a.a. 203/204 Laurea triennale in Informatica Corso di Analisi Matematica Funzioni continue Avvertenza Questi sono appunti informali delle lezioni, che vengono resi disponibili per comodità degli studenti. Parte del materiale presentato è tratto dai libri di testo consigliati, la cui consultazione è vivamente incoraggiata.
Continuità in un punto e in un intervallo Sia A R un intervallo e sia f : A R. Sia x A. Diciamo che f è (sequenzialmente) continua in x se per ogni successione {x n } di elementi di A che converge a x la successione {f (x n )} converge a f ( x). Se f non è continua in x, diciamo che è discontinua in x, oppure che x è un punto di discontinuità per f. Diciamo che f è continua in A se è continua in tutti i punti di A.
Esempi da ricordare Le funzioni costanti, la funzione identica, la funzione valore assoluto, le funzioni affini, la funzione reciproco sono continue nei rispettivi domini. La funzione parte intera inferiore e la funzione mantissa sono discontinue nei punti di Z. La funzione segno e la funzione di Heaviside sono discontinue in x = 0. Verifica... Osservazione Supponiamo che due funzioni assumano i medesimi valori in un intervallo. Se una delle due è continua in un punto interno all intervallo, anche l altra lo è.
Proposizione Continuità e operazioni algebriche La somma, la differenza, il prodotto, la combinazione lineare, il reciproco, il rapporto di funzioni continue sono funzioni continue nei rispettivi domini. Continuità e composizione funzionale La funzione composta di funzioni, ciascuna continua nel rispettivo dominio, è continua nel proprio dominio. Verifica...
Esempi da ricordare Le seguenti funzioni sono continue nei rispettivi domini: funzione potenza a esponente in Z; funzione polinomiale: P(x) = c n x n + c n x n +... + c x + c 0, con c 0, c,..., c n R; funzione razionale: R(x) = P(x) Q(x), con P e Q funzioni polinomiali.
Proprietà globali delle funzioni continue Teorema di Weierstrass Sia f una funzione continua nell intervallo chiuso e limitato [a, b]. Allora: f ammette minimo e massimo globale in [a, b], cioè : esistono x, x [a, b] tali che f (x ) f (x) f (x ) per ogni x [a, b]. Illustriamo il ruolo delle ipotesi mediante qualche esempio: f (x) = x x (0, ] f (x) = x x [, + ) f (x) = x x x [, 5] f (x) = { x 2 se x [ 2, 0) (0, 3] se x = 0
Teorema degli zeri Sia f una funzione continua nell intervallo A. Se f assume valori discordi in A, allora f si annulla in almeno un punto di A. Più precisamente: se esistono due punti distinti a, b A tali che f (a) f (b) < 0, allora esiste x compreso tra a e b tale che f ( x) = 0. Dimostrazione... Corollario Sia f una funzione continua nell intervallo A. Per ogni ȳ (inf f, sup f ) esiste x A tale che f ( x) = ȳ. (Teorema dei valori intermedi) L immagine di f è l intervallo di estremi inf f e sup f. Verifica... Interpretazione grafica della continuità...
Proposizione (continuità e inversione funzionale) Se la funzione f è definita in un intervallo, strettamente monotona e continua, allora anche la funzione inversa di f lo è. Dimostrazione... Osservazione Si può dimostrare che per una funzione definita e continua in un intervallo la stretta monotonia è condizione necessaria e sufficiente per l invertibilità. Esempi da ricordare Le seguenti funzioni sono continue nei rispettivi domini: la funzione radice n-esima; la funzione potenza a esponente razionale.
