fig. 1 fig. 2 In base alla figura 1 si definiscono il seno ed il coseno di un angolo come segue:

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1 Trigonometria teoria Funzioni goniometriche Premessa Si definiscono funzioni goniometriche quelle la cui variabile risulta un angolo, oppure un arco. Prima di passare alla loro definizione è necessario assegnare un criterio in base al quale fare la lettura degli angoli in un opportuno riferimento. Convenzionalmente si stabilisce di leggere gli angoli, come pure gli archi, in senso antiorario a partire dal semiasse delle ascisse positive, e la seconda. Ovviamente una lettura in senso orario corrisponde ad una lettura negativa degli angoli. fig. 1 fig. sin(x) e cos(x) In base alla figura 1 si definiscono il seno ed il coseno di un angolo come segue: Sin(x) = PQ OP Cos(x) = OQ OP dove P é un punto liberamente scelto sulla semiretta, libera di ruotare al variare dell angolo, e Q é la proiezione ortogonale di P sulla semiretta fissa. Poiché la figura che si viene a formare in seguito alla proiezione ortogonale del punto P é un triangolo rettangolo, in base alle definizioni date si può asserire che il seno di un angolo rappresenta la misura del cateto opposto all angolo rispetto all ipotenusa assunta come campione di unità di misura lineare, mentre il coseno rappresenta la misura del cateto adiacente all angolo, rispetto alla stessa unità di misura. Dalle precedenti definizioni è facile constatare la convenienza di uniformizzare la scelta di P, per ogni angolo ricorrendo alla circonferenza descritta dallo stesso punto P e scegliendo anche che il raggio di quest ultima sia pari al campione unitario (fig. ). Tale circonferenza viene detta: «circonferenza goniometrica». Tenuto conto di quest ultima scelta si può dire che la coppia (cos x, sin x) rappresenta le coordinate del punto P al variare di questo sulla circonferenza goniometrica conseguentemente al variare dell angolo. tan(x) e cot(x) La tangente trigonometrica di un angolo si definisce ricorrendo all uso di una tangente geometrica condotta per il punto di intersezione della circonferenza trigonometrica con il punto di intersezione di questa con il semiasse positivo delle ascisse. Si ha

2 A10 Trigonometria.nb tan(x) = TA OA Dall analisi dei triangoli OPQ ed OTA, simili fra loro, si dimostra la seguente identità: tan(x) = sin(x) cos(x) La cotangente trigonometrica di un angolo si definisce mediante l uso di una tangente geometrica condotta per il punto di intersezione della circonferenza trigonometrica con il punto di intersezione di questa con il semiasse positivo delle ordinate. Si ha cot(x) = BS OB Dall analisi dei triangoli OPQ ed OBS, simili fra loro, si dimostra la seguente identità: cot(x) = cos(x) sin(x) fig. fig. sec(x) e csc(x) Se si conduce, invece, la tangente geometrica, per ogni punto P che il raggio vettore che descrive l angolo ha in comune con la circonferenza, si ha modo di definire ancora due funzioni goniometriche che sono, appunto, sec(x) e cosec(x). Si ha sec(x) = OS OP Dall analisi dei triangoli OPQ ed OPS, simili fra loro, si dimostra la seguente identità: ed ancora sec(x) = 1 cos(x) csc(x) = OT OP Dall analisi dei triangoli OPQ ed OPT, simili fra loro, si dimostra la seguente identità: csc(x) = 1 sin(x) fig. Se si tiene conto della teoria che riguarda i triangoli rettangoli notevoli con angoli di e di 0 e 60 gradi, é possibile calcolare un consistente numero di valori per ognuna delle funzioni sopra definite con i quali formulare una tabella da cui, poi, conseguono i grafici delle stesse funzioni. Con quanto si é studiato fin qui, é facile giustificare la seguente tavola da cui, poi, discendono i relativi grafici riportati nelle successive figure.

