Trasformazioni geometriche del piano 3 marzo 2013 1
Indice 1 Trasformazioni geometriche del piano 3 1.1 Affinità............................... 4 1.2 Isometrie.............................. 8 1.2.1 Simmetrie.......................... 8 1.2.2 Traslazione......................... 17 1.2.3 Rotazione.......................... 18 1.3 Omotetie.............................. 19 1.4 Similitudini............................. 24 1.5 Dilatazioni.............................. 28 2
1 Trasformazioni geometriche del piano Si chiama trasformazione geometrica piana T ogni corrispondenza biunivoca che a ciascun punto P (x; y del piano associa uno e un solo punto P (x ; y del piano stesso. Il punto P (x ; y si dice trasformato o corrispondente di P (x; y mediante T. Le coordinate di P (x ; y possono essere espresse in funzione di P (x; y attraverso le equazioni: T : = f(x, y y = g(x, y Ogni trasformazione geometrica del piano, essendo una corrispondenza biunivoca, risulta invertibile, cioè esiste ed è unica la trasformazione inversa T 1 che associa al punto P (x ; y il punto P (x; y. Si dice punto unito ogni punto che coincide con il suo trasformato. Si dice retta unita ogni retta che viene trasformata in se stessa. Si dice retta fissa ogni retta formata da punti uniti. L identità è la trasformazione che a ogni punto del piano associa se stesso. Si dice involutoria la trasformazione geometrica che applicata due volte, coincide con l indentità. Si dice invariante di una trasformazione geometrica qualunque caratteristica che si conserva nella trasformazione. Classificazione delle trasformazioni geometriche: affinita; similitudini; omotetie; isometrie (traslazioni, simmetrie assiali e centrali, rotazioni. 3
Figura 1: Trasformazioni geometriche. Affinità Similitudini Isometrie Omotetie -Simmetrie assiali -Traslazioni -Rotazioni -Identità -Simm. centrale 1.1 Affinità Si definisce affinità una trasformazione geometrica del piano che a ogni punto P (x; y associa il punto P (x ; y in modo che valgano le seguenti equazioni: α : = ax + by + e y = cx + dy + f con a, b, c, d, e, f R. In forma matriciale il sistema equivale a: ( ( ( ( x a b x e y = +. c d y f Con ( a b A = c d 4
indichiamo la matrice dell affinità, il cui erminante vale: ( a b = ab cd 0. c d Proprietà delle affinità: sono trasformazioni invertibili; sono trasformazioni lineari; conservano il parallelismo, cioè trasformano rette parallele in rette parallele; a rette incidenti fanno corrispondere rette incidenti; conservano il punto medio di un segmento; se la figura F è la corrispondente della figura F mediante un affinità, allora Area(F = A indica il rapporto di affinità; se A = 1 si ha Area(F un affinità equivalente, cioè le figure F e F sono equivalenti. se A > 0 l affinità è ta diretta e conserva il verso di percorrenza dei vertici, invece se A < 0 l affinità è ta invertente e non conserva il verso di percorrenza dei vertici. Esempio 1.1 Consideriamo l affinità descritta dal seguente sistema: α 1 : = x + y + 2 y = 2x + y Il rapporto di affinità è ( 1 1 2 1 = 3, pertanto è un affinità diretta. Nella figura 2 è rappresentato l effetto della trasformazione: il triangolo ABC è trasformato, attraverso α 1, nel triangolo A B C e viene conservato il verso di percorrenza dei vertici del triangolo. 5
Figura 2: Affinità diretta. Nella figura 3 è rappresentato l effetto della trasformazione: il trapezio isoscele ABCD è trasformato, attraverso α 1, nel trapezio scaleno A B C D. Dalla figura si può verificare che: a rette parallele corrispondono rette parallele; a rette incidenti corrispondono rette incidenti; si conservano i punti medi dei segmenti. 6
