Appuni di eoria dei Segnali a.a. 200/20 L.Verdoliva In queso capiolo descriveremo i passi che subisce un segnale analogico quando viene discreizzao per oenere un segnale numerico (conversione A/D), e quelle che a parire da un segnale numerico consenono di ricosruire il segnale in orma analogica (conversione D/A). Queso processo è esremamene imporane qualora si voglia elaborare un segnale araverso sisemi numerici, che anno quindi uso della ecnologia digiale, più lessibile, economica e leggera di quella analogica, ed è reso possibile dal ao che soo paricolari ipoesi, quasi sempre veriicae nella praica, un segnale analogico è rappresenao adeguaamene dai suoi campioni. Quindi, anziché elaborare un segnale empo coninuo con un sisema analogico, può risulare più vanaggioso converirlo in un segnale empo discreo e ampiezza discrea (segnale numerico) per poi elaborarlo con un sisema discreo (Digial Signal Processor, DSP), il cui segnale in uscia verrà poi nuovamene converio in un segnale analogico, come si mosra nel seguene schema a blocchi. x() A/D DSP y() D/A Conversione A/D La conversione analogico-digiale (A/D) è cosiuia da re blocchi ondamenali: campionameno, quanizzazione e codiica. Il campionameno è l operazione che consene di discreizzare l asse emporale del segnale analogico, menre la quanizzazione rende discrei i valori che può assumere il segnale. Inine, il processo di codiica convere la sequenza numerica in un lusso di bi. Si enga presene che ques ulima operazione è ondamenale qualora si voglia memorizzare il segnale numerico su un supporo digiale o rasmeerlo su un canale. x() Camp. x(n) Quaniz. x(n) Codiica..000..
Conversione A/D 2. Campionameno Campionare signiica esrarre dal segnale analogico x() i valori che assume in deerminai isani emporali; se il campionameno è uniorme allora gli isani emporali sono equispaziai di una quanià indicaa con, passo di campionameno, il cui inverso c = / rappresena la requenza di campionameno, misuraa in campioni al secondo o Herz. In igura sono mosrai due esempi di campionameno di segnali empo coninuo con passo. x() y() Figura : Esempi di campionameno di segnali empo coninuo. In generale, ci aspeiamo una perdia di inormazione a causa del campionameno, basa inai osservare la igura 2 in cui si mosrano come esempio due segnali empo coninuo molo diversi ra loro, ma che presenano valori idenici nei mulipli ineri di, vale a dire: x (n ) x 2 (n ). Chiaramene esisono un numero ininio di segnali che generano un dao insieme di campioni. uavia vedremo che soo deerminae condizioni i campioni di un segnale speciicano univocamene il segnale, per cui a parire da ali campioni il segnale porà essere ricosruio pereamene. x () x 2() -4-3 -2-2 3 4 Figura 2: Due diversi segnali con idenici valori nei mulipli ineri di.
Conversione A/D 3.2 Campionameno mediane impulsi ideali Un modo molo semplice per campionare un segnale è mediane il prodoo con un reno di impulsi ideali. Ricordiamo, inai, che per un impulso ideale vale l imporane proprieà: x() δ( 0 ) = x( 0 ) δ( 0 ) che permee di esrarre il valore del segnale in cui è cenrao l impulso. Moliplicando allora x() per un reno di impulsi, δ (), periodico di periodo pari proprio al passo di campionameno, si oiene il segnale campionao x δ (): x δ () = x() δ () = x() = δ( n ) () x(n ) δ( n ) (2) il segnale campionao non è alro che un reno di impulsi le cui ampiezze rappresenano i campioni di x() in inervalli equispaziai di (igura 3). x() 0 δ () x(0) x( ) x δ () Figura 3: Campionameno mediane un reno di impulsi ideali.
