Integrazione delle funzioni razionali e applicazioni Tutte le funzioni razionali sono integrabili elementarmente. Inparticolare: l integrale di un polinomio si calcola per linearità ed è sempre un polinomio di grado aumentato di rispetto all integrando; l integrale di una funzione razionale fratta si calcola tramite tecniche standard e risulta sempre esprimibile tramite combinazione lineare di funzioni razionali, logaritmi di funzioni razionali e arcotangenti di funzioni razionali. Nel seguito vediamo una di tali tecniche, detta metodo di scomposizione in fratti semplici di Hermite, che riconduce ogni integrale razionale all integrazione di fratti semplici del tipo : x a, Bx + C x + bx + c con = b 4c <0 dove, B, C, a, b, c sono costanti reali (sarà chiaro dal contesto se c indica il termine noto di un trinomio o la costante arbitraria di integrazione).. Integrazione di fratti semplici Vediamo innanzitutto come si integrano i fratti semplici del tipo suddetto, distinguendo quattro casi e ragionando, per ciascuno, su un esempio. (),adesempio x a x +. Si ha subito = x + (sostituzione y = x +, dy = ). =log x + + c x + () x + b x (dove non è necessario supporre < 0), ad esempio + bx + c numeratore appare la derivata del denominatore, quindi si ha subito x x x +5 =log x x +5 + c (sostituzione y = x x +5, dy =(x ) ). x x x +5. Piùingenerale,sen N,sichiamafratto semplice ogni funzione razionale della forma (x a) n, Bx + C (ax + bx + c) n con b 4ac < 0.
M.GUID, S.ROLNDO () C x + bx + c con = b 4c <0,adesempio x x +0. Operiamo il completamento del quadrato a denominatore x x +0= x x +0= x x + +0=(x ) +9, e riconduciamo il risultato ad un espressione del tipo costante ( + quadrato): si ottiene x x +0=(x ) (x ) x +9=9 + =9 +. 9 llora x x +0 = 9 + x = arctan x (sostituzione y = x, dy = ). = + c +y = arctan y + c (4) Bx + C x + bx + c con = b 4c <0 e B,C qualunque,adesempio Facciamo apparire a numeratore la derivata del denominatore 5x + x x +0. 5x += 5 (x)+= 5 (x +)+= 5 (x ) + 6 e spezziamo la frazione 5 5 5x + x x +0 = (x ) + 6 x x +0 = (x ) x x +0 + 6 x x +0. llora 5x + x x +0 = 5 x x +6 x +0 x x +0 dove gliintegraliasecondomembrosonoditipigiàvisti(casi () e ()). Risulta x x x +0 =log x x +0 + c =log x x +0 + c (il valore assoluto è superfluo in quanto il trinomio è sempre positivo, avendo < 0 e coefficiente direttivo positivo) e x x +0 = arctan x + c, da cui si conclude 5x + x x +0 = 5 log x x +0 + arctan x + c.
INTEGRLI RZIONLI. Scomposizione in fratti semplici di Hermite Vediamo ora come ricondurre un integrale razionale generico all integrazione di fratti semplici dei tipi considerati nella sezione precedente. Schematizzeremo il procedimento in sei passi, che visualizzeremo sul seguente esempio: x 6 +x 5 +4x 4 +x + x x x 5 +4x 4 +4x +4x +x. I primi due passi consistono solo in semplificazioni, di cui la prima non è obbligatoria per il proseguimento del metodo e può essere evitata (o rimandata ad un momento qualsiasi, ad esempio durante il passo 4), qualora non risultasse agevole. Semplifichiamo eventuali fattori comuni a numeratore e denominatore: entrambisonoevidentemente divisibili per x, percuisiha x 6 +x 5 +4x 4 +x + x x x 5 +4x 4 +4x +4x +x = x 5 +x 4 +4x +x + x x 4 +4x +4x +4x + = La ricerca di altri fattori comuni non sembra immediata, quindi procediamo con il secondo passo. Nel caso in cui non lo sia già, rendiamo unitario il coefficiente direttivo del denominatore: x 5 +x 4 +4x +x + x x 5 = x 4 +4x +4x +4x + = +x 4 +4x +x + x (x 4 +x +x +x +) = x 5 +x 4 +4x +x + x x 4 +x +x = +x + Se il grado del numeratore è maggiore o uguale al grado del denominatore, eseguiamo la divisione tra numeratore e denominatore x 5 +x 4 +4x +x +x x 4 +x +x +x + x 5 +x 4 +x +x +x x x (.) x5 +x 4 +4x +x + x x 4 +x +x = x + +x + e spezziamo l integrale: x x + = = x+ x 4 +x +x +x + x x x 4 +x +x = +x + 4 + x x 4 +x +x +x + x x 4 +x +x +x +. In questo modo si tratterà sempre di calcolare integrali del tipo P (x) Q (x) con deg P<deg Q edoveq (x) ha coefficiente direttivo.