Figura 3: Affinità diretta. Esempio 1.2 Consideriamo l affinità descritta dal seguente sistema: α 2 : = x + y + 2 y = 2x + y 1 Il rapporto di affinità è ( 1 1 2 1 = 1, pertanto è un affinità invertente. Nella figura 4 è rappresentato l effetto della trasformazione: il triangolo ABC è trasformato, attraverso α 2, nel triangolo A B C e viene invertito il verso di percorrenza dei vertici del triangolo. 7
Figura 4: Affinità invertente. 1.2 Isometrie Si definisce isometria ogni trasformazione geometrica del piano che a due punti qualsiasi A e B fa corrispondere rispettivamente i punti A e B, tale che A B = AB. Possono essere dirette o invertenti. Ogni isometria piana gode delle seguenti proprietà: trasforma una figura in una figura ad essa congruente; conserva l allineamento dei punti; conserva il parallelismo, l incidenza e la perpendicolarità delle rette. 1.2.1 Simmetrie Simmetria centrale La simmetria centrale di centro C(h; k è descritta dal seguente sistema: s C : +x 2 = h y+y 2 = k 8
da cui con s C : = 2h x y = 2k y ( 1 0 0 1 = 1. La simmetria centrale gode delle seguenti proprietà: è un isometria diretta; il centro di simmetria è l unico punto unito; le rette del fascio proprio con sostegno il punto C sono le uniche rette unite, ma non fisse. Esempio 1.3 Consideriamo la simmetria centrale di centro H(1; 1 descritta dal seguente sistema: s H : = 2 x y = 2 y Nella figura 5 è rappresentato l effetto della simmetria centrale su un triangolo ABC. Figura 5: Simmetria centrale di centro H(1; 1. 9
Esempio 1.4 Consideriamo la simmetria centrale di centro O(0; 0 descritta dal seguente sistema s O : = x y = y Nella figura 6 è rappresentato l effetto della simmetria centrale su un triangolo ABC. Figura 6: Simmetria centrale di centro O(0; 0. Simmetria assiale rispetto all asse x La simmetria assiale rispetto all asse x è descritta dal seguente sistema: s x : = x y = y con ( 1 0 0 1 = 1. La simmetria assiale rispetto all asse x gode delle seguenti proprietà: è un isometria invertente; i punti dell asse x sono gli unici punti uniti; 10
l asse x è l unica retta fissa; le rette perpendicolari all asse x sono rette unite ma non fisse. Esempio 1.5 Nella figura 7 è rappresentato l effetto della simmetria rispetto all asse x su un triangolo ABC. Figura 7: Simmetria assiale rispetto all asse x. Simmetria assiale rispetto all asse y. La simmetria assiale rispetto all asse y è descritta dal seguente sistema: s y : = x y = y con ( 1 0 0 1 = 1. La simmetria assiale rispetto all asse y gode delle seguenti proprietà: è un isometria invertente; i punti dell asse y sono gli unici punti uniti; 11
l asse y è l unica retta fissa; le rette perpendicolari all asse y sono rette unite ma non fisse. Esempio 1.6 Nella figura 8 è rappresentato l effetto della simmetria assiale rispetto all asse y su un triangolo ABC. Figura 8: Simmetria assiale rispetto all asse y. Simmetria assiale rispetto ad un retta x = h La simmetria assiale rispetto ad una retta x = h è descritta dal seguente sistema: s x=h : = x + 2h y = y con ( 1 0 0 1 = 1. La simmetria assiale rispetto all asse x = h gode delle seguenti proprietà: è un isometria invertente; i punti dell asse x = h sono gli unici punti uniti; l asse x = h è l unica retta fissa; le rette perpendicolari all asse x = h sono rette unite ma non fisse. Esempio 1.7 Nella figura 9 è rappresentato l effetto della simmetria assiale rispetto all asse x = 2 su un triangolo ABC. 12