Conversione A/D 4 Per comprendere in quali condizioni quesa operazione non causa una perdia di inormazione sul segnale è necessario operare nel dominio della requenza. rasormando la (): X δ () = X() = k= X k= ( k ( δ k ) ) + = c k= (3) X( k c ) (4) Nella (3) si è sruao il ao che la rasormaa di Fourier di un reno di impulsi è ancora un reno di impulsi (cap.4, pag.2), menre nella (4) si è usaa la proprieà: X() δ( 0 ) = X( 0 ) (cap.2, pag.36). Lo spero del segnale campionao è dao dunque dalla sovrapposizione di repliche di X() cenrae in / = c e scalae della sessa quanià. Nell ipoesi in cui il segnale abbia spero X() = Λ(/B), la rasormaa di Fourier del segnale campionao è mosraa in igura 4 nei casi in cui a) c > 2B, b) c = 2B, c) c < 2B. X() a) B X δ () B b) c B c B X δ () c c) c B X δ () B c c B c Figura 4: Analisi del campionameno nel dominio della requenza.
Conversione A/D 5 Osservando la igura 4, nell ipoesi (non rascurabile) che il segnale abbia spero con banda rigorosamene limiaa, non è diicile capire quale condizione deve soddisare c ainchè sia possibile recuperare pereamene lo spero originale X(), inai solo nel casi a) e b) le repliche non si sovrappongono, cioè quando c B B, ovvero c 2B (5) Queso rappresena il cosiddeo vincolo di Nyquis e aerma che la requenza di campionameno deve essere proporzionale alla banda del segnale: ano più il segnale è caraerizzao da requenze elevae (cambiameni repenini) ano maggiore deve essere il numero di campioni che lo descrivono ainché il segnale non subisca alcuna disorsione. Per comprendere da un puno di visa inuiivo queso risulao, basa osservare nuovamene la igura, dove si può noare che il segnale x() presena una rapidià di variazione superiore al segnale y(), per cui per rappresenare adeguaamene l andameno di x() il passo di campionameno dovrà essere più piccolo. Poiché una maggiore rapidià di variazione implica una banda maggiore, il passo di campionameno (requenza di campionameno) risulerà proporzionale (inversamene) alla banda del segnale. E chiaro che, se possibile, si sceglie come requenza di campionameno la minima ammissibile (in modo da rasmeere meno campioni), cioè c = 2B, dea anche requenza di Nyquis. Quando si usa una requenza di campionameno più grande di quella di Nyquis ( c > 2B) si parla di sovracampionameno, alrimeni ( c < 2B) di soocampionameno. In ques ulimo caso si veriica il cosiddeo enomeno di (aliasing), per cui le repliche adiaceni a quella cenrale creano una disorsione che non può essere compensaa in alcun modo. A queso puno possiamo ormalizzare quano deo araverso il eorema del campionameno (o eorema di Shannon). Un segnale analogico x() è rappresenao pereamene dai suoi campioni presi con passo (cioè con requenza c = / ) se:. x() è a banda rigorosamene limiaa, cioè X() = 0 B 2. è soddisaa la condizione di Nyquis: c 2B Se sono veriicae le ipoesi del eorema il segnale originale x() può essere recuperao araverso un ilro passa-basso ideale con guadagno pari a : ( ) H() = Π 2B B B c B (6) In paricolare con rierimeno al caso a) di igura 4, è possibile scegliere B = c /2 (igura 5). L ipoesi che il segnale sia a banda rigorosamene limiaa è chiaramene ideale dal momeno che abbiamo viso come ui i segnali a duraa inia nel empo hanno necessariamene banda ininia (cap.5, pag.0). uavia è possibile rienere che la banda sia praicamene limiaa, nel senso che le componeni eserne ad un cero inervallo siano piccole o comunque rascurabili. Per queso moivo, è possibile aneporre un ilro (deo ilro ani-aliasing), che elimini ali componeni e renda il segnale a banda rigorosamene limiaa.