3 A10 Trigonometria.nb fig. 6 fig. 7 tabella dei valori notevoli noti i triangoli rett. speciali x x rad Sin x Cos x Tan x Cot x Sec x Csc x tab. 1 Con i valori calcolati nella precedente tabella è possibile stabilire qual'é il grafico e quali sono le proprietà immediate di ciascuna funzione definita. Sinusoide fig. 8

4 A10 Trigonometria.nb Dominio R Codominio [-1;1] Periodo Considerando f : x sin x come funzione operante da R R non è iniettiva ne suriettiva; come funzione operante da R [-1;1] è suriettiva ma non è iniettiva; come funzione da - ; [- 1; 1] è biiettiva e quindi invertibile. Cosinusoide Dominio R Codominio [-1;1] Periodo Considerando f : x cos x come funzione operante da R R non è iniettiva ne suriettiva; come funzione operante da R [-1;1] è suriettiva ma non è iniettiva; come funzione da [0; ] [- 1; 1] è biiettiva e quindi invertibile. Tangentoide Dominio R - {/ + k} con k Z Codominio R Periodo Considerando f : x tg x come funzione operante da R -{/ + k} R è suriettiva; come funzione operante da ]-/;/[ R è biiettiva e quindi invertibile. fig. 9 fig. 10 fig. 11

5 A10 Trigonometria.nb Cotangentoide Dominio R - {k} con k Z Codominio R Periodo Considerando f : x cotg x come funzione operante da R - {k} R è suriettiva; come funzione operante da ]0 ; [ R è biiettiva e quindi invertibile. fig. 1 fig. 1 Determinare il grafico della Secantoide e quello della Cosecantoide come esercizio. Riepilogo delle proprietà fondamentali Archi associati 1) Sin (x) + Cos (x) = 1 ) Tan(x) = sin(x) cos(x) ) Cot(x) = cos(x) sin(x) ) Sec(x) = 1 cos(x) ) Csc(x) = 1 sin(x) a) Angoli complementari: x e (90-x) Sin(90 - x) = Cos x Cos(90 - x) = Sin x Tan(90 - x) = Cot x Cot(90 - x) = Tan x Sec(90 - x) =... Cosec(90 - x) =... tan(x) cot(x) = 1

6 6 A10 Trigonometria.nb fig. 1 fig. 1 b) Angoli che differiscono di 90 : x e (90+x) Sin(90+x) = Cos x Cos(90+x) = - Sin x Tan(90+x) = - Cot x Cot(90+x) = - Tan x Sec(90+x) =... Cosec(90+x) =... c) Angoli supplementari: x e (180-x) Sin(180-x) = Sin x Cos(180-x) = - Cos x Tan(180-x) = - Tan x Cot(180-x) = - Cot x Sec(180-x) =... Cosec(180-x) =... fig. 16 fig. 17 d) Angoli che differiscono di 180 : x e (180+x) Sin(180+x) = - Sin x Cos(180+x) = - Cos x Tan(180+x) = Tan x Cot(180+x) = Cot x Sec(180+x) =... Cosec(180+x) =... e) Angoli che sommati danno 70: x e (70-x) Sin(70-x) = - Cos x Cos(70-x) = - Sin x Tan(70-x) = Cot x Cot(70-x) = Tan x Sec(70-x) =... Cosec(70-x) =...

7 A10 Trigonometria.nb 7 fig. 18 fig. 19 f) Angoli che differiscono di 70 : x e (70+x) Sin(70+x) = - Cox x Cos(70+x) = Sin x Tan(70+x) = - Cot x Cot(70+x) = - Tan x Sec(70+x) =... Cosec(70+x) =... g) Angoli esplementari: x e (60-x) Sin(60-x) = - Sin x Cos(60-x) = Cos x Tan(60-x) = - Tan x Cot(60-x) = - Cot x Sec(60-x) =... Cosec(60-x) =... fig. 0 fig. 1 h) Angoli che differiscono di 60 : x e (60+x) Sin(60+x) = Sin x Cos(60+x) = Cos x Tan(60+x) = Tan x Cot(60+x) = Cot x Sec(60+x) =... Cosec(60+x) =... g) Angoli opposti: x e -x Sin(-x) = - Sin x Cos(-x) = Cos x Tan(-x) = - Tan x

