, in entrambi i casi, da un valore limite del carico cui corrisponde il collasso dell intera struttura. Inoltre, la procedura numerica utilizzata nelle applicazioni ha consentito di individuare sia i meccanismi di collasso caratterizzati dalla formazione di cerniere sia possibili rami di equilibrio caratterizzati da meccanismi di collasso alternativi. I risultati mostrano che il comportamento post critico delle strutture è influenzato dal fenomeno della localizzazione della deformazione che rende la soluzione numerica, ottenuta con la tecnica degli elementi finiti, dipendente dalla mesh adoperata e dai parametri di controllo utilizzati nell arc-length.
1. INTRODUZIONE La modellazione della risposta globale di elementi murari richiede sia un efficiente schematizzazione del legame costitutivo della muratura sia algoritmi di calcolo capaci di riprodurre numericamente la risposta globale dell intera struttura. Nell'ambito dei modelli costitutivi utilizzati per schematizzare la risposta lineare e non lineare della muratura è possibile distinguere due differenti tipologie di modelli: i modelli a blocchi e i modelli continui. I primi sono utilizzati per l analisi di strutture monumentali realizzate da blocchi sovrapposti con interposti giunti di malta. In molti articoli disponibili in letteratura (e.g. [1] e [2]), l analisi è sviluppata schematizzando i blocchi con corpi rigidi o elastici lineari, e il comportamento costitutivo delle superfici d interfaccia con un modello di attrito alla Coulomb. Lo studio di strutture a blocchi è stato sviluppato adottando sia approcci analitici semplificati [2] sia tecniche numeriche quali il metodo degli elementi finiti [1]. L'analisi statica o dinamica di elementi murari conduce ad un problema numerico di grandi dimensioni poiché la discretizzazione dei giunti di malta richiede una mesh con un numero elevato di gradi di libertà. Per ridurre lo sforzo computazionale è possibile considerare la muratura omogenea e continua. Fra i modelli continui più adoperati vi è il materiale non resistente a trazione che schematizza la muratura come un materiale indefinitamente elastico a compressione e incapace di sopportare tensioni di trazione. Il materiale non resistente a trazione è stato proposto da Heyman [3] che formulò i teoremi dell'analisi limite per le strutture murarie. La principale ipotesi è che la resistenza a trazione della muratura è trascurabile rispetto alla resistenza a compressione e, quindi, il collasso è generalmente raggiunto a causa delle sole fratture generate da sforzi di trazione. Nelle ultime due decadi il materiale non resistente a trazione è stato oggetto di studio per molti ricercatori specialmente in Italia [4]. Nell ambito dei modelli continui ricadono i modelli micromeccanici che considerano la muratura come un composito realizzato da mattoni distribuiti in maniera regolare nella malta. In linea con tale approccio, alcune tecniche di omogeneizzazione sono state usate alla scopo di valutare la relazione costitutiva globale della muratura. Per esempio, i moduli elastici non lineari di una muratura regolare sono stati derivati da Luciano e Sacco partendo dalle proprietà costitutive e geometriche dei mattoni e della malta [5]. In accordo con i risultati sperimentali, la maggior parte dei modelli costitutivi disponibili in letteratura per la muratura sono caratterizzati da un ramo di softening. Il softening rappresenta un graduale decremento della resistenza meccanica ed è caratteristico dei cosiddetti materiali fragili quali i mattoni, la malta, le ceramiche, le rocce e il calcestruzzo [6]. Tale comportamento costitutivo conduce al fenomeno della localizzazione della deformazione che agisce come precursore al collasso globale della struttura. A secondo del materiale studiato, le dimensioni di scala della localizzazione variano: pochi millimetri per i metalli, pochi centimetri per la muratura e diversi metri nelle rocce. Per comprendere gli effetti di tale fenomeno nelle strutture murarie, in questo lavoro, si analizzano due archi murari: uno a tutto sesto ed uno trionfale. Nelle applicazioni numeriche è utilizzato un modello di danno brutale non isotropo che consente di simulare efficacemente la bassa resistenza a trazione della muratura o della sola malta. Le analisi sono state condotte utilizzando il metodo dell arc-length [7] che, per differenti mesh e differenti parametri costitutivi, ha permesso di ottenere la risposta globale dei due archi. In particolare, la metodologia utilizzata consente di valutare il carico ultimo con buona approssimazione rispetto a quello ottenuto applicando i teoremi