Conversione A/D 6 X δ () c B c B H() c c c 2 2 X() B Figura 5: Ricosruzione mediane ilro passa-basso ideale..2. Campionameno di segnali reali L orecchio umano può udire segnali cosiuii da componeni requenziali comprese ra 20 Hz e 20 khz (i suoni ineriori a 20 Hz vengono percepii come vibrazioni, menre quelle superiori a 20 khz non sono udibili e sono chiamai ulrasuoni), per queso moivo il segnale audio si può rienere a banda limiaa, con B = 20 khz. Per il eorema del campionameno allora la requenza va scela secondo la (5) quindi c 2B = 40 khz. Ciò giusiica il ao che i sisemi di regisrazione su CD adoano una requenza di campionameno pari a c = 44. khz, menre i regisraori DA (Digial Audio ape) e l audio dei DVD (Digial Versaile Disc) usano c = 48 khz. Noae come in enrambi i casi si uilizza un lieve aore di sovracampionameno, uile per aciliare l operazione di ricosruzione (dal momeno che nella praica non si ha a che are con ilri ideali). E chiaro che più è ala la requenza di campionameno, più campioni vanno rasmessi nello sesso inervallo di empo e quindi maggiore deve essere la capacià del canale di rasmissione o la memoria del disposiivo di memorizzazione. Per queso moivo per le conversazioni eleoniche si uilizza una requenza molo più bassa, dal momeno che l obieivo è quello di garanire l inellegibilià di una conversazione eleonica. Il segnale viene allora ilrao mediane un ilro con banda pari a 3.4 khz e sovracampionao a requenza c = 8 khz. Un discorso analogo viene ao per le immagini e per il segnale video. In ques ulimo caso il segnale è cosiuio da una sequenza emporale di immagini (dee rame), oenuo dal campionameno del segnale empo coninuo che rappresena la scena osservaa dalla cinepresa.
Conversione A/D 7 Ques ulima issa sulla pellicola un oogramma (un campione nel empo) ad una requenza di 24 Hz (cioè 24 oogrammi al secondo), che viene poi regisraa sulla pellicola cinemaograica. Queso valore è sao scelo in base alle capacià pereceive dell occhio, per cui quando quese immagini vengono vise in sequenza a quella velocià si ha la sensazione di coninuià della scena. Sesso discorso può essere ao per le immagini digiali: se i campioni che cosiuiscono la rappresenazione discrea di un immagine, sono in numero adeguao (elevaa risoluzione) l occhio percepisce coninuià spaziale e non si accorge della discreizzazione spaziale..2.2 Campionameno di un segnale sinusoidale Paricolare aenzione deve essere posa se si vuole campionare un segnale sinusoidale x() = cos(2π 0 ), il cui spero è mosrao in igura 6 a). Per quano deo la requenza di campionameno deve rispeare il vincolo: c 2 0 (7) In igura 6 b) si mosra lo spero del segnale campionao nell ipoesi in cui c > 2 0, menre in igura 6 c) quando c < 2 0. Inolre in enrambi i casi è evidenziao araverso una linea raeggiaa la risposa in requenza di un ilro passa-basso ideale con banda monolaera pari a c /2 per la ricosruzione del segnale. Nel primo caso le repliche non si sovrappongono per cui il segnale ricosruio coincide con quello originale, nel secondo caso invece si veriica il enomeno dell aliasing, nel senso che il segnale ricosruio x r () dal ilro è ancora di ipo sinusoidale, ma a requenza più bassa ( c 0 ) di quello originale ( 0 ). Perano l aliasing si raduce nel ao che viene ricosruia ancora una sinusoide, ma a requenza diversa da quella originale, per cui non si ha un evidene eeo di disorsione nel segnale. Nel dominio del empo queso enomeno è giusiicao dal ao che il segnale ricosruio x() e il segnale originale x() presenano esaamene gli sessi valori nei mulipli del passo di campionameno, inai risula: x(n ) = cos(2π( c 0 )n ) = cos(2π c n 2π 0 n ) = cos(2πn 2π 0 n ) = cos( 2π 0 n ) = cos(2π 0 n ) x(n ) In igura 7 si mosra graicamene quano accade