4 M.GUID, S.ROLNDO I due passi successivi si applicano a frazioni di questo tipo e si basano sui seguenti risultati: il denominatore ammette sempre una scomposizione del tipo Q (x) =(x a ) k (x a n ) kn x + b x + c h x + b m x + c m hm dove i trinomi hanno tutti discriminante negativo si tratta di scomporre Q (x) (in generale può essere molto difficile) corrispondentemente, la frazione ammette sempre una decomposizione del tipo P (x) Q (x) = x a +... + + d P (x) Q (x) n + B x + C x a n x +... + + b x + c B mx + C m x + b m x + c m quest ultimo termine non va messo se tutti gli esponenti k,...,k n,h,...,h m della scomposizione di Q (x) valgono dove i,b j,c j sono costanti reali e dove, nel caso in cui l ultimo termine sia presente, Q (x) èdatoda Q (x) =(x a ) k (x a n ) kn x h + b x + c x hm + b m x + c m (prodotto degli stessi fattori di Q (x) con tutti gli esponenti abbassati di ), mentre P (x) è un polinomio di grado deg P =degq. si tratta di determinare P (x) elecostanti i,b j,c j (è facile e lo vedremo su esempi). Procediamo allora al calcolo di x x 4 +x +x +x +. 4 Scomponiamo in fattori il denominatore, tramite le usuali tecniche di scomposizione: si ottiene x 4 +x +x +x + = x 4 +x ++x +x = x + +x x + = x ++x x + =(x +) x +. vendo la scomposizione del denominatore, possiamo controllare a questo punto se la frazione integranda presenta fattori semplificabili: si ha x =(x ) x + x + e dunque numeratore e denominatore non hanno fattori comuni. 5 Decomponiamo in fratti semplici la frazione integranda: prendendo Q (x) =(x +) x + = x + e P (x) =k polinomio costante (in quanto deve essere deg P =degq = =0), risulta x (x +) (x +) = x + + Bx + C x + + d k (.). x + Si tratta ora di determinare le costanti, B, C, k.
INTEGRLI RZIONLI 5 Riscriviamo la decomposizione calcolando la derivata che vi appare e riducendo a denominatore comune: x + + Bx + C x + + d k = x + x + + Bx + C x + k (x +) = ( + B) x +( +B + C k) x +( + B +C) x + + C k (x +). (x +) Le costanti, B, C, k devono dunque essere tali che x (x +) (x +) = ( + B) x +( +B + C k) x +( + B +C) x + + C k (x +) (x +) eciòsignifica (semplificando il denominatore) x =( + B) x +( +B + C k) x +( + B +C) x + + C k. Per il principio di identità dei polinomi (due polinomi sono uguali se e solo se sono uguali icoefficienti omologhi), questo equivale a + B = +B + C k =0. + B +C =0 + C k = Risolvendo tale sistema (lineare), si ottiene = B =, C =, k =, da cui, sostituendo in (.), risulta finalmente x (x +) (x +) = x + + x x + + d 6 Integriamo la decomposizione trovata: siha x (x +) (x +) = x + + = x + +. x + x x + + x x + + x + + c d x + dove i restanti integrali sono dei tipi studiati nella Sezione. Eseguendo il loro calcolo si ottiene x (x +) (x +) = log x + + 4 log x + arctan x + x + + c. In definitiva, sostituendo in (.), risulta x 6 +x 5 +4x 4 +x + x x x 5 +4x 4 +4x +4x +x x = 4 + x + + log x + + 4 log x + + arctan x + c.