dell analisi limite [3] e di comprendere quale sia la dipendenza del comportamento globale post-critico della struttura dalla mesh utilizzata. Di fatto, il metodo dell arclength può intercettare percorsi di equilibrio instabili della struttura che corrispondono a meccanismi di collasso alternativi a quello caratterizzato dalla formazione di sole cerniere. In questi casi, il metodo è incapace di valutare accuratamente il carico ultimo che dipende, quindi, dalla mesh e dai parametri dell arc-length utilizzati nell analisi. Lo schema del lavoro è il seguente. Nel paragrafo 2 si presenta il modello di danno utilizzato negli esempi. Nel paragrafo 3 sono riportate alcune applicazioni numeriche relative a due archi in muratura. Il primo è l elemento ripetitivo di un colonnato di un edificio storico ad Atina (Fr). Il secondo è l arco trionfale della chiesa di Sant Ippolisto in provincia di Avellino (vedi [8]). Nel primo caso è stato utilizzato un modello a blocchi e giunti di malta che tiene conto dell esatta distribuzione dei costituenti la muratura, mentre nel secondo è stato adoperato un modello continuo in cui non si distingue la malta dai mattoni. Per entrambe le strutture è stata determinata la risposta carico-spostamento al variare della mesh e dei parametri di controllo dell arc-length. 2. MODELLO DI DANNO In questa sezione si presenta il modello di danno utilizzato nelle applicazioni numeriche per schematizzare il comportamento costitutivo della muratura. Tale modello presenta una superficie limite caratterizzata da un criterio di rottura dovuto ad uno stato pluriassiale di tensione. In particolare, la superficie di rottura è esprimibile in termini della tensioni principali e della resistenza monoassiale ultima a trazione f t e a compressione f c. Nel caso di tensioni principali tutte positive, il criterio di rottura è quello della massima tensione ammissibile ovvero di Rankine, mentre nell ottante negativo dello spazio delle tensioni principali si utilizza un criterio analogo a quello utilizzato in [9]. Nel caso di stato piano di tensione (i.e. una delle tensioni principaliσ zp, è nulla), in figura 1 è riportata la superficie critica. Nella stessa figura è riportata la variazione della superficie limite per valori positivi o negativi della tensione principale σ zp. Inoltre, il modello prevede la rottura per schiacciamento solo se tutte le tensioni principali sono di compressione; in questo caso, il materiale, perdendo la sua integrità, presenta una risposta costitutiva nulla. Corrispondentemente ai valori limiti dello stato tensionale si innescano meccanismi di frattura. In particolare, se consideriamo stati di tensione appartenenti all ottante positivo, le fratture s innescano nei piani perpendicolari alle direzioni principali di trazione.
Fig. 1 Superficie di rottura Si è assunto il seguente legame tensioni-deformazioni per un materiale fratturato lungo la direzione 1: C C C C C C C C C C C C C C C C C C C 1111 1122 1133 1112 1113 1123 2211 2222 2233 2212 2213 2223 3311 3322 3333 3312 3313 3323 = C1211 C1222 C1233 C1212 C1213 C1223 C C C C C C C C C C C C 1311 1322 1333 1312 1313 1323 2311 2322 2333 2312 2313 2323 0 0 0 0 0 0 1 ν 0 0 0 1 ν 1 ν ν 1 E 0 0 0 0 = 1 ν 1 ν 1+ ν 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 2 dove E e ν sono il modulo di Young e il coefficiente di Poisson della muratura in fase elastica. Si nota che il materiale non è capace di trasmettere tutte le tensioni di puro taglio e si ha tensione normale nulla nella direzione ortogonale al piano di frattura. Nel caso che la frattura si chiuda, il modello utilizza il seguente tensore elastico danneggiato: C = E ( 1+ ν)( 1 2ν) 1 ν ν ν 0 0 0 ν 1 ν ν 0 0 0 ν ν 1 ν 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2ν 0 0 0 0 0 2