nell ipoesi in cui 0 = 5 6 c. Si può noare come il segnale ricosruio vari più lenamene di quello originale, uavia negli isani di campionameno i due segnali coincidono. Un ulima considerazione da are riguarda il ao che, anche quando il segnale sinusoidale venga campionao alla requenza di Nyquis, porebbe accadere che il segnale ricosruio non coincida con quello originale. Supponiamo inai di considerare il segnale x() = sin(2π 0 ), campionando alla requenza di Nyquis ( c = 2 0 ) oeniamo: x(n ) = x(n/ c ) = sin(2π 0 n/ c ) = sin(πn) = 0 I valori del segnale nei mulipli ineri del periodo di campionameno sono ui nulli, di conseguenza il segnale ricosruio è idenicamene nullo. Per eviare di incorrere in una siuazione di queso ipo, si uilizza sempre un lieve sovracampionameno quando si considerano segnali sinusoidali.
Conversione A/D 8 a) X() b) 0 X δ () 0 c) X δ () 0 c 0 c c 0 0 c Figura 6: Campionameno in requenza di un segnale sinusoidale. 0.5 x(n) 0 0.5 6 4 2 0 2 4 6 0.5 xr(n) 0 0.5 6 4 2 0 2 4 6 n Figura 7: Segnale originale (in alo) e segnale ricosruio (in basso) nell ipoesi in cui 0 = 5 6 c.
Conversione A/D 9.2.3 Conversione /n Il campionameno consene di oenere il segnale x δ (), uavia nel processo di conversione A/D ciò che ineressa oenere è la sequenza dei campioni del segnale x(n). E chiaro che, da un puno di visa conceuale le due operazioni coincidono, uavia da un puno di visa ormale i due segnali dieriscono così come mosrao in igura 8. x δ () 2 0 2 x(n) 2 0 2 n Figura 8: Segnale campionao x δ () e sequenza dei campioni x(n). E ineressane conronare lo spero del segnale campionao, X δ (), e quello della sequenza dei campioni, X(ν). rasormiamo allora secondo Fourier la (2), oenendo: X δ () = x(n ) e j2πn (8) Ricordiamo poi come si deinisce la rasormaa di un segnale empo discreo (cap.4, par.2.): X(ν) = x(n) e j2πνn (9) Conronando la (8) e la (9) noiamo che le due rasormae sono legae dalla seguene relazione: X(ν) = X δ () =ν/ (0) Quindi i due speri coincidono a meno di un cambiameno di scala sull asse delle requenze, che è la normalizzazione della requenza analogica alla requenza di campionameno: ν = = / c In paricolare, il periodo delle repliche di X δ () pari a c corrisponde alla requenza numerica ν =, che rappresena proprio il periodo della rasormaa di Fourier di una sequenza.
Conversione A/D 0.2.4 Campionameno mediane impulsi reali Il eorema del campionameno nella sua ormulazione usa impulsi ideali, nella praica saranno uilizzai impulsi molo srei che approssimano quelli ideali. Supponiamo allora di considerare un segnale campionao mediane un reno di impulsi reali: x c () = x() p( n ) dove p() per esempio può essere un impulso reangolare o riangolare. Per vedere come si modiica il discorso ao prima, ripeiamo l analisi nel dominio della requenza: X c () = X() = k= k= P ( k P ( ) ( k δ k ) ) ( X k ) Nella () si è ricordao che la rasormaa di Fourier di un segnale periodico è un reno di impulsi di ampiezza pari proprio ai coeicieni di Fourier del segnale P k = P ( ) k (cap.4, par..8.4-5). Nella igura 9 si mosra come viene disoro lo spero del segnale campionao, nell ipoesi in cui sia soddisao il vincolo di Nyquis. Esso è cosiuio ancora una vola da ininie repliche cenrae nei mulipli di c, ciascuna pesaa dal aore P ( ) k, cioè con pesi pari ai coeicieni della serie di Fourier del reno di impulsi considerai. Poiché ogni replica subisce un cambiameno di scala, ma non ne viene aleraa la orma è possibile ancora una vola ricosruire pereamene il segnale pur di uilizzare un ilro passa-basso ideale con guadagno pari a P (0). (Ricordae che poee acilmene oenere P (0), dao che + p() d = P (0).) () (2) X() B X c () P (0) B P (/ ) c B c B c Figura 9: Analisi in requenza del campionameno con impulsi reali.
