Operazioni finanziarie composte Consideriamo due operazioni finanziarie: {S, -(S+I)}/{0,1} e {S, -(S+I+J})}/{0,2} La seconda può essere intesa come la composizione di due operazioni elementari: {S, -(S+I)}/{0,1}, con decorrenza immediata (a pronti) {S+I, -(S+I+J})}/{1,2}, differita (a termine) Università Parthenope 1
Operazioni finanziarie composte Esprimiamo l operazione in termini di fattore di sconto: S = ν(0,1). (S+I) e S = ν(0,2). (S+I+J) mentre per quella a termine, occorre scrivere dove S+I = ν(0,1,2). (S+I+J) ν(0,2) = ν(0,1). ν(0,1,2) Università Parthenope 2
Contratto finanziario elementare Decidere, al tempo t c, di scambiare due somme, A e B, disponibili in istanti diversi (t A < t B, non necessariamente predefiniti) ritenute finanziariamente equivalenti: definire una relazione ν(t c, t A, t B ) che lega le somme A e B A = ν(t c, t A, t B ) B definire una relazione m(t c, t A, t B ) che lega le somme A e B B = r(t c, t A, t B ) A Università Parthenope 3
Funzione valore di sconto La funzione ν(t c, t A, t B ) esprime il valore all istante t A e pattuito all istante t c, di una unità monetaria (un euro) esigile all istante t B : se al tempo t c = 0, si definiscono equivalenti un euro disponibile dopo due anni ed 0.8 euro disponibili dopo sei mesi, si scrive: ν(0, 0.5, 2) = 0.8 Università Parthenope 4
Funzione valore di sconto In molte situazioni, il tempo di stipula, t c, e il tempo di esigibilità della somma A, t A, coincidono: t c = t A = t t B = t+τ ν(t c, t A, t B ) = ν(t, t, t B ) = ν(t, t+τ) Università Parthenope 5
Funzione valore di sconto In alcuni casi, il valore della funzione dipende solo dalla durata τ e non dal tempo t: t c = t A = t t B = t+τ ν (t c, t A, t B ) = ν(t, t, t B ) = ν(t, t+τ) = ν(τ) Università Parthenope 6
Proprietà della funzione sconto ν (t c, t A, t B ) > 0, t c t A t B ν (t c, t A, t B ) ν (t c, t C, t B ), t c t A t C t B ν(t c, t A, t C ) ν (t c, t A, t B ), t c t A t C t B ν (t c, t B, t B ) = 1 Università Parthenope 7
Regimi finanziari Interesse semplice I(t) = i. C. t con i costante = tasso di interesse periodale: i(t) = i. t r(t) = 1 + i. t ν(t) = 1/(1+i. t) d(t) = i. t/(1+i. t) Università Parthenope 8
Regimi finanziari Tassi equivalenti Il tasso di interesse i è riferito ad una ben definita unità di misura del tempo. Se cambia l unità di misura, deve cambiare anche il valore di i Se i a è il tasso riferito all unità temporale a i b è quello riferito all unità b t a è il tempo espresso in unità temporali a t b è il tempo espresso in unità b Risulta: I(t) = i a. C. t a = i b. C. t b i b = i a. t a / t b Università Parthenope 9
ESEMPIO 6 Tassi equivalenti nel regime di interesse semplice Calcolare il tasso trimestrale equivalente al tasso annuo del 7%. Calcolare l interesse prodotto da 4 200 euro investite, per tre mesi, al tasso annuo del 8%. Calcolare il tasso trimestrale equivalente. Su un arco di un mese, sono possibili due operazioni finanziarie che producono, rispettivamente, un interesse pari al 3.8% trimestrale e del 5.7% quadrimestrale. Quale è la più conveniente? Università Parthenope 10
ESEMPIO 7 Il problema del computo dei giorni Calcolare l interesse prodotto da 4 200 euro investite, dall 8 marzo a 15 luglio dello stesso anno, al tasso dell 8.15%. Università Parthenope 11
Il problema del computo dei giorni Anno civile = 365 giorni Anno commerciale = 360 giorni Convenzione sulla durata del mese: Ogni mese dura 30 giorni Università Parthenope 12