8 8 A10 Trigonometria.nb Cot(-x) = - Cot x Sec(-x) =... Cosec(-x) =... fig. fig. Dimostrazione della formula di sottrazione del coseno Seguendo la figura si conclude che la corda PQ è uguale alla corda AB, risultando uguali per ipotesi i corrispondenti archi. Inoltre i punti A, B, P e Q hanno le seguenti coordinate: Poiché segue e quindi da cui A = (1, 0) B = [Cos(αα - ββ), Sin(αα - ββ)] P = (Cos αα, Sin αα) Q = (Cos ββ, Sin ββ) AB = PQ AB = PQ [Cos(αα - ββ) - 1] + [Sin(αα - ββ)] = (Cos αα - Cos ββ) + (Sin αα - Sin ββ) Cos (αα - ββ) - Cos(αα - ββ) Sin (αα - ββ) = Cos αα - Cos αα Cos ββ + Cos ββ + Sin αα - Sin αα Sin ββ + Sin ββ applicando la relazione fondamentale della trigonometria al primo come al secondo membro della precedente equazione si ottiene: - Cos(αα - ββ) = - Cos αα Cos ββ - Sin αα Sin ββ da cui semplificando e riducendo Cos(αα - ββ) = Cos αα Cos ββ + Sin αα Sin ββ Dalla formula di sottrazione del coseno discendono, ricorrendo, talora, opportunamente alla teoria degli archi associati e ad alcune delle proprietà formali, tutte le seguenti formule di addizione e sottrazione. Formule di addizione Sin(x+y) = Sinx Cosy + Siny Cosx Cos(x+y) = Cosx Cosy - Sinx Siny Tan(x + y) = tan(x)+tan(y) 1- tan(x) tan(y) Cot(x + y) = cot(x) cot(y)- 1 cot(x)+cot(y) Formule di sottrazione Sin(x-y) = Sinx Cosy - Siny Cosx

9 A10 Trigonometria.nb 9 Cos(x-y) = Cosx Cosy + Sinx Siny Tan(x - y) = tan(x)- tan(y) 1+tan(x) tan(y) Cot(x - y) = cot(x) cot(y)+1 cot(x)- cot(y) Formule di duplicazione Sinx= Sinx Cosx Cosx = Cos x - Sin x Tan( x) = tan(x) 1- tan (x) Cot( x) = cot (x)- 1 cot(x) Formule di Bisezione Sin x = ± 1- cos(x) da cui sin x = 1- cos(x) ; Sin x = 1 - cos(x) Cos x = ± 1+cos(x) da cui Cos x = 1+cos(x) ; Cos x = 1 + Cos(x) Tan x = ± 1- cos(x) 1+cos(x) da cui Tan x = 1- cos(x) 1+cos(x) Cot x = ± 1+cos(x) 1- cos(x) da cui Cot x = 1+cos(x) 1- cos(x) Formule di prostaferesi e di Werner Le formule di prostaferesi permettono di trasformare in prodotti la somma o la differenza di due seni o di due coseni e quindi di rendere logaritmica un espressione polinomia. sin(x) + sin(y) = sin x+y sin(x) - sin(y) = sin x- y cos(x) + cos(y) = cos x+y cos(x) - cos(y) = - sin x+y tan(x) ± tan(y) = cot(x) ± cot(y) = sin(x±y) cos x- y cos x+y cos(x) cos(y) sin(y±x) sin(x) sin(y) cos x- y sin x- y con x e y ( k + 1) con x e y k Al contrario le formule di Werner permettono di trasformare in una somma o in una differenza di coseni oppure di seni il prodotto di due coseni, di due seni o di un seno per un coseno sin(x) cos(y) = 1 (sin(x + y) + sin(x - y)) cos(x) cos(y) = 1 (cos(x + y) + cos(x - y))