Conversione A/D.3 Quanizzazione Il campionameno genera un segnale empo discreo che può assumere valori in un insieme coninuo, le ampiezze rappresenano, cioè, numeri reali caraerizzai da ininie cire signiicaive. Ainché il segnale possa essere elaborao con un sisema numerico è necessario allora discreizzare ali valori. A al ine essi vengono raggruppai in un deerminao numero di insiemi, chiamai celle o inervalli di quanizzazione, ognuno dei quali è caraerizzao da un singolo valore, deo livello di resiuzione. Una vola individuao per ogni valore del segnale di ingresso la cella di apparenenza, si porà associare ad esso il livello di resiuzione relaivo. La quanizzazione è quindi un operazione non lineare senza memoria che realizza la seguene corrispondenza: Q : x R Q(x) { x 0, x,..., x M } dove M rappresena il numero di livelli di quanizzazione. Nella igura che segue è mosrao un esempio in cui l insieme dei numeri reali è suddiviso in M = 8 inervalli ui della sessa duraa con livelli di resisuzione, per gli inervalli inerni, dai dal valor medio dell inervallo: x i = 2 (x i + x i ) i = 2,..., 7 bx bx 2 bx 3 bx 4 bx 5 bx 6 bx 7 bx 8 0 x Figura 0: Suddivisione dell asse reale in 8 inervalli di quanizzazione. Essendo gli inervali inerni ui della sessa duraa, si parla di quanizzazione uniorme e un esempio della legge di quanizzazione relaiva è mosraa in igura. bx 8 Q(x) bx 7 bx 6 bx 5 bx 4 x bx 3 bx 2 bx Figura : Esempio di quanizzaore uniorme.
Conversione A/D 2 L operazione realizzaa dalla quanizzazione corrisponde proprio al conceo di approssimazione di un numero reale con una rappresenazione a precisione inia. E evidene che, a causa della corrispondenza moli a uno realizzaa dal quanizzaore, si ha un ineviabile perdia di inormazione, che non può essere recuperaa. E bene noare che l errore che si commee per i valori di ampiezza appareneni agli inervalli inerni è diverso da quello che si commee per quelli che apparengono ai due inervalli esremi. Inai, l errore di quanizzazione: e(n) = x(n) x(n) si maniene limiao per gli inervalli inerni: e(n) /2, menre risula essere illimiao per gli inervalli esremi. Per mosrare gli eei della quanizzazione su un segnale reale, consideriamo un immagine in ormao numerico che può assumere 256 possibili livelli di grigio (igura 2). Quanizziamo poi l immagine con un quanizzaore uniorme con un numero via via crescene di livelli di resiuzione con M = 2, 4, 8, 6, 32 e 64. E ineressane noare come l errore di quanizzazione risula evidene per M = 2, 4, 8, 6, menre è quasi imperceibile per M = 32, 64. Ciò è dovuo alle limiae capacià perceive dell occhio umano, che riesce con diicolà a disinguere due livelli di grigio molo vicini ra loro. Perano, se è vero che la quanizzazione produce un errore sui dai, è anche vero che molo spesso queso errore non è percepio dall uene inale che usuruisce dell inormazione (sia essa un immagine, un segnale video o audio), soprauo se il quanizzaore è progeao in modo opporuno. E inai possibile progeare un quanizzaore in modo che si adai alle caraerisiche dei dai da elaborare e a quelle dell uene inale, minimizzando così l errore che necessariamene si commee con quesa operazione. originale Figura 2: Immagine numerica che può assumere 256 possibili valori..4 Codiica L operazione di codiica permee di associare alla sequenza di valori in uscia al quanizzaore un lusso di simboli binari (bi). Di solio il numero di livelli di resiuzione che ornisce il quanizzaore è scelo pari a una poenza di 2: M = 2 b
Conversione A/D 3 q. uniorme a 2 livelli q. uniorme a 4 livelli q. uniorme a 8 livelli q. uniorme a 6 livelli q. uniorme a 32 livelli q. uniorme a 64 livelli Figura 3: Immagini quanizzae con 2, 4, 8, 6, 32 e 64 livelli di resiuzione.