Funzioni esponenziali e loro inverse Sia a R +, a. La funzione definita come x R a x R si chiama funzione esponenziale in base a. Osservazione Per a <, la funzione esponenziale è strettamente decrescente in R. Per a >, la funzione esponenziale è strettamente crescente in R. Verifica... 0 < a < a > 0 0
Richiami dal capitolo sui numeri reali: Per x R +, il simbolo log a (x) indica l unico numero reale la cui esponenziale con base a sia uguale a x. L uguaglianza a log a (x) = x vale per ogni x R +. L uguaglianza log a (a x ) = x vale per ogni x R. Dalle uguaglianze segue che la funzione logaritmo in base a, definita come x R + log a (x) R, è la funzione inversa della funzione esponenziale in base a. 0 < a < a > 0
Proposizione La funzione esponenziale e la funzione logaritmo sono continue nei rispettivi domini. Verifica... Corollario La funzione potenza con esponente qualsiasi è continua.
Funzioni goniometriche e loro inverse Preliminari: distanza tra due punti la circonferenza come luogo geometrico l equazione della circonferenza corrispondenza tra R e la circonferenza unitaria misura in radianti di un angolo orientato Definiamo le funzioni sin: R R (seno) e cos: R R (coseno) come segue: per ogni x R, sin(x) è l ordinata dell unico punto che corrisponde a x sulla circonferenza unitaria; per ogni x R, cos(x) è l ascissa dell unico punto che corrisponde a x sulla circonferenza unitaria. Identità fondamentale della trigonometria Per ogni x R si ha sin(x) 2 + cos(x) 2 =. Perché?
Proprietà immediate (o quasi) delle funzioni seno e coseno Periodicità Per ogni x R: sin(x + 2π) = sin(x), cos(x + 2π) = cos(x) Limitatezza Per ogni x R: sin(x), cos(x) Simmetria Per ogni x R: sin( x) = sin(x), cos( x) = cos(x) Monotonia... Zeri e segno...
Seno 0 Coseno 0 Osservazione I grafici di seno e coseno coincidono a meno di una traslazione ( orizzontale; ciò è dovuto all uguaglianza sin(x) = cos x π ), 2 vera per ogni x R.
La funzione { π } x R \ 2 + kπ k Z si chiama funzione tangente. Interpretazione geometrica... sin(x) =: tan(x) R cos(x) Proprietà immediate (o quasi) della funzione tangente Periodicità Per ogni x dom(tan): tan(x + π) = tan(x) Simmetria Per ogni x R: tan( x) = tan(x) Monotonia... Zeri e segno... 0
Alcuni valori notevoli delle funzioni seno, coseno e tangente x sin(x) cos(x) tan(x) 0 0 0 π 2 0 π 0 0 π 3 6 2 2 3 π 2 4 2 π 3 3 2 2 3 Altri valori si calcolano tenendo conto delle simmetrie
Proposizione Le funzioni seno, coseno, tangente sono continue nei rispettivi domini. Verifica... Corollario L immagine delle funzioni seno e coseno è l intervallo [, ]. L immagine della funzione tangente è R. Verifica...
Le seguenti funzioni sono strettamente monotone e pertanto invertibili: la restrizione della funzione seno all intervallo [ π 2, π 2 ] ; la restrizione della funzione coseno all intervallo [0, π]; la restrizione della funzione tangente all intervallo ( π 2, π 2 ). Le rispettive funzioni inverse si chiamano arcoseno, arcocoseno, arcotangente (simboli: arcsin, arccos, arctan).
Proprietà immediate (o quasi) arcoseno arcocoseno arcotangente dominio [, ] [, ] R [ immagine π 2, π ] ( [0, π] π 2 2, π ) 2 monotonia strett. crescente strett. decrescente strett. crescente simmetria dispari nessuna dispari continuità si si si 0 0
Osservazione I valori notevoli di arcoseno, arcocoseno e arcotangente si ricavano da quelli di seno, coseno e tangente, tenendo conto che arcsin(x) = y sin(y) = x, arctan(x) = y tan(y) = x arccos(x) = y cos(y) = x Osservazione Le funzioni inverse delle funzioni seno, coseno e tangente non vanno confuse con le funzioni reciproche, che sono chiamate cosecante, secante e cotangente, rispettivamente. Esercizio Determinare gli insiemi di definizione di cosecante, secante e cotangente. Tracciarne i grafici a partire da quelli delle funzioni seno, coseno e tangente, rispettivamente.