10 10 A10 Trigonometria.nb sin(x) sin(y) = - 1 (cos(x + y) - cos(x - y)) dimostrazione delle formule di Werner premesse Si pone αα + ββ = p ed αα - ββ = q sommando e sottraendo membro a membro si ottiene: αα = p+q ed ββ = p- q Tenendo presenti le precedenti posizioni si ricava: Sin p = Sin (αα + ββ) = Sin αα Cos ββ + Sin ββ Cosαα Sin q = Sin (αα - ββ) = Sin αα Cos ββ - Sin ββ Cosαα e sommando membro a membro Sin p + Sin q = Sin αα Cos ββ Sin p + Sin q = Sin p+q mentre sottraendo membro a membro Cos p- q Sin p - Sin q = Sin ββ Cos αα Sin p - Sin q = Sin p- q Cos p+q ovvero ovvero La (1) e la (), tenuto conto delle precedenti premesse, dimostrano le formule di Werner (1) () Sin αα Cos ββ = 1 [Sin (αα + ββ) + Sin (αα - ββ)] così come, procedendo analogamente mediante la funzione coseno, si perviene a: Cos αα Cos ββ = 1 [Cos (αα + ββ) + Cos (αα - ββ)] Sin αα Sin ββ = 1 [Cos (αα + ββ) - Cos (αα - ββ)] tabella dei valori notevoli alla luce delle proprietà goniometriche

11 A10 Trigonometria.nb 11 x x rad Sin x Cos x Tan x Cot x Sec x Csc x calcoli notevoli tab =

12 1 A10 Trigonometria.nb = = 10 - costruzioni grafiche Equazioni gonometriche Una equazione goniometrica può essere sempre ricondotta, ad esempio, alla forma Sin(x) = a oppure Cos(x) = a, Tan(x) = a e le sue soluzioni, come si può dedurre anche dal seguente grafico, sono tutti i valori dell arco (angolo) x tali che: Esempio 01 x = Arcsin(a) Per trovare le soluzioni della equazione Sin x = 1 è sufficiente confrontare graficamente le funzioni: y = Sin x ed y = 1 come avviene nel seguente grafico Da qui si evince che: l equazione ammette soluzioni; che le soluzioni sono infinite; fig. che le soluzioni sono cicliche ovvero che l equazioni ammette due souzioni distinte per ogni ciclo della funzione Sin x e dunque che si ripetono per intervalli regolari. Pertanto le soluzioni della precedente equazione si possono così enunciare: x = + k ( ) x = + k ( ) 6 6 fig.

13 A10 Trigonometria.nb 1 Identità Risolvendo una equazione, si dice che essa costituisce una identità allorché risulta soddisfatta da tutti i valori di x che fanno parte dell'insieme di esistenza dell'equazione stessa. Equazione lineare in senx e cosx e sua omogenea associata a Sin x + b Cos x + c = 0 Le equazioni lineari con termine noto si possono risolvere in uno dei seguenti modi: trasformazione di senx e cosx in tg(x/) tenendo presente che qualora l equazione che ne risulta si abbassi di grado rispetto al secondo occorre aggiungere alle soluzioni trovate le soluzioni «x = p + kp» valori per i quali tg(x/) non è definita, mentre l equazione data in sen x e cos x, si. Si ricordi che valgono le seguenti formule parametriche: Sin(x) = t 1- t ; Cos(x) = con t = tan x 1+t 1+t Metodo grafico - Si possono interpretare e quindi porre Sin x = Y e Cos x = X a condizione che Sin x + Cos x = 1 quindi da a Sin x + b Cos x + c = 0 si passa alla risoluzione del sistema: a X + b Y + c = 0 X + Y = 1 Calcolate le eventuali coppie di punti di intersezione fra retta e circonferenza si risale agli angoli soddisfacenti l equazione lineare assegnata. N.B. Le equazioni omogenee associate alle lineari, ossia a Sin x + b Cos x = 0 oltre che con i metodi sopra esposti, si possono risolvere trasformandole in equazioni nella variabile tg(x), oppure nella variabile cotg(x). Equazioni omogenee di secondo grado con (o senza) termine noto a Sin x + b Cos x + c Sin x Cos x + d = 0 Si osservi, innanzitutto, che è sufficiente trasformare d = d 1 = d Sin x + Cos x e l equazione diventa sempre omogenea pura. A tal punto si procederà trasformando in tg(x) per x + k, soluzioni che occorrerà aggiungere in caso di abbassamento di grado durante la trasformazione in tg(x). Ovviamente in quest ultima circostanza l equazione può essere trasformata in cotg(x). Un secondo criterio di risoluzione consiste nell utilizzo del seguente gruppo di trasformazioni Sin (x) = 1 - Cos( x) Cos (x) = 1 + Cos( x) Sin(x) Cos(x) = Sin( x) Mediante il precedente gruppo di trasformazioni l equazione si trasforma in una lineare in Sin( x) e Cos( x). Questo metodo risulta ottimo per la risoluzione dei sistemi misti. Si noti, infatti, l abbassamento di grado che si ha da un punto di vista algebrico e quindi la possibilità di rappresentare l equazione mediante una retta (od una famiglia di rette in caso di equazione parametrica). Equazione biquadratica in Sin(x) e Cos(x) a Sin x + b Sin x Cos x + c Cos x = 0 Per la sua risoluzione è sufficiente dividere ambo i membri per Cosx 0; così facendo l equazione si