6 M.GUID, S.ROLNDO Esempio. Calcolare. lcuni esempi x +x +4x x. +x Poiché deg x +x +4x > deg x +x, eseguiamo la divisione ottenendo e quindi x +x +4x x +x x +x x x + x +7x x +x 5x + x +x +4x x +x = x ++ 5x + x +x x +x +4x x = +x (x +) + 5x + (x +) x = + +x 5x + x +x. Scomponendo il denominatore dell ultimo integrando x +x =(x +)(x ) edecomponendo in fratti semplici la frazione, si ottiene 5x + (x +)(x ) = x + + B (x ) + B (x +) ( + B) x +B = = x (x +)(x ) (x +)(x ) cheequivalea5x +=( + B) x +B, cioè + B =5 +B =. Tale sistema fornisce = 4 e B = 7 4, per cui risulta 5x + (x +)(x ) = /4 x + + 7/4 x. In definitiva x +x +4x x = +x = (x +) (x +) + 4 x + + 7 4 x + 4 log x + + 7 log x + c. 4 Esempio. Calcolare x + x + x + x. Si ha x + x + x = x x + x + doce x + x +ha discriminante negativo e quindi sussite una decomposizione in fratti semplici della forma x + x (x + x +) = x + Bx + C x + x + = x + x + +(Bx + C) x x (x + x +) = ( + B) x +( + C) x + x (x. + x +)
Per il principio di identità dei polinomi, deve allora essere + B =0 + C = = cioé =, B = e C =, dacui x + x (x + x +) = x + x x + x +. Dunque x + x + x + x = x + x x + x + d = x =log x x + x + INTEGRLI RZIONLI 7 = x x + x + x + x + x + x =log x log x + x + + c + x + + c. Esempio. Calcolare x + x 4x +4. Si ha x 4x +4=(x ) e quindi sussite una decomposizione in fratti semplici della forma x + (x ) = x + d k = x x k x k = (x ) (x ). Per il principio di identità dei polinomi, deve allora essere = k = cioé =e k = 4, dacui x + (x ) = x + d 4. x Dunque x + x 4x +4 = x + d 4 = x =log x 4 x + c. x 4 x + c Esempio 4. Calcolare (x +). Il denominatore è già scomposto e porta ad una decomposizione in fratti semplici della forma (x +) = Bx + C x + + d ax + b x = Bx + C + x + + a x + x (ax + b) (x +) = Bx +(C a) x +(B b) x + C + a (x +).
8 M.GUID, S.ROLNDO Per il principio di identità dei polinomi, deve allora essere B =0 C a =0 B b =0 C + a = che significa B = b =0e C = a =. Dunque (x +) = / x + + d x/ x + e pertanto (x +) = x + + x x + + c = arctan x + x x + + c. Esempio 5. Calcolare (x ) 4. Questo esempio mostra che, sebbene il metodo descritto e applicato finora consenta di calcolare gli integrali di tutte le funzioni razionali fratte (di cui si sappia scomporre il denominatore), non è sempre necessario ricorrere a tale metodo, che a volte risulta più dispendioso in termini di calcolo rispetto a ragionamenti più immediati. Nel caso in questione, infatti, si ha subito (x ) 4 = (x ) 4 = (sostituzione y =x, dy =). y 4 = y + c = 6(x ) + c
INTEGRLI RZIONLI 9 4. Integrali riconducibili ad integrali razionali mediante sostituzioni standard In questa sezione illustriamo alcune situazioni standard in cui un integrale può essere ricondotto ad un integrale razionale tramite un opportuna sostituzione. f (e x ) con f (t) funzione razionale diventa un integrale razionale con la sostituzione invertibile x =logt, ovverot = e x. Esempio. Si debba calcolare l integrale e x e x +e x = e x (e x ) +e x = Tramite la sostituzione t = e x, x =logt, = t t t e x e x +e x = t +t t dt = = 4 t + + 4 dt, si ottiene (t +)t dt = t + d dt t f (e x ) con f (t) = t t +t. t + + B t + d dt k dt