Si nota che, in questo caso, il materiale riesce a trasmettere nuovamente la compressione normale al piano di frattura. In analogia ai casi precedenti, se il materiale si è fratturato in due direzioni, la matrice elastica incrementale del materiale è la seguente: 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 C = E 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 mentre se entrambe le fratture si chiudono, la legge costitutiva del materiale diviene: 3. APPLICAZIONI NUMERICHE 1 ν ν ν 0 0 0 ν 1 ν ν 0 0 0 E ν ν 1 ν 0 0 0 C = ( 1+ ν)( 1 2ν) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Il modello di danno descritto precedentemente è implementato in uno dei codici di calcolo agli elementi finiti disponibili in commercio, che è stato adoperato per sviluppare gli esempi numerici riportati in questo paragrafo. Nel seguito si presentano le analisi condotte su due archi reali: il primo (arco a blocchi) appartiene ad un edificio in Atina (Frosinone) e il secondo (arco trionfale) è uno degli elementi strutturali di una chiesa in provincia d Avellino. 3.1 Arco a blocchi Il primo arco è rappresentato in figura 2, esso è realizzato da blocchi le cui proprietà meccaniche sono: modulo elastico E=40000 N/mm 2, modulo di Poisson ν=0.2, resistenza a compressione f c =60 N/mm 2. L arco ha uno spessore di 300 mm nella direzione ortogonale al piano del prospetto ed ha una densità di 2.31 10-6 kgmassa/mm 3. La figura 2 mostra la geometria dell arco e la posizione della forza F di cui, in [10], è determinato il valore sperimentale F c che provoca il collasso strutturale. I risultati sperimentali hanno mostrato che i blocchi, grazie alla loro elevata resistenza, non subiscono alcun danno durante tutto il processo di carico e che il collasso è causato da un meccanismo con formazione di sole cerniere. Il carico F c può essere individuato anche per via analitica applicando il teorema cinematico alla struttura considerata costituita da blocchi rigidi ed utilizzando, come cinematismi di collasso, quelli con sole cerniere. Il carico F c, ottenuto con un semplice codice di calcolo [11], è pari a 1910 N ed approssima bene quello sperimentale pari a circa 2000 N. In questo caso, il valore del carico di collasso non è influenzato dalle proprietà meccaniche del materiale ed è funzione unicamente della geometria del problema e del peso dei blocchi.
Nel seguito sono riportati i risultati dell analisi numerica sviluppata utilizzando come geometria del modello agli elementi finiti dell arco quella rappresentata in figura 3. Il comportamento dei soli giunti di malta è schematizzato con la legge costitutiva di danno presentata nel paragrafo 2 ed adottando un valore della resistenza a trazione f t pari a 0.01 N/mm 2. L intera struttura è stata modellata con 1330 esaedri a otto nodi. F 8 R 65.55 16 131,1 16 Misure in centimetri Fig. 2 Prospetto frontale dell arco Fig. 3 Discretizzazione dell arco Una prima analisi evidenzia la formazione di fratture parallele e perpendicolari alle giaciture degli strati sottili: le prime possono determinare la formazione di cerniere sugli spigoli all intradosso o all estradosso dei blocchi, le seconde causano solo scorrimenti relativi tra i blocchi. Poiché gli scorrimenti non possono manifestarsi a causa dell'attrito fra i blocchi, è stata eseguita una seconda analisi impedendo tali scorrimenti. La figura 4 riporta l andamento del carico F in funzione dello spostamento verticale del suo punto di applicazione. Nel primo tratto della curva, si formano e si propagano le fratture negli strati sottili; nell ultimo, a pendenza quasi nulla, s innesca ed evolve il meccanismo di collasso. E importante notare che, in figura 4, lo spostamento corrispondente a F pari a zero è relativo all abbassamento causato dall applicazione del solo peso proprio. La figura 5 presenta la deformata della struttura corrispondente ad un punto del ramo suborizzontale del grafico in figura 4: si notano le quattro cerniere, che caratterizzano il meccanismo. 2.5E+03 2.0E+03 F (N) 1.5E+03 1.0E+03 5.0E+02 0.0E+00 0.0E+00 5.0E-03 1.0E-02 1.5E-02 2.0E-02 2.5E-02 3.0E-02 3.5E-02 4.0E-02 4.5E-02 s (mm) Fig. 4 Diagramma carico spostamento
In figura 6 sono rappresentati i vettori delle tensioni principali corrispondenti alla deformata di figura 5: si nota l elevata compressione in prossimità delle cerniere e la formazione dei puntoni all interno dei blocchi. Fig. 5 Deformata dovuta al meccanismo Fig. 6 Tensioni principali 3.2 Arco trionfale della chiesa di Sant Ippolisto Come seconda applicazione è stato studiato il comportamento sismico dell arco trionfale della chiesa di Sant Ippolisto Martire ad Atripalda (Avellino). La figura 7 illustra il prospetto frontale del portale; lo spessore sp in direzione perpendicolare al prospetto stesso varia tra 1 m ed 1.2 m. In figura 8 è rappresentato lo schema dei carichi agenti sull estradosso del portale dovuti al peso della struttura di copertura della chiesa. 