14 1 A10 Trigonometria.nb Per la sua risoluzione è sufficiente dividere ambo i membri per Cosx 0; così facendo l equazione si trasforma in una equazione biquadratica in tg(x): a Tan x + b Tan x + c = 0 N.B. Attenzione anche quì agli eventuali abbassamenti di grado rispetto al quarto: in tal caso occorre integrare le soluzioni come per gli altri casi. Equazioni simmetriche Sono le equazioni che risultano della forma: a Sin x + a Cos x + b Sinx Cos x + c = 0 Si risolvono ponendo x = ( + a). Infatti si ottiene: Elementi di trigonometria Premessa Per convezione, si assume che in ogni triangolo i vertici, i lati ( rispettivamente opposti ai vertici) e gli angoli (relativi a vertici) vengano indicati con la stessa lettera: i vertici con lettere italiane e maiuscole, i lati con lettere italiane e minuscole ed i vertici con lettere greche minuscole. A titolo di esempio si osservi la figura 1. fig. 1 fig. Teoremi sui triangoli rettangoli In ogni triangolo rettangolo si possono enunciare quattro teoremi: essi seguono direttamente dalla definizione del seno e del coseno di uno degli angoli acuti del triangolo. Posto, infatti, che il triangolo sia quello rappresentato in figura, si ha: Sin(αα) = a c a = c Sin(αα) (1) Cos(αα) = b c b = c Cos(αα) () Il primo teorema si enuncia dicendo che in ogni triangolo rettangolo un cateto è dato dal prodotto fra l ipotenusa per il seno dell angolo opposto allo stesso cateto. Il secondo si enuncia, invece, come segue: in ogni triangolo rettangolo un cateto è dato dal prodotto fra l ipotenusa per il coseno dell angolo adiacente allo stesso cateto. Ovviamente quanto detto a proposito dell angol αα si può ripetere a favore dell angolo ββ. Dividendo membro a membro la (1) con la (), prima in un senso e poi nell altro si ottengono i rimanenti teoremi. Infatti si ha: a = c sin(αα) = Tan(αα) a = b Tan(αα) () b c cos(αα) b = c cos(αα) = Cot(αα) b = a Cot(αα) () a c sin(αα) La () si enuncia dicendo che: in ogni triangolo rettangolo un cateto è dato dal prodotto dell altro cateto per la tangente dell angolo opposto al primo. La (), invece, si enuncia: in ogni triangolo rettangolo un cateto è dato dal prodotto fra il secondo cateto per la cotangente dell angolo adiacente al primo.

15 A10 Trigonometria.nb 1 Anche la () come la () possono essere enunciati rispetto all angolo ββ. Teorema della corda Come conseguenza dei teoremi sui triangoli rettangoli è semplice dimostrare che: qualunque corda di una circonferenza è data dal prodotto del diametro della circonferenza per il seno dell'angolo sotto cui è vista da un punto qualsiasi della circonferenza la corda stessa. fig. fig. Una facile applicazione del precedente teorema consiste nel fatto che, poiché ogni triangolo ammette sempre anche la circonferenza circoscritta, ogni suo lato può calcolarsi tramite il teorema della corda. Teorema dei seni o di Eulero "In un qualunque triangolo, il rapporto tra la misura di un lato ed il seno dell'angolo ad esso opposto è costante". Si dimostra, in modo molto semplice, che la costante corrisponde al diametro della circonferenza circoscritta al triangolo stesso. In pratica: a Sin αα = b Sin ββ = c Sin δδ = R fig. fig. 6 Teorema delle proiezioni o di Côtes In ogni triangolo ogni lato è dato dalla somma dei prodotti che si ottengono moltiplicando ciascun altro lato per il coseno dell angolo che esso forma con il primo. In pratica: a = b Cos γγ + c Cos ββ b = a Cos γγ + c Cos αα c = a Cos ββ + b Cos αα fig. 7 fig. 8