Capitalizzazione degli interessi n = 1 => M = C(1+iT) n = 2 => M = C(1+iT/2)(1+iT/2)=C(1+iT/2) 2 n = 3 => M = C(1+iT/3) 3... n = k => M = C(1+iT/k) k Il limite per k che tende all infinito produce: M = e it, funzione esponenziale Università Parthenope 13
ESEMPIO 8 Calcolare il montante di 3 500 euro dopo 18 mesi investiti al 9 % annuo nelle ipotesi: assenza di capitalizzazione intermedia capitalizzazione dopo un anno capitalizzazione dopo 9 mesi Capitalizzazione semestrale capitalizzazione mensile capitalizzazione continua Università Parthenope 14
Regimi finanziari Sconto commerciale D(t) = d. K. t con d costante = tasso di sconto periodale: d(t)=d. t ν(t) = 1 d. t r(t) = 1/(1-d. t) i(t) = d. t/(1 - d. t) Università Parthenope 15
ESEMPIO 9 Calcolare il valore attuale di un capitale di 6 000 euro disponibile tra 4 mesi al regime dello sconto commerciale con un tasso di sconto del 18% Calcolare il differimento temporale per il quale, nel regime di sconto commerciale al tasso di sconto del 10% semestrale, un capitale di 4 500 euro ha valore attuale di 4 000 euro. Università Parthenope 16
Regimi finanziari Interesse composto Gli interessi maturati vengono immediatamente capitalizzati (generano ulteriori interessi). in n periodi, il montante di una unità di capitale vale r(n)=(1+i) n In un periodo, indicato con i 1/m il tasso equivalente ad i, deve aversi (1+i 1/m ) m = 1+i 1+i 1/m = (1+i) 1/m al tempo t=n/m il montante di una unità di capitale varrà r(t)=r(n/m)=(1+i 1/m ) n = (1+i) n/m = (1+i) t Università Parthenope 17
Regimi finanziari Interesse composto Si ha: r(t) = (1+i) t dove i costante è il tasso di interesse periodale ν(t) = (1 + i) -t i(t) = (1+i) t 1 d(t) = 1-(1+i) -t Università Parthenope 18
Tasso nominale Supponiamo che gli interessi prodotti da una unità di capitale in regime di interesse composto, al tasso i, vengano corrisposti con predefinita cadenza (m volte nel periodo) il tasso equivalente risulta: i 1/m = (1+i) 1/m -1 La somma di tali interessi viene chiamata TASSO NOMINALE rinnovabile m volte nel periodo: N m = m. i 1/m = m. [ (1+i) 1/m 1] Università Parthenope 19
Tasso istantaneo si dimostra che lim m N m = log(1+i) = δ; Tale valore è detto TASSO ISTANTANEO d interesse Risulta: r(t) = e δt = exp(δt) Università Parthenope 20
Esempio 10 Calcolare il capitale da investire per ottenere i 3 anni, nel regime dell interesse composto al tasso annuo del 21%, un montante pari a 12 500 euro Calcolare gli interessi staccati mensilmente su di un capitale di 100 euro al tasso del 10% annuo in regime dell interesse composto Calcolare il tasso nominale Calcolare il tasso istantaneo Verificate, sperimentalmente, il valore del tasso istantaneo Università Parthenope 21
Tasso istantaneo Si ha: i = exp(δ) 1 M(t) = C exp(δt) P(t) = K exp(- δt) Università Parthenope 22
Confronto tra i regimi finanziari Consideriamo i tre regimi finanziari Quale è il regime più conveniente? Per misurare la convenienza, paragoniamo i fattori di capitalizzazione: r s (t) = f. cap. interesse semplice r i (t) = f. cap. sconto commerciale (iperbolico) r c (t) = f. cap. interesse composto Università Parthenope 23
Confronto tra i regimi finanziari Si ha: r s (0) = r i (0) = r c (0) = 1 r s (1) = r i (1) = r c (1) = 1+i Si dimostra che: r s (t) > r c (t) > r i (t) per 0 < t < 1 r s (t) < r c (t) < r i (t) per t > 1 Università Parthenope 24