Figura 9: Simmetria assiale rispetto all asse x = 2. Simmetria assiale rispetto ad un retta y = k La simmetria assiale rispetto ad una retta y = k è descritta dal seguente sistema: s y=k : = x y = y + 2k con ( 1 0 0 1 = 1. La simmetria assiale rispetto all asse y = k gode delle seguenti proprietà: è un isometria invertente; i punti dell asse y = k sono gli unici punti uniti; l asse y = k è l unica retta fissa; le rette perpendicolari all asse y = k sono rette unite ma non fisse. Esempio 1.8 Nella figura 10 è rappresentato l effetto della simmetria assiale rispetto all asse y = 2 su un triangolo ABC. 13
Figura 10: Simmetria assiale rispetto all asse y = 2. Simmetria assiale rispetto alla bisettrice y = x La simmetria assiale rispetto alla bisettrice y = x è descritta dal seguente sistema: s y=x : = y y = x con ( 0 1 1 0 = 1. La simmetria assiale rispetto alla bisettrice y = x gode delle seguenti proprietà: è un isometria invertente; i punti della bisettrice sono gli unici punti uniti; la bisettrice è l unica retta fissa; le rette perpendicolari alla bisettrice sono rette unite ma non fisse. Esempio 1.9 Nella figura 11 è rappresentato l effetto della simmetria assiale rispetto alla bisettrice y = x su un triangolo ABC. 14
Figura 11: Simmetria assiale rispetto alla bisettrice y = x. Simmetria assiale rispetto alla bisettrice y = x La simmetria assiale rispetto alla bisettrice y = x è descritta dal seguente sistema: s y= x : = y y = x con ( 0 1 1 0 = 1. La simmetria assiale rispetto alla bisettrice y = x gode delle seguenti proprietà: è un isometria invertente; i punti della bisettrice sono gli unici punti uniti; la bisettrice è l unica retta fissa; le rette perpendicolari alla bisettrice sono rette unite ma non fisse. Esempio 1.10 Nella figura 12 è rappresentato l effetto della simmetria assiale rispetto alla bisettrice y = x su un triangolo ABC. 15
Figura 12: Simmetria assiale rispetto alla bisettrice y = x. Simmetria assiale rispetto a una retta generica La simmetria assiale rispetto ad una retta generica r : ax + by + c = 0 è una trasformazione geometrica che ad ogni punto P (x; y del piano associa il punto P (x ; y in modo che il segmento PP è perpendicolare all asse r e il punto medio M appartiene all asse r. { mr m P P = 1 da cui s r : s r : { a( x+x 2 + b( y+y 2 + c = 0 a y y = 1 b x x a( x+x + b( y+y + c = 0 2 2 La simmetria assiale rispetto all asse r gode delle seguenti proprietà: è un isometria invertente; i punti dell asse r sono gli unici punti uniti; l asse r è l unica retta fissa; le rette perpendicolari all asse r sono rette unite ma non fisse. 16
1.2.2 Traslazione Si definisce traslazione di vettore v(a, b una trasformazione geometrica piana che ad ogni punto P (x; y associa il punto P (x ; y tale che: τ v : = x + a y = y + b con ( 1 0 0 1 = 1. La traslazione di vettore v gode delle seguenti proprietà: è un isometria diretta; non ci sono punti uniti; le rette parallele alla retta che giace sul vettore v sono le uniche rette unite ma non fisse. Esempio 1.11 Consideriamo la traslazione di un vettore v(1, 3 τ v(1,3 : = x + 1 y = y + 3 Nella figura 13 è rappresentato l effetto della traslazione su un triangolo ABC. Figura 13: Traslazione di vettore v(1, 3. 17
1.2.3 Rotazione La rotazione ρ O,α di centro O(0; 0 e angolo orientato α è descritta dal seguente sistema: ρ O,α : = xcosα ysenα y = xsenα + ycosα con ( cosα senα senα cosα = cos 2 α + sen 2 α = 1. La rotazione ρ O,α di centro O(0; 0 e angolo orientato α gode delle seguenti proprietà: è un isometria diretta; il centro di rotazione è l unico punto unito; se α = π la rotazione coincide con la simmetria centrale di centro O; le rette del fascio proprio con sostegno nel punto O sono rette unite ma non fisse. Esempio 1.12 Consideriamo la rotazione di un angolo α = 75 intorno all origine in senso antiorario. Nella figura 14 è rappresentato l effetto della rotazione su un triangolo ABC. 18