16 16 A10 Trigonometria.nb Teorema del Coseno o di Carnot Il teorema è detto inpropriamente teorema di Carnot: il vero scopritore è Viète (XVI secolo) In qualsivoglia triangolo, il quadrato della misura di un lato è uguale alla somma dei quadrati delle misure degli altri lati diminuita del doppio prodotto di questi due lati per il coseno dell angolo opposto al primo lato. In pratica: a b c = b + c - b c Cos (αα) = a + c - a c Cos (ββ) = a + b - a b Cos (γγ) Per la dimostrazione si procede a partire dalle formule che traducono il teorema delle proiezioni, scritte per ogni lato, e dopo semplici passaggi si perviene al risultato sopra enunciato. fig. 9 fig. 10 Il teorema sopra riportato traduce in linguaggio trigonometrico il noto teorema di Ippocrate (estensione di quello di Pitagora): «In ogni triangolo, l area del quadrato costruito su un lato è uguale alla somma delle aree dei quadrati costruiti sugli altri due lati diminuita od aumentata (secondo che l angolo opposto al lato considerato sia acuto oppure ottuso) del doppio dell area del rettangolo le cui dimensioni sono: una la lunghezza di uno di questi due lati e l altra quella della proiezione del restante lato sulla retta di quest ultimo». A questi risultati Ippocrate vi perviene mediante la seguente analisi: nel triangolo acutangolo ma da cui a = h + (c - b') = h + c + b' - c b' h = b - b' a = b - b' + c + b' - c b' a = b + c - c b' Per vedere nell ultima equazione il teorema del coseno basta tenere presente che b' = b Cos αα nel triangolo ottusangolo ma da cui a = h + (c + b') = h + c + b' + c b' h = b - b' a = b - b' + c + b' + c b' a = b + c + c b' Per vedere nell ultima equazione il teorema del coseno basta tenere presente che b' = - b Cos αα N.B. Mediante permutazioni circolari si ottengono le rimanenti due relazioni relative agli altri due lati. b = a + c - a c Cos ββ

17 A10 Trigonometria.nb 17 c = b + a - a b Cos γγ Formula di Erone Tenuto conto che p indica il semiperimetro del triangolo e che al solito a, b, c indicano le misure dei lati, l area A del superficie del triangolo vale: A = p(p - a) (p - b) (p - c) Tale formula si riesce facilmente a dimostrare sia per via geometrica che per via trigonometrica. Teorema delle tangenti o di Nepero Il teorema è detto inpropriamente teorema di Nepero: il vero scopritore è Finck (XVI secolo) In un qualunque triangolo: «la somma di due lati sta alla loro differenza come la tangente della somma degli angoli opposti sta alla tangente della loro semidifferenza»: a+b a- b = tan αα+ββ tan αα- ββ a+c a- c = tan αα+γγ tan αα- γγ b+c b- c = tan ββ+γγ tan ββ- γγ ed analogamente Formule di Briggs (Enrico Briggs, matematico inglese ) Associando le formule relative al teorema del coseno o di Carnot a quelle di bisezione degli archi si giunge alle formule di Briggs, le quali sono logaritmiche e consentono di calcolare gli angoli αα, ββ, γγ quando sono noti i lati a, b, c. In pratica si ottiene: Sin αα = (p- b) (p- c) b c Cos αα = p(p- a) bc Tan αα = (p- b) (p- c) p(p- a) ed analogamente Tan ββ = (p- a) (p- c) p(p- b) Tan γγ = (p- a) (p- b) p(p- c) Applicazioni Esercizi