t dt = 4 log t + + 4 log t + t + c = 4 (log (ex ) log (e x +))+ e x + c = 4 (x log (ex +))+ e x + c dove le costanti = /4, B =/4, k =/ sono state determinate applicando come al solito il principio di identità dei polinomi. Nota. Nel seguito ci sarà utile considerare funzioni razionali in più variabili, ossia polinomi o rapporti di polinomi in più variabili, ad esempio f (X, Y )= X XY +Y X+Y + (due variabili), oppure f (X, Y, Z) =X Z +5YX Z +(tre variabili) e così via. f (sin x), f (cos x), f (sin x, cos x) con f funzione razionale diventano integrali razionali con la sostituzione invertibile x = arctan t, ovverot =tan x. Si tenga presente che, sotto tale sostituzione, risulta sin x = t e cos x = t. +t +t Esempio. Si debba calcolare l integrale cos x +sinx = f (sin x, cos x) con f (X, Y )= Y +X. Tramite la sostituzione x = arctan t, t =tan x (con π <x<π), = +t dt, siottiene cos x t +sinx = +t t + t dt =4 +t +t (t +) ( + t ) dt = t + + Bt + C +t + d k dt dt t + = t + + t +t + d dt dt t + = log (t +)+ 4 log +t (t +) + c = 4 log +tan x log +tan x +tan x + c.
0 M.GUID, S.ROLNDO Esempio. Operando la stessa sostituzione dell esempio precedente nell integrale +sinx = f (sin x) con f (X) = +X, si ottiene +sinx = + t dt = +t +t (t +) dt = t + + c = tan x c. ++ f sin x, cos x, tan x con f funzione razionale, eventualmente di solo o argomenti, diventa un integrale razionale con la sostituzione invertibile x = arctan t, ovverot = tanx. Si tenga presente che, sotto tale sostituzione, risulta sin x = t +t e cos x = +t. Esempio. Si debba calcolare l integrale +tanx = f (tan x) con f (X) = +X. Tramite la sostituzione x = arctan t, t =tanx (con π <x< π ), = +t dt, siottiene +tanx = +t+t t + + Bt + C t dt = + 5 t + t t dt + = 5 log t + 0 log t + + 5 arctan t + c = log tan x + 5 0 log tan x + + 5 x + c dove le costanti =/5, B = /5, C =/5 sono state determinate applicando come al solito il principio di identità dei polinomi. Esempio. Operando la stessa sostituzione dell esempio precedente nell integrale +tanx +sin x = f sin x, tan x con f (X, Y )= +Y +X, si ottiene +tanx +sin x = +t +t dt = t + + t +t = 4 log +tan x + arctan t + dt = 4 log +t + arctan tanx + c. t + c f x, n ax + b, n ax + b,..., n k ax + b con f funzione razionale, a = 0e b R diventa un integrale razionale con la sostituzione invertibile t = n ax + b, dove n =m.c.m. (n,n,...,n k ). Esempio. Si debba calcolare l integrale x +x = f x, x con f (X, Y )= Y +X. cioè potrebbe anche essere f sin x, f cos x, f (tan x), f sin x, cos x, f sin x, tan x oppure f cos x, tan x
INTEGRLI RZIONLI Tramite la sostituzione t = x, x = t +(con t 0), =tdt,siottiene x +x = t +(t +) tdt= t t t + dt = + t + dt = t dt + = dt t + dt = t t +dt = t arctan t + c = (x ) x arctan + c. Esempio. Consideriamo l integrale x + x = f x, x con f (X, Y )= X + Y. Poiché m.c.m. (, ) = 6, operiamolasostituzionet = 6 x, x = t 6 (con t 0), =6t 5 dt. Essendo t 0, siha x = t 6 = t e x = t 6 = t. Dunque si ottiene x + x = 6t 5 t t dt =6 dt =6 t t + dt + t t + t + t =6 t + t log t + + c = x x +6 6 x 6log 6 x + + c dove l identità t t+ = t t + t+ è stata ottenuta eseguendo la divisione dei polinomi.