Figura 14: Rotazione di un angolo α = 75. 1.3 Omotetie Si definisce omotetia di centro O e rapporto k R +, ogni trasformazione geometrica piana che a ciascun punto P (x; y del piano fa corrispondere il punto P (x ; y in modo che i punti siano allineati con O e risulti OP = kop. Se k > 0 i punti si trovano dalla stessa parte rispetto ad O, mentre se k < 0 i punti si trovano da parti opposte rispetto ad O. Se k = 1 l omotetia coincide con la trasformazione identica, mentre se k = 1 coincide con la simmetria centrale di centro O. 19
Figura 15: Omotetie. Omotetia di centro O(0; 0 e rapporto k: o O,k : = kx y = ky In ogni omotetia di centro l origine valgono le seguenti proprietà: trasforma angoli in angoli congruenti; conserva l allineamento, il parallelismo, l incidenza e la perpendicolarità; in ogni omotetia di rapporto k 1 il centro è l unico punto unito e le rette del fascio proprio con sostegno il centro O sono le uniche rette unite ma non fisse; se k > 0 le omotetie sono dirette, mentre se k < 0 sono invertenti; se k > 1 si ha un ingrandimento, mentre se k < 1 si ha una riduzione. Esempio 1.13 Consideriamo l omotetia descritta dal seguente sistema: o O,2 : = 2x y = 2y in cui k = 2, pertanto è un omotetia diretta (k > 0 e produce un ingrandimento della figura ( k > 1. Nella figura 16 è rappresentato l effetto dell omotetia su un triangolo ABC. 20
Figura 16: Omotetia diretta di centro O(0, 0 e rapporto k = 2. Consideriamo l omotetia descritta dal seguente sistema: o O, 2 : = 2x y = 2y in cui k = 2, pertanto è un omotetia invertente (k < 0 e produce un ingrandimento della figura ( k > 1. Nella figura 17 è rappresentato l effetto dell omotetia su un triangolo ABC. 21
Figura 17: Omotetia invertente di centro O(0; 0 e rapporto k = 2. Nella figura 18 è rappresentato l effetto dell omotetia: il trapezio rettangolo ABCD è trasformato, attraverso o O, 2, nel trapezio rettangolo A B C D. Dalla figura si può verificare che: a rette parallele corrispondono rette parallele; a rette incidenti corrispondono rette incidenti; a rette perpendicolari corrispondono rette perpendicolari; trasforma angoli in angoli congruenti. 22
Figura 18: Omotetia invertente di centro G(0; 0 e rapporto k = 2. da cui Omotetia di centro C(x C ; y C e rapporto k: o C,k : x C = k(x x C y y C = k(y y C o C,k : = kx + x C (1 k y = ky + y C (1 k Consideriamo l omotetia descritta dal seguente sistema o H, 2 : = 2x + 3 y = 2y + 3 in cui k = 2, pertanto è un omotetia invertente (k < 0, produce un ingrandimento della figura ( k > 1 e il punto H(1; 1 è il centro dell omotetia. Nella figura 18 è rappresentato l effetto dell omotetia su un triangolo ABC. 23
Figura 19: Omotetia invertente di centro H(1; 1 e rapporto k = 2. 1.4 Similitudini Si definisce similitudine di rapporto k R +, una trasformazione geometrica del piano che ad ogni coppia di punti A e B fa corrispondere rispettivamente i punti A e B in modo che risulti A B = kab; la costante k si chiama rapporto di similitudine. La similitudine può essere ottenuta attraverso la composizione di un isometria e un omotetia o di un omotetia e un isometria. L omotetia è una particolare similitudine, in cui i punti corrispondenti sono allineati con il centro dell omotetia. Una similitudine diretta di rapporto k è data dal seguente sistema: σ k : = ax by + e y = bx + ay + f con a, b, e, f R. La matrice di similitudine è ( a b A = b a e ( a b b a = a 2 + b 2 > 0. 24