11,6 q 3,2 1,9 P F F F F 14,8 5 11,6 5 Misure in metri Fig. 7 Prospetto frontale del portale R (risultante del carico distribuito q) = 98340 N F = 283900 N Fig. 8 Schema dei carichi di copertura Nel seguito si presentano i risultati ottenuti adoperando diversi modelli agli elementi finiti; il primo modello utilizzato è costituito da 736 esaedri a otto nodi di materiale omogeneo ed isotropo avente le seguenti proprietà meccaniche: modulo elastico E=1000 N/mm 2, modulo di Poisson ν=0.2, resistenza a trazione f t = 0.5 N/mm 2, resistenza a compressione f c = 6 N/mm 2 ; il modello di danno utilizzato è quello descritto nel paragrafo 2. La densità è pari a 1.7 10-6 kg-massa/mm 3 e lo spessore sp è assunto pari a 115.5 mm. In particolare, è condotta un analisi statica incrementale definita da due passi di carico. Nel primo è applicato il peso proprio del portale e gli scarichi di copertura illustrati in figura 8; nel secondo sono aggiunte le forze statiche equivalenti al sisma, definite imponendo alle masse del portale e a quelle concentrate degli scarichi di copertura,
l accelerazione orizzontale s. In entrambi i passi di carico viene utilizzato come algoritmo di controllo della soluzione l arc-length. Detta g l accelerazione di gravità terrestre, il diagramma di figura 9 mostra l andamento della quantità s/g in funzione dello spostamento orizzontale del punto P (vedi figura 7). 0,24 0,20 0,16 s/g 0,12 0,08 0,04 0,00 0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0 12,0 14,0 16,0 Spostamento orizzontale di P (cm) Fig. 9 Diagrammi s/g-spostamento Nel diagramma si distingue la curva di carico da quella di scarico, che in prossimità dell origine ha un inclinazione inferiore rispetto alla prima. Nel tratto iniziale della curva di carico la struttura si comporta elasticamente fino ad un valore dell accelerazione s di circa 0.09g. Dopo tale valore si cominciano a formare fratture ai piedi dei ritti e alle reni dell arco. Le figure 10 e 11 presentano la posizione e l orientamento dei piani di frattura relativi ad un valore dell accelerazione s pari a 0.18g e 0.21g, rispettivamente. I piani di frattura che si formano per primi (di colore rosso) formano delle cerniere in punti non appartenenti all intradosso o all estradosso del portale e provocano un campo di spostamenti simile a quello dell arco a blocchi analizzato nel paragrafo precedente. La figura 12 presenta, sulla struttura deformata, i vettori della deformazione totale corrispondente all accelerazione ultima s=0.21g. Fig. 10 Piani di frattura per s=0.18g Fig. 11 Piani di frattura per s=0.21g
Inoltre in figura 13 vengono mostrati i vettori delle tensioni principali corrispondenti all accelerazione ultima; si nota che si hanno valori della compressione elevati in corrispondenza delle cerniere e nulli nelle zone fratturate. Fig. 12 Deformazioni totali Fig. 13 Tensioni principali Prima che le cerniere raggiungano l intradosso o l estradosso del portale, formando il meccanismo tipico degli archi a blocchi rigidi, si creano e si propagano delle fratture (di colore verde) ortogonali alle precedenti (vedi figure 10 e 11), che provocano meccanismi alternativi di scorrimento. In particolare, il percorso di scarico mostrato in fig. 9 non è imposto ma rappresenta il ramo di snap-back individuato dall arc-length, corrispondente ad un meccanismo alternativo i cui effetti sono mostrati in figura 14. Fig.14 Deformazioni totali per s=0 (ramo di snap-back) I risultati del modello con 736 elementi (mesh media) sono stati confrontati con quelli ottenuti utilizzando due differenti discretizzazioni: una con 202 elementi (mesh rada) e l altra con 3010 (mesh fitta). Dal diagramma di figura 15, che mostra le curve s/gspostamento di P dei tre modelli, si nota che, all aumentare del numero di elementi della
discretizzazione, si ha una lieve diminuzione del carico ultimo. Le figure 16 e 17, che mostrano le distribuzioni delle fratture relative alle discretizzazioni rada e fitta rispettivamente, mettono bene in evidenza la localizzazione della deformazione dovuta all infittimento della mesh. 0,24 0,20 0,16 s/g 0,12 0,08 mesh rada 0,04 mesh media mesh fitta 0,00 0,0 5,0 10,0 15,0 20,0 25,0 30,0 35,0 40,0 Spostamento orizzontale di P (cm) Fig. 15 Diagrammi s/g-spostamento al variare della mesh Fig. 16 Piani di frattura nella mesh rada Fig. 17 Piani di frattura nella mesh fitta Per mostrare come la soluzione numerica sia sensibile al raggio massimo dell arc-length ρ (vedi [7]), nelle figure 18 e 19, si riportano gli andamenti s/g-spostamento al variare di tale parametro per la mesh media e rada rispettivamente.
