1 Ricerca della primitiva di una funzione Integrale[f].

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1 1 Ricerca della primitiva di una funzione Data una funzione f(x) si dice primitiva di f(x) una funzione F(x) tale che F (x)=f(x). L'integrazione (cioè la ricerca della primitiva di una funzione) è quindi l'operazione inversa della derivazione e presenta in genere una maggiore difficoltà di calcolo. Infatti per quanto sia complicata una funzione, è sempre possibile calcolare la sua derivata, ma vi sono delle funzioni che non hanno una primitiva che si possa esprimere in analitico. Quando la funzione primitiva esiste non è unica, anzi ne esistono infinite. Infatti se F (x) = f{x), tutte le funzioni del tipo F(x) + e con e costante arbitraria hanno la stessa derivata. Il fatto ha una sua semplice spiegazione: infatti la derivata è legata alla forma della funzione e se ad una funzione si somma una costante tutte le ordinate restano aumentate di questa costante e la forma non varia. La funzione subisce infatti una traslazione di un vettore parallelo all'asse delle ordinate di modulo uguale alla costante. Visualizziamo questo fatto con GeoGebra. Si definisce una costante c e su questa si imposta uno slider. Data la funzione: f(x) = x 3-3x 2 + 2x + c si ottiene il grafico di un fascio di curve polinomiali che dipendono da c. Allo slider è stato dato un incremento di 1 unità. Variando il valore di e si vede che la derivata resta invariata e i massimi e i minimi si trovano sulle rette verticali che passano per i punti di intersezione della funzione derivata con l'asse x. La funzione g(x) = x 3-6x + 2 ha come primitive tutte le funzioni rappresentate. GeoGebra è in grado di calcolare anche molti integrali indefiniti con il comando Integrale [funzione f] Integrale indefinito di f(x) Sia la funzione sia la sua primitiva vengono rappresentate nella finestra geometrica e non viene indicata nessuna costante arbitraria. Le capacità di integrazione simbolica sono notevoli in GeoGebra anche se da programmi di questo tipo non ci si possono aspettare soluzioni in tutti i casi; infatti molte funzioni integrabili in modo simbolico non vengono riconosciute da GeoGebra. Per integrare una funzione bisogna innanzitutto scriverla nella linea di inserimento e poi si da il comando Integrale[f].

2 Verranno mostrati alcuni esempi riproducendo solo la finestra algebrica. Se si scrive la formula sin(x)^2 GeoGebra la interpreta come sin 2 (x) = (sin(x)) 2 e la scrive sin(x) 2 dove il seno è elevato al quadrato, da non confondere con sin(x 2 ) dove l'angolo è elevato al quadrato. GeoGebra non riesce ad integrare alcune funzioni anche non particolarmente difficili:

3 2 Somme inferiori e superiori di un trapezoide L'integrale definito di una funzione f(x)dx permette di calcolare l'area della parte di piano compresa tra il grafico della funzione y = f{x), l'asse x e le rette x = a e x = b. Tale figura che verrà rappresentata in seguito prende il nome di trapezoide. Per eseguire il calcolo dell'area si può suddividere l'intervallo [a, b] in n parti e calcolare poi la somma delle aree delle singole striscioline che si formano approssimandole con dei rettangoli. L'errore che si compie rispetto alla misura dell'area del trapezoide dipende dall'ampiezza di tali strisce. GeoGebra è in grado di calcolare la somma delle aree delle varie suddivisioni permettendo di fare considerazioni interessanti sulle loro proprietà. I comandi sono: SommaInferiore[funz f, num a, num b, num n] Somma inferiore della funzione f nell'intervallo [a, b] con n rettangoli SommaSuperiore[funz f, num a, num b, num n] Somma superiore della funzione f nell'intervallo [a, b] con n rettangoli, Data una funzione f(x) definita dall'utente con il comando: SommaInferiore[f, 0, 3, 10] si fa una approssimazione per difetto dell'area considerando 10 suddivisioni e prendendo come altezza delle singole strisce l'ordinata inferiore. Con l'analogo comando: SommaSuperiore[f, 0, 3, 10] viene fatta la somma superiore che calcola un'approssimazione per eccesso dell'area prendendo le ordinate superiori. Aumentando il numero di suddivisioni e quindi di intervalli, la somma inferiore tende ad aumentare e la somma superiore a diminuire. Digitando in sequenza i due comandi è possibile far calcolare la differenza tra la somma inferiore e quella superiore al variare del numero di suddivisioni. I comandi dati sono: a = SommaInferiore[f, 0, 3, 20] b = SommaSuperiore[f, 0, 3, 20] c = b - a Tali calcoli sono puramente numerici quindi sono applicabili a qualsiasi funzione indipendentemente dalla possibilità di esprimere l'integrale in modo simbolico. Nelle spiegazioni teoriche si vede come le somme superiori formino una successione monotona decrescente e le somme inferiori ne formino una crescente che convergono entrambe allo stesso