Conversione A/D 4 allora saranno necessari b = log 2 M bi per la codiica di un singolo livello di resiuzione. Nella seguene abella è mosrao un esempio di associazione realizzaa per M = 8. Si noi come nel caso considerao ogni sringa di bi non sia alro che la rappresenazione in binario del numero inero, che rappresena il pedice del livello di resiuzione. Livello Codice x 0 000 x 00 x 2 00 x 3 0 x 4 00 x 5 0 x 6 0 x 7 abella : Esempio di codiica binaria Per il segnale vocale campionao a 8 khz (8000 campioni al secondo) se si uilizzano 8 bi per la codiica di ogni campione, esso è rasmesso ad una velocià (nominale) di 64 kbi/s. La codiica consideraa prevede che ue le parole codice abbiano esaamene la sessa lunghezza (codiica a lunghezza issa), uavia è possibile ridurre il numero di bi da immagazzinare o rasmeere se si uilizza un codice a lunghezza variabile, che rae vanaggio della ridondanza saisica presene nei dai. Uno dei primi a sruare la ridondanza (e quindi la sruura) della lingua inglese per eeuare codiica, è sao Samuel Morse, che nella meà del diciannovesimo secolo, ha sviluppao un codice per ridurre il empo medio necessario a rasmeere un messaggio araverso un elegrao. Morse noò che alcune leere dell alabeo si presenano più spesso di alre, e quindi, assegnò sequenze di puni e linee più brevi alle leere che si presenavano più requenemene, come e ( ) ed a ( ), e più lunghe a quelle che si presenavano meno requenemene, come q ( ) e j ( ). Quesa sessa semplice idea è alla base di algorimi aualmene usai per la compressione di ile di dai (codiica di Humann). Anziché ar rierimeno alle leere si può pensare all occorrenza delle parole, così come accade nel codice Braille, sviluppao sempre nello sesso periodo e che permee una riduzione del veni per ceno dello spazio occupao. La diversa requenza di occorrenza delle leere dell alabeo, o delle parole del vocabolario, rappresena una sruura della sorgene d inormazione, la cui conoscenza rende possibile eeuare codiica eiciene (compaazione dai). La compaazione (compressione lossless) è il processo di codiica che permee di rappresenare in modo più eiciene, ma senza alcuna perdia di inormazione, i messaggi prodoi dalla sorgene in modo da poer risalire senza errori dai dai codiicai a quelli originari. La compaazione srua le proprieà saisiche della sorgene per deerminare il codice per cui le sue presazioni dipendono oremene dall accuraezza dei modelli probabilisici uilizzai.