0,24 0,20 0,16 s/g 0,12 0,08 0,04 mesh media (arco max=2/100) mesh media (arco max=12/100) mesh media (arco max=25/100) 0,00 0,0 5,0 10,0 15,0 20,0 25,0 30,0 35,0 40,0 Spostamento orizzontale di P (cm) Fig. 18 Diagrammi s/g-spostamento nella mesh media per diversi valori di ρ E possibile notare che lo spostamento e l accelerazione ultima, ottenuti dalla procedura numerica, cambiano variando il valore dell arco massimo. 0,24 0,20 0,16 s/g 0,12 0,08 0,04 mesh rada (arco max=2/100) mesh rada (arco max=12/100) mesh rada (arco max=25/100) 0,00 0,0 5,0 10,0 15,0 20,0 25,0 30,0 35,0 40,0 Spostamento orizzontale di P (cm) Fig.19 Diagrammi s/g-spostamento nella mesh rada per diversi di ρ Infine, in figura 20, si riporta l andamento s/g-spostamento per diversi valori della resistenza a trazione f t del materiale: si vede che il carico di prima fessurazione aumenta con la resistenza a trazione del materiale mentre il carico ultimo non presenta sostanziali variazioni.
0.25 0.20 0.15 s/g 0.10 0.3 N/mmq 0.05 0.5 N/mmq 0.7 N/mmq 0.00 0.0 5.0 10.0 15.0 20.0 25.0 30.0 35.0 40.0 Spostamento del punto P (cm) Fig. 20 Diagrammi s/g-spostamento per diversi valori della resistenza a trazione BIBLIOGRAFIA [1] A. Grimaldi, R. Luciano, E. Sacco, ''Nonlinear dynamic analysis of masonry structures via F.E.M.'', Computing Methods in Applied Sciences and Engineering (edited by R. Glowinski), Nova Science Publishers, 1992, pp. 373-382 [2] C.S. Yim, A.K. Chopra,, J. Penzien, ''Rocking Response of Rigid Blocks to Earthquakes'', Earth. Engng. Struct. Dynamics, 88, 1990, pp. 565-572 [3] J. Heyman, ''The Stone Skeleton'', Int. J. Solids and Structures, 2, 1966, pp 249-279 [4] G. Romano, E. Sacco, ''Convex Problems in Structural Analysis'', Unilateral Problems in Structural Analysis, Eds. G. Del Piero & F. Maceri, CISM Courses and Lectures n. 304, Springer-Verlag, 1987, pp. 279-297 [5] R. Luciano, E. Sacco, ''Homogenization technique and damage model for old masonry material'', International Journal of Solids and Structures, 34, n. 24, 1997, pp. 3191-3208 [6] Z.P. Bazant, J. Planas, ''Fracture and size effect in concrete and other quasi-brittle materials'', CRC Press, New York, 1998 [7] M.A. Crisfield, Non-linear finite element analysis of solids and structures, John Wiley & Son Ltd, 1991 [8] A. Giordano, E. Mele, A. De Luca, ''Assessment of the seismic capacity of triumphal arches'', X Congresso Nazionale L ingegneria Sismica in Italia, Potenza-Matera 9-13 settembre 2001 [9] K.D. Willam, E.D. Warnke, ''Constituve model for the triaxial behavior of concrete'', Proceedengs, International Association for Bridge and Structural Engeneering, ISMES, Bergamo, Italy, vol.19, 1975, p.174 [10] R. Luciano, S. Marfia, Z. Rinaldi, E. Sacco, ''Application of advanced composites for the reinforcement of masonry arches'', International Conference on FRP Composites in Civil Engineering, Hong Kong, 15 ottobre 2001