Una similitudine invertente di rapporto k è data dal seguente sistema: σ k : = ax + by + e y = bx ay + f con a, b, e, f R. La matrice di similitudine è ( a b A = b a e ( a b b a = a 2 b 2 < 0. Proprietà delle similitudini: trasforma segmenti in segmenti di rapporto k = A ; trasforma angoli in angoli congruenti; conserva il parallelismo, l incidenza e la perpendicolarità delle rette; se la figura F è la corrispondente della figura F mediante una similitudine, allora Area(F Area(F = A = k2 ; se A>0 la similitudine è ta diretta e conserva il verso di percorrenza dei vertici, invece se A < 0 la similitudine è ta invertente e non conserva il verso di percorrenza dei vertici. Se A = 1 la similitudine è un isometria; Esempio 1.14 Consideriamo la similitudine descritta dal seguente sistema Il erminante è σ 2 : = x y + 2 y = x + y ( 1 1 1 1 = 2, pertanto è una similitudine diretta. Nella figura 20 è rappresentato l effetto della similitudine: il triangolo ABC è trasformato, attraverso σ 2, nel triangolo A B C e viene conservato il verso di percorrenza dei vertici del triangolo. Il rapporto tra le aree è Area(A B C = A = 2, mentre il rapporto di similitudine tra i Area(ABC segmenti corrispondenti è 2. 25
Figura 20: Similitudine diretta di rapporto 2. Nella figura 21 è rappresentato l effetto della similitudine: il trapezio rettangolo ABCD è trasformato, attraverso σ 2, nel trapezio rettangolo A B C D. Dalla figura si può verificare che: a rette parallele corrispondono rette parallele; a rette incidenti corrispondono rette incidenti; a rette perpendicolari corrispondono rette perpendicolari; trasforma angoli in angoli congruenti. 26
Figura 21: Similitudine diretta di rapporto 2. Consideriamo la similitudine descritta dal seguente sistema { σ x 2 : = x + y + 2 y = x y Il erminante è ( 1 1 1 1 = 2, pertanto è una similitudine invertente. Nella figura 22 è rappresentato l effetto della similitudine: il triangolo ABC è trasformato, attraverso σ 2, nel triangolo A B C e non viene conservato il verso di percorrenza dei vertici del triangolo. Il rapporto tra le aree è Area(A B C = A = 2, mentre il rapporto di similitudine Area(ABC tra i segmenti corrispondenti è 2. 27
Figura 22: Similitudine invertente di rapporto 2. 1.5 Dilatazioni Si definisce dilatazione δ O,(m,n di centro O(0; 0 e rapporti m e n, con m, n R +, ogni trasformazione geometrica piana che a ciascun punto P (x; y del piano fa corrispondere il punto P (x ; y in modo che valgano le equazioni: δ O,(m,n : = mx y = ny Si ha una dilatazione diretta se e solo se m n > 0. Le dilatazioni godono delle seguenti proprietà: il centro O(0; 0 è l unico punto unito; gli assi cartesiani sono rette unite; se m e n sono uguali si ottiene un omotetia. Si definisce dilatazione δ C,(m,n di centro C(x C ; y C e rapporti m e n, con m, n R +, ogni trasformazione geometrica piana che a ciascun punto P (x; y del piano fa corrispondere il punto P (x ; y in modo che valgano le equazioni: δ C,(m,n : x C = m(x x C y y C = n(y y C 28
Si ha una dilatazione diretta se e solo se m n > 0. Le dilatazioni godono delle seguenti proprietà: il centro C(x C ; y C è l unico punto unito; le rette parallele agli assi cartesiani e passanti per il centro C(x C, y C sono rette unite; se m e n sono uguali si ottiene un omotetia. Esempio 1.15 Consideriamo la dilatazione descritta dal seguente sistema δ O,(1,3 : = 2x y = 2y Nella figura 23 è rappresentato l effetto della dilatazione su un triangolo ABC. Figura 23: Dilatazione diretta. 29