4 limite. Detta Sn la somma superiore e sn quella inferiore con n suddivisioni: Area trapezoide = lim Sn S = lim sn. Tale limite rappresenta l'area della superficie compresa tra la funzione e l'asse delle ascisse. Per visualizzare queste proprietà si può costruire uno slider prendendo n (numero delle suddivisioni) con incrementi interi. Dopo aver definito la funzione da esaminare, si scrivono nella linea di inserimento i comandi: S = SommaSuperiore[f, 1, 2, n] s = Sommalnferiore[f, 1, 2, n] d = S-s Facendo muovere lo slider si vede che, al variare di n, la differenza tra le somme cambia e tende a zero all'aumentare di n. 3 Integrale definito L'area del trapezoide è l'elemento di separazione, se esiste, della coppia di classi contigue costituita dalle due successioni Sn e sn che si formano considerando un numero crescente di suddivisioni. I comandi che si utilizzano per calcolare l'integrale definito sono: Integrale [funz f, num a, num b] Integrale definito di f(x) tra a e b Integrale [funz f, funz g, num a, num b] Integrale definito di f(x) - g(x) da a a b Se si calcola la stessa area del trapezoide precedente con il comando a = Integrale[f, 1,2] si vede che il valore esatto dell'area è un numero compreso tra le due somme calcolate.

5 Area compresa tra il grafico di due funzioni Per quanto riguarda il calcolo dell'area della regione piana delimitata da due funzioni si procede in modo del tutto simile al calcolo teorico. Si riesce a calcolare l'area indipendentemente dalla difficoltà della funzione e ciò non deve sorprendere perché si tratta di procedimenti numerici. Una volta definite le due funzioni che vengono subito rappresentate, si calcolano i loro punti di intersezione. Questi rappresentano gli estremi inferiore e superiore rispetto a cui fare i calcoli. Il comando per calcolare l'area è: a = Integrale[f, g, x(a), x(b)] Si può calcolare anche il volume di un solido di rotazione; basta definire una funzione f(x) e poi di seguito la funzione g(x) = (f(x))^2. Il passaggio successivo è di usare la funzione s = pi* Integrale [g, a, fa] dove a e b sono gli estremi di integrazione. Purtroppo il solido generato dalla rotazione non viene rappresentato nella finestra geometrica di GeoGepra. Integrale definito di una funzione lineare In questo caso l'uso dell'integrazione numerica non è necessario perché il calcolo può essere fatto direttamente. Definiamo uno slider nella variabile k e la retta x = k. Tracciamo la retta y = 0.5x+ 1 e definiamo un poligono formato dalle rette assegnate e dagli assi cartesiani. Facendo variare k si provoca lo spostamento della retta x = k e la variazione dell'area del trapezio. L'area del trapezio è a questo punto una funzione che dipende dal valore di k. Definiamo un punto A(k, polvi) che ha come ordinata il valore dell'area del poligono. Muovendo il punto A viene tracciata punto per punto una parabola. Se rappresentiamo la funzione g(x) = Integrale [f] vediamo che coincide con la funzione tracciata dai punti dello slider.

6 Dall'esempio fatto si vede che la funzione integrale rappresenta l'area del poligono al variare di k. Praticamente, nell'esempio svolto, il valore x = 3 sostituito nella funzione f(x) ci da f(3) = 2.5 che rappresenta l'ordinata del punto B della funzione. Se lo sostituiamo nella funzione integrale g(x) ci da g(3) = 5.25 che rappresenta l'area del trapezio a partire da zero fino alla retta x = 3.

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