Conversione D/A 5 2 Conversione D/A La conversione digiale-analogico (D/A) prevede solo i passi di decodiica e ricosruzione (inerpolazione), dal momeno che la quanizzazione è un operazione irreversibile. Dao invece che la codiica è una corrispondenza biunivoca ra gli M livelli di resiuzione e le sequenze di b bi, è possibile in ase di decodiica recuperare pereamene i valori quanizzai noa la sringa di bi. Per queso moivo in quesa sezione ci limieremo a raare solo l operazione di ricosruzione...000.. Decodiica x(n) Ricosruz. x() 2. Ricosruzione Per semplicià nella raazione che aremo di seguio rascureremo gli eei del processo di quanizzazione sul segnale (supporremo quindi che il segnale sia sao solo campionao). Abbiamo già deo nel paragrao.2 che, se sono soddisae le ipoesi del eorema del campionameno, il segnale originale x() può essere ricosruio in modo pereo mediane un ilro passa-basso ideale. Approondiamo meglio queso conceo analizzando cosa succede al segnale nel dominio del empo, nell ipoesi di campionare proprio alla requenza di Nyquis c = 2B per cui il ilro di ricosruzione ha banda B B. Sosiuendo nella (6) si oiene la risposa armonica, la cui anirasormaa rappresena la risposa impulsiva del ilro di ricosruzione: H() = Π( ) h() = sinc(/ ) (3) di conseguenza il segnale ricosruio può essere scrio come: x() = x δ () h() = = x(n ) h( n ) = x(n )δ( n ) h() (4) ( ) n x(n ) sinc La (5) rappresena la ormula di inerpolazione ideale (o cardinale) e esprime il ao che il segnale può essere ricosruio in modo pereo: x() x(). Noiamo che: ( ) ( ) ( ) + x() =... + x( ) sinc + x(0) sinc + x( ) sinc +... queso signiica che nel puno di campionameno il segnale coincide con i valori dei campioni, menre negli alri puni bisogna sommare i conribui di ue le sinc cenrae nei diversi isani di campionameno (igura 4). L inerpolazione realizzaa mediane un ilro passa basso ideale è di solio indicaa con inerpolazione a banda limiaa dal momeno che è in grado di ricosruire pereamene i segnali a banda limiaa che soddisano il vincolo di Nyquis. In eei ale approccio è ideale, dal (5)
Conversione D/A 6 x() x( ) x(0) x( ) Figura 4: Ricosruzione mediane inerpolazione ideale. momeno che la unzione sinc ha duraa ininia. Inolre, il ilro risulane è non causale e non sabile. Proprio per queso moivo di solio l inerpolazione dei valori campionai è realizzaa più semplicemene nei segueni modi:. Inerpolazione a manenimeno (zero-order hold); 2. Inerpolazione lineare (irs-order hold). Nel primo caso il valore del segnale in un cero isane viene semplicemene manenuo ino all isane di empo successivo, per cui il segnale ricosruio può essere scrio come: ( ) /2 n x() = x(n ) Π D alra pare per la (4) queso signiica anche: ( ) /2 x() = x δ () Π cioè il segnale è ilrao con un sisema avene risposa impulsiva: ( ) /2 h() = Π Sebbene queso ipo di approssimazione sia piuoso grossolano, in alcuni casi può risulare suiciene. Inolre, spesso a ale ricosruzione si a seguire un ilraggio passa-basso che ende a rendere più dolci le ransizioni da un inervallo di campionameno all alro. Nel secondo caso invece i valori dei campioni vengono unii mediane dei segmeni, il che equivale ad uilizzare un ilro con risposa impulsiva: ( ) h() = Λ E chiaro che, ainché quese ricosruzioni orniscano una ricosruzione del segnale abbasanza accuraa è necessario uilizzare un lieve aore di sovracampionameno. In igura 5 e 6 si mosrano due esempi in cui si eeua l inerpolazione a manenimeno e quella lineare.
Conversione D/A 7 bx() Figura 5: Ricosruzione mediane inerpolazione a manenimeno. bx() Figura 6: Ricosruzione mediane inerpolazione lineare.